Semina Scientiarum

Od redakcji

Szanowni Czytelnicy!

Z dużą satysfakcją piszę wstęp do tego szczególnego nume-ru Semina Scientiarum — czasopisma naukowego redagowanegoprzez studentów. Satysfakcja bierze się stąd, iż niemal wszyscy Au-torzy artykułów niniejszego numeru byli słuchaczami mojego wy-kładu monograficznego na temat niezupełności arytmetyki; bądźto w roku akademickim 2002/2003, bądź w roku 2003/2004. Oweartykuły są właściwie owocem wspomnianego wykładu. W pierw-szej części wstępu poczynię kilka uwag natury ogólnej, nawiązującdo zasadniczej myśli mego wykładu, w drugiej zaś zaprezentujęartykuły.

1.

Oba twierdzenia Godla i fenomen niezupełności, choć dobrzeznane społeczności logicznej i matematycznej, nie zostały jeszczeodpowiednio ’przetrawione’, aby stać się pożywką intelektualnądla miłośników mądrości. Mam wrażenie, że w środowisku logi-ków istnieje niepisane prawo ’zabraniające’ zajmować się filozo-ficznymi interpretacjami twierdzeń Godla. Znana jest anegdotao Alonzo Churchu, który mając wątpliwości, czy dać zaliczeniepewnemu studentowi, miał o nim powiedzieć: Byłbym skłonny daćmu zaliczenie, gdyby on był skłonny obiecać, że nigdy nie napiszeżadnego artykułu o filozoficznym znaczeniu Twierdzenia Godla1.Wydaje się jednak, że (ze względów czysto statystycznych) musisię ukazać wystarczająco dużo prac filozoficznych na ten temat,aby wśród nich znalazły się prace wybitne.

1C. A. Anderson and M. Zeleny (eds.), Logic, Meaning and Computation,Kluwer 2001, s. xii.

2 |Według mnie najważniejszymi osiągnięciami logicznymi dwu-

dziestego wieku o mocnym wydźwięku filozoficznym są:

(H) Stworzenie metody formalno–aksjomatycznej przez Hilberta.

(TS) Twierdzenie Skolema–Lowenheima.

(TT) Twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy.

(TG) Twierdzenia Godla o niezupełności (TG1, TG2).

(TC) Teza Churcha.

Ścisłe twierdzenia (TS), (TT) i (TG) w sposób zaskakującyograniczają metodę Hilberta obiecująco rozwiniętą przez Tarskie-go (definicja prawdy) i Godla (twierdzenie o pełności). (TC) jestkolejnym ’zaskoczeniem’ działającym na korzyść (H). O ile (TC)jest prawdziwa, to przynajmniej dla jednego pojęcia intuicyjnego— ’funkcji obliczalnej przez algorytm’ — da się podać adekwatnąi formalną charakterystykę. Dodatkowo pomiędzy (TG1) a (TC)zachodzi następujący nietrywialny związek2:

¬(TG1)⇒ ¬(TC)

(TC) jest jedynie tezą, bo nie posiada dowodu. Niektórzy są-dzą, że jej ścisły dowód nie jest możliwy. Wiadomo natomiast, jak(TC) sfalsyfikować. Osobiście przypuszczam, że (TC) jest twier-dzeniem pewnej nieistniejącej jeszcze nauki, na gruncie którejznajdzie empiryczne uzasadnienie. Ma to być nauka o podmio-cie i do tego powinna mieć charakter empiryczny. Użyty powyżejzwrot ’mocny wydźwięk filozoficzny’ w odniesieniu do osiągnięćlogiki można teraz wyrazić następująco: tym wynikom logicznymodpowiadają twierdzenia nauki o podmiocie.

2Nazywam go nietrywialnym ponieważ nie zakłada się w dowodzeniu tegookresu warunkowego fałszywości (TG1). Por. S. C. Kleene, „Reflections onChurch’s Thesis”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 28 (1987), ss. 490–498.

