SEGUNDA ETAPA:CASO 1: VIBRACIONES EN UN EDIFICIO DE UNA SOLA PLANTA.A modo de introduccin, comenzamos modelando las vibraciones en un edificio de una sola planta. En cualquier caso, cuando se inicia la catstrofe, el edificio experimenta excesiva deflexin lateral, causando dao permanente a la estructura. Es muy difcil modelar los detalles del movimiento de un edificio. Sin embargo, el modelo de edificios como estructuras idealizadas consta de pisos relativamente pesados, extensos y paredes elsticas. Teniendo en cuenta cada planta de un edificio como una masa puntual situada en el centro de masa del piso (figura 1), la analoga con el sistema masa/ resorte/ amortiguador del sistema (figura 2) es clara.

Las paredes proporcionan fuerzas elsticas que actan en direccin opuesta a la direccin del movimiento cuando cada planta se desplaza de su posicin de equilibrio. La rigidez total del edificio depende de las rigideces de las partes de la estructura. La primera tarea es derivar la ecuacin de movimiento para un edificio de una sola planta. A continuacin examinamos diversas vibraciones libres y amortiguadas del edificio. Continuando, vemos los efectos de una fuerza sinusoidal considerando tanto la ausencia y presencia de amortiguacin. Con una comprensin del comportamiento bsico en un edificio de una sola planta, se procede luego en edificios de varios pisos. Ambas vibraciones forzadas y no forzadas son consideradas. Por ltimo, uno de los pisos del edificio se modela por el comportamiento real del edificio a ser observado.a) Ignorando los efectos de amortiguacin (omitir los amortiguadores en las figuras 1 y 2), muestre que los argumentos estndares nos conducen al problema con valor inicial (PVI) para el desplazamiento del centro de masa del techo: + = 0, (0) = , (0) = (1) Las constantes y representan la masa total del techo y la rigidez general de las paredes, respectivamente.Solucin: Para encontrar la solucin de esta ecuacin diferencial haremos uso de la transformada de Laplace.Dividiendo entre m a toda la ecuacin.

Aplicando Laplace a toda la EDO

Aplicando la propiedad de la transformada para una de derivada:

Agrupando trminos:

Para calcular la solucin se aplica la transformada de Laplace inversa:

Recordar que las transformadas inversas de la Laplace para seno y coseno son:

Calculo de la transformada inversa de Laplace

Sabemos que ; entonces se tiene que:

Comprobamos los PVI:

La derivada de

Importante: esta ecuacin se puede calcular mediante el polinomio caracterstico

Los resultados son idnticos b) Puede decir usted cmo el edificio reacciona a diversas condiciones iniciales?

Se puede afirmar que si las condiciones iniciales son de grandes dimensiones los daos causados en una estructura mecnica ser mayor que si las condiciones fuesen de menor tamao en este caso el desplazamiento aumenta de acuerdo a las condiciones iniciales.c) Puede suponer si el desplazamiento inicial y la velocidad inicial son diferentes de cero?Si y son diferentes de cero se supone que la estructura est en un estado de vibraciones.Veamos: si la ecuacin mantiene sus condiciones diferentes de cero entonces se supone que la estructura tendr vibracin lo que causa que tenga un desplazamiento, una velocidad y una aceleracin, caso contrario la estructura no estara actuando ninguna vibracin..Si = entonces se tiene que d) Desde que tiene unidades de tiempo, haga ; en el PVI de (1) y reduzca al PVI no dimensional + = 0 ; (0) = 1 ; (0) = =.De la ecuacin se tiene

Sumando las con se obtiene:

e) Multiplique la EDO dada en (2) por y, y obtenga donde Tenemos la ecuacin no dicen multiplicar por y demostrar que se obtiene la ecuacin de .

Mediante integracin simple se obtiene

Se sabe que y

Interpretacin de resultados analticamente:(la derivada de la energa es cero), y graficarla a travs de un diagrama de fase (crculo centrado en el origen), que permite concluir que la energa se conserva en el sistema. Note que para este sistema particular, la energa es proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen hasta la trayectoria. Es fcil ver el cambio de la energa cintica y potencial en el plano de fase. Cuando = 0, toda la energa se almacena elsticamente por el resorte, y cuando es cero, toda la energa es cintica.Explicacin al resultado: la grfica obtenida del software Matlab muestra todos los puntos donde se conserva la energa es decir puede existir un intercambio de energas.

CASO 2: VIBRACIONES FORZADAS En el caso anterior, la dinmica del sistema depende de ciertas constantes intrnsecas a l. Supongamos ahora que se aplican una fuerza externa llamada excitacin sobre el sistema masa-resorte-amortiguador.

En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa est dada por = + + = + dondeDonde > 0 es la constante de proporcionalidad. De acuerdo con la segunda ley de Newton y ordenando los trminos, se obtiene o Bien la forma () + () + () = (3) La fuerza externa de excitacin desempea un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues a veces provoca una reduccin de la velocidad y en otras provoca un aumento. Cuando la fuerza de excitacin sea distinta de cero, diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador est forzado.a) Considere = 0 cos(). Explique la relacin que debe existir entre las soluciones de la EDO homognea y , para determinarla solucin de la EDO dada por (3).La relacin que debe haber es que las soluciones es la siguiente: Donde donde

La solucin particular es un polinomio similar a

Este mtodo relacionara la frecuencia angular del sistema con la ecuacin diferencial homognea. b) Un sistema masa-resorte-amortiguador, con masa igual a 5 kg, constante igual a 5 N.s/m y = 1,03N. Si se aplica una fuerza de excitacin = 150 cos(2). b1) Resuelva la EDO que se obtiene al sustituir en (3) los valores dados.

Para la solucin particular y el calculo de las constantes se tiene:

Necesitamos calcular para asemejar a la ecuacin diferencial original.

Ahora sumando 1, 2 y 3 se tiene:

Agrupando trminos:

Igualando las ecuaciones:

De donde se obtiene que:

Despejando las ecuaciones para encontrar los valores de a y b:

Reemplazando el valor de ** en *

Por lo tanto la solucin de la ecuacin particular es

Reemplazando datos

La solucin de la ecuacin es

b2) Determine la posicin y velocidad de la masa en todo tiempo, suponiendo que x(0) = 0 metros y (0) = 0 m/s.

Derivando la ecuacin

Las ecuaciones son

Donde los valores y la solucin de la ecuacin es:

b3) Qu tipo de movimiento provoca la fuerza de excitacin a medida que trascurre el tiempo?La fuerza de excitacin produce una un movimiento oscilatorio forzado amortiguado por tanto la parte exponencial de la funcin puede ser despreciado cuando el tiempo es muy grande es decir la solucin yh=0 entonces la funcin solo depender de la solucin particular ypMovimiento oscilatorio amortiguado a medida que el tiempo crece:Obtenindose segn datos del problema el siguiente modelo matemtico.

Grfica de movimiento oscilatorio forzado: