SBM

MA21 – Resolução de Problemas Prof. Carlos Nehab

Exames de Qualificação 2012/2013 + Exercícios Propostos

Geometria Plana Básica

Semelhança, Ceva e Menelaus; Círculo, Ângulos e Tan-gentes; Polígonos Regulares; Pentágono, Razão Áurea e Aplicações; Pitágoras, Leis dos Senos e dos Cossenos; Á-reas.

2012–1–Q4

ABCD é um quadrado, M é o ponto médio do lado BC e N é o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e BN cortam-se em P. a) Mostre que PB/PN = 2/3 b) Calcule a razão PA/PM. c) Se AB = 1, calcule a área do quadrilátero PMCN.

Obs: Para mostrar os itens (b) e (c) você pode usar o resulta-do do item (a) mesmo que não o tenha demonstrado.

2012–2–Q6

No triângulo ABC assinale o ponto P do lado AC e o ponto Q do lado BC de forma que AP = AC/3 e BQ = 2.BC/3. Seja J o ponto de interseção de AQ e BP. a) Mostre que JA/JQ = 3/4. Sugestão: Trace QL pa-

ralelo a BP e use semelhança de triângulos. b) Calcule a razão JB/JP . c) Decida se a área do triângulo BPQ é maior do

que, menor do que ou igual à metade da área do triângulo ABC.

2012–3–Q2 (1p) A figura mostra uma folha de papel retangular ABCD com AB = 25 cm e BC = 21 cm. Foi feita uma dobra no segmento AE de forma que o vértice B coincida com o ponto P do lado CD do re-tângulo. a) Calcule o comprimento do segmento DP. b) Calcule a razão entre as áreas dos triângulos

ADP e PCE, c) Calcule o comprimento do segmento AE. 2013–1–Q1 (1,5p) É dado um retângulo ABCD tal que, em seu interior, estão duas circunferências tangen-tes exteriormente no ponto T, como mostra a figura. Uma delas é tangente aos lados AB e AD e a outra é tangente aos lados CB e CD.

a) Mostre que a soma dos raios dessas circunfe-rências é constante (só depende das medidas do retângulo).

b) Mostre que o ponto T pertence à diagonal AC do retângulo.

2013–2–Q4 Na figura temos um triângulo eqüilátero ABC e um triângulo PQR cujos lados RP, PQ e QR são respectivamente per-pendiculares aos lados AB, BC e AC do triângulo ABC.

a) Mostre que o triângulo PQR é equilátero. Conclua que AP = BQ = CR.

b) Se o triângulo ABC tem área 1, encontra a área do triângulo PQR.

Vai-que-cai 1 Canguru A figura indicada é constituída de um quadrado e dois triângulos eqüiláteros de lados iguais a 1.

Mostre que os pontos D, E e F estão alinhados. Vai-que-cai 2 Os círculos que formam as figuras A, B e C são todos iguais. Os comprimentos dos contornos das figuras, indicados com linhas mais grossas, são a, b e c, res-pectivamente. Qual das alternativas é verdadeira ?

a) a = b = c b) a < b = c c) b < c < a d) a = c < b e) a = b < c

Vai-que-cai 3 (Berkeley Math Circle – 2008) Oito quadrados unitários são agrupados para for-mar as duas peças indicadas, que se “encostam” nos pontos A, B e C.

Determine a distância AB.



Vai-que-cai 4 Canguru 2012 – Cadete – Q29 Um triângulo é dividido por três segmentos de reta, em quatro triângulos e três qua-driláteros, como indicado na figura. A soma dos períme-tros dos três quadriláteros é igual a 25 cm. A soma dos perímetros dos quatro triângulos é igual a 20 cm. O perímetro do triângulo inicial é igual a 19cm. Qual é a soma dos compri-mentos dos três segmentos de reta iniciais? Vai-que-cai 5 Observe a figura abaixo, que representa um quadra-do ABCD, de papel, no qual M e N são pontos são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi divi-dido em 4 partes para formar um jogo. O jogo consiste em montar, com todas as partes, um retângulo, cuja base seja maior do que a altura. O re-tângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o proble-ma proposto no jogo.

Calcule a razão OS/PQ.

Vai-que-cai 6 UERJ 2006 No toldo da barraca de Seu Antônio, decorado com polígonos coloridos, destaca-se um dodecágono cu-jos vértices são obtidos a partir de quadrados cons-truídos em torno de um hexágono regular, confor-me mostra o desenho indicado:

a) Demonstre que o decágono ABCDEFGHIJKL é um

polígono regular.

b) Tomando o quadrado de lado AB como unidade de área, calcule a área desse dodecaedro.

Vai-que-cai 7 USAMTS 2007/08 – a19/e1/q2 Um polígono regular de 18 lados é dissecado em 18 pentágonos, cada um dos quais é congruente com o pentágono ABCDE, conforme mostrado. Todos os lados do pentágono possuem mesmo comprimento.

a) Determine os ângulos A, B, C, D e E. b) Mostre que os pontos X, Y e Z são colineares. Vai-que-cai 8 USAMTS 1998/99 – a10/e2/q5

Na figura ABCD é um quadrilátero convexo, K, L, M e N são os pontos médios de seus lados e PQRS é o quadrilátero formado pelas interseções de AK, BL, CM e DN.

