Segmentos y Angulos

PROGRAMA PREUNIVERSITARIO VESALIUS Av. Espaa 2335 telef.244843

________________________________________________________ - 1 -

TEMA I

SEGMENTOS Y ANGULOS

1. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO AM = MB = a 2. CONGRUENCIA DE SEGMENTOS

AB = CD = m

3. ADICIN DE SEGMENTOS

BC ABAC

4. OPERACIONES CON LONGITUDES DE SEGMENTOS

Adicin: AC = AB + BC Sustraccin: AB = AC BC LA RECTA no se puede definir; pero se representa siempre por una lnea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos.

Notacin: AB : recta AB

SEGMENTO AB O AB

SUBCONJUNTO DE UNA RECTA L

A Y B PERTENECEN A L P PERTENECE A L Y EST

ENTRE A Y B

LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS A Y B

es un

cuyos puntos

su longitud es

a a

A M B

A B

C D

m

m

A C

A C

B

A C

A

C

B

A C

B

B

AC AB

AC BC

AB + BC

A B


________________________________________________________ - 2 -

La recta no tiene espesor y se le considera como un conjunto infinito de puntos colineales.

1. SITUACIN ENTRE DOS PUNTOS Axioma I: Se dice que el punto B est situado entre los puntos A y C, si y slo si los tres puntos son diferentes en una recta y:

AB + BC = AC

AB + BC = AC

Axioma II: Entre dos puntos cualesquiera no existe un nico punto.

Entre 0 y 1 existe por lo menos 2

1

Entre 0 y 2

1 existe por lo menos

4

1

Entre 0 y 4


8

1

Entre 0 y 8


16

1

Y as infinitamente 2. SEGMENTOS CONSECUTIVOS

Cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo comn

Segmentos consecutivos: AB, BC, CD, DE (4 segmentos).

Segmentos en total: AB, BC, CD, DE, AC, BD, CE, AD, BE, AE (20 segmentos)

2

1nnSegmentosN

)(

Donde: n = n de segmentos consecutivos

3. POLIGONAL: Se da este nombre al conjunto de dos o ms segmentos consecutivos trazados en diferentes direcciones; sin intersecarse dos no consecutivos.

Poligonal Convexa Poligonal no convexo

ABCDE PQRST

Axioma III: La mnima distancia entre dos puntos; es la longitud del segmento que los une.

CBACAB

4. POLIGONALES: ENVUELTA Y

ENVOLTURA Se determinan al trazar dos poligonales cuyos extremos coinciden, hacia un mismo lado y si intersecarse en algn punto.

5. TEOREMA

2

BCMN

6. TEOREMA

A B C

0 81

4

1

2

1 1

A C E B D

B

C

D

E A

Q S

P R T

A B

C

A M N B C

?

A M O B

?


________________________________________________________ - 3 -

2

MAMBMO

7. TEOREMA DE DESCARTES:

Si: CD

AD

BC

AB < >

3

4

2

1

AC

2

AD

1

AB

1

8. TEOREMA DE NEWTON

Si: CD

AD

BC

AB

))(()( ODOBOC2

9. TEOREMA:

Si: CD

AD

BC

AB

2AC)( = (AB)(AD) (BC)(CD)

10. TEOREMA: Si: (AB)(CD) = n(BC)(AD)

AC

1n

AD

1

AB

n

11. TEOREMA SI : (AB)(BD) = (AC)(CD)

CDAB

12. TEOREMA:

1n2n1n2n534231 AAAAAAAAAAAA ...

13. TEOREMA

M Punto medio de AB

N Punto medio de CD

A B C D

1 2 3

4

A B C D

A B C D O

A B C D

A B C D

1A 2A 3A 4A 2nA 1nA nA

A M B D N C

?

ATREVETE!!!


