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Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Nuevo currículo
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sea la función xey 22 −= . a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. (1,5 puntos ) b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1. ( 1,5 puntos )
PR-2.- Sea la recta . ⎩⎨⎧
=+−=++
≡032
01zxyx
r
a) Escríbase la recta en forma paramétrica. ( 0,5 puntos ) b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta
perpendicularmente al eje OZ. ( 2,5 puntos )
CUESTIONES
C-1.- De todas las primitivas de la función 2( ) 2 tg(x)sec ( )f x = x , hállese la que pasa por el punto
P( , 1).4π (1 punto)
C-2.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones y xexf =)(x
xg 1)( = se cortan en un punto
x > 0. (1 punto) C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 , C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 , C3 + C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz. (1 punto)
C-4.- Determínese si el plano 0432 =−+≡ yxπ corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1) . (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2004. Pág. 1 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema . ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
11
zyxzyx
zyx
λλ
λ
a) Discútase según los valores del parámetro λ . (1,5 puntos) b) Resuélvase para 3−=λ . (0,75 puntos) c) Resuélvase para 1.λ = (0,75 puntos)
PR-2.- Sea . Determínense a, b y c de modo que tenga un extremo cbxaxxxf +++= 23)( )(xf relativo en 0=x , la recta tangente a la gráfica de en )(xf 1=x sea paralela a la recta , y el área comprendida por la gráfica de , el eje y las rectas 04 =− xy )(xf OX 0=x , , sea igual a 1. ( 3 puntos ) 1=x
CUESTIONES
C-1.- Calcúlese 0
1 1limsen x x x→
⎛ −⎜⎝ ⎠
⎞⎟ . ( 1 punto)
C-2.- Calcúlese 2( 1)x dx
x−
∫ . (1 punto)
C-3.- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta zyxr ==≡ y es perpendicular al plano 01 =−−+≡ zyxπ . (1 punto)
C-4.- Dada la matriz 2 11B1 23
−⎛= ⎜−⎝ ⎠
⎞⎟ hállese una matriz X que verifique la ecuación . -1XB+B=B
(1 punto) MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2004. Pág. 2 de 2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sea la función xey 22 −= . a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1.
( )( )
( )
( )
( )
( )
−∞→⇒=∞
−=⋅∞
−=−=−
==
∞→⇒=∞
=⋅∞
===
=⇒−∞→⇒=∞
=====
=⇒∞→⇒=∞
====
ℜ∈∀
⎩⎨⎧
−=−=
=
⇒==⎩⎨⎧
≥−=
=⇒=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥ℜ∈∀⇒⎩⎨⎧
ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−
⇒−
<ℜ∈∀⇒⎩⎨⎧
ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>
⇒>⇒>⇒
⇒⎩⎨⎧
≥−<
=⇒⎩⎨⎧
≥<=
=⇒>
∞∞→
−
∞→−∞→
∞∞→
−
∞→
∞∞→
−
∞→−∞→
∞∞→
−
∞→
−
⋅−−
−−
−−
−⋅−
xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex
exem
xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex
em
oblicuaAsíntota
yxcuandohorizontalAsíntotasee
eey
yxcuandohorizontalAsíntotasee
ey
eshorizontalAsíntotas
verticalesasíntotastoloporexistennoxcontinuaEs
eslonoto
loporderechalaae
izquierdalaaefderivableesnopuntoeseenperontoDecrecimieapasa
oCrecimientDeeexsie
izquierdalaaefxenrelativoMáximoserPodia
xxntoDecrecimiexex
e
xxoCrecimientxe
xe
xfoCrecimient
xsiexsie
xfxsie
xsieexfx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xx
x
x
x
xx
0222lim2lim2lim
0222lim2lim
00222lim2lim2lim
00222lim2lim
,tan,
tan
,44
440',
2.2204
4400
0/004
4
0/0
0404
0'
0404
'02
0220
2
22
2
2
222
22
0
0
0022
0
22
22
2
2
2
22
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 1 de la opción A
[ ] [ ] ( ) ( )
22
2
222
022020
02
0
1
1
0
0
2
2
0
1
0
20
1
2
22221111
2100
22
0021
22
22
2222
)
ue
eeee
A
uxuxdudxux
txtxdtdxtx
eeeeeeduedteduedtedxedxeA
b
utututxx
−=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎩⎨⎧
−=⇒==⇒=
⇒−=⇒=−⎩⎨⎧
=⇒=−=⇒−=
⇒=⇒=
−−−=−=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=+= −−−
−− −
−−
−∫ ∫ ∫ ∫∫∫
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea la recta . ⎩⎨⎧
=+−=++
≡032
01zxyx
r
a) Escríbase la recta en forma paramétrica b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ
231
λλ
λ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−−=
=≡
zy
x
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )0
23110,1,2323,1,
2302301,0,023,1,0
1,0,023,1,23,01,00
0)
321
)
λλλ
λλλλλλλλ
λααλαλλλ
αλλλαλλλ
α
+−=
−−++
=−
⇒⇒−−=−−+−−=
+=⇒=−+⇒=⋅−+−−⇒=⋅
⇒⊥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+−−=−+−−−−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
≡
⇒⎩⎨⎧
+=−−=
≡
zyxEcuaciónv
vv
vvv
v
zyx
OZEje
b
rxz
xyr
a
t
OZt
OZtOZ
t
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IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- De todas las primitivas de la función 2( ) 2 tg(x)sec ( )f x = x , hállese la que pasa por el
punto P( , 1).4π
( )
( ) xtgxFKKKtg
xdxdttxtg
KtgKxtgtdttdxx
xtgxF
222
2
2222
0114
1
cos
41
2122
cos12
=⇒=⇒+=⇒+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⇒=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒+=⋅⋅==⋅= ∫∫
π
π
C-2.- .- Demuéstrese que las gráficas de las funciones xexf =)( yx
xg 1)( = se cortan en un
punto x > 0.
( )
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<−=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
>−=−
=
⇒⇒−
=⇒=−⇒=04
41
141
41
011
111
10114
41
1
ee
h
eeh
xxexh
xe
xeSi
xxx
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1,
41
Teorema de conservación del signo Si h(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xhyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xh , es decir
( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀ 00 , xxx= , xhsignxhsign 0
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x
441 4 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ eh y positivos ( ) 11 −= ef en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xh
Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si h(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bhsignahsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( bac , )∈ tal que f (c) = 0
Como ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=≠−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 114
41 4 ehsignehsign , entonces existe, al menos, un punto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈ 1,
41c tal que h (c) = 0 (Intersección de la dos funciones)
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 , C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 , C3 + C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
911
93313133
03333
1
321231132
1321221321232
−==
−=⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅−=⋅−=
−−=−−=+−=
−
AA
CCCCCCCCCA
CCCCCCCCCCCCCA
C-4 Determínese si el plano 0432 =−+≡ yxπ corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
ABsegmentoalcortanoplanoElByAentreestanoCpuntoEldddd
d
d
d
C
z
y
x
C
zyx
rAB
BCAB
ACAB
BC
AC
AB
⇒⇒⎩⎨⎧
<>
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=−++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−=
=−=
=−=
⇒−=⇒=+⇒=−+++
⇒=−+⋅++⋅⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+=
≡⇒−=−=
568
25384
516
58
58
5211
522
573
563
2554
56
53
53
5213
521
572
6211
521,
52,
57
521
5323
52
531
57
532
53035043324
04132223
12
2,1,13,1,21,2,3
222222
222222
222
λλλλ
λλλλλ
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema . ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
11
zyxzyx
zyx
λλ
λ
a) Discútase según los valores del parámetro λ . b) Resuélvase para 3−=λ . c) Resuélvase para 1.λ =
{ } ( )
( )
( )αλαλ
λ
λ
λ
λλλλλλλλλλ
λ
,,111001
000000111
)
1,0,0
011000414404
1
040400
111
13
1
131311
111
)
mindet001
000000111
111
111111111
1
minº301
122044
01201201211111
11111
)
2222
+−−⇒+−−=⇒=++⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⇒=++⇒=⇒=−⇒=⇒−=−⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀
==⇒=−=Δ
⇒=+−⇒=−+−⇒=⇒−+−=−−−++==
Soluciónzyxzyx
c
Solución
xxyyzz
b
adoerInCompatibleSistema
Si
adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNArangA
ASiA
a
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea . Determínense a, b y c de modo que tenga un extremo relativo en , la recta tangente a la gráfica de en sea paralela a la recta , y el área comprendida por la gráfica de , el eje OX y las rectas , , sea igual a 1.
cbxaxxxf +++= 23)(0=x
04 =x0 1=x
)(xf)(xf)(xf
1=x−y
=x
( )
( )( )
[ ]
127
21
2
2 +⋅
⎟⎠⎞+
++
x
c
ax
[ ] [ ]
( )
127
61
411
61
31
21
411
21
211121.31'41
020.30'00
3'
3
1
0
10
10
310
423
2
2
2
+=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−−=⇒++=+⋅⋅+⋅⇒=⎜⎝⎛ +
⇒==⋅+=⇒=⇒=
⇒=+=⇒=⇒=
=
∫
xxf
cxcxxdxxx
aafmx
afmx
bxxf
1
0
=
=
=
c
a
b
411
24
0
⇒
⇒
+⋅ b
C-1.- Calcúlese 0
1 1limx sen x x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠→
0
000
=
⎯
−sen
Aplicando
20
00120
000cos20
cos2lim
coscoslim
00
10011
0cos0010coscoslim
00
0lim
0111lim
0
0
'
0
'
00
=⋅−⋅
−=
⋅−−
=−
=
=−+
−⎯⎯⎯⎯ →⎯==
⋅+−
=⋅+−
=+
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →==⋅
=−
=∞−∞=−⎜⎜⎝
⎛−
→
→→
→→
sensen
xx
xxsenxxxsen
senxxsen
senxxsenxxsen
sensenx
x
HopitalL
x
HopitalL
xx
cos1
01
−
−
=⎟⎟⎠
⎞
xsenxsen
xxx
=
⎯
x
Aplicando
C-2.- Calcúlese 2( 1)x dx
x−
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) KxxxxxxxxtttI
dttdxtx
dtdttdtttdttdttt
tdxx
xI
+−=+⋅−⋅=+⋅⋅−⋅⋅=
=⇒=
+=+−=−=−
=−
= ∫∫∫∫∫∫∫
34
52
34
512
314
512
2
24212212211
23535
2
22422222
dtt
+
−
2
4
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IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti
8
C-3.- .- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta zyxr ==≡ y es perpendicular al plano 01 =−−+≡ zyxπ
( )( )
( ) ( ) ( )0022
00111
111,,0,0,0,,
1,1,11,1,1
=−≡⇒=+−
⇒=+−−++−⇒=−
≡⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==
−=
yxyx
yxzzyxzyx
zyxzyxPGv
v
r
α
απ
C-4.- Dada la matriz 2 11B1 23
−⎛ ⎞= ⎜−⎝ ⎠
⎟ hállese una matriz X que verifique la ecuación
. -1XB+B=B
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−=
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅=⇒⋅=⇒∃⇒=−⋅=
−−
⋅=
−=⇒−=⇒−=⇒−=
−
−−
−−
−−−−−−−
4444
1001
5445
5445
2112
2112
2112
2112
31
311
2112
31
2112
311
3114
91
2112
31
21
211
112
21121111
IBX
BBBadj
BBadjB
BBB
IBXBBBXIBBBXBBBBXB
t
tt
IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:
. ⎩⎨⎧
=+=+
≡⎩⎨⎧
=+=−
≡32
2,
322
zxyx
syz
myxr
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. (1,5 puntos) b) Para , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. (1,5 puntos) 1=m PR-2.- Considérense las funciones . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (3 puntos)
xx exgexf −−== )( ,)(
CUESTIONES C-1.- Hállense las matrices cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A
. (1 punto) AA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1101
1101
C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta . (1 punto) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==
+−=≡
λ
λ
zyx
r 022
C-3.- Calcúlese el valor de 20
))2ln(cos(limx
xx→
. (1 punto)
C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta . (1 punto)
2xy −= 32 −= xy
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 1 de 2
IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 2 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales . ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
424)1(
32
azyxzyazyx
a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. (2 puntos) b) Resuélvase el sistema para a=2. (1 punto)
PR-2.- Dada la función 11)(
+−
=xxxf , se pide:
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (2 puntos) b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas . 0,0 == yx
(1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Dadas las matrices y , hállese
razonadamente la matriz B sabiendo que
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
111101011
P⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
200010001
A
ABP = . (1 punto) C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . (1 punto) C-3.- Sea . Determínense a, b, c y d para que la recta
sea tangente a la gráfica de f en el punto dcxbxaxxf +++= 23)(
01 =+y )1,0( − , y la recta sea tangente a la gráfica de f en el punto
02 =−− yx)1,1( − . (1 punto)
C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen
)cos(1lim 2
2
0=
−++→ x
xbxaxx
.