Determine a área do qua-drilátero PQRS se a área do quadrilátero ABCD vale 3000 e as áreas dos qua-driláteros AMQP e CKSR valem 513 e 388, respec-tivamente.

Vai-que-cai 9 UERJ 2004 Num triângulo ABC, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD, re-lativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonal-mente no ponto G. Conhecidos a e b, determine: a) o valor de c em função de a e b. b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG. Vai-que-cai 10 Determine a razão entre as áreas dos triângulos A1B1C1 e ABC, sabendo-se que os pon-tos A1, A2; B1, B2 e C1, C2 divi-dem os segmentos BC, CA e AB em três partes iguais.



Vai-que-cai 11 OBM 2010 – N3 – F1 – Q19 Seja ABC um triângulo e X, Y e Z pontos sobre os

lados BC, CA, AB tais que

2===ZA

BZ

YC

AY

XB

CX.

A razão entre as áreas do triângulo XYZ e do triângulo cujos lados são congruen-tes às medianas de ABC é:

Obs.: as medianas de um tri-ângulo são os segmentos que ligam os vértices do triângulo aos pontos médios dos lados opostos.

A) 2/3 B) 1/2 C) 4/9 D) 1/3 E) 1/4 Vai-que-cai 12 Canguru 2012 – Estudante – Q5 A tira retangular de papel [ABCD] de dimensões 4 cm x 16 cm, representada na figura, é dobrada ao longo da reta MN de modo que os vértices A e C fiquem sobre-postos. Qual é a área do qua-drilátero [ANMD’]? Vai-que-cai 13 Canguru 2013 – Estudante – Q11 Ana tem várias peças idênticas com a forma de um pentágono regular e as cola, face a face, de modo a completar um aro circular, como representado na figura. Quantas peças possui o aro assim construído? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

Discussão (Nehab) Mostre que se for exigido que a figura “interna” ao aro se-ja um polígono convexo (no exercício proposto, será um decágono regular) as únicas “peças” que são polígonos que permitem que se construa o citado aro são o próprio pentágono, o hexágono, o octógono e o dodecágono. En-tretanto, se for permitido que a figura “interna ao aro” se-ja um polígono estrelado, o problema fica muito, mas muito mais interessante. Investigue essa situação.

Vai-que-cai 14 Canguru 2013 – Junior – Q11 Na figura o triângulo RZT resulta do triângulo KZM após uma rotação deste em torno de Z, no sentido dos ponteiros do relógio, Qual a medida da ampli-tude do ângulo RKM?

Vai-que-cai 15 Problemas Húngaros – 1905 – Q3 Seja C1 qualquer ponto sobre o lado AB de um tri-ângulo ABC e trace CC1. Seja A1 a interseção da reta suporte de BC com a reta que passa por A e é pa-ralela a CC1; analogamente, seja B1 a interseção da reta suporte de AC com a reta que passa por B e é paralela a CC1. Mostre que 1/AA1 + 1/BB1 = 1/CC1.

Vai-que-cai 16 Henry Ernest Dudeney

Qual a área de um triângulo cujos lados são √61,

√153 e √388 ? Dica: a figura...

Geometria Espacial

Poliedros Platônicos – Figuras Clássicas; Pirâmides; Cor-pos Redondos

2012–1–Q5

Na figura, ABCDEFGH é um cubo de aresta 1. AE, BF, CG e DH são arestas e a face ABCD está contida em

um plano horizontal Π. Seja T o tetraedro BDEG. Se-ja X um ponto da aresta AE (diferente de A e de E) e

Π’ o plano paralelo a Π que passa por X. A intersec-

ção de Π’ com T é o quadrilátero MNPQ, como mos-trado na figura.

a) Mostre que MNPQ é um retângulo. b) Mostre que o perímetro de MNPQ é igual a

2√2, independentemente do ponto X.



2012–2–Q5

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 6 e AD um segmento perpendicular ao plano desse triân-gulo, de comprimento 8. a) Localize o ponto P do espaço que é equidistan-

te dos quatro pontos A, B, C e D e calcule a dis-tância comum R = PA = PB = PC = PD.

b) Calcule o cosseno do ângulo entre as retas re-versas AC e BD.

2012–3–Q1 (1p) No octaedro regular duas faces opostas são parale-las. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas.

Obs: no seu cálculo, você pode afirmar as propriedades que está utilizando sem precisar demonstrá-las, mas de-ve descrevê-las detalhadamente.

2013–1–Q2 (1p)

O poliedro representado na figura é tal que:

i) há exatamente um plano de simetria; ii) em cada vértice, os planos das faces que se

tocam são perpendiculares dois a dois, sen-do possível decompor o sólido em três pa-ralelepípedos.

iii) as dimensões nunca ultrapassam 19. iv) os comprimentos das arestas são inteiros

maiores do que 1. v) O volume é igual a 1995.

a) Descreva o plano de simetria do sólido. b) Encontra os valores de x, y e z.

2013–2–Q3 Um cone de revolução tem altura x e está circuns-crito a uma esfera de raio 1. Calcule o volume des-se cone em função de x.

Vai-que-cai 17 UERJ 2005 O poliedro indicado, com exatamente 30 faces qua-drangulares numeradas de 1 a 30 é utilizado como um dado, em um jogo. Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. Calcule: a) A probabilidade de se ob-

ter um número primo ou um múltiplo de 5 ao lançar esse dado uma única vez.

b) O número de vértices do poliedro. Vai-que-cai 18 Qual a razão entre os volumes de um cubo e de seu sólido dual? Vai-que-cai 19 IME Considere um tetraedro regular de arestas de com-primento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em função de a, calcule:

a) O volume total da esfera. b) O volume da parte da esfera situada no interior

do tetraedro. Vai-que-cai 20 UERJ 2001 Observe a figura a seguir:

Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado por um plano ABCD, onde B = (2, 0, t) e t varia no intervalo [0, 2]. Determine a menor área do quadrilátero ABCD.



Vai-que-cai 21

a) Calcule a razão entre os volumes do tetraedro e do octaedro inscritos no mesmo cubo, como mostra a figura.

b) Determine a razão entre os volumes de um te-traedro e um octaedro isoperímetros.

Vai-que-cai 22 OBM 2012 – F1 – N3 – Q14 Considere uma pirâmide VABCD de base quadrada. Seja P o centro da base ABCD e X, Y, Z e W pontos sobre as fa-ces laterais tais que PXYWZ é uma pirâmide seme-lhante a VABCD, com as diagonais da base XZ e YW paralelos a BC e CD, respectivamente.

A razão de seme-lhança entre as duas pirâmides é

A) 1:(√2+1) B) 1:3 C) 1:2 D) 1:√2 E) 1:(2√2+3) Vai-que-cai 23 Clássico Os três retângulos áureos da figura são ortogonais dois a dois. a) Mostre que os 12 vértices

determinam um dode-caedro regular.

b) Determine o raio da esfera inscrita, cir-cunscrita e medial em função da aresta do dodecaedro.

c) Determine o ângulo diedro do dodecaedro.

Vai-que-cai 24 USAMTS 2007/08 – a19/e2/q5

As faces ABC e XYZ de um icosaedro regular são pa-ralelas, com os vértices dispostos de tal forma que AX, BY e CZ são concorrentes. Seja S o sólido cujas faces são ABC, AYZ, BXZ, CXY, XBC, YAC, ZAB e XYZ. Se AB = 6, qual o volume de S? Vai-que-cai 25

ABCD é um tetraedro com AB = 6, BC = 8, AC = AD = 10 e BD = CD = 12. P é um plano paralelo à face ABC e divide o tetraedro em duas partes de igual volume e Q é um plano paralelo à face DBC e que divide ABCD em duas partes também de igual volume. A

linha � é a interseção dos planos P e Q. Determine o

comprimento da porção de � interna a ABCD.

Funções Exponencial e Logarítmica

2012–1–Q1 Um corpo está contido num ambiente de tempe-ratura constante. Decorrido o tempo t (em minutos), seja D(t) a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente. Segundo a Lei do Resfriamento de Newton, D(t) é uma função decrescente de t, com a propriedade de que um decréscimo relativo

)(

)()(

tD

htDtD +−

no intervalo [t, t + h] depende apenas da duração h desse intervalo (mas não do momento em que essa observação se iniciou). Isso posto, responda à se-guinte pergunta:

Num certo dia, a temperatura ambiente era de 30º. A água, que fervia a 100º numa panela, cinco minu-tos depois de apagado o fogo, ficou com a tempera-tura de 60º. Qual era a temperatura da água 15 mi-nutos após apagado o fogo?

2012–2–Q2

a) Usando o gráfico com o qual se define geome-tricamente o logaritmo natural ln, mostre que ln(x + 1) < x, para todo x > 0 e, daí, ln x < x.

b) Tomando √x em vez de x nesta última desi-gualdade, prove que para todo x suficiente-mente grande, o quociente (ln x) / x pode se tornar tão pequeno quanto desejemos.

c) Prove ainda que essa conclusão é válida para logaritmos em qualquer base > 1.



2012–3–Q5 Um corpo está impregnado de uma substância radioativa cuja meia vida é um ano. Quanto tem-po levará para que a radioatividade se reduza a 10% do que é? Vai-que-cai 26 O cobre-64 é usado na forma de acetato de cobre II, no tratamento de tumores cerebrais. Se a meia-vida desse radioisótopo é de 12,8 h, a quantidade que restará de uma amostra com 15,0 mg de acetato de cobre II, após 2 dias e 16 horas, estará entre:

A. 0,1 e 0,5 mg. B. 0,5 e 1,0 mg. C. 1,0 e 2,0 mg. D. 2,0 e 3,0 mg. E. 3,0 e 5,0 mg.

Vai-que-cai 27 UERJ 2001 Segundo a lei do resfriamento de Newton, a tempe-ratura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:

T = T0 + ke-ct.