________________________________________________________ - 4 -

ANGULOS

NGULOS COMPLEMENTARIOS Y

SUPLEMENTARIOS ngulo: Es la figura por dos rayos que tienen el mismo origen. Los dos rayos son los lados del ngulo, el origen comn es el vrtice y a la regin de plano limitado por los rayos se le llama abertura. Puntos que pertenecen al ngulo: _______ Notacin:

A O B, AOB, B O A, BOA, (la letra del

vrtice al centro) Medida de un ngulo: Es la cantidad de abertura existente entre sus lados. La medida del ngulo geomtrico se determina normalmente en el Sistema Sexagesimal. ngulo de una vuelta ngulo llano Unidad: Grado sexagesimal 1 vuelta: 360 1 = 60; 1 = 60 Medida convexa y cncava:

Todos los ngulos excepto el llano y el de una vuelta, presentan dos medidas: una convexa y otra cncava. Grafique:

a) A O B = 160 b) M O N = 240

c) X O Y = 370 d) R S T = 20

0 medida del ngulo geomtrico 360 Clasificacin de los ngulos: Segn su medida: 1. Nulo: medida = 0 2. Agudo: 0 < medida < 90 3. Recto: medida = 90 4. Obtuso: 90 < medida < 180 5. Llano: medida = 180 6. Cncavo: 180 < medida < 360 7. Completo o de una vuelta: medida

= 360 Segn su posicin y caractersticas: 1. Consecutivos: tienen el mismo vrtice

y lados comunes. 2. Adyacentes: consecutivos, que sus

medidas suman 180. 3. Complementarios: dos ngulos cuyas

medidas suman 90 4. Suplementarios: dos ngulos cuyas

medidas suman 180. 5. Replementarios o explementarios:

dos ngulos cuyas medidas suman 360.

6. Opuestos por el vrtice: tienen el mismo vrtice y dos lados opuestos.

ngulos Congruentes

O 360

A B

o

O A B 180

O Media convexa

B

A

b

Media cncava

B

A

O

Q

R abertura

Lado

P

Lado

Vrtice


________________________________________________________ - 5 -

Dos ngulos son congruentes si tiene igual medida

A O B M O N

Bisectriz de un ngulo

Es el rayo que divide a un ngulo en dos ngulos de medidas congruentes o iguales.

A O X = X O B = 2

AOB

OX = bisectriz

Teoremas Principales

Teorema I: La medida de un ngulo determinado por

las bisectrices de dos ngulos adyacentes siempre equivale a 90.

OYOX , : bisectriz

90YOX

Teorema II:

De la bisectriz OM del ngulo parcial B O C:

2

COABOAMOA

Teorema III

De la bisectriz ON del ngulo total P O R

2

QOPROQNOQ

A

B O

M N

A

B

O

x

A O C

B

X

Y

A B

M

C O

P Q

N

R O

N o

e ntiendo

El CONOCIMIENTO ES PODER . ARMATE


________________________________________________________ - 6 -

ANGULOS FORMADOS ENTRE RECTAS PARALELAS

ngulos Correspondientes

Un interno y el otro externo, a un mismo lado.

ngulos Alternos Internos Ambos internos uno en cada lado.

ngulos Conjugados Internos Ambos internos y en un mismo lado

180

PROPIEDADES

01.

x

02.

90x

03.

cba

04.

180

05.

SegmentosN180

x

a

b

c

x


________________________________________________________ - 7 -

06. ngulos de lados paralelos

180

Teorema de Sarrus: Si entre dos rectas paralelas se traza una poligonal cncava; se cumple que la suma de los ngulos convexos no obtusos determinados en cada lado de la longitud son siempre iguales.

Si: 21 LL //

tnm

TRANSFERENCIA

01. Sobre una recta se han tomado los

puntos A, B, Oy C consecutivos tal que

O es el punto medio de BC , si: AB x

AC + 2BO = 36. Calcular AO

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

02. Se tiene los puntos colineales:

k21 A...., AA ,, . Si:

I)1k

AA

2

AAAA k1k3221

II) 43k1 AkA4AA

Hallar k A) 23 B) 2 C) 26 D) 30 E) 45

03. Sobre una lnea recta se consideran los

puntos consecutivos A, B, C y D; de modo que: AC = 24m y BD = 30m. Hallar la longitud del segmento que une

los puntos medios de AB y CD .

A) 21m. B) 23m. C) 25m. D) 27m. E) 30m.


puntos M, N, P, Q consecutivos A

punto medio de MP ; B punto medio

de NQ .