�3

Dobrze rozumiem, że ktoś może pomyśleć, iż autor tych zdańjest ’nawiedzony’. Dlatego wesprę się autorytetem wielkiego Hil-berta. Już w odległym roku 1905, w nieopublikowanym wykładziept. Logische Principien des mathematischen Denkens, postulowałon istnienie nauki metodologicznie wcześniejszej od matematy-ki i nawet sformułował w przybliżeniu jeden z jej aksjomatów.Ów aksjomat nazwał Aksjomatem Myślenia (Aksjomatem Istnie-nia Inteligencji). Wydaje się, że jego treść można wyeksplikowaćw następujący sposób3:

• Ja istnieję i myślę rzeczy (czy też o rzeczach).

• Ja mogę te myślane rzeczy oznaczać za pomocą prostychznaków.

• Ja mogę te znaki zawsze jednoznacznie rozpoznać.

• Ja myśląc operuję pomyślanymi rzeczami za pomocą ichoznaczeń.

• Ja mogę prawa tego operowania poznać przez samo–obserwację.

• Ja mogę te prawa zupełnie opisać.Ze względu na (TG1) punkt szósty (i czwarty) podanej wy-

żej Hilbertowskiej charakteryzacji podmiotu wydaje się trudny dozaakceptowania. Z dowodu (TG1) i koncepcji maszyny Turingamożna wywieść taki oto wniosek4:(TG1’) Dla dowolnej maszyny Turinga TM, istnieje taka

maszyna Turinga TM1, która zastosowana do ma-szyny Turinga TM (która ma wyliczać same praw-dy arytmetyki i żadnego fałszu) znajdzie prawdęarytmetyki opuszczoną przez TM.

3Aksjomat ten wymaga jeszcze wielu badań.4K. Godel, „On formally undecidable propositions of Principia Mathema-

tica and related systems. I”, [w:] J. van Heijenoort (ed.), From Frege to Godel,ss. 596–616; S. C. Kleene, Introduction to metamathematics, Van Nostrand1952, pragraf 60.

4 |

A stąd już tylko krok do twierdzenia, iż:

(TG1”) Podmiot myślenia Hilberta nie istnieje.

Ale (TG1”) nie należy do logiki (metalogiki), lecz do owej postu-lowanej nauki.

2.

Numer czasopisma, który oddajemy do rąk Czytelnika, zawie-ra jedenaście artykułów oraz cztery recenzje. Omówię je krótkow kolejności, w jakiej zostały opublikowane.

Artykuły zostały ułożone w taki sposób, aby najpierw przybli-żyć Czytelnikowi samą postać Kurta Godla. Czyni to znakomiciePan Tomasz Furman, opisując dzieje życia i główne fazy rozwojunaukowego austriackiego logika. W dużej mierze artykuł ten opie-ra się na książce Dawsona, której recenzja zamieszczona jest takżew tym numerze Semina Scientiarum.

Siostra Teresa Obolevitch zapoznaje nas z ważnymi (i z dzi-siejszej perspektywy ’nieortodoksyjnymi’) poglądami filozoficznymGodla. W szczególności rozważane są założenia filozoficzne w opar-ciu o które tworzył Godel i postawione zostaje pytanie o implikacjefilozoficzne twierdzeń o niezupełności.

Artykuł Pani Anny Brożek jest próbą odpowiedzi na pyta-nie: czy i w jakim sensie twierdzenia Godla zadały śmiertelny ciosprogramowi Hilberta? Możemy prześledzić intuicyjną zawartośćdowodu pierwszego twierdzenia o niezupełności i dowiedzieć się,dlaczego Godel nie uważał, że zanegował program Hilberta całko-wicie. Pani Brożek prezentuje także recenzję książki K. WójtowiczaPlatonizm matematyczny.