Nesta relação, T é medida na escala Celcius, t é o tempo medido em horas a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são cons-tantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100oC, colocada numa sala de temperatura 20oC. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser 40oC. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após

a xícara ter sido colocada na sala.

b) Considerando �n 2 = 0,7 e �n 3 = 1,1, estabele-

ça o tempo aproximado em que, depois de a xí-cara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

Vai-que-cai 28 UERJ 2010 Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, con-forme as igualdade a seguir:

log9 x = log6 y = log4 (x + y)

Calcule a razão x/y.

Vai-que-cai 29 ITA 2012

Determine os valores de θ ε [0; 2π] tais que

logtg(θ) esen(θ) > 0.

Funções Afim, Quadrática, Modular, etc

2012–1–Q2

a) (5p) Dado um número real a > 0, quanto me-dem os lados de um retângulo de perímetro mínimo cuja área é a?

b) (10p) Justifique, matematicamente, por que não se pode responder o item (a) se trocarmos “mí-nimo” por “máximo”?

2013–1–Q4 (1p) A derivada de um polinômio

p(x) = anxn + an-1x

n-1 + .... a1x + a0 é, por definição, o polinômio

p’(x) = nanxn-1 + (n-1)an-1x

n-2 + .... + 2a2x + a1.

Admita a regra da derivada do produto:

(p.q)’(x) = p’(x).q(x) + p(x).q’(x)

Prove que a ∈ ℜ cumpre p(a) = p’(a) = 0 se e somen-te se p(x) = (x – a)2s(x) para algum polinômio s(x).

2013–2–Q6

Considere a equação |2

3|2|3|||

2

1−=− xxx .

Sejam f: ℜ → ℜ uma função periódica e g: ℜ → ℜ uma função qualquer. a) Quais as raízes dessa equação? Explique deta-

lhadamente como as encontrou. b) Esboce, em um mesmo plano cartesiano, os

gráficos das funções

f(x) = |3|||2

1−xx e g(x) = |

2

3|2 −x

e marque as raízes que você encontrou no item a. Vai-que-cai 30 AIME 1987 Determine a área da região delimitada pelo gráfico de |x – 60| + | y | = |x/4| Vai-que-cai 31 USAMTS 1998/99 – a10/e2/q1 Determine o único par de números reais que satis-fazem à equação (4x2 +6x + 4).(4y2 – 12y +25) = 28.

Vai-que-cai 32

Resolva a equação xx =+++ 111 .

Vai-que-cai 33 UERJ 2005 O retângulo de ouro é usado em Arquitetura desde a Grécia antiga. A razão entre as medidas do maior



e do menor lado desse retângulo é o número de

ouro, representado por φ.

a) Sabendo-se que φ é uma das raízes da equação

x2 = x + 1, calcule o valor de φ. b) Observe as implicações indicadas:

φ2 = φ + 1 ⇒

+=⇒+=

+=⇒+=

23

124234

323

φφφφφφφφφφ

Determine todas as raízes complexas da equação x4 = 3x + 2. Vai-que-cai 34

Prove a igualdade (a+b+c)3–a3–b3–c3 = 3(a+b)(a+c)(b+c)

a partir da análise das raízes do polinômio P(x) = (x+b+c)3 – x3 – b3 – c3. Vai-que-cai 35 Olimpíada da Alemanha

Uma parábola de equação y = ax² + bx + c, a>0 toca

as parábolas p1 and p2, de equações y = −x² + b1x +

c1 e y = −x² + b2x + c2 nos pontos A e B.

Mostre que a tangente comum às parábolas p1 and p2 é paralela à reta AB.

Vai-que-cai 36 PUC 2014 Considere a função polinomial f(x) = x3/3 – x. a) Esboce o gráfico de f(x). b) Determine todos os valores reais de c para que

o gráfico de h(x) = x3/3 – x + c intercepte o eixo Ox em um único ponto.

c) Esboce o gráfico de g(x) = x3/3 - |x|. Vai-que-cai 37 ITA 2002 Com base no gráfico da função polinomial y = f(x) esboçado, responda qual é o resto da divisão de f(x) por (x – ½ )(x – 1).

Combinatória e Probabilidade

Combinatória; Probabilidade Binomial; Probabili-dade Condicional

2012–1–Q3

Uma moeda honesta é lançada sucessivas vezes. a) Se a moeda for lançada 4 vezes, qual é a proba-

bilidade de que o número observado de caras seja ímpar? E se a moeda for lançada 5 vezes?

b) Observando o resultado do item (a), formule uma conjectura sobre a probabilidade de se ob-servar um número ímpar de caras em n lança-mentos da moeda.

c) Demonstre, utilizando indução finita, a conjec-tura do item (b).