Si: MN = 5, PQ = 11. Hallar: AB A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

06. Los puntos colineales A, B, C, D

satisfacen lo siguiente: I) AB . BC = 9

II) AB = 2

AD

Calcular: 22 CDAC

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

06. Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F tal que AC + BD + CE + DF = 91 y

BE = 8

5 AF.

Hallar AF. A) 56 B) 54 C) 52 D) 48 E) 36

07. Los puntos A, B, C y D son coloniales y consecutivos forman una cuaterna

armnica si: DC

d

BC

b

AC

a

Calcular: a + b + d A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

09. En una recta se ubican en forma

consecutiva los puntos A, B, C y D de modo que:

1L

m

n

r

++ m+n+r

2L


________________________________________________________ - 8 -

AB . CD = kBC . AD y AC

1K

AB

K

AD

1 2

Calcular K A) 1,5 B) 1,55 C) 2 D) 2,5 E) 1,66


puntos A, B, C y D en forma consecutiva de modo que formen una

cuaterna armnica; sobre AB , BC y

AD , se ubican sus puntos medios P, Q y R respectivamente.

Calcular: CR

AQ

BQ

AP

A) 1 B) 5

2 C) 2

D)

2

3 E) 3


puntos consecutivos A, B, C y D. Si: m . AB . BD = n . CD . AC Hallar x, en la siguiente expresin:

BC

x

AC

m

BD

n

A) n m B) m n C) m + n D) mn E) 2 mn


puntos consecutivos A, B, F, C tal que B

es el punto medio de AC . Calcular el

valor numrico de la siguiente expresin: (AF FC) / BF. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. Hallar: x Si: L L 21 //

A) 115 B) 120 C) 125 D) 135 E) 127

14. En al figura. Hallar el valor de x.

A) 63 B) 67 C) 73 D) 77 E) N.A.

15. En la figura L L 21 //

Hallar el valor de x

A) 30 B) 36 C) 45 D) 18 E) 15

16. Sean los ngulos consecutivos A O B,

B O C y C O D. Si: A O C + B O D =

140. Hallar la medida del ngulo formado por las bisectrices de los

ngulos A O B y C O D

A) 20 B) 70 C) 90 D) 50 E) 30

17. Sean los ngulos consecutivos A O B y

B O C. A O B B O C = 44. OM , biseca

A O B; ON , biseca B O C; OR ; biseca

M O N. Hallar R O B.

A) 22 B) 44 C) 11 D) 12 E) N.A.

18. Calcular x, si: 21 L//L

x

1L

2L

n n

b b

m m a

a

1L

2L

a a

b b

2x

3x

m m

r r

x

26

1L

2L

x

x x


________________________________________________________ - 9 -

A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) N.A.

APRENDE A RESOLVER RESOLVIENDO 01. Sobre una recta se han tomado los

puntos P, E, N y A consecutivos tal

que N es el punto medio de EA , si:

PE x PA + 2NE = 81. Calcular PN A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9


puntos M, O, N, A consecutivos E

punto medio de MN ; I punto

medio de OA . Si: MO = 7, NA = 5. Hallar: EI

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

03. Se tiene los puntos colineales:

k21 A...., AA ,, . Si:

I)1k

AA

2

AAAA k1k3221

II) 651 6 AkAAA k

Hallar k A) 23 B) 2 C) 26 D) 30 E) 45


puntos consecutivos A, B, C y D; de modo que: AC = 34m y BD = 28m. Hallar la longitud del segmento que

une los puntos medios de AB y CD .

A) 21m. B) 23m. C) 25m. D) 27m. E) 30m.

05. Sobre una recta se toman los puntos

A, B, C, D, E y F; tal que: AC + BD + CE + DF = 39. Calcular AF. Si: BE =

8

5AF

A) 16 B) 30 C) 39 D) 28 E) 24

06. En la figura L L 21 //

Hallar el valor de x

A) 30 B) 36 C) 45 D) 18 E) NA

1L

2L

a a

b b

4x

6x

m m

r r

HOY APRENDI

ALGO NUEVO

.YA NO SERE

TA N BURRITO


________________________________________________________ - 10 -

TEMA 2

TRIANGULOS I

Definicin: ABC CA BC AB Elementos:

