А.А.Самарский ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1971. В книге излагаются современные методы разностного решения задач

математической физики и относящиеся сюда вопросы теории разностных схем. Книга включает следующие разделы: однородные разностные схемы для

решения одномерных уравнений параболического и гиперболического типов, разностные схемы для уравнений эллиптического типа, теория устойчивости разностных схем, экономичные методы решения многомерных задач математической физики, итерационные методы решения разностных уравнений.

В книге содержится значительное количество примеров, иллюстрирующих основные положения теории и способствующих более глубокому ее усвоению.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов, специализирующихся в области вычислительной математики, а также на научных сотрудников и инженеров, связанных с численным решением задач математической физики.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Основные обозначения, принятые в книге 11 Глава I. Предварительные сведения 13 § 1. Основные понятия 13

1. Сетки и сеточные функции (13). 2. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов (17). 3. Погрешность аппроксимации на сетке (25). 4. Постановка разностной задачи (29). 5. О сходимости и точности схем (31). 6. Метод аппроксимации краевых и начальных условий (34). 7. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем (38). 8. О понятии корректности разностной задачи (40). 9. Решение разностных уравнений методом прогонки (42).

§ 2. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных схем

45

1. Некоторые разностные формулы (45). 2. Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи (48). 3. Разностные аналоги теорем вложения (53). 4. Метод энергетических неравенств (56). 5. Принцип максимума (60).

§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа 62 1. Линейные операторы (62). 2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом пространстве (64). 3. Линейные операторы в пространстве конечного числа измерений (68).

Глава II. Разностные схемы для уравнений с постоянными коэффициентами

70

§ 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами 70 1. Исходная задача (70). 2. Семейство шеститочечных схем (71). 3. Погрешность аппроксимации (73). 4. Устойчивость по начальным

данным (76). 5. Устойчивость по правой части (80). 6. Сходимость и точность (82). 7. Метод энергетических неравенств (83). 8. Краевые условия третьего рода (87). 9. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности (89).

§ 2. Разностные схемы для уравнения колебаний струны 92 1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности аппроксимации (92). 2. Исследование устойчивости (95). 3. Метод энергетических неравенств (101).

Глава III. Однородные разностные схемы 103 § 1. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными

коэффициентами 103

1. Введение (103). 2. Исходная задача (105). 3. Трехточечные схемы (106). 4. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэффициентов (108). 5. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения однород-

ных разностных схем (111). 6. Однородные консервативные схемы (114). 7, Исходный класс консервативных ахем. Шаблонные функционалы (116). 8. Разностная функция Грина (119). 9. Априорные оценки (122). 10. Погрешность аппроксимации в классе непрерывных коэффициентов (125). 11. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов (127). 12. О сходимости и точности (130). 13. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках (130). 14. Точная схема. Схема любого порядка точности (140). 15. Монотонные схемы для уравнения общего вида (145). 16. Третья краевая задача (148). 17. Коэффициентная устойчивость разностных схем (149). 18. Однородные схемы для уравнения в цилиндрической и сферической системах координат (152). 19. Задача с условиями периодичности (163). 20. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Постановка задачи и основные свойства (168). 21. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Оценка скорости сходимости (178).

§ 2. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

185

1. Однородные разностные схемы (185). 2. Погрешность аппроксимации (189). 3. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов (190). 4. Устойчивость и априорные оценки (192). 5. Сходимость и точность (197). 6. Однородные схемы на неравномерных сетках (201). 7. Монотонные схемы для параболических уравнений общего вида (206). 8. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи теплопроводности (207). 9. Третья краевая задача (211). 10. Периодическая задача (212). 11. Квазилинейные уравнения (214).

§ 3. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа 219 1. Однородные разностные схемы (219). 2. Погрешность аппроксимации (221). 3. Устойчивость и сходимость (222).

Глава IV. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа 226 § 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона 226

1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа (227). 2. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике (230). 3. Разностная задача Дирихле в области сложной формы (2?2). 4. Запись разностного уравнения в канонической форме (237). 5. Принцип максимума (239). 6. Оценка решения неоднородного уравнения (242). 7. Оценка решения разностной задачи Дирихле (244). 8. Равномерная сходимость и порядок точности разностной задачи Дирихле (247). 9. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона (249).

§ 2. Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типа

252

1. Разностный оператор Лапласа в прямоугольной области (252). 2. Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников (258). 3. Операторы с переменными коэффициентами (259). 4. Оператор со смешанной производной (260). 5. Схема повышенного порядка точности для эллиптического уравнения со смешанными производными (263).