(1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:
. ⎩⎨⎧
=+=+
≡⎩⎨⎧
=+=−
≡32
2,
322
zxyx
syz
myxr
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten b) Para , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. 1=m
( )
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0256712025671201617112011814121812
0122421111
1,1,11,1,1,,1,2,2
4,2,11,1,1
11.41.2311.21
11
55
534612
5132211
230)
155
512412866
5143221
213
min.051884142221
210
342122
32
423212
23
2123
2123223
42322432232
)
=−++≡⇒=+−−−⇒=−−−−−−⇒=−+−−−−−−−−−−
⇒=−−−−−−
≡⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−=−=−−=
−=⇒
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+==+−=
=⇒=
−−
=−
−++−=
−
−−−−−
=⇒
=−−
=−
−−+++−=
−
−−−−−
=
⇒≠−=−−+−=−−−−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−−=−+−
=+
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++−=+−
−=⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−=
≡⇒+−=−−=⇒−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=+−=
=≡⇒+−=−⋅−=⇒−=
zyxzyxzyxyxzzyx
zyx
zyxzyxAGvv
A
zy
xAAcortedePunto
b
m
adoDeterCompSistemaAmm
mm
zyx
szzyzx
mzmy
xrmxmxzmxy
a
s
r
π
π
λ
μλμλ
μλ
μλμλ
μλ
μμμ
λλ
λ
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Considérense las funciones . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima.
xx exgexf −−== )( ,)(
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) OYejeElxrxy
maB
AMínimo
eed
ee
eeee
eeee
eeeeed
aaeeeede
ee
eeee
eeee
eeeedaddd
eed
ee
eeaad
eaBeag
eaAeafaxrectalaSiendo
AB
a
a
a
aaa
a
aaa
a
aaaa
AB
aaaAB
a
a
a
aaa
a
aaa
a
aaaaAB
ABa
a
AB
a
a
aa
ABa
a
aa
⇒=≡⇒−⋅=−
⇒=⇒⎩⎨⎧
−⇒⇒>=
+=
+=
⇒+
=+−
=−−
=−−
=
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=−⇒=
−=
−−=
+−=
+−==⇒
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒−=
⇒=⇒= −
00011
01
1,1,0
021
1110''
1121212''
0021010'
1121212'1
111,
,
0
0.2
2
2
22
2
23
2
22
0222
2
2
22
2
23
2
222
2222
CUESTIONES
C-1.- Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:
. AA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1101
1101
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇒+==⇒+=+
===⇒=+
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
aca
A
bdbddacadc
bbbaba
dbcaba
ddcbba
dcba
dcba
0
0
00
1101
1101
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta . ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==
+−=≡
λ
λ
zyx
r 022
Se trazara un plano π perpendicular a la recta por el punto P, que cortara a esta en el punto A . La distancia entre P y A es la que existe entre punto y recta.
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
( ) ( ) ( )
)
udd
Azy
xA
zxzxzyx
PGvPGvzyxzyxPG
vv
PA
r
6411110101
1,0,01
001.22
105501222
012011201,1,11,0,2
01,1,11,1,1,,
1,0,2
222Pr =++=++−+−==
−⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==
=+−=⇒=⇒=+−⇒=−−−+−⋅
⇒=−−≡⇒=−−−⇒=−−−⋅−
⇒=⋅⇒⊥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−=−=−==
λλλλ
π
πππ
C-3.- Calcúlese el valor de 20
))2ln(cos(limx
xx→
.
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 212
0cos2
0.2cos2
2cos2lim
2cos2lim
12cos
2
lim00
00.22lim2cos
2
lim
2
222cos
1
lim00
01ln
00cosln
00.2cosln2coslnlim
2222020
2
0
'
00
0
'220
−=−=−=−=−=−=
=−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−=−
=−
=
=⋅−⋅
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=====
→→
→→→
→→
xx
xtgx
xtgx
xxsen
x
xsenx
xx
xx
x
HopitalLAplicando
xx
x
HopitalLAplicando
x
C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta 2xy −= 32 −= xy
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
3362428128
328
1331313313
212
31
323232
330.20000
111933
32
42
12
42
216201612403232
223331
31
231
3
3
1
23
1
23
1
3
1
23
1
2
2
2
22
+−−=+−−=
−−+−−−−−⋅−=+⋅⋅−⋅−=
=+−−=−+−−=−−−=
<⇒⎩⎨⎧
−=−==−=
⇒⎩⎨⎧
−=−=−=−−=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−
=
=+−
=⇒
±−=⇒>=+=Δ⇒=−+⇒−=−
−−−
−−−−−∫∫∫∫∫
A
xxxA
dxxxdxxdxxdxxdxxA
vfxgg
ff
f
x
xxxxxx
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales . ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
424)1(
32
azyxzyazyx
a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a=2.
( ) ( )
( ) ( )
{ } ( )
( )1,1,1
141.11.21334131143
100130121
443
221130121
min2)
10143
000120121
443
121120121
1
90943
000100121
143
200100121
443
121100121
1
min.301,1
101101
011
01011212121
110121
)
222
Solución
xxyyyz
adoDeterCompatibleSistemaaSib
leIncompatibSistemaxz
aSi
leIncompatibSistemaxz
aSi
adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAa
aaaa
aa
aASiaaaaaaaa
aA
a
⇒=⇒=++⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⇒=
⇒ℜ∉∀⇒=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⇒ℜ∉∀⇒=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒⎩⎨⎧
=⇒=−−=⇒=+
⇒=−⋅+
⇒=−⇒=⇒−=−−+=−+−++=+=
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Dada la función 11)(
+−
=xxxf , se pide:
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas . 0,0 == yx
( ) { }
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ⎩
⎨⎧
−>⇒>+ℜ∈∀⇒<−
⇒>+−
⇒>⇒⇒+−
=++−
⋅=
ℜ∈∀⇒
⇒⎩⎨⎧
ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>
⇒>+
⇒>⇒⇒+
=+
−−+=
−−ℜ∈∀=⇒−
=+−−−
=−⇒−=⇒=+
10104
0140)(''
14
1122)(''
0102
01
20)('1
21
11)('
102
1111)1(101
)
334
2222
xxx
xxfConcavidad
xxxxf
xoCrecimientxx
xx
xfoCrecimientxx
xxxf
xfDomfxx
a
-1 ∞− ∞
-4 < 0 ( - ) ( - ) x > -1 ( - ) ( + )
Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad 1/ −<ℜ∈∀ xx Convexidad 1/ >ℜ∈∀ xx No existe punto de inflexión porque en x = -1 hay una asíntota vertical Asíntota verticales En x = -1 como se ha determinado en el análisis del Dominio de la función Asíntotas horizontales
110101
11
11lim
1
1
lim11lim
11lim
110101
11
11
11
11lim
1
1
lim11lim
=⇒−∞→⇒=+−−−
=+−
−−=
+−
−−=
∞∞
=+−−−
=+−
=
=⇒∞→⇒=+−
=
∞+
∞−
=+
−=
+
−=
∞∞
=+−
=
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
yxCuando
x
x
xxx
xxx
xx
xxy
yxCuando
x
x
xxx
xxx
xxy
xxxx
xxx
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción B a) Continuación Asíntotas oblicuas
( )
oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
m
oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
m
xxxx
xxxxx
⇒−∞→
⇒=+−−
=∞−∞
−∞
−=
−
−−=
−
−−=
∞∞
=−−−
=+−
=
⇒∞→
=+−
=∞+∞
−∞=
+
−=
+
−=
∞∞
=+−
=+−
=+−
=
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
00100
1
11
11
11
lim
1
lim1lim11
lim
00100
1
11
11
11
lim
1
lim1lim1
1lim11
lim
2
22
2
22
2
2
22
2
22
2
-15
-10
-5
0
5
10
15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción B
[ ] ( ) [ ] ( )
( ) ( ) 2
12
1
2
01
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
12ln22ln021
1021
1
2ln1ln21ln210121
121
21
211
11
11
11
11
1010
11010)0(0
)
uA
txtx
dtdxtx
tdtt
xdxx
dxdxx
A
xxx
dxxxdx
xxdx
xxA
xxy
fxCuando
b
−⋅=−⋅−−=
⎩⎨⎧
=⇒==⇒=
⇒=⇒=+
−−−=⋅−−=−=+
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
−−−
+−
+−
=+−
−=+−
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=−⇒=
−=+−
=⇒=
∫∫∫∫
∫∫∫
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-1.- Dadas las matrices y , hállese
razonadamente la matriz B sabiendo que
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
111101011
P⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
200010001
A
ABP = .