CA BC AB ,, : lados

A, B, C : vrtices

, , : s internos

x, y, z : s externos

CLASIFICACIN:

POR SUS LADOS

a b

c

Escaleno Issceles Equiltero

AB BC AC AB = BC AB = BC = AC

A C

B B

A C

C A

B

60

60 60

B

C A

S

z

y

x

TRINGULO

Figura cerrada formada por 3 segmentos que tomados 2 a 2 tienen slo un

extremo comn

VRTICES LADOS NGULOS INTERNOS

NGULOS EXTERNOS

ESCALENO ISSCELES

EQUILTERO

ACUTNGULO RECTNGULO OBTUSNGULO EQUINGULO

es la

se clasifica segn

sus elementos son la medida de sus lados la medida de sus ngulos


________________________________________________________ - 11 -

POR SUS NGULOS PROPIEDADES: 1. NGULOS INTERNOS 2. NGULO EXTERNO

+ + = 180 e = + 3. EXISTENCIA DE UN TRINGULO 4. NGULOS EXTERNOS b c < a < b + c a c < b < a + c x + y + z = 360 b a < c < b + a

LNEAS NOTABLES DEL TRINGULO

ALTURA MEDIANA MEDIATRIZ

Oblicungulo Rectngulo

Acutngulo Obtusngulo

m B = 90 , , : agudos : obtuso

A C

B

e

B

A C

a c

b

y

z

x

A H C

B

A M C

B

m

A N C

B

P

h


________________________________________________________ - 12 -

hBH

BH AC

mBM M: Punto Medio de AC

PN : Mediatriz N: Punto medio de AC

PN AC BISECTRIZ INTERIOR BISECTRIZ EXTERIOR CEVIANA

BF : Bisectriz

PC : Bisectriz F

Segmento que une un vrtice con su lado opuesto

c: Cevacentro

TRANSFERENCIA

01. Del grfico, calcule: c

ba

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

02. En un ABC (m A = 60), se trazan

las bisectrices BD y CE , (D en AC y

E en AB ). Si m AEC = y m BDC

= . Calcular

A) 1 B) 2 C) 3

1

D)2

1 E) N.A.

A F C

B

A

p

C

B

c

LA MAGIA ESTA EN TI

..TODO COMIENZA

CON LA VOLUNTAD DE

QUERER ASER TUS

SUEOS REALIDAD

a

b

c


________________________________________________________ - 13 -

03. Calcular x + y - z en:

A) 180 B) 170 C) 130 D) 110 E) 100

04. Obtener x + y + z en:

A) 90 B) 180 C) 135 D) 50 E) 45

05. En el grfico, calcular

A) 40 B) 49 C) 90 D) 100 E) 110

06. De la figura, calcular: c

ba

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) N.A.

07. Sea un tringulo obtusngulo BAC

obtuso en C, se traza la mediana CM

tal que BC = 2. CM y m ACM = 2m BCM, halle la m BCA. A) 54 B) 108 C) 57 D) 114 E) N.A.

08. En la figura mostrada, si AB = 9 y

AC = 17, hallar AH.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) N.A.

09. Del grfico, calcular CM

A) 24 B) 22 C) 25 D) 27 E) 12

10. En un tringulo MAR, se cumple que

3(m AMR) = 5(m MRA) y MR = 8,

calcule el mnimo valor entero del MA A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

11. En el tringulo UNI, si UN = 6 y

m NUI = 4m UIN. Hallar el mximo valor entero que puede tomar NI. A) 23 B) 24 C) 32 D) 15 E) N.A.

4z

y

x

x

z

y

R

a b

c

C M

4


________________________________________________________ - 14 -

12. En un tringulo ABC se traza la

ceviana BD tal que:

3

DBCm

2

CABm

1

ACBm

si AB = 8 y BD = 5

Hallar la m BAC A) 18,5 B) 17,5 C) 18 D) 17 E) N.A.

13. En un tringulo ABC, por B se trazan

paralelas a las bisectrices interiores de A y C, intersectando a las

prolongaciones de AC en P y Q.

Calcular PQ, si el semiperemtro del

tringulo es 12 2 .