2012–2–Q3

Uma moeda, com probabilidade 0,6 de dar cara, é lançada 3 vezes. a) Qual a probabilidade de que sejam observadas

duas caras e uma coroa, em qualquer ordem? b) Dado que foram observadas duas caras, e uma

coroa, qual a probabilidade de que tenha dado coroa no primeiro lançamento?

2012–3–Q3 Em uma caixa há três dados aparentemente idên-ticos. Entretanto, apenas dois deles são normais, enquanto o terceiro tem três faces 1 e três faces 6. Um dado e retirado ao acaso da caixa e lançado du-as vezes.

Se a soma dos resultados obtidos for igual a 7, qual a probabilidade condicional de que o dado sorteado tenha sido um dos dados normais?

2013–1–Q5

a) Maria tem 10 anéis idênticos e quer distribuí-los pelos 10 dedos de suas mãos. De quantas maneiras diferentes ela pode fazer isso? Supo-nha que é possível colocar todos os anéis em qualquer um dos dedos...

b) Suponha, agora, que os 10 anéis sejam todos distintos. De quantas maneiras pode distribuí-los em seus dedos? Aqui, também, suponha que é possível colocar todos os anéis em qual-quer um dos dedos e que a ordem dos anéis nos dedos é relevante.



Vai-que-cai 38 O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de automóveis disponíveis aos consumido-res. Para cinco dessas marcas, A, B, C, D e E, a ma-triz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário permanecer com a mesma marca de carro na com-pra de um novo.

A B C D E

A 0,6 0,1 0,2 0,1 0,0 B 0,3 0,5 0,0 0,1 0,1 C 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1 D 0,3 0,2 0,2 0,3 0,0 E 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2

A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da marca C, após duas compras, é:

a) 0,25 b) 0,24 c) 0,20 d) 0,09 e) 0,00

Vai-que-cai 39

Mostre que, se n é primo, então 11 )1( −− −+ knkC é di-

visível por n.

Vai-que-cai 40 Seja A o conjunto dos inteiros de 1 a 99, inclusive. Determine de quantas maneiras diferentes pode-mos escolher 3 números distintos de A de tal forma que sua soma seja um múltiplo de 3. Vai-que-cai 41 a) Utilizando argumento combinatório, prove que

phmh

pm

phm

phm

phm CCCCCCCCC +

−− =++++ 022110 ....... ,

onde yxC ≡ combinação de x objetos y a y...

Dica: Conte de duas maneiras diferentes o número de subconjuntos com p elementos de um conjunto com m+h elementos.

b) Mostre, como conseqüência, que nn

n

k

kn CC 2

0

2)( =∑=

.

Analisando a igualdade (1 + x)n(1 + x)n = (1 + x)2n forneça outra prova desse somatório.


Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno, os refle-tores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a proba-bilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente é igual a:

(A) 16/27 (B) 49/81 (C) 151/243

(D) 479/729 (E) 24/34 + 25/35

Teoria dos Números

Algebrismos, Números da Forma...; Divisibilidade, Pri-mos Especiais; Aritmética Modular, Fermat, Euler, Wil-son; Teorema dos Restos

2012–1–Q6

Um truque de adivinhação de números. a) Descreva métodos práticos para obter os restos

da divisão por 9, 10 e 11, respectivamente, de um número escrito no sistema decimal.

b) Ache as soluções mínimas de cada uma das se-guintes congruências:

(i) 110y ≡ 1 mod 9 (ii) 99y = 1 mod 10 (iii) 90y = 1 mod 11

c) Um mágico pede a sua audiência para escolher um número natural M de pelo menos dois alga-rismos e menor do que 1000, e de lhe revelar apenas os restos r9, r10 e r11 da divisão de M por 9, 10 e 11, respectivamente (tarefa fácil, pelo item a). Sem nenhuma outra informação, ele consegue descobrir M. Explique como ele con-segue fazer isso.

d) Supondo que a plateia tenha dado as seguintes informações ao mágico: r9 = 7, r10 = 8 e r11 = 9, qual o valor de M que o mágico achou?

2012–2–Q7

a) Mostre que nenhum número natural da forma 4n + 3 pode ser um quadrado ou a soma de dois quadrados de números naturais.

b) Mostre que nenhum número da forma 111...1 (n dígitos iguais a 1, n > 1) é o quadrado ou a soma de dois quadrados de números naturais.



2012–2–Q8 (com enunciado do item a corrigido) Considere o sistema de congruências:

≡

≡

22

11

mod

mod

ncx

ncx

Denotamos, como de costume, o mdc e o mmc de n1 e n2 por (n1, n2) e [n1, n2], respectivamente.

a) Mostre que, se a é solução então a’ é solução

se e somente se a ≡ a’ mod [n1, n2]. b) Mostre que o sistema admite solução, se e so-

mente se, c2 ≡ c1 mod (n1, n2). c) Dadas as progressões aritméticas (an) de pri-

meiro termo 5 e razão 14 e (bn) de primeiro termo 12 e razão 21, mostre que elas possuem

termos comuns (isto é, existem r e s tais que ar

= bs). Mostre que esses termos comuns for-mam uma PA e determine seu primeiro termo e sua razão.

2012–3–Q7

Mostre que para todo n ∈ Ν, é inteiro o número

nnn35

23

5

1

7

1 57 ++ .

2012–3–Q8 (1,5p)

Um número natural m é dito quadrado se existe a∈Ν tal que m = a2.

a) Mostre que o algarismo das unidades (na base 10) de um quadrado só pode ser um dos se-guintes: 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

b) Mostre que todo quadrado é da forma 4n ou 4n+1.

c) Mostre que nenhum número que escrito na ba-se 10 tem a forma m = dd...d (todos os algaris-

mos iguais), com m > 10 e d ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é um quadrado.

2013–1–Q7

Seja n ∈ Ν = {1, 2, 3, ...} e considere os conjuntos A

= { d ∈ Ν | d|n } e B = { n/c | c ∈ A }.

Denotemos por S(n) a soma dos divisores naturais de n e por S*(n) a soma dos seus inversos.

a) Mostre que A = B e com isso conclua que S*(n) = S(n)/n.

b) Mostre que n é um número perfeito se e so-mente se S*(n) = 2.

2013–1–Q8 (1) Mostre que se p é primo, p > 3, então p2 deixa res-to 1 na divisão por 24.

2013–2–Q7 Determine todos os inteiros X que são soluções da congruência

X49 + X14 + X12 – 2X ≡ 0 (mod 7) Vai-que-cai 43 OIM – Ucrânia – 1999 – Eureka 11 Mostre que o número 9.999.999 + 1.999.000 é com-posto. Vai-que-cai 44 Clássicos

− Sejam P = 4n + n2 e Q = n4 + n2 + 1, n > 1, inteiro. Determine para quais valores de n, inteiro posi-tivo, o inteiro P é composto. Idem para Q.

− Determine para quais pares (a; b) de inteiros positivos, R = a4 + 4b4 é um inteiro primo.

− Determine o maior primo p para o qual p3 + p2 + 11p + 2 é primo.

Vai-que-cai 45 Andreeescu

Mostre que para todo n > 1, inteiro, n(n – 1)4 + 1 é um inteiro composto. Vai-que-cai 46 IME

Determine o conjunto solução S = (x, y) x e y ε Z} da equação (x + y)k = xy, sabendo que k é um nú-mero primo.

Vai-que-cai 47 Divisibilidade por 17 Seja N um inteiro, r seu último dígito e M o número formado pelos algarismos anteriores (por exemplo, se N = 3249, então r = 9 e M = 324).

Prove que 17 | N se e somente se 17 | M - 5r.

Vai-que-cai 48 Divisibilidade por 7 Prove o seguinte critério de divisibilidade por 7, para números maiores do que 1000.

Dado um número X maior do que 1000, se-pare-o em dois números: N, formado pelos seus três últimos algarismos e M, formado pelos algarismos anteriores: por exemplo, se X = 32.451, M = 32 e N = 451.



Subtraia estes dois números; afirmamos que o número X é múltiplo de 7 se e somente se esta diferença for múltipla de 7...

Vai-que-cai 49 IME – 1997/1998 Uma soma finita de números inteiros consecutivos ímpares, positivos ou negativos, é igual a 73. De-termine os termos desta soma.

Vai-que-cai 50 Berkeley University − Adaptado Considere a seqüência 1, 14, 27, 40,... Mostre que há uma infinidade de inteiros nesta seqüência for-mados apenas pelo dígito 2.

Este resultado continuaria válido para outras pro-gressões aritméticas? Em quais circunstâncias?

Dica: Tente encontrar pelo menos um número formado apenas pelo algarismo 2 que faça parte da seqüência. Monte a divisão de forma usual, supondo que seu divi-dendo possui um monte de algarismos 2 e vá fazendo a divisão até encontrar um resto 0...

Vai-que-cai 51

Mostre que se p = 2n + 1 é primo (chamado de primo de Fermat), então n é uma potência de 2.

Vai-que-cai 52 Mostre que se ak – 1 é primo, onde a e k são intei-ros, então a = 2 e k é primo. Primos dessa forma são chamados de primos de Mersenne.

Obs: o maior primo conhecido hoje (dez/2013) é um primo de Mersenne com k = 57.885.161, e foi descober-to em 25/jan/2013.

Vai-que-cai 53

Mostre que o produto de n inteiros positivos con-secutivos é divisível por n! (fatorial de n).

Vai-que-cai 54 Brahmagupta (598 - 670). Diga um número que dividido por 6, tem resto 5, por 5, resto 4, por 4, resto 3 e por 3, resto 2...