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞−
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−=
202110111
101110
111t
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⇒
adjP
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
=
∃⇒≠=+
=⇒
−
−−
101110
111
110101111
0111 1
11
P
APBAP
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−==
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−⋅=⇒⇒⋅=
+−=−−
−=
=⇒=
−
−−
−−
200010001
101110
111
111
1111101011
1
11
11
APB
PPadjPP
P
P
BIAPBPP
tt
C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . Para que haya distancia deben de ser paralelos, vamos a comprobarlos. Si, efectivamente, lo son se halla la distancia de uno cualquiera de los puntos al plano β
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )udd
vvvvzyx
zyx
yxyxzyzyx
zyxzyxBGBC
BA
B 530
30306
42516
251
60.20.50
0625025
40420211102
,,0,0,0,,2,1,10,0,02,1,1
1,0,20,0,01,0,2
222==
++
−
+−+
−+−==
⇒⇒=⇒⎩⎨⎧
=−+−≡=+−≡
+≡⇒=−++−⇒=−≡⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==−=
−=−−=
βαβ
βπβπ βαβπ
ππ
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
C-3.- Sea . Determínense a, b, c y d para que la recta sea tangente a la gráfica de f en el punto
dcxbxaxxf +++= 23)(01 =+y )1,0( − , y la recta sea
tangente a la gráfica de f en el punto 02 =−− yx
)1,1( − .
1)(1
0111123033
12311.21.31)1('0111.1.1)1(000.20.30)0('
110.0.0.1)0(
23)('
23
2
23
2
23
23
−−=⇒=
⇒=−⇒−=⇒=−⇒⎩⎨⎧
=+=−−
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+⇒=+⇒===+⇒−=−+⇒−==⇒=++⇒==−=⇒−=+++⇒−=
+++=
xxxfa
abbbaba
babafmbabafccbafmddcbaf
cbxaxaxxf
C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen
)cos(1lim 2
2
0=
−++→ x
xbxaxx
.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) 1
sen
cos12lim
21122121
212
01212
00.20c20cos2
2c2cos2lim
00
00102
000c02
00.2c2
2lim
00
01100
0sen0cos10.0.
sencos1lim
2
2
0
222220
'
220
'2
2
2
2
0
=−+
⇒=⇒=⇒=+⇒=+
−+
=−+
=−+
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==
==→=⋅⋅++
=⋅
++=
++=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−++
=−++
=−++
→
→
→
→
x
xx
aaaa
asenos
axxsenxxos
xa
brealvaloruntenerallegarparabbos
senbaxosx
xsenbax
bax
xbxax
x
x
HopitalLAplicando
x
HopitalLAplicando
x
IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sea el plano 052 =−−+≡ zyxπ y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano.(1 punto) b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π (1 punto) c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π (1 punto)
PR-2.- Sea f la función dada por 1
)( 2 −=
xxxf .
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2 (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de
A para a = 0 (1 punto)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
aaa
A1
34
C-2.- Calcular ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+→ xxx
11ln1lim
0. (1 punto)
C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : , y (1 punto)
)0,1,1(A )0,1,2( −B)0,4,2(C
C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x
xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del
intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
25,2 ππ (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2007.
IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2007.
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sean las matrices ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
352
220
,100010000
,227
,321
EyDCBA
a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? (1 punto) b) Hallar el rango de la matriz AT D(0’5 puntos)
c) Calcular que verifique la ecuación (ABT + C)M = E(1’5 puntos) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyx
M
PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas (2 puntos) b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4 (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Hallar a y b para que la función ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=>+
=
0
00ln
)(
xsix
xsenxsib
xsixxaxf
π, sea continua en
toda (1 punto) ℜ
C-2.- Dadas las rectas , hallar un punto de cada una de
ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas (1 punto) ⎩⎨⎧
==
≡⎩⎨⎧
=+=−+
≡52
720
yx
syyxzyx
r
C-3.- Discutir en función de a el sistema (1 punto) ⎩⎨⎧
=−=+
1ayxaayax
C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones
(1 punto) 63,42 −=−= xyxy
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sea el plano 052 =−−+≡ zyxπ y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π a) Para que halla distancia entre plano y recta estos deben de ser paralelos estos, por los tanto los vectores directores de ambos son perpendiculares por ello su producto escalar es nulo
( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )13,5,1'
1335.22
35
534.22
34
110.22
10
5,4,054.23
413011
1044052323123
31
2,1,1
)
0033
0220111211
,,0,0,0,,1,1,12,1,1
)
665
65
211
50.2000,0,0
02111,1,12,1,1.1,1,12,1,1
''
''
''
222
−−⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−−=⇒+
=−
=−=⇒+
=
−=−=⇒+
=
⇒−⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−==+==+−=
=⇒=+−⇒=−−−+++−≡⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=+−=
≡⇒−==
=−≡⇒=−
⇒=−+−+−⇒=−≡⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==
−=
=−
=++
−−+==⇒
⇒⊥⇒=−+=⋅−=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=
P
zz
yy
xx
Qz
yx
Q
zy
xsvv
c
yxyx
yxzzyxzyx
zyxzyxOGv
v
b
uddrdepuntounOSiendo
rvvvvv
v
PP
PP
PP
s
r
Ar
rrr
λλλλλπλλλ
σ
σ
π
π
π
ππ
πππ
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea f la función dada por 1
)( 2 −=
xxxf .
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2
( )( )( )
( )( )
( ) { }
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
ℜ∈∀⇒−ℜ∈∀⇒−>⇒>+
ℜ∈∀⇒<−⇒ℜ∈∀∃/⇒>−
⇒>−
+−⇒>⇒⇒
−
+−=
−
−−=
−
−−=
−−∀=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=⇒=⇒=−
−=−−
−=−⇒−=⇒=+
⇒=−+⇒=−
xxxxx
xxxxxfoCrecimient
xx
xx
xxxxxf
xfDom
fxx
fxxxxx
a
22
22
22
2
22
2
22
2
22
2
2
22
1101
0101
0110'
11
11
121'
1,101
1211101
01
1111101
01101
)
∞− ∞
-1 < 0 ( - ) x2 + 1 > 0 ( + )
(x2 – 1) > 0 ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0
Decreciente para ℜ∈∀x
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+>ℜ∈∀⇒>⇒>−
⇒>−=−
ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>
⇒>−
+⇒>⇒⇒
−
+=
−
−−−=
−
−−−−=
−
+−−−=
−
+−−−−=
1/1011/101
011
030/0
02
01
320''1
32''
1
321
2221
12121
121212''
232
2
32
2
32
2
32
3
32
33
32
22
42
2222
xxxxxxxx
xx
xxxxx
xx
xxxfConcavidadx
xxxf
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
xxxxxxf
-1 0 1 ∞− ∞ 2 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )
x2 + 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 1 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación problema 2 de la Opción A
ión a) Continuac
( ) ( )101/ >∪<<−ℜ∈∀ xxxConcavidad Convexidad ) ( ) ( 101/ <<∪−<ℜ∈∀ xxx
( ) 0Punto de inflexión en x = 010
0 2 =0−
=⇒ f
No hay puntos de inflexión en x = -1 y x =1 ya que son puntos de discontinuidad de función.
la
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( ) −∞→⇒=∞
=−
=−−
−=−=
∞→⇒=∞
=−
=−
=−=
⇒=⇒−∞→
=−
=−
∞−
=−
−=
−
−=
∞∞
−=−
−=
−=
=⇒∞→
=−
=−
∞=−
=−
=∞∞
=−
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−∞==−
=
∞==−
=
⇒=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞=−=−−
−=
−∞=−=−−
−=
⇒−=
∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
−−→
++→
−−−→
++−→
−
−
−
−
xcuandoexisteNoxxx
xx
xx
m
xcuandoexisteNoxxx
xx
xx
m
oblícuasAsíntotas
yxCuandoxxx
xx
xxx
xx
xx
xxy
yxCuandoxxx
xx
xxx
xx
xxy
eshorizontalAsíntotas
xf
xfxEn
xf
xfxEn
verticalesAsíntotas
xxx
xxx
xxxx
xxx
v
v
v
v
011
1lim1
lim1lim
011
1lim1
lim1lim
0
001
011
1
1
1
lim1
lim1
lim1
lim
0
001
011
1
1
1
lim1
lim1
lim
01
11
1lim
01
11
1lim1
01
11
1lim
01
11
1lim1
22
2
22
2
222
2
22
2
2
22
222
2
22
2
2
2
21
21
21
21
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción A a) Continuación Gráfica
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y
X
[ ] ( )
( )( )
2
2
22
153
15
3
15
3
4
22
2
42
2
42
5ln21
315ln
21
312215144
221
3ln15ln21ln
21
21
21
111
)
uA
uxuxduxdxduxdxux
xududu
udx
xxdx
xxdx
xxA
b
⋅=⋅=
⎩⎨⎧
=−−=⇒−==−−=⇒−=
⇒=⇒=⇒=−
−⋅=⋅=⋅=⋅=−
=−
−=−
= ∫∫∫∫∫−
−
−
−
−
−
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de
A para a = 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
aaa
A1
34
{ }
( )
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⋅=⇒−=−−=⇒=
−−ℜ∈∀⇒∃⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=
=+
=⇒
±=
⇒>=+=Δ⇒=−−⇒=⇒−−=+
=⇒≠⇒∃
−
−
−
−
041
10
0140
41
0140
04101440.300
4,11
253
42
53
2253
0251690430431
430
1
12
1
221
A
AadjAAadjA
AAaSi
aAa
aa
aaCSiaaa
aaAAA
ttt
C-2.- Calcular ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+→ xxx
11ln1lim
0
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 21
21ln1
201ln1
111ln1lim
1111ln
1lim
00
001ln010
1ln1lim
11ln1
111
lim
111ln
111
lim
00
01ln.001ln0
1ln1lnlim
01
01ln11
1ln1lim
00
'
000
'
00
=+
==++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
++=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=
==+++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++
+−+
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅+
++
+−
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==++−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
=∞−∞=−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+
→→
→→→
→→
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
x
x
xxxx
xx
xx
HopitalLAplicando
xxx
HopitalLAplicando
xx
C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : , y
)0,1,1(A )0,1,2( −B
)0,4,2(C
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
⋅=⋅=⇒=++=×
=+=−=×⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=−=−−=⇒×⋅=
2222
255
215500
523031021
0,3,10,1,10,4,20,2,10,1,10,1,2
21
uSACAB
kkkkji
ACABAC
ABACABS
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x
xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del
intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
25,2 ππ
( )( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−=−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
<−=−=−=⇒−=
⇒=−⇒=⇒=
012
511.2
512
52
52
50110.21222
1
0111
πππππππππ
senf
senfxxsenxfSiendo
xxsenxxsenx
xsen
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
25,2 ππ
Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )
, es decir
( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x
( ) 12 −=πf y positivos 12
52
5−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππf en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf
Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )
Como ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≠−= 1
25
2512 πππ fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
25,2 ππc tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sean las matrices ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