A) 12 B) 12 2 C) 18

D) 18 2 E) 24 2

14. Dos lados de un tringulo escaleno

miden 5 y 7. Cuntos valores impares puede tener la medida del tercer lado? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

15. En un tringulo ABC, se ubica un

punto interior P, tal que la suma (PA + PB + PC) es un nmero entero. Calcular dicha suma. Si: AB = 1,2 m; BC = 1,3m y AC = 1,5m A) 3 B) 6 C) 1,5 D) 2,5 E) N.A.

16. De la figura, calcula x:

A) 110 B) 90 C) 115 D) 120 E) 130

17. De la figura, calcular: c

ba

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) N.A.

APRENDE A RESOLVER RESOLVIENDO

01. Dos lados de un triangulo escaleno

miden 8 y 10 cuantos valores pares puede tomar la medida del tercer lado? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

03. En un tringulo ABC, por B se trazan

paralelas a las bisectrices interiores de A y C, intersectando a las

prolongaciones de AC en P y Q.

Calcular PQ, si el semiperemtro del

tringulo es 3 2 .

A) 12 B) 12 2 C) 18

D) 18 2 E) 24 2

Rpta

04. En la figura mostrada, si AB = 8 y

AC = 15, hallar AH.

Rpta

a b

c

5

x


________________________________________________________ - 15 -

05. En un tringulo ABC, se ubica un

punto interior P, tal que la suma (PA + PB + PC) es un nmero entero. Calcular dicha suma. Si: AB = 2,2 m; BC = 1,3m y AC = 2,5m Rpta

TEMA 3

TRIANGULOS II : PUNTOS NOTBLES Y CONGRUENCIA

PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRINGULO

BARICENTRO En la figura G: baricentro de la regin tringular, ABC Propiedad del baricentro.

)(GN2AG )(GL2BG

)(GM2CG

ORTOCENTRO En la figura ABC, acutngulo

H: ortocentro del ABC

Las mujeres son como la geometra un toquecito por aqu otro toquecito por aya ..y quedan

resueltas al toque..

B

C A

M N

L

G

c a

a

b b

c

B

A C

H


________________________________________________________ - 16 -

En la figura

ABC rectngulo, recto en B B. ortocentro del ABC

En la figura

ABC, obtusngulo obtuso en B H: ortocentro del ABC

INCENTRO Circunferencia inscrita

en el ABC En la figura

I: incentro del ABC R: inradio del ABC P, L y T: `puntos de tangencia Propiedades: Del grfico anterior, se cumplen:

2

ABCm90 AIC m

ap

p: semiperimetro de la regin tringular

ABC. EXCENTRO Es el punto concurrencia de las bisectrices de dos ngulos exteriores y la bisectriz de un ngulo interior en un tringulo.

Circunferencia Exinscrita al ABC relativo a BC En la figura:

BC a relativo ABCdel centroexEA

Ra: exradio del ABC, relativo a BC

M, L y T: puntos de tangencia. Propiedades: Del grfico anterior, se cumplen:

2

ABCmC AE m A

2

BACm90CBE m A

p

p: semipermetro de la regin tringular ABC

B

A

C

H

C

A

B

A

a

B

C

T P r r

T

L

A C T

M

L

B aR

aR

aRAE


________________________________________________________ - 17 -

TRINGULOS ESPECIALES

RECTA DE EULER: En todo tringulo no equiltero; el ortocentro, baricentro y circuncentro; son colineales y a la recta que los contiene es denominada recta de Euler Propiedades:

ABC del Euler de recta L :

Propiedades: En todo tringulo, se cumple que la distancia de un vrtice al ortocentro es el doblede la distancia del circuncentro al lado opuesto a dicho vrtice. En la figura, se cumple:

)(GO2HG

NOTA:

En ABC ABC (issceles)

BM : mediana relativa BH : mediana

relativa a la hipotenusa a la base AC

L : recta de Euler L : recta de Euler ABC (issceles) BH: altura relativa a la base AC

TRASFERENCIA

01. Si AB = CD y AC = BE, calcular

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

02. En un tringulo rectngulo de

hipotenusa igual a 24, calcular la distancia del ortocentro al baricentro. A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) N.A.

03. Se tiene un tringulo rectngulo,

donde la distancia del baricentro al circuncentro es 4. Calcular la longitud de la hipotenusa. A) 24 B) 12 C) 6 D) 3 E) N.A.

04. Hallar la distancia del circuncentro al

baricentro en un tringulo si sus lados miden 5; 12 y 13

A) 6

13 B) 13 C)

7

13

D) 5

13 E) 6

05. Calcular , si AB = DE y AE = CD

A) 50 B) 55 C) 60 D) 69 E) 70

06. Si AD = CD. Calcular x

A

B C

m

m

M

L

L

a a

A C H

B

B

A C

E

D

35 45

50

C

D E A

B

70 70

B C

D A

x

70

SIGUE PRATICANDO


________________________________________________________ - 18 -

A) 20 B) 50 C) 70 D) 80 E) 100

07. En la figura H es ortocentro, I es incentro.

Hallar

A) 18 B) 30 C) 15 D) 20 E) 2230

08. ABC: E Excentro: Hallar x

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

09. Hallar el valor de x, en la figura.

A) 30 B) 24 C) 32 D) 26 E) N.A.

10. En la figura, m C = 30, as mismo I

es el incentro del ABC. Con estos datos se pide calcular x.

A) 30 B) 45 C) 60 D) 65 E) 70

11. De la figura si AB = BE. AD = EC y

BD = BC

Calcular

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

12. En un tringulo ABC donde el ngulo B

mide 100. Las mediatrices de AB y

BC intersecan a AC en P y Q

respectivamente. Calcular la m PBQ. A) 15 B) 17 C) 18 D) 20 E) 21

13. Del grfico. Hallar el valor de x si

AB = DC

C A

B

I

H

B

E

C A

x 25

40

26

52 a

a +12

B

C A x

R

(52 a)

B

A C

I

x

B

A C E

D

3

4

B

A C D

x 3x

2x


________________________________________________________ - 19 -

A) 20 B) 22,5 C) 30 D) 18,5 E) N.A.

APRENDE A RESOLVER RESOLVIENDO 01. En un tringulo rectngulo de

hipotenusa igual a 36, calcular la distancia del ortocentro al baricentro. RPTA

02. Se tiene un tringulo rectngulo,

donde la distancia del baricentro al circuncentro es 5. Calcular la longitud de la hipotenusa. RPTA

03. En un tringulo ABC donde el ngulo B

mide 110. Las mediatrices de AB y

BC intersecan a AC en P y Q

respectivamente. Calcular la m PBQ. RPTA

04. NIC: E Excentro: Hallar x

RPTA..

05. En la figura, m C = 30, as mismo I es el incentro del ABC. Con estos datos se pide calcular x.

A) 30 B) 45 C) 60 D) 65 E) 70

06. Calcular , si AB = DE y AE = CD

RPTA 07. Si AD = CD. Calcular x

RPTA

08. Si AB = CD y AC = BE, calcular RPTA

I

E

C N

x 30

35

B

A C

I

x

C

D E A

B

60 60

B C

D A

x

40

B

A C

E

D

25 75

40

El ROCK no es un arete colgando, el pelo mas largo un sonido estridente el rock es una actitud que involucra la LIBERTAD y la constante bsqueda de la identidad al igual que la bsqueda del CONOCIMIENTO


________________________________________________________ - 20 -

POLIGONOS DEFINICIN: Se denomina polgono a la reunin de tres o ms segmentos de recta que tienen sus extremos comunes dos a dos, dichos extremos son los vrtices del polgono y los segmentos son los lados.

Observacin a) En todo polgono, el nmero de lados

es igual al nmero de vrtices e igual al nmero de ngulos.

b) El polgono divide al plano en 3 subconjuntos de puntos:

- Puntos interiores al polgono - Puntos exteriores al polgono y - Puntos que pertenecen al polgono NGULO INTERIOR Y EXTERIOR DEL

POLGONO

ngulo exterior: QAB ngulo interior: BAF Medidas: m QAB = , m BAF = Si el polgono tiene n lados se cumple:

n180mm ei n Z+ y n 3

DIAGONAL DEL POLGONO

Es el segmento de recta que une dos vrtices no consecutivos

* EC: Diagonal

DIAGONAL MEDIA Es el segmento de recta que une los puntos medios de 2 lados cualesquiera.

