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Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012 - I

Semana 9 CURSO : CLCULO I

Tema :

DERIVADA DE UNA FUNCIN

Definicin La derivada de una funcin f en el punto ax = denotada con )(' af (lase f prima de a) es

hafhaflmaf

h

)()()('0

+=

Si este lmite existe decimos que f es derivable en a .

Si cambiamos el punto de vista y hacemos que el nmero a vare, la definicin anterior cambia al reemplazar a con una variable x,

hxfhxflmxf

h

)()()('0

+=

Adems de )(' xf , se usan otras notaciones para la derivada de )(xfy = . Las ms comunes son )(' xf ,

dxdy

, 'y , )(xfdxd

La notacin dxdy

, se lee: La derivada de y con respecto a x

Ejemplo 1. Sea 613)( = xxf . Encuentre )4('f .

Solucin

[ ] [ ] 1313136)4(136)4(13)4()4()4('0000

===

+=

+=

hhhhlm

hhlm

hhlm

hfhflmf

2. Si xxf /1)( = , encuentre )(' xf Solucin

200

000

1)(

1

1.)(

1.)(

)(11

)()()('

xxhxlm

hxhxhlm

hxhxhxxlm

hxhxlm

hxfhxflmxf

hh

hhh

=

+

=

+

=

+

+=

+=

+=

Derivada de una funcin


3. Si xxxf 7)( 3 += , encuentre )(' xf Solucin

[ ]h

xxhxhxlmh

xfhxflmxfhh

)7()(7)()()()('33

00

++++=

+=

( ) 73733733 2220

322

0+=+++=

+++=

xhxhxlm

hhhxhhxlm

hh

INTERPRETACIN GEOMTRICA PENDIENTE DE UNA TANGENTE

Si una curva C tiene la ecuacin )(xfy = y queremos hallar la tangente a C en el punto ))(,( afaP , entonces consideramos un punto cercano ))(,( xfxQ donde ax , y calculamos la

pendiente de la recta secante PQ:

ax

afxfmPQ

=

)()(

En seguida acercamos Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a . Si PQm tiende a un nmero m (esto equivale a decir que la recta tangente es la posicin lmite de la recta secante PQ cuando Q tiende a P)

Definicin La recta tangente a la curva )(xfy = en el punto ))(,( afaP es la recta que pasa por P con la pendiente

ax

afxflmafmax

==

)()()(' siempre que exista este lmite.

Existe otra expresin para la pendiente de la recta tangente que a veces es ms fcil de usar. Sea axh = . Entonces hax += , de modo que la pendiente de la recta secante PQ es

hafhaf

mPQ)()( +

=


Advierta que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 y, de este modo, la expresin para la pendiente de la recta tangente, dada en la definicin anterior, queda

hafhaflmafm

h

)()()('0

+==

Ejemplo 4. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva 2)( xxf = en el punto (2,4).

Solucin

La recta cuya pendiente estamos buscando se muestra en la figura. Es claro que tiene una pendiente positiva grande.

( )

4)4(lim

444lim

22lim

)2()2(lim)2('

0

2

0

22

0

0

=

+=

++=

+=

+==

hhhh

hhh

hh

fhffm

h

h

h

h

5. Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva 22)( 2 ++== xxxfy en los puntos con abscisas -1, 2 y 3. Solucin

En lugar de hacer clculos por separado, parece mejor calcular la pendiente en el punto con abscisa c y luego obtener las tres respuestas deseadas por medio de sustitucin.

( ) ( ) ( )

22)22(lim

222222lim

2222lim

)()(lim)('

0

222

0

22

0

0

+=+

=

++++=

++++++=

+==

ch

hchh

cchchchch

cchchch

cfhcfcfm

h

h

h

h

Las tres pendientes deseadas (obtenidas haciendo 3,2,1=c ) son 4, -2 y -4 respectivamente.


REGLAS DE DERIVACIN

El proceso de encontrar la derivada de una funcin de manera directa a partir de la definicin de la derivada, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar herramientas que nos permitan acortar este largo proceso, de hecho nos permitir encontrar derivadas de las funciones ms complicadas que se vean.

FUNCIN DERIVADA 1. kxf =)( 0)(' =xf 2. xxf =)( 1)(' =xf 3. nxxf =)( 1.)(' = nxnxf 4. xexf =)( xexf =)(' 5. xxf alog)( =

axxf

ln1)(' =

6. xxf ln)( =

xxf 1)(' =

Derivadas de las funciones trigonomtricas xsenx

dxd

cos)( = xxxdxd

cot.csc)(csc =

senxxdxd

=)(cos xxxdxd

tan.sec)(sec =

xxdxd 2sec)(tan = xx

dxd 2csc)(cot =

Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adicin, sustraccin, multiplicacin por una constante, multiplicacin o divisin de dos funciones, sus derivadas se pueden calcular en trminos de la derivada de las funciones anteriores.