352
220
,100010000
,227
,321
EyDCBA
a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz AT D
c) Calcular que verifique la ecuación (ABT + C)M = E ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyx
M
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1102.32.20.1220
321
)
00.3.2227227227
3266214414227
66214414227
227321
)
=⇒=++=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=
⇒==⋅⋅==⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
DArangDA
b
inversatieneNo
ABAB
a
tt
tt
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−++−
−−⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−⋅=+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−⋅=+⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=+⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=+
+∃⇒==−−−++⋅=⋅==+
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=+⇒+=
−
−
−
−
2176
71
3.75.02.213.05.72.14
3.25.22.11
71
352
702107142211
71
702107142211
71
702107142211
74265221147
71.72824302424357763452221
776214514227
76214514227
100010000
66214414227
)
1
1
1
1
ECABM
CABCABadjCAB
CABCAB
CABECABM
c
t
ttttt
tt
tt
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4
( ) ( )
00ln
'
⇒>⇒
⇒
ex
foCrecimient
0/ <
1lnln1
11110101'
)
>>⇒>
⇒<⇒−<⇒−>−⇒>−⇒>⇒−= −−−−
xeee
eeexexf
a
xx
xxxxx
Decrecimiento ℜ∈∀x x Crecimiento 0/ >ℜ∈∀ xx Mínimo en x = 0 (de crecimiento pasa a decrecimiento) ( ) 000 0 =+= −e 11 =+f
( ) ( )⇒ xf ''
ℜ
ℜ∈∀⇒>⇒>⇒= −− xeConcavidadexf xx 00'' Concavidad ∈∀⇒ x Asíntotas verticales Como ex > 0 no existen asíntotas verticales Asíntotas horizontales
( )
( ) ( )
( )
oblícuaasíntotaexisteNoxCuando
ex
ex
exx
xexm
xyxCuandoe
exexn
xexe
xx
xexm
oblicuasAsíntotas
xcuandohorizontalasíntotaSinxeComoexexy
xcuandohorizontalasíntotahayNoe
xexy
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
⇒−∞→
∞=∞+=+=+=+−−
=+
=
=⇒∞→⇒=∞
===−+=
=+=∞
+=+=+=+
=
−∞→⇒∞=>=∞+−∞=+−=+=
∞→⇒∞=+∞=∞
+∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=
∞→∞→∞→∞→
−
−∞→
∞→
−
∞→
−
∞→
∞→
−
∞→∞→
−
∞→
∞→
−
−∞→
∞→
−
∞→
11
lim1lim1limlimlim
011limlim.1lim
101111lim1limlimlim
limlim
011limlim
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción B b) Como la función es continua y ya sabemos sus valores en los limites derecho e izquierdo en cuyo valor es igual ∞−∞+ y ∞+ , tendremos que buscar los puntos intermedios en sonde existan mínimos relativos y, de estos, elegir el de menor ordenada que es el mínimo absoluto que debe de ser inferior a 4 Ya hemos hallado que hay un mínimo relativo en (0 , 1) con lo que la ( ) 1/Im >ℜ∈= yyf Esto significa que habrá dos valores de la función que cuya ordenada valdrá 4, uno a la derecha de x = 0 y otro a su izquierda
C-1.- Hallar a y b para que la función ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=>+
=
0
00ln
)(
xsix
xsenxsib
xsixxaxf
π, sea continua en
toda ℜ
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ππ
ππππππ
==⇒=====
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯===
=
>=+=+=
−+
−−
+
+
→→
→→
→
baxfbfaxf
xsenxf
bfxsiaaaxf
xx
x
HopitalLApicando
x
x
00
0
'
0
0
lim0lim
0.cos1
coslim00
00.lim
0000ln0lim
9
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-2.- Dadas las rectas , hallar un punto de cada una de
ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas ⎩⎨⎧
==
≡⎩⎨⎧
=+=−+
≡52
720
yx
syyxzyx
r
Llamando rs a la recta buscada y R Y S a los puntos de intersección de esta con las rectas del enunciado y además su vector director es perpendicular con cada una de las rectas dadas por lo que sus productos escalares son nulos
( )
( )
( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( ) ( )0,2,10,2,1437,53,3.25
452
4373
13.27
47331557226
0707,5,25.1,0,0022607541007,5,25.1,1,2
0.0.7,5,257,5,227
1,0,052
1,1,27
27702727
≡−−=−−−−=⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==
=−=
⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
=+=+
⇒⎩⎨⎧
=−−⇒=−−−−=−+⇒=++−−++−⇒=−−−−−−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒⊥=⇒⊥⇒−−−−=−−−−−=
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒
===
≡
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−=⇒
−==−=
≡⇒−=⇒=−+−⇒−=
rs
rssrss
rsrrsrrs
s
r
v
zyx
S
zy
xR
vvvvvvvvv
vzyx
s
vz
yx
ryzzyyyx
μμλλμλμλ
μλμλλλμλμλλλμλλλ
μλλλμλλλ
μ
λλλ
10
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-3.- Discutir en función de a el sistema ⎩⎨⎧
=−=+
1ayxaayax
( ) ( )
{ } ( )
( )λ,11mindet10
0100
0
min20,1101
00101
12
SoluciónxadoerInCompatibleSistema
aSi
adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmeroArangaaa
aaaASiaaaa
aaa
A
⇒=⇒⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
⇒==⇒−−ℜ∈∀
⇒⎩⎨⎧
−=⇒=+=
⇒=+⇒=⇒+−=−−=−
=
( )λλ ,11mindet01
0011
11
1111
1
−⇒−=⇒⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
−=
SoluciónyxadoerInCompatibleSistema
aSi
C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones
63,42 −=−= xyxy Puntos de intersección o corte
11
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
12
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )
2
223312
212
212
3
1
2
21
2
1
2
22
1
2
1
2
2
22
22
61
6122714
229
3721221
21321
312
213
31
23634
23
23
46
236
296
233
23
474
494
23
23
23
0422234111
634
12
13
22
13
2130189023634
uA
xxxA
dxxxdxxdxxdxxgdxxfA
fg
g
ff
gfgf
xxgxxf
Si
x
xxxxxx
=−+−
=
−+−=−⋅+−⋅⋅−−⋅=⋅+⋅⋅−⋅=
+−=−−−=−=
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=−=−⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
⎩⎨⎧
=−==−=−==
⇒⎩⎨⎧
−=−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=
=+
=⇒
±=⇒>=−=Δ⇒=+−⇒−=−
∫∫∫∫∫
IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Nuevo currículo
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧
=−+=++
≡3222
zyxzyx
r
a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos (1 punto) b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. (2 puntos)
PR-2.- Sea 2
ln)(x
xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular .(1 punto) ∫ dxxf )(
CUESTIONES
C-1.- Calcular 23
2
0
)2(limxxxsen
x ++→ (1 punto)
C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3 (1 punto)
axxxf += 3)( e
C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que
A2 = B y A3 = C (1 punto)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
58813
2335
CyB
C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo(1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2005. Pág. 1 de 2
IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2005. Pág. 2 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+
−=+−
222
1
azxazy
zyx
a) Discutir el sistema en función del valor de a (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 0 (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto)
PR-2.- Dada( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>=02
0)(2
2
xsixx
xsix
xsenxf ,se pide:.
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) (2 puntos)
b) Calcular ( )∫π
π
22 dxxfx (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14
12)( 2
2
+−
=xxxf (1 punto)
C-2.- Calcular el rango de la matriz . (1 punto)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
1423604233115131
C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2) (1 punto)
053 =−+ xx
C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1).(1 punto)
22 =+≡ yxr
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧
=−+=++
≡3222
zyxzyx
r
a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. a) Los vectores del plano y de la recta, al ser paralelos estos, son perpendiculares por elllo su producto escalar es nulo
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−==−=
≡
−=⇒−=−−=⇒−=⋅+
⇒=⇒⎩⎨⎧
−=+=−−
⇒=+⇒+=−⇒+=−
⇒−
=+
⇒−
=⇒=−⇒−=−−⇒−=−−
⇒+
=⇒=+⇒=+−⇒=+−⇒−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−=−
=+−=+
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+=−=+
=++⇒=⋅⇒=⇒⊥
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−==+=
+=≡
⎩⎨⎧
==
=⇒=⇒=++−⇒=⋅−⇒=⇒⊥
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
≡⇒−=⇒=+++⇒+=⇒=−
μμμ
μμμμμμ
μμμμμμμλ
μλμλμλ
λμλμλμ
μμμ
μ
λλλ
ππ
π
ππ
π
13101
1,3,101064432
3552842
5522105155235
32
55
3223133113
55550550151
113
0542
131
51104204,2,11,,0.
10
1
1,,4,2,1
)
155023502,,11,3,50.2,,1
1,3,53151
5122131313
zy
xs
vcc
ddc
dcdccdcd
dcdddd
cccc
dcdc
dc
dcdcvvvv
zddy
cxs
dcvv
b
aaaaaavvvvaav
vz
yx
rzxzzxzyzy
s
ss
s
rr
r
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea 2
ln)(x
xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular . ∫ dxxf )(
( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
>ℜ∈∀⇒>⇒>
<⇒<⇒<⇒<⇒−>−⇒>−⇒>⇒
⇒−
=−
=−
=−⋅
=
0/0021ln1ln21ln20ln210)('
ln21ln21ln2ln21
)('
)
3
21
3444
2
xxxx
exexxxxxxfoCrecimient
xx
xxx
xxxx
x
xxxxxf
a
0 e ∞
0>x ( + ) ( + ) ex < ( + ) ( - )
Resultado ( + ) f’(x) > 0
( - ) f’(x) < 0
Crecimiento exx <<ℜ∈∀ 0/ Decrecimiento exx >ℜ∈∀ /
Hay un máximo en ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=
⋅===⇒=
ee
ee
e
ee
e
eefex21,
21ln
21
lnln 21
2
( de crecimiento pasa a decrecimiento)
( )
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
⇒==⇒=⇒=
ℜ∈∃/⇒⇒=⇒
−∞→→⇒∞→
=∞
===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
==
−∞=−
==
∞→∞→∞→
+
+
→ +
0,110ln00
0ln0
0
012
1lim2
1
limlnlim
000lnlim
0
2
2'
2
20
exxy
xxcortedePunto
xcuandoexisteNoyxCuando
xxx
xxy
eshorizontalAsíntotas
kverticalesAsíntotas
xx
HopitalLAplicando
x
x
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
-10
-9,5
-9
-8,5
-8
-7,5
-7
-6,5
-6
-5,5
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7
Y X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−==⇒=
=⇒=
+−⋅−=+⋅−=+⋅−=⋅−−⋅−==
−−
−
∫
∫∫∫∫∫
xxdxxvdv
xdx
dux
dxux
Kx
xx
dxxxxx
dxxxx
dxx
xx
dxx
xdxxf
b
1
ln
1ln1ln1ln11ln1ln)(
)
122
222
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Calcular 23
2
0
)2(limxxxsen
x ++→
428
20.81.8
200.80cos.8
20.6)0.2(.8)0.2(cos.8
26)2(.8)2(cos.8lim
262).2(.42).2(cos.4lim
00
001.0.4
0.20.3)0.2(cos).0.2(.4
23)2(cos).2(.4lim
232).2(cos).2(.2lim
00
00)0.2()2(lim
2222222
0
22
0
'2
2020
'23
2
23
2
0
==−
=+−
=+−
=+−
=
=+−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+
=+
=
=+
=+
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+
=+
→
→
→→→
sensenx
xsenxx
xsenxsenxx
xxsenxx
xxsensenxxxsen
x
x
HopitalLAplicando
xx
HopitalLAplicando
x
C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3
axxxf += 3)( e
( ) ( ) 110.30'3'
1
11
1113
22 =⇒=+⇒=⇒
⎩⎨⎧
+==
⇒=−
−=−=⇒−=⇒+−=
aafmaxxf
mm
mmxy
larperpendicularperpendicu
larperpendicu
C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que
A2 = B y A3 = C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
58813
2335
CyB
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⋅=⇒∃⇒≠=−==
==
−−
−
−−
−−
CAAA
BABCAAA
C
BadjBBadjB
BBB
BCAAA
ttt
58813
1112
2335
2335
1112
1112
1112
5332
58813
..