Zdecydowanie najbardziej formalny charakter ma artykuł Pa-na Leszka Wrońskiego, w którym elegancko podane zostały ścisłedowody obu twierdzeń Godla z warunków Bernaysa–Loba orazpokazano na przykładzie, jakie kłopoty formalne mogą wyniknąć

�5

z nieuważnego posługiwania się formułą wyrażającą niesprzecz-ność arytmetyki5.Następny artykuł rozpoczyna serię pięciu prac, w których mło-

dzi filozofowie prezentują swoje własne uwagi na temat tytułowychtwierdzeń.I tak, Pan Robert Piechowicz zastanawia się nad tym, jakie ce-

chy twierdzeń matematycznych sprawiają, ze twierdzenie staje sięatrakcyjne matematycznie. Rozważa trzy cechy twierdzenia Godla:kontekst filozoficzny, ogólność twierdzenia i jego paradoksalność.Ten sam Autor w dziale recenzji omawia niedawno wydaną książkęS. Krajewskiego o twierdzeniu Godla.Pani Anna Tomaszewska rozważa tzw. argument Lucasa prze-

ciwko mechanicyzmowi, czyli jedną z najczęściej omawianych filo-zoficznych konsekwencji twierdzeń Godla. Przytacza zarzuty naj-częściej formułowane pod adresem Lucasa i w szczególności roz-waża jeden z nich wykazujący, że argument Lucasa jest sprzeczny.Pan Paweł Rojek zapoznaje nas z rozważaniami rosyjskiego

logika i filozofa W. I. Moisiejewa na temat podobnej strukturygenerowania zbiorów w antynomii Russella i zdań godlowskich.Autor próbuje zastosować te rozważania do rozważań z filozofiitradycyjnej – dokładnie filozofii Absolutu6.Artykuł Pana Pawła Polaka ma szczególny charakter. Prezen-

tuje samodzielne spostrzeżenia na temat: jakie przymioty musiposiadać podmiot, aby stworzyć system formalny? Jest to zagad-nienie, które zaproponowałem Autorowi. Myślę, że w kontekściepierwszej części niniejszego wstępu łatwiej będzie zrozumieć senstych ciekawych spostrzeżeń.Artykuł autorstwa Pana Wojciecha Załuskiego omawia rolę, ja-

ką odegrały Aksjomat Determinacji i Aksjomat Wyboru w rozwa-żaniach na temat Hipotezy Continuum. Hipoteza ta jest zdaniem

5Przy czytaniu trzeba zwrócić uwagę na to, że w pracy termin ’funkcjerekurencyjne’ znaczy ’funkcje częściowo rekurencyjne’.6Praca ta została napisana w czasie pobytu naukowego Autora na uniwer-

sytecie w Woroneżu (Rosja).

6 |

niezależnym od aksjomatyki ZFC, a zatem szczególnym przykła-dem dla pierwszego twierdzenia Godla. Artykuł ma za zadaniepopularyzację tych bardzo trudnych zagadnień.Pani Maria Piesko w kolejnym artykule próbuje spojrzeć na

wyniki Godla w kontekście ’programu’ Leibniza. Pojawia się przytej okazji ciekawy wątek ujęcia zdań godlowskich w takich katego-riach filozoficznych jak a priori oraz analityczność. Ta sama Au-torka w jednej z recenzji bez żadnej litości rozprawia się z książkąJ. Casti, W. Pauli, Godel. Życie i logika.W ostatnim artykule Pan Ryszard Philipps z szerokiej perspek-

tywy omawia spór o to, czy umysł jest maszyną, czy też nią niejest. Bazuje przy tym na twierdzeniach limitacyjnych, do którychnależy (TG1) i (TG2).Na koniec chciałbym podkreślić, że Autorzy prac – młodzi fi-

lozofowie – studiują zagadnienia bardzo trudne, wymagające du-żej staranności i pracowitości. Można przypuszczać, że ludzie cito przyszłe pokolenie profesorów, którzy za jakiś czas będą pro-wadzić własne katedry. Ich dynamiczny rozwój intelektualny jestdobrym prognostykiem dla polskiej filozofii, z czego się bardzo cie-szę. Chcę w tym miejscu podziękować im za możliwość i zaszczytprowadzenia dla nich zajęć.