Глава V. Общие формулировки. Операторно-разностные схемы 268 § 1. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных

пространствах 268

1. Разностные схемы как операторные уравнения (268). 2. Устойчивость разностной схемы (275). 3. Сходимость и аппроксимация (276). 4. Некоторые априорные оценки (279). 5. Коэффициентная устойчивость уравнений первого рода (289).

§ 2. Операторно-разностные схемы 292 1. Введение (292). 2. Операторно-разностные схемы (293). 3. Каноническая форма двухслойных схем (294). 4. Канонические формы трехслойных схем (295). 5, Понятие, устойчивости (295). 6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах (297),

Глава VI. Теория устойчивости разностных схем 301 § 1. Классы устойчивых двухслойных схем 301

1. Постановка задачи (301). 2. Исходное семейство схем (302). 3. Энергетическое тождество (303). 4. Устойчивость по начальным данным в HA (303). 5. Устойчивость по начальным данным в HB

(305). 6. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным (306). 7. Метод разделения переменных (309). 8. Некоторые вспомогательные неравенства (311). 9. Устойчивость по правой части (312). 10. Устойчивость схемы с весами (314). 11. Априорные оценки в случае переменного оператора A (320)г. 12. Пример (322).

§ 2. Классы устойчивых трехслойных схем 324

1. Постановка задачи (324). 2. Основное энергетическое тождество (326). 3. Устойчивость по начальным данным (327). 4. Устойчивость по правой части (329). 5. Схемы с переменными операторами (333). 6. Схема с весами (335). 7. Примеры (337). 8. Другие априорные оценки (338). 9. О регуляризации разностных схем (345). 10. О работах по устойчивости разностных схем (348).

Задачи к главе VI 351 Глава VII. Экономичные разностные схемы для многомерных задач

математической физики 356

§ 1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) для уравнения теплопроводности

356

1. Об экономичных схемах (356). 2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная схема) (359). 3. Устойчивость (361). 4. Сходимость и точность (364). 5. Схема, для уравнения с переменными коэффициентами (364).

§ 2. Экономичные факторизованные схемы 367 1. Схемы с факторизованным оператором (367). 2. Краевые условия (369). 3. Построение экономичных факторизованных схем (370). 4. Схемы расщепления как факторизованные схемы (374). 5. Трехслойные факторизованные схемы (376). 6. Схема повышенного порядка точности для уравнения параболического типа с эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные (381). 7. Экономичные схемы для систем уравнений параболического и гиперболического типов (387).

§ 3. Метод суммарной аппроксимации 394 1. Составные схемы. Суммарная аппроксимация (394). 2. Методы построения аддитивных схем (397). 3 Аппроксимация «многомерной» задачи Коши системой «одномерных» задач Коши (400). 4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы (407). 5. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в произвольной области (413). 6. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы (417). 7. Устойчивость локально-одномерной схемы (418). 8. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы (423). 9. Локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами (425). 10. Продольно-поперечная схема как аддитивная схема (427). 11. Локально-одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения второго порядка (429). 12. Аддитивные схемы для систем уравнений (438).

Задачи к главе VII 443 Глава VIII. Итерационные методы решения разностных эллиптических

уравнений 449

§ 1. Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле 449 1. Итерационные схемы (449). 2. Схема простой итерации (явная

схема) (454). 3. Неявный метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) (457). 4. Выбор итерационных параметров (461). 5. Итерационная схема для разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности (466). 6. Метод переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле (470).

§ 2. Теория итерационных двухслойных схем общего вида 475 1. Итерационная схема с чебышевским набором параметров (475). 2. Основная теорема для стационарных схем (490). 3. Вычисление нормы оператора перехода двухслойной схемы с весами (491). 4. Неявный метод переменных направлений для случая неперестановочных операторов (492). 5. Факторизованные итерационные схемы (497). 6. Факторизованный оператор B с перестановочными операторами R1 и R2 (501),

§ 3. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений

503

1. Метод переменных направлений в случае несамосопряженных операторов (503). 2. Случай несамосопряженного оператора перехода (505). 3. Оценка ||S|| при увеличении объема информации (506). 4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод минимальных поправок (509). 5. Двухступенчатый метод (513).

§ 4. Трехслойные итерационные схемы 517 1. Постановка задачи (518). 2. Выбор итерационных параметров (519). 3. Явная схема (521). 4. Оценка скорости сходимости явной схемы (522). 5. Априорные оценки для неявной схемы в энергетических пространствах HA и HB (525). 6. Факторизованные схемы (526). 7. Двухступенчатый метод (527).

