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2 UNIDAD 1

1.3. MA242,201502, semana01,Tercera sesion

Los objetivos de esta sesion son revisar las operaciones elementales porfilas que nos llevaran a las matrices reducidas por filas equivalentes a lossistemas originales. Plantearemos ademas una tarea en relacion al proble-ma de estudiar las variaciones en el problema del consumidor. Finalmentemostraremos una aplicacion de las nociones geometricas desarrolladas has-ta ahora para resolver el problema de la recta de regresion de mınimoscuadrados.

1.3.1. Matriz reducida por filas

En la ultima sesion habıamos llegado a mostrar como un sistema deecuaciones lineales era rapidamente resuelto si los tenemos escrito comosigue

2n1 + 3n2 + 5n3 = 0n2 + n3 = 0

y en su forma matricial [2 3 5 00 1 1 0

]Decimos que una matriz es una matriz escalonada si

1. Todos las filas nulas (con todas las entradas cero) se encuentran alfinal de la matriz.

2. Debajo de cada pivote de la matriz, en la columna correspondiente,las entradas son ceros (un pivote es la primera entrada no nula deuna fila cuando la leemos de izquierda a derecha).

Veamos algunos ejemplos.La matriz [

2 3 5 00 1 1 0

]es matriz escalonada.

La matriz 1 −1 43 0 54 1 −2

no es escalonada porque bajo el pivote de la primera fila la entrada es 3 yno cero.

La matriz 1 4 2 −10 0 0 0−1 5 2 81 3 6 −7

no es escalonada porque la fila nula F2 no se encuentra al final de la matriz.

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MA242,201502, SEMANA01,TERCERA SESION 3

Para conseguir una matriz escalonada hacemos uso de la operacioneselementales por filas.

Nota: En una matriz escalonada el calculo del rango se simplifica, elrango de una matriz A escalonada es

r(A) = numero de filas no nulas de la matriz

1.3.2. Operaciones elementales por filas

Tenemos tres operaciones que podemos hacer con las filas:

1. Cambiar de posicion la fila Fi por la Fj . 1 5 60 0 0−2 2 7

F2 � F3

1 5 6−2 2 70 0 0

2. Cambiar la fila Fi por un multiplo de ella, kFi, donde k 6= 0. 1 5 6

−1 2 70 0 0

F1 � 2× F1

2 10 12−2 2 70 0 0

3. Cambiar la fila Fj por la suma de un multiplo de una fila Fi con ella

misma, esto es cambiarla por kFi + Fj . 1 5 6−1 2 70 0 0

F2 � 2× F1 + F2

2 10 120 12 190 0 0

Estas operaciones replican la operaciones de eliminacion de variables

que hacıamos en los sistemas de ecuaciones (ver Kolman seccion 1.1).Ejemplos para hallar el CS del sistema x+ 2y − 4z = 1

3x− y + 2z = −14x+ y − 2z = 0

Tomando la forma matricial y aplicando las operaciones elementales porfilas 1 2 −4 1

3 −1 2 −14 1 −2 0

F2 � −3× F1 + F2

1 2 −4 10 −7 14 −44 1 −2 0

1 2 −4 1

0 −7 14 −44 1 −2 0

F3 � −4× F1 + F3

1 2 −4 10 −7 14 −40 −7 14 −4

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4 UNIDAD 1

1 2 −4 10 −7 14 −40 −7 14 −4

F3 � −1× F2 + F3

1 2 −4 10 −7 14 −40 0 0 0

En este punto hemos llegado a una matriz escalonada equivalente a la

matriz original del sistema. Ahora podemos calcular el rango de la matriz

ampliada A...B y de la matriz de coeficientes A contando tan solo el numero

de filas no nulas que han quedado, r(A) = 2 y r(A...B) = 2 y como el

numero de variables es tres, tenemos que el CS es no vacıo y tiene infinitassoluciones.

Para hallar el conjunto solucion basta regresar al sistema con la matrizescalonada y observar que Z es una variable libre, y podemos considerarlacomo una variable z = t ∈ R que toma cualquier valor real, x+ 2y − 4z = 1

−7y + 14z = −40 = 0

⇔{x+ 2y = 1 + 4t−7y = −4− 14t

De manera que tenemos z = t, y = 47 + 2t y reemplazando en la primera

ecuacion tenemos

x = −2(4

7+ 2t) + 1 + 4t = −1

7

con lo que el conjunto solucion es

CS = {(x; y; z) ∈ R3/(x; y; z) = (−1

7;

4

7+ 2t; t), t ∈ R}

A la variable z la llamamos exogena (independientes, son los parametrosde las solucion) y a las variables x, y las llamamos variables endogenas(dependientes). En algunos casos conviene llegar a una forma llamada ma-triz escalonada reducida por filas. Esta es una matriz escalonada quecumple ademas

1. Todos los pivotes son uno.2. Por encima del pivote, cuando sea posible en la columna correspon-

diente, las entradas son cero.

Especialmente para el caso de SEL con infinitas soluciones es posible verclaramente las variables endogenas y las variables exogenas, y ademas evitarcualquier calculo extra al regresar al sistema no matricial.