5332
5332
11
5332
2335101910
2335
..
23
2
123
1
11
123
C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 222 2432161644
44422200
4,2,22,1,16,3,32,0,02,1,14,1,1
uA
ijkji
ACABABABACABA
==+=−+=
−==×⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=−==−=⇒×=
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+
−=+−
222
1
azxazy
zyx
a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) adoerInCompatibleSistemaincognitasNúmeroArangBArangaSi
leIncompatibSistemaArangBArangaSi
BArangaSi
BArangaSi
aaaaa
BASiaaaaaa
aBCCBA
BArangaSi
BArangaSia
aaBASiaaaaaa
aBCCBA
BArangaSi
BArangaSia
aaBASiaaa
aBCCBA
FrobeniusRoucheAplicando
ArangAA
mindet2/123/1
2/021111
1
3/1
1220440120242
0/2424220
211111
/
2/011011
1
3/11
22044
0120/1241221
210111
/
2/011011
1
3/11
22
0440120/1201
210111
/
2011011
0112201110111
22
222
232
222
231
22
221
⇒<==⇒=⇒=≠=⇒≠
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒≠−=−
⇒=
=⇒≠
⇒==⇒=−=Δ⇒=+−⇒=−+−
⇒=⇒−+−=−+−−=−−
==
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒≠=⇒=
=⇒≠⇒==⇒=−=Δ
⇒=+−⇒=⇒+−=−++=−
==
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒≠=−
⇒=
=⇒≠⇒==
⇒=−=Δ⇒=+−⇒=⇒+−=−−
==
−
=⇒≠=−
=⇒=−−=−
=
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación de PR-1
( )
( ) ℜ∈∀−−⇒−=⇒=+⇒−=−+
⇒−=+−−⇒−=⇒=+⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
=
⇒⇒=
λλλλ ,,2,212112122
1222021
000110111
221
110110111
121
201110111
1)
0)
Soluciónzxzxzx
zzxzyzy
aSic
solucióntieneNoleIncompatibSistemaaSib
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Dada( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>=02
0)(2
2
xsixx
xsix
xsenxf ,se pide:.
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)
b) Calcular ( )∫π
π
22 dxxfx
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )=
−−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−==
=−
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>−
=
⇒===
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==
===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯===
++
−
+
−+
−
−+
→→
→
→
→→
→
→→
xxxxsenxxxxf
xff
senxf
xsix
xsix
xsenxxxf
continuaEsxfxff
xff
xxsenxf
a
x
HopitalLAplicando
x
x
x
xx
x
x
HopitalLAplicando
x
2cos24cos4lim
00'lim
220.2'lim0'00
000cos0.2'lim
022
0cos2'
0limlim0
00.20lim0
01.0.21
cos2lim00
00lim
)
2232
0
´
0
0
2
222
02
222
00
2
0
2
0
´2
0
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
( ) ( )( ) 122111
21
222
2
cos2cos21cos
21
21
2
)
1lim2'lim'10.0.21020cos
2coslim2
2cos2lim2
4cos2lim
222
2
222
2222
2
00
22
22
0
22
0
232
0
−=⋅−=−−⋅−=
⎩⎨⎧
=⇒==⇒=
⇒=⇒=⇒=
−⋅−=⋅−=⋅===
⇒=≠−==⇒=−=−=
=−=−
=−
=
∫
∫∫∫∫
+−
+++
→→
→→→
dxx
xsenx
txtxdtxdxdtxdxtx
tdttsendttsendxxsenxdxx
xsenx
b
derivableesNoxfxfxfxsen
xxsenxx
xxsenxxx
xsenxxx
xx
xxx
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
ππππ
ππ
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14
12)( 2
2
+−
=xxxf
( ) ( )( )
oblícuasasíntotasexistenNox
xxx
xx
xx
xxx
xx
xxxx
xx
xx
xxfm
x
xxx
xx
xx
xxx
xx
xxxx
xx
xx
xxfm
oblícuasAsíntotas
yxCuando
x
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xxxxfy
yxCuandox
xx
xxx
xxx
xx
xxxxfy
eshorizontalAsíntotas
verticalesasíntotasexistenNo
xxxxx
verticalesAsíntotas
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
040
14
144
lim4
144lim
4144lim14
144
lim)(lim
040
14
144
lim4
144lim
4144lim14
144
lim)(lim
1104
00414
1144
14
1144lim
14
144lim
14144lim
14144lim)(lim
1
04004
14
1144
14
1144lim
14
144lim
14144lim)(lim
41
4114014
2
32
33
3
333
2
3
22
2
2
32
33
3
333
2
3
22
2
2
2
22
2
222
2
2
2
2
2
2
2
22
2
222
2
2
2
222
==+
++=
+
++=
∞∞
=+
++=+
++
==
==+
+−=
+
+−=
∞∞
=+
+−=+
+−
==
=⇒−∞→⇒=+++
=
∞+
∞+
∞+
=
=+
++=
+
++=
∞∞
=+++
=+−
+−−−==
=⇒∞→
++−
=
∞+
∞+
∞−
=+
+−=
+
+−=
∞∞
=++−
==
ℜ∉∀⇒−±=⇒−=⇒−=⇒=+
∞→∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→
8
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9
C-2.- Calcular el rango de la matriz
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
1423604233115131
( ) 2
2000000021105131
2110211021105131
14770422084405131
1423604233115131
=⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−−
≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−−
≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
= ArangA
C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2)
053 =−+ xx
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo (1 , 2) ( )( )⎩
⎨⎧
=−=−+=−=−=−+=
551052223525111
3
3
ff
Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )
, es decir
( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos
y positivos en todo entorno de entonces 0x
0x( ) 31 −=f ( ) 52 =f ( ) 00 =xf Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )
]Como ( ) ( )[ 0231 =≠−= fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)
( )2,1∈c
C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1)
22 =+≡ yxr
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⇒=⇒+=⇒−=−⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
−=−=+
⇒⎩⎨⎧
−=−=+
⇒+=−⇒+⋅=−⇒=−
−=−=⇒−=⇒+−=
58,
51
58
51623
51232
51
5115
32424
3222
1221211
21
211222
P
yyyyxxyx
yxyxyx
xyxym
mmxy larperpendicu
IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Nuevo currículo
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de
ecuaciones . Se pide: ⎩⎨⎧
=−=−
≡02y1z2x
s
a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= . a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto)
C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde ,
siendo Bt la matriz traspuesta de B. (1 punto)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=213010
By23
12A
C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta (1 punto) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ−=λ+−=λ+=
≡21z
1y32x
s
C-4.- Calcular ∫ −dx
x11
2 (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/ 2009. Pág. 1 de 2
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MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/ 2009. Pág. 2 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−λ=+λ
=−
3z2xzy
5yx
a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)
CUESTIONES
C-1.- Calcular la distancia entre las rectas 4
3z3
2y2xsy4zx71yx3
r −=
−=−≡
⎩⎨⎧
−=−−=−
≡
(1 punto)
C-2.- Resolver la ecuación 01xxx
x1xxxx1x
=+
++
. (1 punto)
C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )xxlnxf = en su
dominio de definición (1 punto) C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la
función y el eje OX es de 42 axy +−=3
256unidades de superficie (1 punto)
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1
=−=−
≡02y1z2x
s
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de ecuaciones
. Se pide:
a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) a) Analizaremos si las rectas son paralelas estudiando si sus vectores directores son proporcionales, si ese es el caso se estudiará si hay algún punto común que de ser así las rectas son coincidentes. Si no hay proporcionalidad se analizara si tienen un punto común, de tenerlo serán rectas que se cortan o son secantes en dicho punto, de no suceder esto son rectas que se cruzan.