Adam Olszewski

Semina � Nr 3Scientiarum 2004

Tomasz Furman

Życie „Pana Warum”

Kurt Godel już jako dziecko wykazywał się wyjątkową docie-kliwością i bystrością umysłu. Z tego powodu, gdy miał czterylata, jego rodzice oraz starszy brat nadali mu przezwisko „PanDlaczego” (der Herr Warum). Kurt nie tylko bezustannie zada-wał pytania, co jest charakterystyczne dla większości dzieci, alenigdy z tego nie wyrósł. Właściwa dzieciom ciekawość świata orazciągłe poszukiwanie przyczyn zjawisk, które dla innych wydają sięoczywiste, być może najtrafniej oddają jego nastawienie do świata.Wśród pytań stawianych przez małego Kurta często pojawiały sięte, które większość dorosłych uznaje za nie mające odpowiedzi.Jednakże takie tłumaczenie Godel od najmłodszych lat stanow-czo odrzucał. Głęboko wierzył bowiem w ukryty pod powierzch-nią pozornie przypadkowych zjawisk wewnętrzny porządek świata.Wśród znalezionych już po jego śmierci zapiskaów znajduje się li-sta zasad, które uważał za najbardziej fundamentalne. Pierwszaz nich mówi: Świat jest racjonalny1. To przekonanie Godel ży-wił przez całe swoje życie i być może właśnie ono skierowało jegouwagę w stronę matematyki, którą uważał za egzemplifikację ro-zumności i porządku2.Na wyjątkową ze wszech miar osobę Kurta Godla należy jed-

nak spojrzeć również od innej strony. Oto bowiem genialny logik,matematyk, ale także fizyk i filozof okazał się być prywatnie czło-wiekiem naiwnym, zamkniętym w sobie, w wielu wypadkach uza-leżnionym od opieki i dobroci najbliższych. Bez wątpienia wybitne

1J. W. Dawson, Logical Dillemas.The Life and Work of Kurt Godel, A. K.Peters, Wellesley, Massachusetts 1997, s. 1.2Zob. ibidem, s. 2.

8 | Tomasz Furman

osiągnięcia naukowe Godla nie byłyby możliwe gdyby nie miłośći poświęcenie jego żony Adele oraz niewielkiego, aczkolwiek od-danego grona najbliższych przyjaciół. Nie wolno zapomnieć, że towłaśnie im w wielu wypadkach Godel zawdzięczał życie, wreszcie,że to oni musieli znosić trudności życia z geniuszem, jego rozmaitedziwactwa oraz skutki choroby psychicznej.

Brno

Niemiecka z pochodzenia rodzina Godlów od co najmniej czte-rech pokoleń mieszkała na Morawach, będących wówczas częściąmonarchii austro–węgierskiej, z czego część w Brnie — ówczesnymcentrum przemysłu włókienniczego. Godlowie pracowali główniejako handlowcy, ale nigdy nie odnosili większych sukcesów —z jednym wszakże wyjątkiem: Rudolf August Godel (ojciec Kur-ta) przechodząc kolejne stopnie kariery został w końcu współwła-ścicielem fabryki tekstyliów. 22 kwietnia 1901 poślubił MarianneHandschuh, z którego to związku na świat przyszli dwaj synowie:Rudolf — 7 lutego 1902 r. oraz Kurt — 28 kwietnia 1906 r. OjciecKurta był katolikiem, matka protestantką, niemniej żadne z nichnie było zbyt religijne, co nie pozostało bez wpływu na religijnośćdzieci — Rudolf został agnostykiem, Kurt zaś w pewnym przynaj-mniej sensie wierzącym (pod koniec życia swoją wiarę określił jakoraczej teistyczną niż panteistyczną, bardziej w duchu Leibniza niżSpinozy3). Warunki, w jakich przyszło dorastać młodym chłopcombyły bardzo komfortowe — dzięki stanowisku ojca Godlowie moglisobie pozwolić na zatrudnienie pomocy domowej, nauczycielki dlasynów, a także na liczne wyjazdy do kurortów wypoczynkowych,które dużo później z nostalgią wspominał dojrzały już Kurt.Obaj chłopcy od samego początku byli silnie emocjonalnie