Propiedades Sea k una constante y f y g funciones diferenciables, entonces

1. [ ] )(.)(. xfdxdkxfk

dxd

=

2. [ ] )()()()( xgdxd

xfdxd

xgxfdxd =

3. [ ] )().()().()().( xgdxd

xfxfdxd

xgxgxfdxd

+=

4. [ ]2)()().()().(

)()(

xg

xgdxd

xfxfdxd

xg

xgxf

dxd

=


Derivadas de las funciones trigonomtricas inversas

1. 21

1)(x

arcsenxdxd

=

2. 21

1)(arccosx

xdxd

=

3. 211)(arctanx

xdxd

+=

4. 211)cot(x

xarcdxd

+=

5. 1

1)sec(2

=

xxxarc

dxd

6. 1

1)csc(2

=

xxxarc

dxd

Ejemplos 1. Encuentre la derivada de 561012)( 358 +++= xxxxxf Solucin

63016608 0)1(6)3(10)4(4)5(128

)5()(6)(10)(12)()561012(

2347

2347

358358

++=

+++=

+++=+++

xxxx

xxxx

dxd

xdxd

xdxd

xdxd

xdxd

xxxxdxd

2. Si xxexf =)( , encuentre )(' xf Solucin

( ) xxxxxx exeexedxd

xxdxd

exedxd

xf ).1(1..)(.)()(' +=+=+==

3. Sea 6

23

2

+

+=

x

xxy , hallar 'y

Solucin

( )( )

( )( )23

234

23

23434

23

223

23

3223

661262

6)633()6122(

6)3)(2()12)(6(

6

)6()2()2()6('

+

+++=

+

++++=

+

+++=

+

++++=

x

xxxx

x

xxxxxx

x

xxxxx

x

xdxd

xxxxdxd

x

y

4. Si arcsenxsenxxy 54 += , hallar 'y Solucin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++=++=+=2

43444

115cos4'5'''5' '

xxxsenxxarcsenxsenxxsenxxarcsenxsenxxy


5. Halle la derivada de ( )( )xxxsenxy 2tan 8 += Solucin

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )28tan2seccos

'2tan2'tan'782

88

+++=

+++=

xxsenxxxxx

xxxsenxxxxsenxy

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Encuentre la derivada de las funciones utilizando las reglas de derivacin.

1. 3)( 2 += xxf 2. 8)( 2 ++= xxxf 3. 53 35)( xxxf = 4. 237 2173)( xxxxf += 5. xxxf =

34)(

3

6. 423

)(23

xxxxf ++=

7. x

xxf 13)( 2 = 8. 2142)(x

xxf += 9. 32 5106)( = xxxxf

10. xx

xf25

31)( 2 = 11. 43

1412)(xxx

xf += 12. )1)(3(32 += r

13. )1)(1( 2 ++= zzzw 14. ( )

+++=

xxxy 1512 15.

+

+= 111

xx

xxy

16. 2352

+=

x

xy 17. 112

2

+=

x

xy 18. 5.042

+

=

r

19. 2

12

2

+

=

r 20. 12 )1)(1( += ttv 21. ( ) ( )572 1 += xxw

22. 11)(

+

=

s

ssy 23.

x

xxf

215)( += 24.

x

xxv

41 +=

25.

+=

12r 26. )1)(1(

122 ++

=

xxxy 27. )2)(1(

)2)(1(

++=

xx

xxy

28. x

xy 73 +

= 29. 22 15

t

tty += 30. 422 )1)((

x

xxxxy ++=

31. ( )

+= 3

331

r 32. )1)(1)(1( 2 ++= xxxy

33.

