Kuswanto, 2007

Sebaran NORMALSebaran NORMAL

Sebaran peluang kontinyu yang paling penting Sebaran peluang kontinyu yang paling penting dalam bidang statistika adalah sebaran normaldalam bidang statistika adalah sebaran normal. .

Grafiknya disebut kurva normal, yaitu grafik Grafiknya disebut kurva normal, yaitu grafik berbentuk genta seperti yang terlihat di bawah. berbentuk genta seperti yang terlihat di bawah.

Grafik ini digunakan banyak sekali untuk Grafik ini digunakan banyak sekali untuk gugusan data yang terjadi di alam, industri dan gugusan data yang terjadi di alam, industri dan penelitian.penelitian.

Bentuk persamaan kurva normal :Bentuk persamaan kurva normal :

Bentuk persamaan normalBentuk persamaan normal

22

1

2

2)(2/1

x

ef(x) =

untuk - < x < , = 3,14159, e = 2,71828

f(x)

bentuk kurva normal

Ciri kurva normalCiri kurva normal

μ -σ μ μ+σ

• ada 2 parameter, yaitu (mean) dan (sigma=standar deviasi)

• grafiknya disebut kurva normal lihat gambar dibawah

Ciri :- simetris terhadap μ- mempunyai titik belok x = μ + σ

Distribusi normal Distribusi normal dituliskan dengan dituliskan dengan X ~ N (μ, σ)X ~ N (μ, σ)

Fungsi normal juga sudah ditabelkan, Fungsi normal juga sudah ditabelkan, tetapi khusus untuk μ=0 dan σ=1.tetapi khusus untuk μ=0 dan σ=1.

Distribusi normal dengan mean 0 dan Distribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi 1 disebut standar deviasi 1 disebut Distribusi Distribusi Normal BakuNormal Baku dan diberi notasi dan diberi notasi Z~N(0,1)Z~N(0,1) dan dan Z = Z = (x- μ)/σ(x- μ)/σ

Yang tersedia tabel P(Z ≤ zo)Yang tersedia tabel P(Z ≤ zo)

Distribusi normal bakuDistribusi normal baku

-1 0 +1

Mengingat distribusi normal mempunyai sifat simetris dan luas dibawah kurva sama dengan 1, maka P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 0,5

ContohContoh : : aa. Hitung peluang P(Z<1,37) dan P(Z>1,37). Hitung peluang P(Z<1,37) dan P(Z>1,37) Dengan melihat tabel kurva normal Dengan melihat tabel kurva normal

P(Z<1,37) = 0,9147 danP(Z<1,37) = 0,9147 dan P(Z>1,37) = 1 - P(Z<1,37) P(Z>1,37) = 1 - P(Z<1,37)

= 1 - 0,9147 = 0,0853= 1 - 0,9147 = 0,0853

1,37

0.08530,9147

b. b. P(-1,55 ≤ Z ≤ 1,60) = P(Z ≤1,60) - P(Z ≤-1,55)P(-1,55 ≤ Z ≤ 1,60) = P(Z ≤1,60) - P(Z ≤-1,55)

= 0,9452 - 0,0606 = 0,8846= 0,9452 - 0,0606 = 0,8846

-1,55 1,60

0,8846

c. Tentukan harga Zo sedemikian hingga P(Z>Zo) = 0,025 Dengan cara dibalik, maka P(Z ≤ Zo) = 1 - 0,025 = 0,975 Dicari di tabel (ingat soal dibalik) Zo = 1,96

Normal bakuNormal baku Karena Distribusi normal Karena Distribusi normal X ~ N (μ, σ)X ~ N (μ, σ) dengan dengan

transformasi menjadi bakutransformasi menjadi baku Z = Z = x-μx-μ maka Z ~ N (0,1) maka Z ~ N (0,1)

σσ

Soal d. Rata-rata kalori humburger yang dihidangkan untuk makan siang adalah 200 dengan standar deviasi 5. Bila kalori mengikuti distribusi normal, tentukan : P(X>208) dan P(190< x <200)

Jawab:Jawab:P(x>208) = P[(x-200)/5] > (208-200)/5]P(x>208) = P[(x-200)/5] > (208-200)/5]

= P(Z>1,6)= P(Z>1,6) = 1 - P(Z ≤ 1,6) = 1 - 0,9452 = 0,0548= 1 - P(Z ≤ 1,6) = 1 - 0,9452 = 0,0548

P(190< x <200) = P[(190-200)/5 < P(190< x <200) = P[(190-200)/5 <

(x-200)/5 < (200-200)/5](x-200)/5 < (200-200)/5]

= P(-2 < Z < 0)= P(-2 < Z < 0)

= 0,5 - P(Z<-2)= 0,5 - P(Z<-2)

= 0,5 - 0,0228 = 0,4772= 0,5 - 0,0228 = 0,4772

Bila diambil contok acak nBila diambil contok acak n Dari teorema limit pusat, misalkan diambil Dari teorema limit pusat, misalkan diambil

contok acak berukuran n dari suatu populasi contok acak berukuran n dari suatu populasi yang mempunyai mean μ dan standar deviasi σ, yang mempunyai mean μ dan standar deviasi σ, makamaka

x1+ x2 + x3 + …+ xnx1+ x2 + x3 + …+ xnx = ----------------------------------- x = -----------------------------------

nn akan mempunyai distribusi normal dengan mean akan mempunyai distribusi normal dengan mean

μ dan varian σ²/nμ dan varian σ²/n Dalam praktek n Dalam praktek n ∞, dapat didekati untuk n ≥ ∞, dapat didekati untuk n ≥

30.30. Teorema limit pusat ini membuat peranan Teorema limit pusat ini membuat peranan

distribusi normal menjadi penting.distribusi normal menjadi penting.