związani z matką, z którą spędzali większość czasu (Kurt po emi-gracji do Stanów Zjednoczonych aż do jej śmierci w 1966 r. utrzy-mywał z nią ożywioną korespondencję listową). Ojciec, z powo-

3Ibid., s. 6.

Życie „Pana Warum”�9

du interesów, w domu przebywał o wiele rzadziej, ale mimo towspominany był ciepło jako ten, który zapewnił rodzinie dobro-byt, a dorastającym synom wszechstronną edukację.W roku 1912 Kurt Godel rozpoczął naukę w prywatnej, prote-

stanckiej szkole podstawowej. Był wzorowym uczniem, otrzymy-wał wyłącznie najwyższe stopnie, choć stosunkowo często ze wzglę-dów zdrowotnych zmuszony był opuszczać lekcje. Prawdopodobniejuż wtedy należy szukać początków tak znamiennej dla całego je-go życia hipochondrii. Jako chłopiec, ale też później jako dojrzałymężczyzna, miał w zwyczaju dużo czytać o dolegliwościach, naktóre zapadał i przyjmować — oczywiście wbrew opiniom lekarzy— wyłącznie najgorsze scenariusze rozwoju choroby.Spokojnego i systematycznego życia Godlów nie zakłócił nawet

wybuch I wojny światowej. Rudolf August nie został powołany dosłużby wojskowej, dzięki czemu mógł się nadal troszczyć o swojąrodzinę.W 1916 r. Kurt ukończył szkołę podstawową i został zapisany

przez rodziców do ośmioletniego gimnazjum w Brnie, cieszącego sięopinią jednego z najlepszych w całym Cesarstwie, a potem takżew Czechosłowacji. W ciągu lat spędzonych w szkole Kurt miał za-ledwie dwóch bliskich kolegów. Większość swojego czasu poświęcałnauce, w szczególności matematyce, fizyce i językom obcym, choćze wszystkich przedmiotów otrzymywał najwyższe stopnie4. W ro-ku 1924 ukończył gimnazjum jako jeden z najlepszych uczniów.Sam Godel o swojej szkole nie miał zbyt wysokiego mniemania.

W szczególności, jak twierdził5, pobyt w gimnazjum nie miał wpły-wu na rozbudzenie jego zainteresowań matematyką oraz naukamiścisłymi. Takim przełomowym wydarzeniem miała być natomiastrodzinna wycieczka do Marienbadu w 1921 r., podczas której zapo-znał się z biografią i teorią barw Goethego, a także jego konfliktemz Newtonem.

4Raz tylko zdarzyło się, że na świadectwie miał ocenę niższą od najwyższej(i to z matematyki!).5Zob. J.W. Dawson, dz. cyt., s. 18.

10 | Tomasz Furman

Wiedeń

Jesienią 1924 r. Godel wstąpił na Uniwersytet w Wiedniu z za-miarem studiowania fizyki. Ponieważ jednak niemiecki model uni-wersytetu, obowiązujący także w Wiedniu, pozwalał studentomna dużą swobodę w doborze przedmiotów, prawdopodobnie już napierwszym albo drugim roku studiów Kurt zdecydował się zająćbliżej matematyką. Stało się to pod wpływem wykładów profeso-ra Philippa Furtwnglera z zakresu teorii liczb, które cieszyły sięwówczas ogromną popularnością i gromadziły nierzadko po kilku-set słuchaczy.