Vai-que-cai 55 Brahmagupta (598 e 670). Uma velha mulher vai ao mercado e um cavalo pisa-lhe o cesto e parte todos seus ovos. O dono oferece-se para lhe pagar os estragos e pergunta quantos ovos ela tinha comprado. Ela não se lembra do nú-mero exato, mas quando os tirou dois a dois não so-brou nenhum ovo. O mesmo aconteceu quando os

tirou três a três, quatro a quatro, cinco a cinco e seis a seis, mas quando os tirou sete a sete, não aconte-ceu a mesma coisa... Qual é o menor número de ovos que ela tinha no cesto?

Vai-que-cai 56 Prove que se N = 2k-1(2k – 1), onde 2k – 1 é um pri-mo de Mersenne, então N é um número perfeito par. (Obs: vale também a recíproca, mas a de-monstração é bem mais elaborada). Vai-que-cai 57 Delírio de uma noite de verão a) Mostre que qualquer número primo p > 3 é da

forma 6k ± 1. b) Assuma que todo número perfeito par é da for-

ma 2k-1(2k – 1), onde 2k – 1 é um primo de Mer-senne. Mostre que se N é um número perfeito

par então N ≡9 1, ou seja, “N noves fora dá 1”! Vai-que-cai 58 Delírio de uma noite de verão... Assuma que todo número perfeito par é da forma 2k-1(2k – 1), onde 2k – 1 é um primo de Mersenne (e, como conseqüência, k é primo).

Mostre que N, quando expresso na base 2, possui k algarismos iguais a 1 seguidos de k – 1 algarismos iguais a 0. Por exemplo, 6 = (110)2 e 28 = (11100)2. Indução e Recorrência

Somatórios Clássicos; Sequências definidas recor-rentemente; recorrência geométrica; PA; PG, PA de ordem n.

2012–2–Q4

Considere a sequência definida como indicado: a1 = 1 a2 = 1 + 2 a3 = 2 + 3 + 4 a4 = 4 + 5 + 6 + 7 ...

a) O termo a10 é a soma de 10 inteiros consecuti-vos. Qual o menor e o maior desses inteiros?

b) Forneça uma expressão geral para o termo an. 2012–3–Q4 (1p)

A linha poligonal da figura começa na origem e pas-sa por todos os pontos de coordenadas inteiras do plano cartesiano.



a) Seja n um número inteiro não negativo. Mostre

que o comprimento c(n) da linha poligonal da origem até o ponto (n, n) é igual a 4n2.

b) Qual o comprimento da linha poligonal entre os pontos (7, 10) e (11, -20)?

2013–1–Q6

Uma sequência (an) é tal que a1 = 1 e

1

...211 +

++=+

n

aaaa n

n

para todo n ≥ 1. Mostre que os valores de an, para n ≥ 2 são todos iguais.

2013–2–Q1 Considere um triângulo equilátero de lado 3 e seja A1 sua área. Ao ligar os pontos médios de cada la-do, obtemos um segundo triângulo equilátero de área A2 inscrito no primeiro. Para este segundo tri-ângulo equilátero, ligamos os pontos médios de seus lados e obtemos um terceiro triângulo equilá-tero de área A3 inscrito no segundo e assim suces-sivamente, gerando uma sequência de áreas (An), n = 1, 2, 3, . . . Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que a

fórmula An= n4

39 é verdade para todo n ≥ 1.

2013–2–Q2 A sequência (an), n ≥ 0 é definida da seguinte ma-

neira: a0 = 4; a1 = 6 e an+1 = an/an-1, n ≥ 1.

a) Encontre a7. b) Encontre a soma dos primeiros 2013 termos

da sequência. 2013–2–Q8 Encontre o menor natural k, k > 2008, tal que

1 + 2 + ... + k

seja um múltiplo de 13. Justifique sua resposta.

Vai-que-cai 59 UERJ 2005 A figura apresenta 25 retângulos. Observe que 4 desses retângulos contêm números e um a letra n.

n

65

130

75

0

Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada coluna, sejam formadas progres-sões aritméticas de cinco termos. Calcule: a) A soma dos elementos da quarta linha.. b) O número que deve ser escrito no lugar de n.

Vai-que-cai 60 UERJ 2008

Moedas idênticas de 10 centavos de real foram ar-rumadas sobre uma mesa obedecendo à disposição apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando cama-das tangentes.

Considerando que a últi-ma camada é formada de 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumação.

Suponha que tenha sido solicitado, também, na questão, o que se segue:

Determine, em função de n >1:

− a quantidade de moedas da n-ésima camada.

− a quantidade total de moedas utilizadas até a n-ésima camada, inclusive.

− A área do hexágono regular circunscrito à n-ésima camada em função do raio r da moeda.

Vai-que-cai 61 UERJ 2004 O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir de um triângulo eqüilátero, dividindo-se seus lados em três partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo eqüilátero.