Dengan pengambilan contoh acak n, maka bentuk Dengan pengambilan contoh acak n, maka bentuk kurva normal dapat dilukiskan sebagai :kurva normal dapat dilukiskan sebagai :

σ biasanya juga tidak diketahuidan bisa diduga s (standar deviasi contoh)

μ-σ/n μ μ+σ/ntitik belok titik belok

Contoh :Contoh : Suatu populasi mempunyai rata-rata = 82 dan standar Suatu populasi mempunyai rata-rata = 82 dan standar

deviasi =12. Diambil contoh acak sebanyak n = 64. deviasi =12. Diambil contoh acak sebanyak n = 64. Tentukan P(80,8 ≤Tentukan P(80,8 ≤x ≤ 83,2) dan P(x ≤ 83,2) dan P(x > 93,2).x > 93,2).

Menurut teorema limit pusat Menurut teorema limit pusat x ~ (82,144/64)x ~ (82,144/64)

dimana μ = 82 dan dimana μ = 82 dan σσxx = σ/√n = σ/√n = 12/8 = 1,5, maka = 12/8 = 1,5, maka

P(80,8 ≤P(80,8 ≤x ≤ 83,2) = P[(80,8-82)/1,5 ≤ (x ≤ 83,2) = P[(80,8-82)/1,5 ≤ (x -82)/1,5 ≤ x -82)/1,5 ≤ (83,2-82)/1,5](83,2-82)/1,5]

= P(-1,2/1,5 ≤ Z ≤ 1,2/1,5) = P(-1,2/1,5 ≤ Z ≤ 1,2/1,5) = P(-0,8 ≤ Z ≤ 0,8)= P(-0,8 ≤ Z ≤ 0,8) = P(Z ≤ 0,8) - P(Z ≤ -0,8) = P(Z ≤ 0,8) - P(Z ≤ -0,8) = 0,7881 - 0,2119 = 0,7881 - 0,2119 = 0,5762= 0,5762

P(P(x > 93,2) = P[(x-82)/1,5 > (93,2-82)/1,5]x > 93,2) = P[(x-82)/1,5 > (93,2-82)/1,5]

= P(Z> 11,2/1,5) = P(Z> 11,2/1,5)

= P(Z > 7,46)= P(Z > 7,46)

= 1 - P(Z ≤ 7,46) = 1 - P(Z ≤ 7,46)

= 1 - 1 = 0= 1 - 1 = 0

The Normal Distribution:

There is an equation which describes the height of the normal curve in relation to its standard dev ()

X 2 323

68.27%

95.44%

99.73%

f

ƒ

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

μ = 0

Normal distribution with σ = 1, with varying means

μ = 1 μ = 2

5

If you get difficulties to keep this term, read statistics books

ƒ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5 4 5

σ = 1

σ = 1.5

σ = 2

Normal distribution with μ = 0, with varying standard deviations

Exercises, normal distributionExercises, normal distribution

1.1. For the standard normal random variable Z, find For the standard normal random variable Z, find P(Z < 0,42), P(Z < 0,42),

P(-1,2 < Z < 2,1), P(-1,2 < Z < 2,1),

P(P(ZZ < 1,64) < 1,64)

2.2. Find z-value in each of the following cases :Find z-value in each of the following cases :P( Z < z ) = 0,1736P( Z < z ) = 0,1736

P(Z > z ) = 0,10P(Z > z ) = 0,10

P(-z < Z < z) = 0,954P(-z < Z < z) = 0,954

P(-0,6 < Z < z ) = 0,50P(-0,6 < Z < z ) = 0,50

3. Scores on certain nationwide college 3. Scores on certain nationwide college entrance examination follow a normal entrance examination follow a normal distribution with a mean of 500 and a distribution with a mean of 500 and a standard deviation of 100. Find the standard deviation of 100. Find the probability that a student will score :probability that a student will score :

Over 650Over 650

Less than 250Less than 250

Between 325 and 675Between 325 and 675

Soal Soal

4. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi 4. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal bohlam yang umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam. baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan mencapai bohlam hasil produksinya akan mencapai umur antara 778 dan 834 jam.umur antara 778 dan 834 jam. Tunjukkan luas Tunjukkan luas daerahnya dalam gambar sebaran normaldaerahnya dalam gambar sebaran normal..

5. 5. Find normal distribution cases in your daily Find normal distribution cases in your daily needed, at least 2 cases. You must be explain needed, at least 2 cases. You must be explain it completely, consist of stetement, sample of it completely, consist of stetement, sample of data and the figure illustration. Write all in data and the figure illustration. Write all in English fluently.English fluently.