+= 3

42 112

3x

x

x

xy

34. 73 ++= xey x 35. xexy 3= 36. 12

3

+=

x

xxeyx

37. x

xyln

73 +=

38. ( ) 73ln12 += xxxy 39. xx exxxey ++= lnln


2. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones trigonomtricas

1. xxy cos310 += 2. senxx

y 53 += 3. 74csc += xxy

4. x

xxy 1cot2 = 5. )tan)(sectan(sec xxxxy += 6. xxsenxy sec)cos( +=

7. x

xycot1

cot+

= 8. senx

xy+

=

1cos

9. xx

ytan

1cos

4+=

10. x

x

x

xycos

cos+= 11. senxxxsenxxy 2cos2

2+= 12.

x

xycsc1csc1

+=

13. x

senxycos1

= 14. senxxy 24 = 15. ( )senxxy sec1+=

16. x

xsenxycos

cos+=

17. xxy csc.sec= 18. 1sec2 += xxy

19. ( )( )xxarcsenxy = 3 20. xxy arctan= 21. ( )x

xarcy/1sec

=

22. ( ) xxy arccos83 2= 23. ( ) xxxy arctan521 7+= 24. ( ) xarcxy csc14 8 =


INTERPRETACIN GEOMTRICA RAZN INSTANTNEA DE CAMBIO

Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Por lo tanto, y es una funcin de x y escribimos )(xfy = . Si x cambia de 1x a 2x , entonces el cambio en x (tambin conocido como incremento de x) es

12 xxx = Y el cambio correspondiente en y es

)()( 12 xfxfy = El cociente de diferencias

12

12 )()(xx

xfxfx

y

=

se llama razn promedio de cambio de y con respecto a x sobre el intervalo ].[ 21 xx y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura siguiente

Razn promedio de cambio = PQm Razn instantnea de cambio = pendiente de la tangente en P

Por analoga con la velocidad, consideramos la razn promedio de cambio sobre intervalos cada vez ms pequeos haciendo que 2x tienda a 1x y, por lo tanto al hacer que x tienda a 0. El lmite de estas razones de cambio de llama razn (instantnea) de cambio de y con respecto a x en 1xx = , lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva )(xfy = en ))(,( 11 xfxP

Razn instantnea de cambio = 12

12

0

)()(12 xx

xfxflmx

ylmxxx

=

Si consideramos hxx += 12 , entonces la razn instantnea de cambio se puede expresar como

Razn instantnea de cambio = h

xfhxflmx

ylmhx

)()( 1100

+=


RAZN (TASA) DE CAMBIO

La velocidad es slo una de las muchas tasas de cambio que sern importantes en este curso; es la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Otras tasas de cambio que nos interesarn son la densidad de un alambre (la tasa de cambio de la masa con respecto a la distancia); el ingreso marginal (la tasa de cambio del ingreso con respecto al nmero de artculos producidos), y la corriente (la tasa de cambio de la carga elctrica con respecto al tiempo). Estas tasas y muchas ms se estudian en el conjunto de problemas. En cada caso debemos distinguir entre una tasa de cambio promedio en un intervalo y una tasa de cambio instantnea en un punto. La frase tasa de cambio sin un adjetivo significar tasa de cambio instantnea.

Ejemplo 1. Una partcula se mueve a lo largo de un eje coordenado y s, su distancia dirigida en

centmetros, medida desde el origen al final de t segundos est dada por 15)( +== ttfs . Encuentre la velocidad instantnea de la partcula al final de 3 segundos. Solucin La velocidad instantnea en el instante t=3 es igual a la pendiente de la recta tangente en t=3.

++

++

+

=

+=

+++=

+=

451645164516

45161)3(51)3(5

)3()3(

0

00

0

hh

hhlm

hhlm

hh

lm

hfhflmv

h

hh

hinst

85

45165

)4516(5

00=

++=

++=

hlm

hhhlm

hh

Concluimos que la velocidad instantnea al final de 3 segundos es de 5/8 de centmetros por segundo.

2. Sea )(xV centmetros cbicos el volumen de un cubo cuyas aristas miden x centmetros, medidos con cuatro dgitos significativos. En una calculadora obtenga la tasa promedio de variacin de )(xV con respecto a x conforme x vara de (a) 3.000 a 3.200 (b) Cul es la tasa instantnea de variacin de )(xV con respecto a x cuando 000.3=x ? Solucin (a) La tasa promedio de variacin de )(xV con respecto a x cuando x vara de 1x a 2x es

80.28000.3200.3

)000.3()200.3()()( 3312

12=

=

xx

xVxV

Se ve que conforme la longitud de las aristas del cubo vara de 3.000 cm a 3.200 cm, la tasa promedio de variacin del volumen es 28.84 cm 3 por centmetro de variacin en la longitud de las aristas.


(b) La tasa instantnea de variacin de )(xV con respecto a x cuando 3=x es )3('V .

23)(' xxV = 27)3(' =V Cuando la longitud de la arista del cubo es de 3cm la tasa instantnea de variacin del volumen es 27 cm 3 por centmetro de variacin en la longitud de las aristas.

