seccion dorada

5/14/2018 seccion dorada - slidepdf.com

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Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 1/19

Optimización

Búsqueda en una Dimensión

Dr. E Uresti

ITESM



IntroduccionGS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Introducción

Algunos de los métodos numéricos de búsqueda de óptimos de unafunción en varias variables se basan en métodos de búsqueda de

óptimos en una variable. Por ejemplo, el método de ascenso más

rápido elige un punto dado y determina la dirección de máximo

crecimiento en tal punto. Esta dirección es la del gradiente de la

función en dicho punto. Así, y partiendo del punto y siguiendo esta

dirección, avanza para localizar el óptimo en dicha dirección.

Imaginese avanzando en línea recta y tomando en cuenta sólo la

evaluación de la función para determinar el punto en la línea con la

mayor evaluación. Una vez alcanzado este punto, se determina la

dirección de máximo crecimiento en tal punto y se repite el proceso

de búsqueda. Por su valor práctico, los métodos de búsqueda enuna dimensión son dignos de revisar.



IntroduccionGS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Previo a revisar los métodos, es importante sabersi el óptimo que buscamos existe y que no habrámás de uno. Una función que efectivamente tieneun sólo óptimo recibe un nombre especial:

Definicion

Una función es unimodal si sólo tiene unóptimo (relativo o absoluto). En caso que

tenga varios óptimos se dice multimodal.



IntroduccionGS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Unimodal Multimodal



Introducci´onGS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Método de la Sección Dorada

La estrategia de este método se basa en tres puntos iniciales: dosconsiderados los extremos de un intervalo (x1 y x2) y el tercero (x3)

entre los dos primeros de tal suerte que relación entre la distancia

de este punto interno al extremo x2 (x2 − x3) y la distancia entre los

extremos (x2 − x1) es siempre una constante:

x2 − x3

x2 − x1=

√5− 1

2= τ = 0.618034 . . .

Note que el punto x3 divide al segmento [x1 : x2] en dos partes: laparte [x1 : x3] es más pequeña que la parte [x3 : x2]: el segmento

[x3 : x2] es el 61.80 % de [x1 : x2], mientras que [x1 : x3] tiene una

longitud que es el 38.19 %.

x1 x2x3



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GS

Bracketing

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Ejemplos

Tarea


El método itera generando un siguiente punto x4 en [x3 : x2] (laparte más amplia) de manera que se cumple:

x4 − x1

x2 − x1= τ

Note que las fórmulas convenientes para el cálculo de x3 y x4 son:

x4 = (1− τ ) x1 + τ x2.

yx3 = τ x1 + (1 − τ ) x2.

Y la razón es porque en estas fórmulas no se requiere que x1 < x2.

x1 x2x3 x4



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GS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Observemos las siguientes razones:x4−x1x2−x1

= ((1−τ ) x1+τ x2)−x1x2−x1

= τ x2−τ x1x2−x1

= τ

x2−x3x2−x1

= x2−(τ x1+(1−τ ) x2)x2−x1

= τ x2−τ x1x2−x1

= τ

x3−x1x4−x1

= (τ x1+(1−τ ) x2)−x1(1−τ ) x1+τ x2−x1

= (1−τ )(x2−x1)τ (x2−x1)

= 1−τ

τ = τ

x2−x4x2−x3

= x2−((1−τ ) x1+τ x2)x2−τ x1−(1−τ ) x2

= (1−τ ) (x2−x1)τ (x2−x1)

= 1−τ

τ = τ


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x1 x2x4

I6

x3

I1

I4 I5

I2 I3τ = I3

I1

= I4

I1

= I2

I4

= I5

I3

= 0.6180 . . .

1− τ = I2

I1= I5

I1= I6

I4= I6

I3= 0.3819 . . .