Godel w czasie całych studiów związany był wyłącznie z Uni-wersytetem w Wiedniu, chociaż powszechnym zwyczajem wśródstudentów było wtedy pobieranie nauk na różnych uniwersytetach(na przykład współczesny Godlowi Carl Hempel studiował kolej-no w Getyndze, Heidelbergu, Berlinie i Wiedniu). Motywy Godlabyły prawdopodobnie natury praktycznej — w Wiedniu wynaj-mował, wspólnie ze studiującym medycynę bratem, mieszkanie,tutaj miał krewnych, którzy mogli mu służyć pomocą w trudnychsytuacjach, a poza tym niedaleko leżało rodzinne Brno.

Z zachowanych do dzisiaj materiałów wiadomo, że Godel w cią-gu pierwszych lat studiów uczęszczał na wykłady Heinricha Gom-perza z historii filozofii, interesował się kinetyczną teorią mate-rii, czytywał pisma Euklidesa, Riemanna, Lagrange’a, Eulera, jakrównież Metaphysiche Anfangsgrnde der Naturwissenschaft Kan-ta. Uczestniczył także w cotygodniowym seminarium prowadzo-nym przez filozofa Moritza Schlicka, poświęconym Introduction toMathematical Philosophy Bertranda Russella.

Jak przyznał później Godel, dwie osoby w sposób szczegól-ny wpłynęły na kierunek jego zainteresowań, a następnie samo-dzielnej pracy badawczej: wspomniany Philipp Furtwngler orazHans Hahn, wybitny matematyk, specjalista w dziedzinie topologiii analizy funkcjonalnej, którego uwaga od początku lat dwudzie-stych skupiła się na filozofii i podstawach matematyki. To właśnie


Hahn odegrał decydującą rolę w sprowadzeniu doWiednia MoritzaSchlicka w 1922 r. i to pod jego kierunkiem napisał swój doktoratGodel. Wreszcie, co być może najbardziej znaczące, należał on doniewielkiej grupy osób, nazwanej potem Kołem Wiedeńskim (odmanifestu ogłoszonego w 1929 r.), inspirowanych pozytywistycznąfilozofią Ernsta Macha, która co tydzień spotykała się na dysku-sje w jednej z wiedeńskich kawiarni6. Nieformalnym przywódcągrupy był Schlick, chociaż to Hahn był tym, który skierował uwa-gę jej członków na kwestie logiczne. Z czasem grono dyskutantówpowiększało się i dzięki naleganiom ze strony dwóch studentów:Friedricha Waismanna i Herberta Feigla, Schlick zgodził się nadaćspotkaniom bardziej formalny charakter. Odbywały się one nadalw czwartki wieczorem, ale już nie w kawiarni, tylko w uniwersy-teckim budynku Instytutu Matematyki.Na spotkania Koła Wiedeńskiego można się było dostać wy-

łącznie dzięki zaproszeniom. Kurta Godla zaprosił w 1926 r. za-pewne Hahn albo Schlick, gdy dyskutowany był po raz drugi Trac-tatus logico — philosophicusWittgensteina. Od tego czasu aż do1928 r. Godel był stałym uczestnikiem posiedzeń Koła. Po 1928 r.pojawiał się już tylko sporadycznie.W latach późniejszych Godel zdecydowanie sprzeciwiał się

przypisywaniu mu poglądów Koła Wiedeńskiego. Na spotkaniachnigdy jednak nie krytykował otwarcie głoszonych tam tez. W ogó-le rzadko zabierał głos, wolał raczej przysłuchiwać się i jedynieod czasu do czasu wtrącać uwagi. Mimo to Koło odegrało zna-czącą rolę w jego życiu. Po pierwsze, dzięki niemu nawiązał wieleznajomości, które okazały się owocne dla jego późniejszej pracynaukowej, po drugie zaś, lansowane przez Koło rozwiązania okre-ślonych problemów — głównie filozoficznych — stały się punktemwyjścia dla jego własnych przemyśleń i poszukiwań7.

