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Distributions statistiques à deux dimensions

Section I – Tableau statistique à double entrée :

C'est une représentation des séries à deux caractères X et Y, dans un tableau statistique à deux dimensions, il

s’appelle tableau à double entrées ou tableau de contingence ou tableau de corrélation.

Exemple : L'âge et la taille, Salaire et nombre des employeurs, etc.

I.1- Distribution marginale :

- On a p et q le nombre des modalités où X = (x1, x2, … , xi, … , xp) et Y = (y1, y2, … , yj, … , yq).

La présentation de X et Y sous forme d'un tableau suivant :

Modalité de Y

Modalité de X y

1 y

2 . . y

i . . y

q n

i .

x1

x2

.

. x

i

.

.

xp

n1 1

n1 2

. . n1 j

. . n1 q

n2 1

n2 2

. . n2 j

. . n2 q

.

. n

i 1 n

i 2 . . n

i j . . n

i q

.

.

np 1

np 2

. . np j

. . np q

n1 .

n2 .

.

. n

i .

.

.

np .

n. j

n. 1

n. 2

. . n. j . . n

. q n

1) Effectifs partiels :

Les effectifs partiels apparaissent à l’intérieur du tableau.

nij : effectif de la population présentant à la fois la modalité i de X et modalité j de Y.

nij : l’indice de X(i) d’abord et de Y(j) ensuite.

- Modalités de Y apparaissent en ligne.

- Modalités de X apparaissent en colonne. n

.j = … ; il y a n

.j individus qui ...

2) Fréquence partielles :

n

nf

ij

ij

Interprétation : - f

ij des individus ont entre BI (Borne inférieur) et BS (Borne supérieur) des X et touche un Y entre BI et BS.

- fij … % des individus qui ont un x

i entre … et … et touchent un y

j entre … et … .

3) Fréquence conditionnelle :

j

ij

jin

nf

/ et

i

ij

ijn

nf /

Interprétation : - f

i/j des individus qui touchent Y entre [classe[ sont entre [classe de X[.

fi/j

= ... Soit fi/j

%

Parmi les individus qui touchent un yj, il y a ...% qui sont à un x

i de BI à BS ans.

4) fréquence marginales :

fi. = …. , C'est la fréquence marginale de la classe de xi [BI , BS[ qui correspond à i = ...

Donc fi.% Des individus sont à un x

i de BI à moins de BS.

Effectif

marginaux

du

caractère X

Effectif marginaux du caractère Y

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Section II - Les caractéristiques des distributions à deux caractères :

I- Les caractéristiques de distribution marginale :

I.1- Caractère X :

Moyenne marginale :

p

i ii xnn

x1 .

1

- x est le xi moyen des individus.

- le moyen de xi des individus qui touchent un y

j entre … et … est de … .

- le xi moyen des individus est de … .

Variance marginale :

²²1

)(1 . xxn

nxV

p

i ii

xVx )(

- V(x) c'est la variance qui mesure la dispersion de xi par rapport à la moyenne des individus.

- σ (x) !! C'est l'écart de xi par rapport à la moyenne des individus.

I.2- Caractère Y :

Moyenne marginale :

q

i ii ynn

y1 .

1

- y est le yi moyen des individus.

Variance marginale :

²²1

)(1 . yyn

nyV

p

i ii

yVy )(

- V(y) c'est la variance qui mesure la dispersion de yi par rapport à la moyenne des individus.

- σ (y) !! C'est l'écart de yi par rapport à la moyenne des individus.

II- Les caractéristiques de distribution conditionnelle

II.1- de X selon Y:

Moyenne conditionnelle :

p

i iij

j

j xnn

x1

1ou

p

i ijij xfx1 /

- jx est le xi moyen des individus qui ont un y

j entre ... et ... .

Variance conditionnelle :

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²²1

)(1 j

p

i iij

j

j xxnn

xV

)()( xVx jj

- Vj(x) c'est la variance qui mesure la dispersion de x

i par rapport à la moyenne des individus qui ont un y

j entre

... et ... .

- σ j(x) !! C'est l'écart de x

i par rapport à la moyenne des individus qui ont un y

j entre ... et ... .

II.2- de Y selon X:

Moyenne conditionnelle :

q

j jij

i

i ynn

y1

.

1ou

q

j jjii yfy1 /

- iy est le yj moyen des individus qui ont un xi entre ... et ... .

Variance conditionnelle :

²²1

)(1

.

i

q

j jij

i

i yynn

yV

)()( yVy ii

- Vi(y) c'est la variance qui mesure la dispersion de yi par rapport à la moyenne des individus qui ont un x

i entre

... et ... .

- σ i(y) !! C'est l'écart de yi par rapport à la moyenne des individus qui ont un xi entre ... et ... .

III- Relations entre les caractéristiques marginales et conditionnelles :

III.1- Moments simples :

i

js

ji

r

ij yxnn..

r,s

1 m

m1,0

= x ; m0,1

= y ;

m2,0

= il s'agit du premier terme de la formule développé de V(x).

m0,2

= il s'agit du premier terme de la formule développé de V(y).

III.2- Moments centrées :

i

s

ij

r

iij yyxxnn

µ..

r,s

1

III.3- Covariance :

La covariance permet de savoir l'indépendance qui existe entre les deux variables.

- Si Cov > 0 : x et y suivent le même sens.

- Si Cov < 0 : x et y suivent le sens contraire.

- Si Cov = 0 : x et y sont indépendants.

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Section III : Étude des liaisons statistiques : régression, ajustement et corrélation :

I- Les courbes de régression :

Cy/x : courbe de régression de y en x => xi*yi.

Cx/y

: courbe de régression de x en y => yi*xi.

II- Ajustement linéaire :

• Équation D : y = ax + b

)(

),cov(

xV

yxa

b = y – a x

• Équation D' : x' = a'y + b'

)(

),cov(

yV

yxa

b’ = x – a’ y

III- Corrélation simple :

III.1- Coefficient de corrélation simple :

)()(

),cov(r

yx

yx

• r > 0 : x et y varient dans le même sens.

• r < 0 : x et y varient en sens contraire.

• r = 0 : il y a indépendance totale.

• -1 =< r =< 1 : Il y a une forte corrélation linéaire entre x et y.

III.1- Coefficient d'amélioration :

r²11A • A > 50 % : Il y a une présomption de corrélation entre deux variables.

• A = 65 % : Il y a une présomption favorable.

• r2 > 0,75 : Il y a une forte corrélation entre deux variables.