1 | P a g e

BÀI GỢI Ý HƯỚNG DẪN GIẢI 20 ĐỀ TOÁN ÔN TẬP

CỦA TRUNG TÂM LTĐH VĨNH VIỄN

ĐỀ 1

Câu II

2/ Đặt tyx

Câu IV

ABCS

MQNS

ABCDS

MNPQS

V

V

V

V

.

.

.

.

.2

.2

SC

SN

SA

SQ

SB

SM.. . Ta có

4

3,

3

2

SC

SN

SI

SK

SB

SM

Tính mSA

SQ ?

K2 SAmSISQSK 3

2

SCSAm

SAmSCSA

3

1)

3

31(

)2

(3

2

QN SAmSCSQSN 4

3

QK và QN cùng phương nên:

5

3

9

4

43

31

3

31

m

m

m

Vậy .

.

2 3 3 3. .

3 5 4 10

S MNPQ

S ABCD

v

V

Câu V

điều phải chứng minh lnx – ln(4 – x) – x < lny – ln(4 – y) – y

đặt f(t) = lnt – ln(4 – t) – t ; 0 < t < 4

f’ (t) > 0 , 0 < t < 4

f đồng biến trên (0,4) điều phải chứng minh

Câu VI

2/ Gọi 0 là hình chiếu của d trên mặt phẳng

D là 1 đường thẳng bất kì trên mặt phẳng qua I

Ta cm sin(d, 0 ) sin(d, D)

Vậy đường thẳng cần tìm là hình chiếu của d trên mặt phẳng

ĐỀ 2

Câu II

2 | P a g e

1/ phương trình sin 1 0

(2sin 1)(s in3 1) 0

x

x x

sin 1

1sin

2

sin 1

x

x

x

2/

2 2

2

21(1)

(2)

xyx y

x y

x y x y

Điều kiện: S = x + 4 0 (1)P = xy 0 0

0

x

y

(2) 2x y x y x x

Đặt f(t) = 2t t , t > 0.

Câu IV

Gọi x là cạnh hình lập phương

ACB D là tứ diện đều cạnh 2x

(*)IA MA AH x MA

IH MH x MH

∙MA = AB .3 6

2 2

x

∙MH = 1 6

3 6

xCM

∙AH = 2 2 2 3

3

xMA MH

(*) 2 32 3 24 3x x V x

Câu V 3 1 1 3

(1 )(1 ) 8 8 4

x y z x

y x

3 3 3 3

2 4 2 4 4

x y zP

min

3,

4P khi x = y = z = 1

Câu III

I = 2

03

sin.

8sin3

xdx

x

Đặt t = x + 3

3 | P a g e

56

33

1 3sin cos

1 32 2

8 sin 8

t t

I dtt

ĐỀ 3

Câu I

2/ (C) có 3 điểm cực trị m < 0 2

1( , 2),M m m 2

2( , 2)M m m

1 2 3 2

12

2 0( ì 0)

mM M

m m m vnv m

Câu II

1/ 2 3 3x x có nghiệm duy nhất x = 1

Vì f(x) = VT đồng biến trên 0,

x = 1 cũng thỏa phương trình còn lại

2/ Điều kiện: cos2x 0, sinx 0

Đặt t = tanx

Câu IV

∙Cos BSA ˆ =6

4

2

ˆCosASB 6

SM aSN SB

N đoạn SB và 2

3

SN

SB

3 3

. . ..8 24

S ABC S MNC S ABC

a SM SN aV V V

SA SB

Câu V

∙ 43 4 1 1 1 4 4 4a a a

83 4 2 4a a

Tương tự cho 3 4 , 3 4b c

Cộng theo từng vế điều phải chứng minh.