Дополнение. Некоторые варианты метода прогонки 529 § 1. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно

меняющимися коэффициентами 529

§ 2. Матричная прогонка 532 § 3. Циклическая прогонка 535 Литература 538 Предметный указатель 551

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аппроксимация оператора 278 — разностная 18 — суммарная 397 Интегро-интерполяционный метод

111 Исходное семейство разностных схем

303, 320 Итерационная схема 449 — — двухслойная 452

— — продольно-поперечная 457 — — Ричардсона 479 — — стационарная 490 — — трехслойная 517 — — факторизованная 497, 526 Итерационный метод

двухступенчатый 513, 527 — — двухшаговый 451 — — для квазилинейных уравнений

216 — — одношаговый 451 Каноническая форма двухслойной

разностной схемы 294 — — трехслойной разностной схемы

295 Корректность разностной задачи 41,

275, 296 Коши — Буняковского неравенство

48 — — — обобщенное 66 Краевая задача первая 226, 230, 235 — — с условиями периодичности

163, 212 — — третья 34, 35, 87, 148, 211, 239,

287 Липшица условие 195, 320 Метод баланса 111 — выделения стационарных

неоднородностей 199 — итерационный одношаговый,

двухшаговый 451 —— минимальных поправок 503 — наискорейшего спуска 509 Метод переменных направлений 359 — — — итерационный 457, 492 — приближенной факторизации 370 — прогонки 42 — — матричной 532 — — потоковой 529 — — циклической 535 — простой итерации 454 — разделения переменных 76, 309 — расщепления 374 — расщепляющегося оператора 370 — суммарной аппроксимации 397 — установления 450 — энергетических неравенств 56, 83,

101 Норма негативная 26, 66 — оператора 63 — сеточная 16 Окрестность узла сетки 239 Оператор Лапласа разностный 227,

252 — линейный 63 — обратный 63 — перехода 295 — положительный 64 — постоянный 302 —— разрешающий 298 — сопряженный 65 — треугольный 347 — факторизованный 367 Операторы энергетически

эквивалентные 263 Оценка априорная 42 Параметры итерационные 452, 461, — — «по Жордану» 462 — — циклические 463 Погрешность аппроксимации 19, 277 — — на решении дифференциальной

задачи 29 — — оператора 25 Принцип максимума 60, 239 — суперпозиции 98, 336 Пространство сеточных функций 16 — энергетическое 66 Разностная производная 18, 19 — схема 29, 275 — — аддитивная 395 — — двухслойная 72 — — Дюфорта — Франкела 89, 337 — — консервативная 110, 111 — — локально-одномерная 407, 413 — — монотонная 146, 206 — — наилучшая 119, 131 — — неявная 31, 73 — — однородная 103, 105, 106, 201,

219 — — Писмена — Рекфорда 360 — — повышенного порядка точности

71, 249 — — предиктор-корректор 217 — — Ричардсона 89 — — Саульева 323 — — с весами 71, 220 — — с расщепляющимся оператором

368 — — сквозного счета 218 — — составная 395 — — точная 140 — — трехслойная 37 — — усеченная 144 — — факторизованная 368 — — шеститочечная симметричная

73, 188 — — экономичная 358 — — явная 31, 72, 188 Регуляризатор 345 Регуляризация разностных схем 345 Сетка 14 — квадратная 231 — неравномерная 15, 24 Сетка прямоугольная 231 — равномерная 14 —- связная 234, 239 Скорость сходимости 33, 277 Слой 72 Стефана задача 218 Схема разностная см. Разностная

схема Сходимость итераций 455 — разностной схемы 33, 277 Теорема вложения разностная 53, 257 Точность разностной схемы 277

Узел сетки 14, 230, 232 — — внутренний 15, 230, 232, 233 — — граничный 15, 230, 232 — — нерегулярный 233 — — приграничный 233 Устойчивость абсолютная 79 — абстрактной задачи Коши 293 — безусловная 79 — двухслойной разностной схемы

296, 305, 309 — коэффициентная 149, 289 — по начальным данным 76, 298 — разностной схемы 33, 41, 275 — трехслойной разностной схемы

325 — условная 79 Формула Грина разностная 47, 255 — разностного дифференцирования

45 — суммирования по частям 46 Функционал шаблонный 105, 116 Функция Грина разностная 119, 120 — сеточная 14 Шаблон 18 — нерегулярный 24 — пятиточечный нерегулярный 228 — регулярный 227 Шаг сетки 14