MN: Diagonal media

Observacin

Si un polgono es equingulo no necesariamente tiene sus lados congruentes es decir no es equiltero; recprocamente si un polgono es equiltero no significa que sus ngulos sean congruentes.

PROPIEDADES Y FORMULAS

1. En todo polgono, convexo y no convexo, la suma de las medidas de los ngulos interiores es:

A

B C

D

E F

Q

A N E

D

C

M

B

1

n

2 3

4

5

6

7

7

6

5

4 3

2

1

n


________________________________________________________ - 21 -

n321im ....

)( 2n180m i

n321eim ....

360m e

Consecuencia:

En un polgono equingulo de n lados. Cuando el polgono es equingulo se cumple:

n321 ....

n321 ....

n

2n180 )(

n

360

2. Todo polgono regular puede ser

inscrito y circunscrito a dos circunferencias que tienen el mismo centro.

ngulo central: BOC; m BOC = c

Si el polgono tiene n lados:

n

360

n

360c

n

2n180 )(

3. En todo polgono n lados, desde

cada vrtice, se pueden trazar (n 3) diagonales.

El nmero total de diagonales, es:

2

3nnd

)(#

Consecuencia: El nmero total de diagonales de un polgono no convexo de n lados, se calcula con la misma frmula que para polgonos convexos. Es decir:

2

3nnd

)(#

PROPIEDADES ESPECIALES

1. Para calcular el nmero de diagonales

que se pueden trazar de los v primeros vrtices consecutivos, se utiliza la siguiente expresin:

2

2v1vnvd yn

))((# );(

2. En un polgono de n lados el nmero

de diagonales medias es:

TRANSFERENCIA 01. El nmero de ngulos rectos a que

equivale la suma de los ngulos internos de un polgono convexo es 20. Hallar el nmero de sus lados. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

02. Si en un polgono regular a la medida

de su ngulo interior se le disminuye

A O

B C e

c


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en 9, el nmero de lados se reduce en 2. Cuntas diagonales quedan? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

03. Si a un polgono regular se le aumenta

un lado, la medida de su ngulo interior aumenta en 12. Cul es el polgono? A) Hexgono B) Pentgono C) Nongono D) Decgono E) Dodecgono

04. En un polgono regular, al disminuir en

3 la medida de un ngulo exterior el nmero de lados aumenta en 20. Hallar el nmero de lados de dicho polgono regular. A) 20 lados B) 30 lados C) 36 lados D) 40 lados E) 42 lados

05. Cuntos lados tiene un polgono cuya

suma de las medidas de sus ngulos internos y externos es 7 200? A) 36 lados B) 40 lados C) 45 lados D) 24 lados E) 50 lados

06. En un polgono regular desde 4

vrtices consecutivos se trazan 105 diagonales. Hallar la medida del ngulo central de dicho polgono. A) 10 B) 8 C) 15 D) 12 E) 18

07. En un polgono convexo desde (n 6)

vrtices consecutivos se trazan 25 diagonales. Hallar la suma de las medidas de los ngulos internos de dicho polgono. A) 1 800 B) 1 440 C) 1 080 D) 720 E) 540

08. Un polgono regular tiene 2 lados ms

que otro, pero su ngulo central mide 30 menos que la medida del otro, luego el polgono es: A) Pentgono B) Heptgono C) Exgono D) Octgono E) Tringulo

09. Al triplicar el nmero de lados de un

polgono regular la medida del ngulo

central es (n 2), siendo n el nmero de lados del polgono.

Hallar la medida del ngulo interno de dicho polgono. A) 144 B) 120 C) 135 D) 150 E) 162

10. Se tiene un polgono regular de n

lados ABCDE y otro polgono regular de (n 2) lados ABPQR.. interior al primero.

Si m CBP = 6. Calcular n. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) N.A.

11. Desde los puntos medios de cuatro

lados consecutivos de un polgono equingulo se han trazado 50 diagonales medias. Calcular la medida de un ngulo exterior. A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) N.A.

12. En qu polgono equingulo se

cumple que la suma de las medidas de tres ngulos internos es k veces la medida de su ngulo externo siendo k mnimo. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A.