( ) ( ) ( )
( )
( )
ciónsecerintdepuntohayNo)b
paralelassonrectasLascomunespuntoshayNo21Como
121
21211,0,2vv
1,0,2vz
2y21x
2yz21x
s
1z1y21x
r1,0,21,1,12,1,3vAB
sr
s
r
⇒⇒≠
λ=µ+≠
λ+=µ+⇒==⇒
=⇒
λ==
λ+=⇒
=+=
≡
µ+==
µ+=≡⇒=−==
c) Se hallara el haz de planos que se generan por la recta s, de todos ellos hallaremos el que pasa por el punto A que es el mismo que el que contiene al punto B (calcularemos para los dos y demostraremos su igualdad)
( )
( )( )
( )( ) 03z2y2x02y21z2x
20201222132,1,3BporPasando
03z2y2x02y21z2x20201212111,1,1AporPasando
012z2yx02y1z2xplanosdeHaz02y
01z2xs
=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒
=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒
=−α−−α+⇒=−⋅α+−−⇒
=−=−−
≡
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2
PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)
( ) ( )
( ) ( )
>ℜ∈∀⇒>⇒>−−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+
⇒>−⋅+
⇒
−==
⇒±
=⇒>=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−⇒>−−
2x/x2x02x1x/x1x01x
02x1x
1x2x
291x0981214102xx02xx
)a
222
∞− -1 2 ∞
x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
≤≤−ℜ∈∀⇒>∪−<ℜ∈∀⇒
⇒>⇒⇒
>≤≤−−
−<=
<<∪−<ℜ∈∀⇒<⇒
>∪
<<−ℜ∈∀⇒>⇒
>ℜ∈∀⇒>⇒∞∉>⇒>⇒>−
<<−ℜ∈∀⇒>⇒<⇒<⇒−>−⇒>+−
−<ℜ∈∀⇒<⇒>⇒>⇒>−
⇒>
⇒
>−≤≤−+−
−<−=⇒
>−−≤≤−++−=−−−
−<−−=
2x1/xConvexidad2x1x/xConcavidad
0)x(''fConcav2xsi2
2x1si21xsi2
)x(''f
2x211x/x0)x('fntoDecrecimie
2x21x1/x0)x('foCrecimient
2x/x0)x('f,221x1x201x2
21x1/x0)x('f
21x1x21x201x2
1x/x0)x('f21x1x201x2
0)x('f
2xsi1x22x1si1x2
1xsi1x2)x('f
2xsi2xx2x1si2xx2xx
1xsi2xx)x(f
2
22
2
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3
Continuación del Problema PR-2 a) Continuación Grafica de la función
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
( )( )
( ) ( ) derivableesNo3122x'flim3122x'flim
3122x'flim3122x'flim
2xsi1x22x1si1x2
1xsi1x2)x('f
)b
2x2x
2x
2x
⇒=−⋅=≠−=+⋅−=
⇒
=−⋅=
−=+⋅−=⇒
>−≤≤−+−
−<−=
+−
+
−
→→
→
→
( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )
2
223320
20
220
32
0
2
u3
103864
24
38A
022022102
31x2x
21x
31dx2xxA
)c
=−=++−=
−⋅+−⋅+−⋅−=⋅+⋅+⋅−=++−= ∫
Y
X
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4
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5ordendematrizunaEs5n22322321232A2 5nnnn =⇒−=−⇒−=−⇒=−⋅−⇒=⋅−
C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde
−
=
−
=213010
By23
12A , siendo Bt la
matriz traspuesta de B. (1 punto)
( )
−=
−
−−⋅
−=
−
−⋅
−
−−⋅
−==⇒
−
−=
−⋅
−
=
−
−−−
=⇒
−
−−=
⇒
−
=⇒=⇒∃⇒≠−=−−=−
=
=⇒=
−
−
−−
−−−
731
75
712
71
315121
71X
14111
2312
71BBAX
14111
2011
30
213010
BB
2312
71A
2312
Aadj
2132
AAadjA1AA0734
2312
AComo
BBAXBBAAXA
t1
t
1t
tt11
t1t11
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5
C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta
λ−=λ+−=λ+=
≡21z
1y32x
s (1 punto)
Se hará pasar un plano π por A y que es perpendicular a la recta s, que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector formado por el punto generador G y A. Se calcula el punto de corte P de la recta s y el plano π y la distancia entre A y P es la pedida
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) u2103
253
2454
2374
4744
449
4252
27
25d
02213
271dd0,
21,
27P
02121z
21
211y
27
2132x
P
1470714010421960102121323
planoelyrectaladecortedePunto010z2yx302z23y1x302z,3y,1x2,1,3
0GAvGAv2z,3y,1x2,3,1z,y,xGA
2,1,3v
222
sA
222
sAPA
sss
===+=+=++=−+
+
=
−−+
++
−==⇒
−⇒
=⋅−=
−=+−=
=⋅+=
=λ⇒=−λ⇒=−λ+−λ+−λ+⇒=−λ−⋅−λ+−+λ+⋅
π⇒=−−+≡π⇒=+⋅−−+−⋅⇒=+−−⋅−
⇒=⋅⇒⊥⇒
+−−=−−=−=
C-4.- Calcular ∫ −dx
x11
2 (1 punto)
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) Kx1lnx1x1ln21x1ln
21x1ln
21I
dudxux1
dtdxtx1
uln21tln
21
udu
21
tdt
21
x1dx
21
x1dx
21dx
x1x11I
21A1A2111B11A1x
21B1B2111B11A1x
1x1Bx1Ax1x1
x1Bx1Ax1
Bx1
Ax1x1
1x1
1
2
2
+−=+⋅−=+⋅+−⋅=
==+
−==−
⋅+⋅=+=+
+−
=+⋅−
=
=⇒=⇒=−++⇒=
=⇒=⇒=−−+−⇒−=
⇒=−++⇒+⋅−−++
=+
+−
=+⋅−
=−
∫∫∫∫∫
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6
=−λ=+λ
=−
3z2xzy
5yx
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide:
a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) a)
( )
( )
( )
123
123
1253
12301
0511
z
1212
1222
12352
12231
10051
y
12143
12312
122310
12203
1015
x
)b
leIncompatibSistema
3z031
5
000210011
21
5
210210011
31
5
201210011
321
5
201
1210
01121Si
adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang21
21120120ASi12
20110011
A
+λλ
=−λ−λ−
=−λ−
λ−λ−λ=
−λ−
λλ−
=
+λ−λ⋅
=−λ−+λ−
=−λ−−+λ−
=−λ−
−λ
=
+λ−λ⋅
=−λ−−λ−
=−λ−
λ−−λ−=
−λ−
−λλ−
=
⇒−=⇒
−−−
−≡
−−
−−−
≡
−
−−−
≡
−
−
−
−
−=λ
⇒==⇒
−−ℜ∈λ∀
−=λ⇒=λ−⇒=−λ−⇒=⇒−λ−=−
λ−
=
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PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)
=−=ππ
−=
π=
⇒⇒<π−=
π=⇒=⋅π⇒=⋅π−⇒=⇒⋅π−=⋅
π⋅−==
⇒⋅π−⋅=
=
π
−=⇒
=
π−=⇒π−=⇒π+=
m1002
2002002
200
200l
m200D
Máximo0''S
200D200D0D2000'SD200D2
2200dDdS'S
2DD200S
D2D200S
lDS2D200lD400l2Dl2400
2
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8
CUESTIONES
C-1.- Calcular la distancia entre las rectas: 4
3z3
2y2xsy4zx71yx3
r −=
−=−≡
−=−−=−
≡ (1 punto)
Se estudiará la posición relativa de las dos rectas, primeramente si sus vectores directores son paralelos y no tienen un punto común serán paralelas, de tenerlo las rectas serán coincidentes. De no ser paralelos estudiaremos si tienen un punto común y si lo hay serán rectas que se cortan, de no ser así se cruzarán.
( )( )
cruzanserectasLas
35
1531471477
1472
leIncompatib50133633
1332
43743231
2
43z32y
2xs
74z31y
xr
escoincidentniparalelassonNo47
33
11
4,3,1v7,3,1v4z7z1x3y
s
r
−=λ−=µ
⇒−=µ⇒−=µ−λ−=µ+λ−
⇒−=µ−λ
=µ−λ
⇒≠⇒=µ−λ=µ−λ
⇒=µ−λ
=µ−λ
⇒
µ+=λ+µ+=λ+
µ+=λ⇒
µ+=µ+=µ+=
λ+=λ+=
λ=≡
⇒≠=
⇒=
=⇒+=⇒+=
Hallaremos un plano π que conteniendo a la recta s sea paralela a la recta r. Para ello utilizaremos, en la generación del plano, los vectores directores de las dos rectas y el vector generador formado por un punto A de la recta s y el punto generador G. La distancia entre un punto, cualquiera, B de la recta r al plano π es la distancia pedida.
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u210
10105
105
13
410.3dd
04yx3012y3x906y318x902y32x902y42x213z33z32y72x12
0431731
3z2y2xPlano
3z,2y,2x3,2,2z,y,xGA
3,2,2A4,3,1v4,1,0B
7,3,1vr
22Brs
S
r
==−
=+
−−==
⇒=−−≡π⇒=−−⇒=−++−⇒=−⋅+−⋅−⇒=−⋅−−⋅−−⋅−−⋅+−⋅+−⋅
⇒=−−−
≡π⇒π
⇒−−−=−=⇒
=
=≡
π
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9
C-2.- Resolver la ecuación 01xxx
x1xxxx1x
=+
++
. (1 punto)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31x1x301x31x3x3x3x21x3x3x
1xx3x21x1xx1xx1xxxx1x1xxx
x1xxxx1x
23323
233222333
−=⇒−=⇒=+⇒+=−−++++=
=+−++=+−+−+−+++=+
++
C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )x
xlnxf = en su dominio de
definición (1 punto) ( )
( ) ( )
>ℜ∈∀⇒<<ℜ∈∀⇒
⇒
ℜ∈∀⇒><⇒<⇒<⇒−>−⇒>−
⇒⇒>−
⇒>⇒⇒−
=−⋅
=
>ℜ∈∀=
ex/xntoDecrecimieex0/xoCrecimient
x0xexex1xln1xln0xln1
0x
xln10x'foCrecimientx
xln1x
xlnxx1
x'f
0x/xfDom
2
1
222
C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función
42 axy +−= y el eje OX es de 3
256unidades de superficie (1 punto)
( ) ( ) ( )( )
( ) [ ] [ ] ( ) ( )
264a64aa2128a32
3128aa
31
3128
0aa0a31
3128xax
31
3128
6256dxax2
3256
0aa00fxfaxaxxfOYarespectosimétricaEs
axax0ax0C0yOXconcortedePuntosSiendo
666666
2436a0
4a0
3a
0
42
442
4242
24242
222
==⇒=⇒⋅=⇒⋅=⇒+⋅−=
−⋅+−⋅−=⇒⋅+⋅−==⇒+−⋅=
⇒
>=+−==+−=+−−=−⇒
±=⇒=⇒=+−⇒=⇒=⇒
∫
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.
OPCIÓN A
E1.- Dadas la parábola 2x31y = , y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del
rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola (2’5 puntos)
E2.- Dada la función 1x1x)x(f
−+
= , se pide
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)
b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y
las rectas x = 2 , x = 4 (1 punto)
E3.- Dadas las matrices : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
010321
Dy642
531C,
m10010001
B
a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:
az
21y
32xs,
2zyx21zyx
r =+
=−
≡⎩⎨⎧
=−+=+−
≡ con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .
a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 6/2010.
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 6/2010.