Este processo de formação continua indefinidamen-te até a obtenção de um floco de neve de Koch. Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 uni-dade de comprimento, então a área do floco de neve de Koch formado, será em unidades quadradas, equi-valente a:

(a) √3/5 (b) √3/4 (c) 2√3/5 (d) √3/2

Vai-que-cai 62 UERJ 2006 - adaptado

Em uma feira as pilhas de laranjas são arrumadas como sugere a figura, s seguir.

No topo da pilha há sempre 2 laranjas e, na base, um retângulo de laranjas que, nessa ilustração con-tém 7 laranjas por 6 laranjas.

Calcule de duas formas diferentes (e uma delas usando o Triângulo de Pascal), a quantidade de la-ranjas de uma pilha com n camadas de laranjas.

Vai-que-cai 63 USAMTS 1999/00 – a11/e1/q4 Existem 8436 bolas de aço cada uma com raio de 1 cm, arrumadas em uma pilha tetraédrica, com uma bola no topo, 3 na segunda camada, 6 na ter-ceira, 10 na quarta, e assim por diante. Determine a altura da pilha.

Vai-que-cai 64 USAMTS 2007/08 – a19/e4/q3

Seja 1 < µ < 1. Defina a sequência {an}, de números

reais, por a1 = 1 e, para cada inteiro k ≥ 1,

a2k = µak e a2k+1 = (1 – µ)ak.

Determine, em função de µ, o valor de 2 2 11

k kk

a a∞

+=∑ .

Vai-que-cai 65 Uma folha de papel A0 é dividida ao meio, e assim sucessivamente, como mostra a figura, gerando todas as demais folhas da família de papéis co-nhecida como família A.

Admitindo que essa família fosse infinita, com cada folha sendo a metade da folha anterior, deter-mine o comprimento da linha po-ligonal (infinita) que une os centros de todas as fo-lhas da família supondo a disposição da figura indi-cada. Sabe-se que a folha A0 possui 1m2 de área.

Consulte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tamanho_de_papel

Desigualdades

MQ ≥ MA ≥ MG ≥ MH; Trinômio do 2º grau e Desi-gualdades.

2012–2–Q1

a) Prove que, para quaisquer x, y, z, a, b, c ε ℜ,

tem-se (ax+by+cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2). b) Excetuando o caso trivial em que a = b = c = 0,

mostre que vale a igualdade se, e somente se,

existe m ε ℜ tal que x = ma, y = mb e z = mc.

2012–3–Q6 (1,5p)

Qual o menor valor da expressão )81/(/16 xyyx +

quando x e y são nos reais positivos quaisquer?

Vai-que-cai 66 UERJ 2008 Um cilindro circular reto é ins-crito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam coline-ares, conforme re-presentado na ilus-tração. A altura do cone e o diâmetro de sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da al-tura e do raio do cilindro variem no intervalo ] 0; 12[, de modo que ele permaneça inscrito no cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima.



Vai-que-cai 67

Seja MQ a média quadrática e MA a média aritmé-tica de n reais. Analisando o trinômio

y = (x – a1)2 + (x – a2)

2 + ... + (x – an)2, mostre que MQ ≥ MA. Quando ocorre a igualdade?

Funções – Propriedades

Periodicidade; Paridade; Composta e Inversa; Inje-tora, Sobrejetora e Bijetora.

2013–1–Q3 O objetivo desta questão é demonstrar que a função

f(x) = cos√x, x ≥ 0, não é periódica, ou seja, não exis-

te nenhum no real positivo T tal que Tc +cos = xcos ,

para todo x ≥ 0. a) Encontre todos os valores de T ≥ 0 para os

quais f(T) = f(0) e, a seguir, encontre todos os valores de T ≥ 0 para os quais f(T) = f(2T).

b) Use o a) para mostrar que f(x) não é periódica.

2013–2–Q5

Sejam f: ℜ → ℜ uma função periódica e g: ℜ → ℜ uma função qualquer. a) A função composta g o f é necessariamente pe-

riódica? Em caso afirmativo, demonstre. Em ca-so negativo, apresente um contra-exemplo.

b) A função composta f o g é necessariamente pe-riódica? Em caso afirmativo, demonstre. Em ca-so negativo, apresente um contra-exemplo.


Analise se f: ℜ → ℜ, definida por f(x) =

<−

≥+

0,3

0,32

2

xx

xx é

bijetora e, em caso afirmativo, encontre f-1: ℜ → ℜ.


Sejam f e g: ℜ → ℜ tais que f é par e g é impar. Das seguintes afirmativas

I) f.g é impar II) f o g é par III) g o f é impar

é (são) verdadeiras: A) Apenas I B) Apenas II C) Apenas III D) Apenas I e II E) Todas


Seja f: ℜ → ℜ, bijetora e impar. Prove que a função

f-1: ℜ → ℜ também é impar.


Considere as funções f, g, f + g: ℜ → ℜ. Das afirma-ções

I) Se f e g são injetoras, f + g é injetora;

II) Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;

III) Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;

IV) Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é so-brejetora.

é (são) verdadeiras>

(A) Nenhuma (B) apenas I e II (C) apenas I e III (D) apenas III e IV (E) todas.

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