13. Si el nmero de lados de un polgono

regular aumenta en 10, la medida de cada ngulo interno del nuevo polgono es 3 mayor que la medida de cada ngulo interno del polgono original. Hallar el nmero de diagonales del polgono. A) 405 B) 410 C) 305 D) 260 E) 180

14. Se tiene un polgono regular cuyo

semiperimetro es p y en el cual el nmero que expresa su permetro es el mismo que el que expresa su nmero de diagonales. Adems su ngulo interior es p veces su ngulo exterior. Cunto mide el lado del polgono regular?

A) 3

1 B)

5

1 C)

4

1


________________________________________________________ - 23 -

D) 1 E) 2

1

15. A medida que el nmero de lados de

un polgono aumenta de 3 a K, la suma de las medidas de los ngulos exteriores formados al prolongar cada lado sucesivamente: A) Aumenta B) Disminuye C) Permanece constante D) No se puede predecir E) Es (K 3) ngulos rectos

16. La diferencia entre el nmero de

diagonales y el nmero de ngulos llanos a que equivale la suma de las medidas de los ngulos interiores de un polgono es 119. Hallar en cuantos tringulos puede descomponerse este polgono, al trazar las diagonales desde un solo vrtice. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

17. Determinar: a + b + c + d

A) 90 B) 120 C) 150 D) 180 E) 135

18. Cul es el polgono en e l que se

pueden trazar 17 diagonales desde 4 vrtices consecutivos? A) Pentgono B) Octgono C) Hexgono D) Nongono E) Undecgono

19. Para dos polgonos equingulos, la

suma de sus ngulos externos es 66 y la diferencia de sus ngulos interiores es 6. Encuentre sus nmeros de lados

A) 10 y 12 B) 8 y 10 C) 5 y 7 D) 13 y 15 E) 6 y 9

20. En un pentgono convexo ABCDE

B = 170; C = 160 ; D = 150. Encuentre el mayor ngulo formado por las prolongaciones de AB y ED . A) 120 B) 150 C) 160 D) 170 E) 140

APRENDE A RESOLVER RESOLVIENDO 01. En un pentgono convexo ABCDE

B = 110; C = 160 ; D = 120. Encuentre el mayor ngulo formado por las prolongaciones de AB y ED .

RPTA. 02. Para dos polgonos equingulos, la

suma de sus ngulos externos es 117 y la diferencia de sus ngulos interiores es 27. Encuentre sus nmeros de lados RPTA.

03. Se tiene un polgono regular cuyo

semiperimetro es 8 y en el cual el nmero que expresa su permetro es el mismo que el que expresa su nmero de diagonales. Adems su ngulo interior es 8 veces su ngulo exterior. Cunto mide el lado del polgono regular? RPTA.

04. En qu polgono equingulo se

cumple que la suma de las medidas de cinco ngulos internos es m veces la medida de su ngulo externo siendo m mnimo. RPTA.

05. El nmero de ngulos rectos a que

equivale la suma de los ngulos internos de un polgono convexo es 22. Hallar el nmero de sus lados. RPTA.

06. Hallar el nmero de lados de un

polgono regular tal que si tuviera 6

a

b c

d


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lados menos, la medida de su ngulo externo aumentara en 80? RPTA.

07. Cuntos lados tiene un polgono cuya suma de las medidas de sus ngulos internos y externos es 1 080? RPTA.

08. Se tiene un polgono regular

ABCD.de n lados y otro polgono regular ABPQ de (n 1) lados,

interior al primero. Siendo: m CBP = 4. Calcular n. RPTA.

09. Hallar el nmero de lados de un

polgono regular tal que si tuviera 6 lados menos, la medida de su ngulo externo aumentara en 80? RPTA.

...HASTA LA VICTORIA SIEMPRE ..

.CREZCAN COMO BUENOS

REVOLUCIONARIOSSOBRE TODO ESTUDIEN MUCHO PARA PODER DOMINAR LA TECNICA QUE PERMITE DOMINAR LA NATURALEZA. (EXTRACTO DE LA ULTIMA CARTA

DEL CHE ASUS HIJOS )


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Segmentos y Angulos