6Pozostali to m. in. Moritz Schlick, Richard von Mises, Karl Menger, OttoNeurath, jego żona Olga, Rudolf Carnap oraz Philipp Frank.7Zob. J.W. Dawson, dz. cyt., ss. 26 nn.

12 | Tomasz Furman

Rok 1929 przyniósł rewolucyjne zmiany w życiu Godla: 23 lu-tego niespodziewanie w wieku 54 lat zmarł jego ojciec, 6 czerw-ca otrzymał austriackie obywatelstwo, a dokładnie miesiąc późniejobronił swoją pracę doktorską, w której dowiódł twierdzenia o peł-ności8 dla logiki pierwszego rzędu. Wreszcie w tym samym mniejwięcej czasie poznał swoją przyszłą żonę — Adele Nimbursky z do-mu Porkert.Nie wiadomo dokładnie kiedy Godel bliżej zainteresował się lo-

giką i podstawami matematyki, porzucając dotychczasowe studianad jej bardziej klasycznymi dziedzinami, jak na przykład teoriąliczb czy funkcji. Nie wiadomo także, co zwróciło jego uwagę naproblem pełności logiki pierwszego rzędu, postawiony przez Hil-berta i Ackermanna w książce z 1928 r. pt. Grundzge der theore-tischen Logik, a następnie przez Hilberta na MiędzynarodowymKongresie Matematyków w Bolonii we wrześniu 1928 r. Nie jestrównież do końca jasne, jaką rolę przy pisaniu dysertacji Godlaodegrał jego promotor Hans Hahn. W rozmowie z Hao WangiemGodel stwierdził, że całą pracę ukończył zanim w ogóle pokazał jąHahnowi, a jednocześnie już w pierwszym przypisie opublikowa-nego doktoratu dziękował Hahnowi za wiele cennych wskazóweki okazaną pomoc w czasie pisania rozprawy9.Po uzyskaniu doktoratu Godel zaczął poważnie myśleć o konty-

nuowaniu pracy naukowej na Uniwersytecie. Procedura wymagałajednak, aby najpierw napisał habilitację. Dlatego też rok 1930 po-święcił w znacznej mierze próbom upowszechnienia wyniku swoje-go doktoratu oraz poszukiwaniom tematu rozprawy habilitacyjnej.Dowód twierdzenia o pełności był bez wątpienia dużym osią-

gnięciem, niemniej w środowisku logików nie wywołał rewolucji.Po pierwsze dlatego, że było to rozwiązanie, jakiego wszyscy sięspodziewali, po drugie zaś zastosowana przez Godla metoda do-

8W używanym tutaj sensie pełność systemu formalnego oznacza, że każ-da prawdziwa formuła tego systemu może zostać w skończonej liczby krokówwyprowadzona z jego aksjomatów.9Zob. J. W. Dawson, dz. cyt., s. 54.


wodzenia była podobna do tej zastosowanej już wcześniej przezSkolema i Lowenheima10. Aby zwrócić na siebie uwagę Godel po-trzebował spektakularnego sukcesu.Po raz pierwszy o odkrytych przez siebie twierdzeniach o niezu-

pełności11 Godel napomknął 26 sierpnia 1930 r. w rozmowie z Car-napem, Feiglem i Waismannem. Głównym tematem spotkania byłplanowany na wrzesień wyjazd do Królewca na MiędzynarodowąKonferencję poświęconą epistemologii nauk ścisłych (Carnap i Wa-ismann mieli tam wygłosić odczyty, Godel zaś zaprezentować wy-nik swojego doktoratu). Z przebiegu dyskusji i późniejszego zacho-wania Carnapa jasno wynika, że zupełnie nie zrozumiał on wtedydoniosłości odkrycia Godla.Konferencja w Królewcu trwała trzy dni, od 5 do 7 września