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GS

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Ejemplos

Tarea


Dependiendo de la función a maximizar, el algoritmo escoge tres

puntos de los cuatro disponibles de manera que la situación se

repite en las proporciones de los intervalos. En general, siIi es la

longitud del intervalo en la iteración i se cumple que:

In = τ n−1 I1

Por tanto, conociendo el intervalo inicial (I1) y sabiendo a qué

precisión se desea estimar el punto (In), es fácil estimar el total de

iteraciones requeridas para que este método se aproxime al valorrequerido:

n = 1 +ln(In)− ln(I1)

ln(τ )



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GS

Bracketing

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Ejemplos

Tarea


Ubicación del Intervalo

El método de la sección dorada requiere de la ubicación de los tres

primeros puntos x1, x2 y x3 como se describen anteriormente.

Cuando el método se aplica a la determinación de un máximo de

una función f (x), los puntos deben satisfacer:

f (x1) < f (x3) y f (x3) ≥ f (x2).

Es decir, la función sube y cae . Al procedimiento para encontrar

tales puntos recibe el nombre de Ubicación del Intervalo de Trabajo

(Bracketing ).

x1 x2x3



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GS

Bracketing

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Ejemplos

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La estrategia inicia a partir de un punto x1 y teniendo un incremento

de x inicial s. Se genera un siguiente punto

x3 = x1 + s.

Si f (x1) ≥ f (x3) habrá que buscar hacia atrás cambiandointercambiando los puntos y el signo del incremento. Si

f (x1) < f (x3), el incremento se agranda en la proporción τ por

medio de la fórmula s = s/τ .

x1 x3

f (x1) < f (x3)

x3 = x1 x1 = x3

f (x1) ≥ f (x3)

s = −s



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B y GS

Ejemplos

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Un siguiente punto se genera hacia adelante

x2 = x3 + s.

Si f (x3) ≥ f (x2) los tres puntos buscados están determinados. Si

f (x3) < f (x2), entonces el procedimiento se repite tomandox1 = x3, x2 = x3 y s = s/τ . Observe que el intervalo de bracketing

va creciendo en la proporción 1/τ (≈ 1.618).

x1 x3 x2

sτ s

f (x3) ≥ f (x2)

x1 x3 x2

x1 x3 x2

f (x3) < f (x2)

τ s s s/τ


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Crecimiento del intervalo de Bracketing

x1 x2x3

f (x1) f (x2)f (x3)

f (x1) < f (x3)

f (x3) ≥ f (x2)

(1 + 1

τ ) s

s 1

τ s

Al it B d l S ió D d



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Algoritmo Basado en la Sección Dorada

[1.] Inicie con un punto x1 y un incremento s; tome f 1←

f (x1).

[2.] Tome x3 ← x1 + s y f 3 ← f (x3).

[3.] Si (f 1 > f 3), intercambie (x1, f 1) y (x3, f 3) y tome s ← −s.

[4.] Tome s ← s/τ , x2 ← x3 + s, y f 2 ← f (x2).

[5.] Si (f 3 > f 2), vaya a [7.][6.] Tome (x1, f 1) ← (x3, f 3) y (x3, f 3) ← (x2, f 2) y vaya a [4.]

[7.] Tome x4 ← (1− τ ) x1 + τ x2 y f 4 ← f (x4).

[8.] Si (f 3 ≥ f 4), tome (x2, f 2) ← (x1, f 1) y (x1, f 1) ← (x4, f 4); vaya

a [10.][9.] Tome (x1, f 1) ← (x3, f 3) y (x3, f 3) ← (x4, f 4);

[10.] SiCriterio de paro = OK, termine; caso contrario vaya a [7.]




Casos en la comparación de f 4 vs f 3

x1 x2x4x3

I1

I4 I5

I2 I3

x2

x3

x1

x1 x2x4x3

I1

I4 I5

I2 I3

x2

x1

x3

Ejemplos



Introduccion

GS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Ejemplos

Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función

f (x) = −x2 − 1

partiendo de x1 = −1 y con un primer intervalo de s = 0.5.

Ejemplos



Introduccion

GS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Ejemplos


f (x) = −x2 − 1


Determinacion de la direccion de avance

x1 f (x1) s x3 = x1 + s f (x3) ¿f (x1) < f (x3)?

-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 sí

Ejemplos



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Ejemplos

Tarea


Ejemplos


f (x) = −x2 − 1



x1 f (x1) s x3 = x1 + s f (x3) ¿f (x1) < f (x3)?

-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 sí

Ubicacion

x1 f (x1) s x3 f (x3) s = s/τ x2 = x3 + s f (x2) f2 ≤ f3

-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 no

-0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 1.30916 1.61822 -3.61864 sí

Ejemplos



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Bracketing

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Ejemplos

Tarea


Ejemplos


f (x) = −x2 − 1



x1 f (x1) s x3 = x1 + s f (x3) ¿f (x1) < f (x3)?

-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 sí

Ubicacion

x1 f (x1) s x3 f (x3) s = s/τ x2 = x3 + s f (x2) f2 ≤ f3

-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 no

-0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 1.30916 1.61822 -3.61864 sí

Refinamiento

s x1 f (x1) x3 f (x3) x2 f (x2) x4 = (1 − τ ) x1 + τ x2 f (x4)

2.1182 -.5 -1.25 .30915 -1.0956 1.61822 -3.6186 .80900 -1.65451.3090 .80900 -1.6545 .30915 -1.0956 -.5 -1.25 .00004 -1.

.80896 .30915 -1.0956 .00004 -1. -.5 -1.25 -.19090 -1.0364

.49994 -.19090 -1.0364 .00004 -1. .30915 -1.0956 .11813 -1.0140

.30896 .11813 -1.0140 .00004 -1. -.19090 -1.0364 -.072854 -1.0053

.19094 -.072854 -1.0053 .00004 -1. .11813 -1.0140 .045174 -1.0020

.11800 .045174 -1.0020 .00004 -1. -.072854 -1.0053 -.027768 -1.0008

.072924 -.027768 -1.0008 .00004 -1. .045174 -1.0020 .017311 -1.0003



Introduccion

GS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Encuentre el punto óptimo (máximo) por el método de Mayor

Ascenso combinado con el método de la sección dorada a las

funciones:

f (x,y,z) =

−3 x2

−2 x y

−6 x

−3 y2

−2 y

−z2

Partiendo de P (2, 2, 1) y tomando s = 1 en cada aplicación de la

sección dorada.



Introduccion

GS

Bracketing

B y GS

Ejemplos

Tarea


Encuentre el punto óptimo (máximo) por el método de Mayor

Ascenso combinado con el método de la sección dorada a las

funciones:

f (x,y,z) =

−3 x2

−2 x y

−6 x

−3 y2

−2 y

−z2

Partiendo de P (2, 2, 1) y tomando s = 1 en cada aplicación de la

sección dorada.

Solucion

La dirección de máximo crecimiento es la del gradiente:

∇ f =< −6 x− 2 y − 6,−2 x− 6 y − 2,−2 z >

Así

∇f (P ) =<

−22,

−18,

−2 >; por tanto, la dirección unitaria de

máximo crecimiento es: v =< −0.77208,−0.63169,−0.070188 >.

De donde, la función f (x,y,z) restringida a P + t · v queda:

g(t) = f (x = P 1+tv1, y = P 2+tv2, z = P 3+tv3) = −49.0+28.497 t−3.9657 t2



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Tarea


Apliquemos ahora el método de la sección dorada a

g(t) = −49.0 + 28.497 t− 3.9657 t2

partiendo de t = 0 y con s = 1.

Tarea



Introduccion

GS

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Ejemplos

Tarea


Tarea

1. Use el método de la sección dorada para determinar con una

tolerancia de 0.05 la solución óptima de :

Max x2 + 2 x

Sujeto a−

3≤

x≤

5

2. Use el método de la sección dorada para determinar con una

tolerancia de 0.05 la solución óptima de :

Max x− ex

Sujeto a −1 ≤ x ≤ 3

3. Encuentre el punto máximo por el método de Mayor Ascenso

combinado con el método de la sección dorada a las funciones:a ) f (x, y) = −(x− 3)2 − (y − 1)2 partiendo de P (2, 2) y

tomando s = 1 en cada aplicación de la sección dorada.

b ) f (x, y) = −3 x2 − 2 x y − 6 x− 3 y2 − 2 y − 3 partiendo de

P (2, 2) y tomando s = 1 en cada aplicación de la seccióndorada.

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