3. En un circuito elctrico, si E volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms es la resistencia, entonces de la ley de Ohms

EIR =

(a) Si se supone que E es una constante positiva, demuestre que I decrece a una tasa proporcional al inverso del cuadrado de R.

(b) Cul es la tasa instantnea de variacin de I con respecto a R en un circuito elctrico de 90 volts cuando la resistencia es de 15 ohms?

Solucin

(a) Si se resuelve la ecuacin dada para I, se obtiene

1.

= REI

Al diferenciar I con respecto a R, se tiene

22

.

RERE

dRdI

==

Esta ecuacin establece que la tasa de variacin de I con respecto a R es negativa y proporcional a 2/1 R . Por tanto, I decrece a una tasa proporcional al inverso del cuadrado de R.

(b) De la ecuacin anterior, con E = 90 y R = 15, se tiene

4.022590

==

dRdI

La corriente decrece a una tasa de 0.4 amperes por ohm.


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El coste C de pedido y transporte de las componentes utilizadas en la fabricacin de un producto es

++=

30200100

x

x

xC , 1x

Donde C se mide en miles de dlares y x es el tamao del pedido en cientos. Hallar la razn de cambio de C con respecto a x cuando a) x = 10 b) x = 15 y c) x = 20

2. Suponga que el ingreso I(n) en dlares por vender n casas esta dado por 2400)( nnnI = . Encuentra las tasas instantneas de cambio del ingreso cuando n = 10, n = 100

3. Suponga que una partcula se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su distancia dirigida medida desde el origen despus de t segundos es )4( 2 tt + pies cundo la partcula estar momentneamente detenida?

4. Un negocio est prosperando de tal manera que su ganancia total (acumulada) despus de t aos es 21000t dlares.

(a) cul fue su ganancia durante el tercer ao (entre t=2 y t=3)? (b) Cul fue su tasa promedio de ganancia durante la primera mitad del tercer ao, entre t=2 y

t=2.5? (c) Cul fue la tasa instantnea de ganancia en t=2?

5. Si un tanque contiene 5 000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque en 40 min., entonces la ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque despus de t minutos como

2

4015000

=

tV , 400 t

Encuentre la razn de drenado despus de (a) 5 min. (b) 10 min. (c) 20 min. (d) 40 min. En qu momento fluye el agua ms rpido hacia afuera? Con mayor lentitud?

6. Suponga que un cilindro circular recto tiene una altura constante de 10.00 pulg. Sea V pulgadas cbicas el volumen del cilindro circular recto, y r pulgadas el radio de su base.

(a) Determina la tasa promedio de variacin de V con respecto a r cuando r vara de 5.00 a 5.40 (b) Determina la tasa instantnea de variacin de V con respecto a r cuando r = 5.00

7. Un slido consiste de un cilindro circular recto y una semiesfera en cada extremo, y la longitud del cilindro es el doble de su radio. Sean r unidades el radio del cilindro y de las semiesferas y V(r) unidades cbicas el volumen del slido. Determine la tasa instantnea de variacin de V(r) con respecto a r.


8. Se vierte arena en un montculo de forma cnica de modo que la altura de ste es el doble de su radio. Determine la tasa de variacin del volumen del montculo con respecto al radio cuando la altura de ste es (a) 4 m y (b) 8 m

9. Se estim que un trabajador en una empresa donde se fabrican marcos para pinturas puede pintar y marcos x horas despus de comenzar a trabajar a las 8 a.m. donde,

3283 xxxy +=

(a) Determine la tasa a la que el trabajador est pintando a las 10 a.m. (b) Determine el nmero de marcos que el trabajador pintar entre las 10 y las 11 a.m.

10. Se est extrayendo el agua de una piscina y el volumen del agua, despus de t minutos de iniciada la extraccin, es V(t) litros, donde )801600(250)( 2tttV +=

(a) Determine la tasa promedio de la salida del agua de la piscina durante los primeros 5 minutos.

(b) Qu tan rpido sale el agua de la piscina 5 minutos despus de iniciada la extraccin?

11. Si un cuerpo de peso W libras es arrastrado a lo largo de un piso horizontal a una velocidad constante por una fuerza de magnitud F libras y dirigida en un ngulo de radianes con respecto al plano del piso, entonces F est dado por la ecuacin

cos+=

ksenkWF

Donde k es una constante llamada coeficiente de friccin. Si 5.0=k , determine la tasa instantnea de variacin de F con respecto a cuando (a) 4/pi = y (b) 2/pi =

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