ĐỀ 4

Câu I

2/ Giả sử (C) cắt trục Ox tại 2 điểm A, B với AB =3 2

2

3 2 3 2

,0 ; ;04 4

A B

4 | P a g e

A, B (C) 2

1

11 17 85 0

174 64

40

m

m m

m

Thử lại nhận m = 1

8 ( m =

17

40 4 gđ loại )

Câu II

1/ phương trình 2 3 4 2 3 49 3( 3 4) 9 3(3 4)x x xx x x

Đặt f(t) = 9 3t t

2/ 3 32sin 4cos 3sinx x x . Đặt t = tanx

Câu IV

1/ M là trung điểm CD

( )BM ACD

BA = BC MA = MC (= MD)

ACD vuông tại A

2/ BM là trục của ACD

âùmcR = R đường tròn ngoại tiếp BCD = a

Câu V

∙ 3 ( 3 ) 1 1 3 23

3 3

a b a ba b

Tương tự cho 3 33 3 , 3 3c a

Cộng theo từng vế điều phải chứng minh.

ĐỀ 5

Câu II

2/ Điều kiện: 1 3

2 2x

2 1 3

2 2 2

VTx x

VP

Câu IV

IJ = 1

2, SE = a

EC = 2 2 5EB BC a

5 sinEH a

5 cosHC a

1.

2EHCS EH HC

5 | P a g e

2

2 2

15 sin cos

2

5 5sin 2 s in2

4 8EIH

a

a S a

31 5. sin2

3 24EHIJ EIHV S IJ a

EHIJV lớn nhất 4

Câu V 3 3

3 3

3

3 3

3

3 3

1 31

2 1 1 33 4

2 1 1 33 4

2

a b abab

a a aa b

b b bb a

a b

4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33( ) 2 3 . 3 . 2 (4 ) (4 ) 2 4( ) 8a b a b a a bb a b ab b a a b a b a b

ĐỀ 6 Câu II

2/ Đặt t = 21

x

x, -1 < x < 1.

Câu V

Cách 1: Quy đồng mẫu số, biến đổi tương đương ra điều hiển nhiên đúng điều phải

chứng minh.

Cách 2: 2 21 ( 1)

aa ab a

b

21 ( 1) ( 1)

aab a

b

Vậy

2

2

1 1

( 1)1 ( 1)

1 1

( 1)1 ( 1)

aaab

b

bbab

a

Cộng theo từng vế điều phải chứng minh.

Câu VI

2/ (C) tâm O; bán kính R = 1

Gọi PA, PB là 2 tiếp tuyến

Trường hợp 1: APB = 60o

Lúc này P nằm trên đường tròn 1( )C tâm O, 1 2R

Trường hợp 2: APB = 120o

Lúc này P nằm trên đường tròn 2( )C tâm O

6 | P a g e

Bán kính 2

2

3R

Yêu cầu bài toán 2

(0, ) 23

d d

22

2 32

232

3

m

m

m

ĐỀ 7

Câu II

1/ phương trình 1

2(sin 2 cos 2 ) sin2 cos 2 2 2 02

x x x x

Đặt t = sin2x + cos2x

2/ Đặt t = 1

x

3

3

21 20 0(1)

21 20 0(2)

t y

y t

(1) – (2):

(t – y)

2 2321 0

2 4

y yt t y

Thế vào (1) ta tìm được:

1

1

x

y

1

4

4

x

y

1

5

5

x

y

Câu III

4

0

4sin 2 cos 2

3 cos 2

x xI dx

x

. Đặt t = 3 + cos2x

Câu V

Điều kiện: 3 2x

phương trình 3 2 31 2 ( 3) 2 5x x x

2 3

2 33 32 2

2

32 2 2 33

9 27( 3)

2 51 2 1 4

3

3 3 91

( 1) 2 1 4 2 5

x xx

xx x

x

x x x

x x x

CMR (1) vô nghiệm

7 | P a g e

Vậy nghiệm phương trình đã cho là x = 3

Câu VI

1/ phương trình 4 cạnh hình vuông

1 2

3 4

: ( 2) 1; : ( 3) 5

1 1: ( 0) 1; : ( 3) 1

d y k x d y k x

d y x d y xk k

gt 1

3k hay 7k

Câu VII

Đặt W = x + yi, z = a + bi

gt 2

5

x ya

;

2 5

5

x yb

Khi đó 2 22 3 ( 2) 9z a b

2 2( 3) ( 4) 45x y

ĐỀ 8

Câu II

1/ phương trình 2(3tan 1)(tan 1 sin ) 0x x x

2/ Điều kiện: x 1

Thế (2) vào (1) ta có:

3 28 1 ( 1) 0(*)x x x

( ) (*) ông ên ên 1;

(2) 0

f x VT d bi tr

f

Nên nghiệm hệ phương trình là 2

1

x

y

Câu IV

AE 3 3 3

,2 3 6

a a aAH HE

2 2

2 2

2 2 2

3

3

2 3tan

. 3

12A ABC

b aA H

A H b a

HE a

a b aV

2 2 23

4ABCA B C

a b aV

2 2 23

6A BB CC ABCA B C A ABC

a b aV V V

Câu V

8 | P a g e

Đặt t = 2 2x

2 2( 1) 2 0t x t x x

1 2t x hay t = x

∙2 7

1 23

t x x

∙ t x vô nghiệm

ĐỀ 9

Câu I

2/ d: y = k (x – 4) – 1

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt k 0

Tiếp tuyến tại 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )M x y M x y song song khi 1 2

1( ) ( )

3f x f x k

Câu II

1/ Điều kiện: sin2x 1

phương trình 4 2sin 2 10sin 2 9 0x x

2/ Đặt t = 3 2 ;x 0t

Ta có 2 2 2( 1) ( 7)(1 )t t t

11

30 3 3

2

xt

t x

Câu III

Đặt t = 23tan 1x

Câu V

Đặt

1

2

10

a x

b y

c z

2 2 21, 2, 10

0, 0, 0

1

x a y b z c

a b c

a b c

22 2 2

2 2 2

1( ) 3

3 2 72

10 10 2( 10)

a ba b c c

Ac c c

Đặt f(c) = 2

2

2 7

2( 10)

c c

c

; c 1

Lập bất phương trình 1

( )4

A f c

9 | P a g e

Dấu = xảy ra khi

1

2

2

a b

c

5 9, , 144 4

x y z

Câu VII

Đặt z = x + iy 2 2

2 2 2 2

2 3 2z i x y xi

z x y x y

Yêu cầu bài toán 2 23 0

32 0

0

xyx y

xx

ĐỀ 10

Câu I

2/

2

1 0

2 2 0(*)

x

x mx m

y = 3 – x nên y < 3 x>0

Vậy ycbt (*) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1

Câu II

2/ Điều kiện: x 1 hay x = -1

∙x = -1 thỏa phương trình

∙x 1: phương trình 2( 3) 1 2 1x x x

x = 1

Câu IV

∙Chọn hệ trục như hình vẽ

∙1

, .6

SMPDV SM SP SD

∙d(AN, SD) = , .

,

AN SD AD

AN SD

Câu V

3

3

3

2 32

2 32

2 32

a b ca

b c

b c ab

c a

c a bc

a b

cộng theo từng vế điều phải chứng minh.

10 | P a g e

ĐỀ 11

Câu II

1/ phương trình 2cosx + 2cos3x + 2cos5x = 1

∙sinx = 0 không thỏa phương trình

∙sinx 0 nhân 2 vế cho sinx

2/ t =

Bất phương trình 2 (3 2) 9 2 0(*)t t t

Ta có 2 (3 2) 9 2 0t t t

9 22 2 0

3 2

t tt t

t

Câu IV

gt là trung diem

là trung diem

M SC

N SD

. .

. .

1

4

S ABMN S AMN

S ABCD S ACD

V V

V V

Câu VII

phương trình ( 1)( 3)( 2) 10z z z z

2 2( 2 3)( 2 ) 10z z z z

Đặt t = 2 2z z .