OPCIÓN B
E1.- Calcular b y c sabiendo que la función ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤++=
0xsix
1xln0xsicbxx
xf2
es derivable en
el punto x = 0 (2’5 puntos)
E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2
1
2∫−
+− (2’5 puntos)
E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible:
(2’5 puntos) ( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=+−+=−+
=+
aazy1ax0z1ay
1zx
E4.- Dadas la rectas ⎩⎨⎧
=−=−
≡−
==−
≡4zy20yx2
ty2
1zy3
1xs , se pide halla la
perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos)
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
E1.- Dadas la parábola 2x31y = , y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del
rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola (2’5 puntos)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Y
X
x x
( )
( )
( ) ( ) 22
2
2
222
22232
u366633932AMàximo12343''Ax4x22
dxAd''A
3x3x
9x9x0x90x920'ASi
x92x2183x618
dxdA'A
3x2x18
3x9x2A
=⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅=⇒⇒−=⋅−=⇒−=−⋅==
⇒⎩⎨⎧
−==
⇒±=⇒=⇒=−⇒=−⋅⇒=
⇒−⋅=−=−==⇒−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
E2.- Dada la función 1x1x)x(f
−+
= , se pide
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)
b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y
las rectas x = 2 , x = 4 (1 punto)
( ) ( ) { }
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )⎩⎨⎧
ℜ∈⇒>−ℜ∈⇒<−
⇒>−−
⇒>⇒⇒−−
=−
−−−=
−+−−
=
−ℜ∈∀=⇒=−+
=⇒=⇒=−
x01xx02
01x20)x('foCrecimient
1x2
1x1x1x
1x1x1x)x('f
1xfDom02
11111f1x01x
)a
2
2222
1 ∞− ∞ - 2 < 0 ( - ) ( - )
(x - 1)2 > 0 ( + ) ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0 ( - ) f’(x) < 0
Decrecimiento ( ) ( )1x1x/x >∪<ℜ∈∀
( )( ) ( ) ( )
( )⎩⎨⎧
>ℜ∈⇒>⇒>−⇒>−ℜ∈⇒<−
⇒>−−
⇒>⇒⇒−−
=−
−⋅−−=
1x/x1x01x01xx04
01x40)x(''fConcavidad
1x4
1x1x22)x(''f
3
334
1 ∞− ∞
- 4 < 0 ( - ) ( - ) x > 1 ( - ) ( + )
Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad Convexidad 1x/x <ℜ∈∀ 1x/x >ℜ∈∀ Asíntotas Verticales
x = 1 ( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞==
−∞==⇒
+→
−→
+
−
02xflim
02xflim
1x
1x
2
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Continuación del Problema E2 de la opción A Horizontales
( )
( )
−∞→=⇒
=−−+−
=
∞−−
∞+−
=−−
+−=
−−
+−=
∞∞
=−−+−
=−+
==
∞→=⇒
=−+
=
∞−
∞+
=−
+=
−
+=
∞∞
=−+
==
∞→∞→∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→
xcuando1yhorizontalAsíntota
10101
11
11
x11
x11
lim
x1
xx
x1
xx
lim1x1xlim
1x1xlimxflimy
xcuando1yhorizontalAsíntota
10101
11
11
x11
x11
lim
x1
xx
x1
xx
lim1x1xlimxflimy
xxxxx
xxxx
Oblicuas o inclinadas
( )
( )
−∞→
=++
=
∞+
∞+
∞−
=+
+−=
+
+−=
∞∞
=++−
=−+
==
∞→
=−+
=
∞−
∞+
∞=−
+=
−
+=
∞∞
=−+
=−+
==
∞→∞→∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo
00100
11
11
x11
x1
x1
lim
xx
xx
x1
xx
limxx1xlim
x1x1x
limxxflimm
xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo
00100
11
11
x11
x1
x1
lim
xx
xx
x1
xx
limxx
1xlimx
1x1x
limxxflimm
2
x
22
2
22
x2xxx
2
x
22
2
22
x2xxx
( ) ( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
[ ] [ ] ( ) ( )
( ) ( )
29ln2ln9lnA
2A11A1BA1B1B
x1xBBxAx
xB
1xA
x1x1x
3t4x1t2x
dtdxt1x
2ln1ln3ln22ln4lnxln2xlndtt12dx
x1dx
1x2dx
xx1xA
4,20xverticalAsíntota01
00100f0xOYCon
4,21x01x0yOXConejeslosconcortedePuntos
4,2enpositivaZona32
64
33133f
xx1x
x1x1x
xxf
)b
31
42
3
1
4
2
4
2
4
22
2
22
=−=
⎩⎨⎧
=⇒=−⇒=+−=⇒=−
⇒−
−+=+
−=
−+
⎩⎨⎧
=⇒==⇒=
⇒=⇒=−
−−⋅=−−=−=−
+−
=−+
=
⎪⎩
⎪⎨⎧
∉=⇒⇒=−+
=⇒=⇒
∉−=⇒=+⇒=⇒⇒
⇒==−+
=⇒−+
=−+
=
∫∫∫∫
3
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E3.- Dadas las matrices : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
010321
Dy642
531C,
m10010001
B
a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) a) Existe B-1 si el det(B) es distinto de cero
{ } ( )
( )
( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
−=⇒−=⇒−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=⇒=
=
⋅=⇒−ℜ∈∀⇒∃⇒=⇒=⇒=−
=
−−−
−
−
−−
632230
110010001
632250
110010001
010321
642531
X
BCDXBCDXBBCDXB)b
110010001
B
110010001
11B
110010001
Badj100110
001B
110010001
B1B
1mPara
BadjB1B0mB0m0Bm
m10010001
B
111
1
1tt
t11
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:
az
21y
32xs,
2zyx21zyx
r =+
=−
≡⎩⎨⎧
=−+=+−
≡ con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .
a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto) a) La condición es que los vectores directores de r y s son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.
( )
( )
( ) ( ) 2a0a20a.12.13.00a,2,31,1,0
0vvvv
a,2,3vaz
21y32x
s
1,1,0vzy
1xr
zy1zy11x3x3
r
srsr
s
r
−=⇒=+⇒=++⇒=⋅
⇒=⋅⇒⊥⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
μ=μ+−=μ+=
≡
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ=λ=
=≡⇒
⎩⎨⎧
=⇒=+−=⇒=
≡
b) El vector director de t es el mismo que el de r, y el punto P lo hallaremos una vez hallado μ
( )
( ) ⎪⎩
⎪⎨
⎧α
α=+−=
=≡⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+−=
=⋅+=⇒=μ⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
μ−=μ+−=μ+=
≡
==
z1y2x
t0,1,2P
0z10.21y
2032xP0
2021y32x
s
1,1,0vv tr
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
E1.- Calcular b y c sabiendo que la función ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤++=
0xsix
1xln0xsicbxx
xf2
es derivable en
el punto x = 0 (2’5 puntos) La función, primero, debe de ser continua y después la función derivada continua
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤+−=
⇒−=⇒−====
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⋅+++
+−
=+++
+−
=
==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==++⋅⋅
+−=
+++−
=++−+−
=
==
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++
++−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==
+⋅+⋅+−
=
=+⋅==
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
++−=
+−+
≤+
=
=⇒====
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
=+=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+
=
=+⋅+==
+−
++
−
+++
−
++
−
+−
+++
−
→→
→→
→
→→→
→
→→
→
→→
→→→
→
0xsix
1xln
0xsi12xx
xf
21b
21x'flimbx'flim0'f
21
02010210
1
x2x1x21x
1
limx'flim
bx'flim0'f
00
0100210ln
x1xx21xlnlim
x1xx211xln1limx'flim
bx'flim0'fx1xx2
1x1x1xln1
lim00
10010ln100x´flim
bb02x'flim0'f
0xsi1xx
1xln1xxx
1xln1x
x0xsibx2
x'f
1c1xflimcxflim0f
110
11x
1lim1
1x1
lim00
010lnxflim
cc0b0xflim0f
2
0x0x
0x0x
0x
Hopital'LAplicando220x20x0x
0x
20x
Hopital'LAplicando20x
0x
22
0x0x
0x0x
Hopital'LAplicando
0x
2
0x
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2
1
2∫−
+− (2’5 puntos)
( )
( ) ( )⎩⎨⎧
>ℜ∈∀⇒>⇒>−>ℜ∈∀⇒>⇒>−
⇒>−⋅−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=
=+
=⇒
±=⇒>=−=⋅⋅−−=Δ⇒=+−
1x/x1x01x2x/x2x02x
01x2x
12
13x
22
13x
213x0189214302x3x 22
∞− 1 2 ∞ x > 1 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + ) x > 1 ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0
( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )
629dx2x3x
6102712
35
2922
29
374
32123
237
31220
232
31dx2x3x
122122312
3111211
2311
31dx2x3x
x2x213x
31x2x
213x
31dx2x3x
x2x213x
31dx2x3xdx2x3xdx2x3x
2xsi2x3x2x1si2x3x
1xsi2x3x2x3xxf
2
1
2
2
1
2
223322332
1
2
21
21
221
311
11
211
32
1
2
11
11
211
32
1
21
1
22
1
2
2
2
2
2
=+−
−+=−+=−+−+=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=+−
−⋅−−⋅+−⋅−−−⋅+−−⋅−−−⋅=+−
⋅−⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅−⋅=+−
⋅+⋅⋅−⋅=−+−++−=+−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+−≤≤−+−
<+−=+−=
∫
∫
∫
∫
∫∫∫
−
−
−
−−−−
−−−−−
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible:
(2’5 puntos) ( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=+−+=−+
=+
aazy1ax0z1ay
1zx
( )
( )
{ } ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
leIncompatibSistema101
000110101
101
110110101
201
211110101
2aSi,0,1Soluciónz1x
1zx0yadominerdetInCompatibleSistema001
000010101
101
101010101
1aSi2a
12a1a
1a2a1a
a1a1010101
z
2a1a
2a1a1a
2a1aa11a
2a1a1aa1a
2a1aaa1
1a00111
y
2a1a
2a1a1a
2a1a1aaa
2a1aa1aa
1a10101
x
SoluciónadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang2,1a
1a2a
213a189214302a3a02a3a
0ASi2a3a1a1a2a1a1aa1a1
1a10101
A
2
22
222
222
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=λλ−⇒−=
⇒=+⇒=⇒⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=−
−=−⋅−−
−=
−⋅−−
−=
−−
=−⋅−−
−−=
−⋅−−−⋅−
=−⋅−−−⋅−−
=−⋅−−
−
=
−−
=−⋅−−
−−=
−⋅−−−−−
=−⋅−−
−−
=
⇒==⇒−ℜ∈∀
⇒⎩⎨⎧
==
⇒±
=⇒=−=⋅⋅−−=Δ⇒=+−⇒=−+−
⇒=⇒−+−=−+−+−=−−−=−
−=
8
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9
E4.- Dadas la rectas ⎩⎨⎧
=−=−
≡−
==−
≡4zy20yx2
ty2
1zy3
1xs , se pide halla la
perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos) Cualquier recta r que se apoya en s y en t, tiene como vector director la diferencia entre los puntos generales de las dos rectas, como esta tiene que ser perpendicular a los dos el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas es nulo. Así se hallaran los parámetros que nos dará la ecuación de la recta r pedida, posteriormente al hallazgo previo del punto S de corte de la recta s con la recta r, después hallaremos el punto T, punto de corte con la recta t y la distancia pedida es la que hay entre estos puntos
μλ y
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u5140012011T,Sdt,sd
0,2,1T144z
12y1x
T
1z220y101x
r1,0,1S021z
0y031x
S
1,2,014025,120,1031v11313
013130012502732731690273273294
02121130131314
0168204231084102393
0425,2,314,2,10425,2,312,1,3
0vvvv0vvvv425,2,314421,2,31v
4,2,1v44z
2yx
t4x4z4zx4
x2yt
2,1,3v21z
y31x
s
222
r
trtr
srsrr
t
s
=++=−+−+−==
⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒
⋅+−=⋅=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
α+=α−=α−=
=α⋅+=≡⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒
⋅+==
⋅+=
−=⋅−⋅+⋅−−⋅+=⇒=μ⇒−=μ−
⇒=+μ−⇒=λ⇒=λ⇒⎩⎨⎧
=−μ+λ−=+μ−λ
⇒⎩⎨⎧
=+μ−λ=+μ−λ
⇒⎩⎨⎧
=μ−λ++μ−λ+μ−λ+=μ−λ++μ−λ+μ−λ+
⇒⎩⎨⎧
=μ−λ+μ−λμ−λ+⋅=μ−λ+μ−λμ−λ+⋅
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅⇒⊥=⋅⇒⊥⇒μ−λ+μ−λμ−λ+=μ−+λ+μ−λμ−λ+=
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒
μ+−=μ=μ=
≡⇒⎩⎨⎧
−=⇒=−=
≡
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒
λ+=λ=λ+=
≡
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.
