POSTULAT EUCLID SACCHERI

OLEH

PRAMITHA SARI

Giovanni Girolamo Saccheri (5 September 1667 – 25 Oktober 1733)

Saccheri lahir di San Remo, Genoa (sekarang Italia). Saccheri adalah anak dari seorang pengacara. Dia mulai ikut pelatihan akademik dengan Yesuit di Genoa pada tahun 1685 dan 5 tahun kemudian terdaftar di Kampus Jesuit Brera untuk belajar filsafat dan teknologi.

Saccheri meninggal di Milan, Italia pada tanggal 25 Oktober 1733. Dalam karyanya sintesis, Saccheri memberikan analisa lengkap tentang masalah kesejajaran dalam hal segiempat.

Segiempat Saccheri

Saccheri menarik garis yang tegak lurus pada ujung-ujung dua buah segmen garis yang saling sejajar. Bangun yang terbentuk ini disebut sebagai segiempat saccheri

(Saccheri Quadrilateral)A B

CD

Teorema 1Segiempat

saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya, AD dan BC adalah kaki-kakinya sedemikian sehingga AD = BC. A dan B merupakan sudut siku-siku.

A

CD

B

A dan B dinamakan sudut alas dan C dan D dinamakan sudut puncak.

Misalkan ABCD adalah segiempat Saccheri dengan AD = BC dan A = B = 900. Saccheri mampu membuktikan C = D. Dan selanjutnya mempertimbangkan tiga kemungkinan mengenai sudut C dan sudut D

1. Hipotesis sudut siku-siku (C = D = 90o)2. Hipotesis sudut tumpul (C = D > 90o)3. Hipotesis sudut lancip (C = D < 90o)

A B

D C

O

Teorema 2Sudut puncak Saccheri adalah sama (Dengan

menggunakan kelima postulat).

Bukti: Perhatikan DAB dan CBA

DAB = CBA = 90, AD = BC, AB adalah garis lurus.Dengan SAS postulat, DAB dan CBA adalah kongruen.

Perhatikan juga ACD dan BDCDimana AD = BC, AC = BD, CD adalah garis lurus.Dengan SSS postulat, ACD dan BDC adalah kongruen.

Juga ACD = BDC, sehingga OD = OC dan OB = OA.

Teorema 3Garis yang menghubungkan titik-titik tengah

dari dasar dan puncak tegak lurus terhadap keduanya.

Bukti: M adalah titik tengah AB dan N adalah titik

tengah DC. Dengan teorema sebelumnya OD = OC,

DN = CN, dan ON = OM.

A B

CND

M

O

Dengan SSS postulat, OCN dan ODN adalah kongruen. Sehingga CNO = DNO = 90, yaitu ON tegak lurus terhadap CD.

Demikian pula, OAM dan OBM adalah kongruen. Sehingga OAM = OBM = 90, yaitu OM tegak lurus terhadap AB.

Selain itu, CNO = DON, COB = DOA, BOM = AOM.

Jadi, CON + COB + BOM = DON + DOA + AOM = 180.

MON adalah garis lurus, dimana MN tegak lurus terhadap AB dan CD.

Teorema 4

Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya sama besar

Bukti: Misal diketahui segiempat

ABCD.

A B

CD

Tarik diagonal AC dan BD sehingga terbentuk dua segitiga, yaitu ABD dan BAC.

Pandang ABD dan BAC

AD = BC .... Definisi 1

A = B .... Definisi 1

AB = AB .... Refeksif

Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ABD BAC akibatnya AC = BD

Pandang ACD dan BDC

AD = BC .... Definisi 1

AC = BD .... Akibat ABD BAC

DC = DC .... Refeksif

Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ACD BDC akibatnya D = C.

Jadi, terbukti bahwa sudut-sudut atas segiempat Saccheri sama besar.

Bukti: Berdasarkan Akibat 1 Teorema 3, yaitu

jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 360 maka

A + B + C + D < 360

90 + 90 + C + D < 360 .... Definisi 1

C + D < 180

2C < 180 .... Teorema 4

C < 90

Jadi, terbukti bahwa C dan D adalah lancip.

Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya lancip.

Teorema 5

Latihan soal:Latihan soal.doc

Daftar Pustaka

http://academic.brcc.edu/ryanl/modules/geometry/quadrilaterals/quad_sacc.html

http://

en.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Girolamo_Saccherihttp://web.mnstate.edu/peil/geometry/

c2euclidnoneuclid/6Saccheri.htm http://www.google.co.id/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&ved=0CDQQFjAE&url=http%3A%2F%2Fwww.ms.uky.edu%2F~droyster%2Fcourses%2Fspring02%2Fclassnotes%2FChapter04.pdf&ei=6oZRUNvTNY7KrAeGkYCgDQ&usg=AFQjCNHv4jKycmaqgCXl87OGVHX5fidU2A&sig2=spD0KHTTzTTd2-nbIktRyA

SEKIAN

DAN

TERIMA KASIH