ĐỀ 12

Câu II

1/ phương trình (cos 1)(1 2sin )(1 2cos ) 0x x x

2/ hệ phương trình

2

2 2

1 [4 ( )](1)

2( 1) [( ) 7](2)

x y x y

x y x y

(2) 2(1) 2( ) 2( ) 15 0x y x y

x + y = 3 hay x + y = - 5

Câu III

Đặt t = 2

x ta chứng minh được

2 2

3 30 0

3sin 2cos 2sin 3cos

(sin cos ) (sin cos )

x x x xI dx dx J

x x x x

2

20

1cot 1

4(sin cos ) 2

1

2

dxI J x

x x

I

Câu IV

3 21sin cos

6V a

11 | P a g e

3 21sin (1 sin )

6a

Đặt t = sin , 0 < t < 1

KSHS 3 31( )

6V a t t

Ta suy ra maxV khi t = 1

sin3

Câu V

cos3 2cos [1 cos( )] cos3 1S A A B C A

min 1S khi ABC đều

ĐỀ 13

Câu III

ln5

ln 2 (10 ). 1

x

x x

e dxI

e e

Đặt t = 1xe 2

2

221

1 32. ln

9 3 3

1 5ln

3 2

dt tI

t t

I

Câu IV

A A A B A C Hình chiếu của A trên (ABCD) là tâm H của ABD

1/ .ABCDV S A H

ABD đều , AO = a

2 2

,3 3

a aAH DB

2 2

2

3

4 2

3

2

3

8 6

9

ABCD

aA H AA AH

aS

xV

2/ Kẻ AK ( , )OO d A BDD B AK

.cos .cos .A H

AK AO OAK AO AA H AOAA

4 2

2 23

2 3

aa

aa

12 | P a g e

Câu V

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 4 1 1 4 42 (1)

a b a b a b a b ab

mà 2 2

4

4 32( )(2)

( )

a b

ab a b

4( ) 0a b nên (2) đúng

(1) & (2) điều phải chứng minh.

ĐỀ 14

Câu IV 2 1

1 4

a ba

b

Tương tự cho 2 21 1

;1 4 1 4

b c c a

c a

Cộng theo từng vế ta có 2 2 2

33 3 3 3 3( ) .3

1 1 1 4 4 4 4 2

a b ca b c abc

b c a

.

ĐỀ 15

Câu II

1/ phương trình 2cosx + 2cos3x + 2cos5x = 1

sinx = 0 không là nghiệm phương trình trên

phương trình sin (2cos 2cos3 2cos5 ) sinx x x x x

2/ Đặt t = 2

( 1)1

xx

x

; Điều kiện: 2 1x x

Câu III

8 8

8 8

cos 8 cos7

1 2cos5 1 2cos5

x x cos x xI dx dx

x x

0 +8

8

8 cos7

1 2cos5

cos x xdx

x

= 8

8

2 2 2(cos3 cos 2 )

3 2x x dx

Câu IV

Chọn hệ trục như hình vẽ

∙ ( , , )MN a a x x (0 )x a

( , , )

. 0

AC a a a

MN AC MN AC

∙ 2 2 22 2 2MN x ax a

Nên MN nhỏ nhất x = a

Câu V

13 | P a g e

Đặt 5 4 1

( )5 4 2 1 6

t tf t

t t

51

4t

( ) 0,f t Vậy 1

min ( ) ( 1)3

f t f

ĐỀ 16

Câu II

2/ Điều kiện: 0, 0x y

∙y = 0 không thỏa hệ phương trình

∙y 0 đặt x t y

3

2

38 9

24( 1) 5

4

t y t y xt

yy ty

Câu V 3 3 3

2 23 ( )( )

a a a

b b ab bc ca b c b a

mà 3 3

( )( ) 8 8 4

a b c a b a

b c b a

nên3

3

3 2 5 2 2

3 4 8 8

a a a b c a b c

b

Làm tương tự cho 3 3

2 2;

3 3

b c

c a

Cộng theo từng vế ta có: 3 3 3

2 2 2

3( ) 3

3 3 3 4 4 4

ab bc caa b c a b c

b c a

Câu VI

x = abcd

Trường hợp 1: a 2,4,6,8

4 cách chọn a

4 cách chọn d a

2

8A cách chọn bc

Có 16 2

8A số

Trường hợp 2: a 3,5,7,9

4 cách chọn a

5 cách chọn d

2

8A cách chọn bc

Có 20 2

8A số

Vậy tất cả có 36 2

8A số.