OPCIÓN A
E1.-a) Dadas las funciones ( ) ( ) x1xgyxlnxf −== , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x =2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) E2a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)
b) Calcular dxxsen1
xcos2∫ +
(1 punto)
E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)
b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (1 punto) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛200100
X2010
E4.- Se considera la recta con ⎩⎨⎧
=−=+−
≡4zay
0azyxr ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .
a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/2010.
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/2010.
OPCIÓN B
E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos)
E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim
1x2ax2lim 2
32
0x
5x
x
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
→
+
+∞→
E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: , ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−+=+−
az3yx1zayx
a1azyx2
a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)
E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4
6yxr −=+
=≡ y el plano
, se pide: 012z6x6 =−+≡πa) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)
b) Hallar los puntos Q de r que distan 2
1unidades de longitud de π (1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A E1.-a) Dadas las funciones ( ) ( ) x1xgyxlnxf −== , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) ( ) ( ) x1xgyx1xlnxf −=−==
-2
-1
0
1
2
0 1 2
Y
3
X
( )
( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 222
21
221
2
1
21
2
1
2
1
2
1
u232ln2
231102ln212
211211ln112ln2A
x21x1xlnxdxx1dxxlndxx1dxxlnA
xdxvdvdxxdxduuxln
1xlnxxxlnxdxxlnxxdxxxlnxdxxln
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−−−=−⋅+−−−⋅−−⋅=
⋅+−−⋅=−−=−+=
⎪⎩
⎪⎨⎧
==⇒=
=⇒=
−⋅=−⋅=−⋅=⋅−⋅=
∫ ∫∫ ∫
∫
∫∫∫
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del problema E1 de la opción A
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1xenderivableesNo
3xflim1xflim1f1x'flim1'f3x'flim
1xsi11xsi3
x'f
1xenContinuaEs
8xflimxflim1f851.3xflim1f851.3xflim
1xsi7x1xsi5x3
xf
)b
1x1x1x
1x
1x1x1x
1x
=
=≠==⎪⎩
⎪⎨⎧
⇒==
=⇒
⎩⎨⎧
≤<
=
=
===⎪⎩
⎪⎨⎧
⇒=+==
=+=⇒
⎩⎨⎧
≤+<+
=
−++
−
−++
−
→→→
→
→→→
→
E2.- a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)
b) Calcular dxxsen1
xcos2∫ +
(1 punto)
a) Si, se puede asegurar, como también se puede asegurar que habrá un cero en ese intervalo
Teoremas que lo confirman
Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.
De este teorema se deriva el teorema del valor intermedio que determina que si f una función continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cada u tal que f(a) < u < f(b), existe un c dentro de (a,b) tal que f(c) = u. La misma conclusión se obtiene para el caso que f(b) < f(a). En nuestro caso p(0) = -5 < p(3) = 7, entonces como p(0) < 2 < p(3), existe un valor c dentro de (0 , 3) tal que p(c) = 2
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema E2 de la opción A
( )
dtdxxcostxsen
Kxsentgarcttgarcdxt1
dtdxxsen1
xcos)b 22
=⇒=
+==+
=+ ∫∫
E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)
b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (1 punto) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛200100
X2010
⎩⎨⎧
−==
⇒±=⇒⋅==4B
4B16BI16BB
)a
22
b) X es una matriz de tamaño 2 x 3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
===ℜ∈ℜ∈ℜ∈
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛100cba
X
1f0e0d
cba
200100
f2e2d2fed
200100
fedcba
2010
E4.- Se considera la recta con ⎩⎨⎧
=−=+−
≡4zay
0azyxr ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .
a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos) a) Para que r sea paralela al plano se tiene que cumplir que los vectores directores de la recta y el plano sean perpendiculares y, por lo tanto, su producto escalar es nulo.
π
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=
=+
=⇒
±=⇒>=+=−⋅⋅−−=Δ⇒=−−
⇒=++−⇒=⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
≡−≡
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=λ=
λ−+=≡⇒+−=⇒−+=⇒=+−⇒
⎩⎨⎧
=−=+−
≡
ππ
π
12
31a
22
31a
291a0981214102aa
0a1a101,1,1a,1,a10vvvv1,1,1v
a,1,a1v
ay4zy
a1a4xray4zya1a4xa4yayx
a4azya0azyx
r
22
22rr
2r
2
222
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema E2 de la opción A b) Al ser paralela se calculará la distancia de unos de sus puntos R, al plano dado π
( )( ) ( ) ( ) ( )
u3
323
2111
2408,Rd,rd4,0,8R
y24zy
2124xr
222
2
==++
−−++=π=π⇒−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=λ=
λ−+⋅=≡
c) La recta es secante, ya que no puedes ser paralela por lo tanto la distancia de la recta al plano es cero.
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos) Llamando b a la longitud de la base cuadrada y H a la altura
( ) ( )
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
===
=⇒⇒>⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⋅==
⇒==⇒=⇒=−⇒=−
⇒=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −==⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
+=+⋅⇒+⋅+⋅=⋅⋅++⋅=
=⇒⋅=
cm5'736270
6270H
cm6btecosMínimo0
64326256''P
b432b25
b432b2b325
b216bb2bb325
dbPd''P
.cm6216b216b0216b0b
216b0'Pb
216b25'P
b1080b55
b1080b55
dbdP'P
b1080b52́5
b270b4b52́5P
bH4b52́5bH20b5'12bH20b5b5'7b5'15bH4b5Pb270HHb270
23
3
3
3
3
33
4
322
2
2
3332
3
2
3
2
3
22
22
222222
22
E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim
1x2ax2lim 2
32
0x
5x
x
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
→
+
+∞→
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]1a01a0
21aee1e
0cos22
02cos2062
x2cos2x62lim
xsenxcos2x62lim
xsenxsenxcos2x62lim
eee
1a1x2
11lim
00
xcosxsen2x3x2lim
00
xsenxxlim
1a1x2
11lim1x21a
1x21x2lim
1x21a1x2lim1
1x2ax2lim
021a
21a
0x220x20x
21a
1x25a5x1alim
1x25a5xaxlim
1x21a
5xlim
1a1x2
x
Hopital'LAplicando2
0x
Hopital'LAplicando2
32
0x
5x
x
5x
x
5x
x
5x
x
xx
x
−=⇒=+⇒=+
⇒=⇒=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅=
⋅⋅⋅−
=⋅−
=−⋅−
=−⋅+⋅
−
===
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅⋅
−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==
−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−++−
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
++
→→→
+−
+++−
+++
−+
⋅+
+−
+∞→
→→
+
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
∞+
+∞→
+∞→+∞→
+∞→
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: , ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−+=+−
az3yx1zayx
a1azyx2
a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)
( )
{ } ( )
( )
( ) ( )0,0,1Solución04
igualescolumnasDos04
211111212
x
04
igualescolumnasDos04
311111122
y144
4321116
4311111112
x
adominDeterCompatibleSistema041.51A1aSi)b
leIncompatibSistema
84
6
000390
512
124
6
390390
512
44
6
130390
512
1026
6222102512
516
311151512
5aSi
leIncompatibSistema4
11
000210012
111
630210012
021
622202012
011
311101012
0aSi
adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang5,0a
5a0a
05aa0a5a0ASia5a32aa1a63111a1a12
A
2
222
⇒=−
=−
−−
=
=−
=−
==−−
=−
+−++−−=
−
−−
=
⇒≠−=−=⇒=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
≡⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
=
⇒==⇒−ℜ∈∀
⎩⎨⎧
==
⇒=−⇒=−⇒=⇒−=+−++−−=−−
=
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
7
E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4
6yxr −=+
=≡ y el plano
, se pide: 012z6x6 =−+≡πa) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)
b) Hallar los puntos Q de r que distan 2
1unidades de longitud de π (1 punto)
a) Hallaremos un recta s que pase por P y es perpendicular al plano π , para generarla utilizaremos como vector director el del plano dado. Una vez hallada la recta, calcularemos el punto de corte Q, de esta, con el plano que es el punto medio entre P y su simétrico P’
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅+−=
−=
⇒−=μ⇒−=μ⇒+μ=−
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒
+=
⋅+−=
=
⇒=μ⇒=μ⇒+μ=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+μ++μ=−⇒++
−μ+⋅+μ=−
−μ++μ=⇒++
−μ+⋅+μ=
⇒±=π⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
μ+=μ+−=
μ=≡
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⇒−=⇒−
=
=⇒+=⇒+
=
=⇒+=⇒+
=
⇒⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−==+=
≡=λ⇒=−λ⋅⇒=−λ+−⋅++λ+⋅
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ+−==
λ+=≡⇒≡==π
23,12,
23S
233z
2346y
23x
T23181261212
27,4,
21S
213z
2146y
21x
S2161261212
126186144606
1236622
126186144606
1236622
22r,d
3z46y
xr
)b
3,1,5'P
3z1z22
1z1
1y1y22
1y1
5x1x62
1x3
1,1,3Q21x
1y21x
20126012161.016
1x1y
1xs1,0,16,0,6vv
222
222
'P'P'P
'P'P'P
'P'P'P
s