14 | P a g e

ĐỀ 17

Câu II

1/ phương trình 23(1 sin2 ) 2(cos 1) 0x x

1 sin 2 0

cos 1 0

x

x

phương trình vô nghiệm

Câu III

1 2

2 2

0 1

17( ) (2 )

6V x dx x dx

Câu V

7a + 5b + 12ab – 9

2 21 17 5 12 9

4 4a b ab

2 2

2 2 2 2

2

7 5 12 6

(9 8 7 6) 2( 2 )

2( ) 0 7 5 12 9

a b ab

a ab b a ab b

a b a b ab

Câu VI

1/ Gọi C(O,O,C) là giao điểm của ( ) và trục Oz

Kẻ OHAB, ta có OH = 2

5

6tan

5

OC

OH

12 12

5 5

5( ) : 1

1 2 12

C C

x y z

ĐỀ 18

Câu II

2/ Điều kiện: 1x

phương trình2 25 (1 )(1 2( 1)x x x x

Đặt u = 1 + x, v = 1 – x + 2x

Ta có 2 24 17 4 0u uv v

4u v hay 1

4u v

Câu V

Đặt a = 2

2

3(1 )

x

x

1

; cos ,13 3 2

a t a

15 | P a g e

2( ) 2 1,y f t t t 1

,12

t

Câu VI

1/ , 0n n

( ) cắt ( )

Gọi d là giao tuyến của ( ),( )

(P) là mặt phẳng cần tìm

∙ (0,0,1) ( )A d A P

2 2

( ) : 0

( , , ); ( , , )

. 0,

d p

d p

P Ax By Cz C

a m m m m n A B C

a n m A B C

Vậy d mặt phẳng cố định (P): x + y – z – 1 =0

2/ (C): 2 2 2( ) ( )x a y b R

gt

23

3

2êu

ab

R a b

RIBCd

Vậy (C): 22

2 3 4x y

ĐỀ 19

Câu I

2/ 3

,1

oo

o

xM x

x

4 3 22

2

2 2 6 9( )

( 1)

o o o oo

o

x x x xf x OM

x

Câu II

2/ Hệ phương trình 2

2

16

15

yy

x x

yx

Đặt

1a

x

b y

Câu III

1

0

(1 )

1

x

x

x eI dx

xe

Đặt 1xt xe

16 | P a g e

Câu IV

phương trình 2 2 2 22( 1) ( 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x

2 2

2 2

1 12 1

1 1

x x x x

x x x x

Đặt t = 2

2

1

1

x x

x x

(t > 0)

Câu VII

1

3

( ) 24( )! 24 1 124

( 3)! ( 2)( 3) 2 3K

K

K KH KH

C K K K K K

Lần lượt thay K = 1, 2, …, n vào 2 vế và cộng lại ta có:

0 1 1

4 5 3

1.2 2.3 ( 1) 8...

3n

n

n n n

C C C n

Vậy yêu cầu bài toán 8 64

83 11

nn

n

.

ĐỀ 20

Câu II

1/ phương trình 22sin .cos6 2sin 04 4

x x x

2/ phương trình 2 2log 8(2 4) log 2 .(2 12)x x x

Câu IV

SI = cot ,2 2

a OI =

3

6

a

22 2

32

.

2

3cot 112 2

3cot 124 2

3cot

12 2

S ABC

xq

aSO

aV

aS

Câu V

Đặt 2 22 ,a x y xy 1a

∙y = 0: M = 2 1

2x

∙y 0: Đặt t = x

y. Khi đó:

2

2

1 6 2 2 1( )

2 1 7 2

M tf t

a t t

Vậy min M là 6 2

7

17 | P a g e

Câu VI

1/ d

2 1 0

( ) 1 0

0

Kx y z

d ozy x Ky z

x

có vô số nghiệm.

1K .