1930 r. Pierwszego dnia zaprezentowano trzy dominujące stanowi-ska w filozofii matematyki: logicyzm, intuicjonizm i formalizm (od-czyty mieli odpowiednio Rudolf Carnap, Arend Heyting i John vonNeumann). Godel o swoim doktoracie mówił nazajutrz przez oko-ło 20 minut, zaś ostatniego dnia konferencji miała miejsce otwartadyskusja podsumowująca. Wtedy to właśnie Godel niespodziewa-nie oznajmił, że można podać przykłady zdań [. . . ], które choć sąintuicyjnie prawdziwe, to nie można ich dowieść w formalnym sys-temie matematyki klasycznej 12. Spośród obecnych na sali prawdo-podobnie tylko słynący ze swej bystrości umysłu von Neumann odrazu zrozumiał sens wypowiedzi Godla, którego zaraz po zakoń-czeniu konferencji poprosił o bliższe wyjaśnienia.W znacznym stopniu to właśnie dzięki von Neumannowi od-

krycie Godla stało się szerzej znane. W wygłaszanych przez siebiewykładach w Europie oraz Ameryce często wspominał o młodymmatematyku z Wiednia, który dokonał rewolucyjnego odkryciaz zakresu podstaw matematyki. Ostatecznie von Neumann został

10Zob. J. W. Dawson, dz. cyt., s. 60.11System formalny jest zupełny, jeśli dla każdego sensownego zdania danegojęzyka, albo samo to zdanie, albo jego negacja posiadają w ramach systemusformalizowany dowód.12Ibid., s. 69.

14 | Tomasz Furman

jednym z najbliższych przyjaciół Godla oraz jego opiekunem poemigracji do Stanów Zjednoczonych.Godlowskie twierdzenia o niezupełności wykazały, jak się dziś

przyjmuje, ograniczoność epistemologiczną metody dedukcyjnej13.Pierwsze twierdzenie głosi, że każdy system aksjomatyczny, zawie-rający w sobie arytmetykę liczb naturalnych i niesprzeczny, musibyć niezupełny14, drugie, że dowód niesprzeczności teorii aksjo-matycznej zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie może byćprzeprowadzony w metamatematyce nie operującej środkami wy-kraczającymi poza te, które mieszczą się w samej rozważanej teo-rii15. Wyniki Godla wywołały prawdziwe „trzęsienie ziemi” w ma-tematyce. Przede wszystkim zaś podważyły stanowisko Hilberta,który był przekonany o zupełności arytmetyki oraz twierdził, żew metamatematyce, przy pomocy środków finitystycznych, możnabędzie wykazać w sposób bezwzględny, niesprzeczność arytmetykiliczb naturalnych16.Jednakże mimo entuzjastycznego przyjęcia rewolucyjnych

twierdzeń o niezupełności przez von Neumanna, spotkały się onez silną opozycją ze strony znacznej części matematyków, i to tychnajwybitniejszych (m. in. Zermelo). Jedną z przyczyn był fakt, żeGodel nie podał ścisłego dowodu drugiego ze swych twierdzeń17.Ale fundamentalne znaczenie miały w tej kwestii bez wątpieniaprzekonania filozoficzne i pragnienie ich obrony za wszelką cenę.Godel po raz kolejny w swojej krótkiej karierze nauko-

wej doznał bolesnego rozczarowania. Niedługo po opublikowaniuw 1931 r. swojej rewolucyjnej pracy popadł w głęboką depresję.Jego brat i matka obawiając się, że może popełnić samobójstwo,umieścili go pod przymusem na okres kilku tygodni w sanatoriumw Purkersdorf niedaleko Wiednia.

13J. Dadaczyński, Filozofia matematyki w ujęciuhistorycznym, OBI – Kra-ków, Biblos – Tarnów, 2000, s. 352.14Ibid., s. 339.15Ibid.16Ibid.17Stało się to dopiero w 1939 r. za sprawą Hilberta i Bernaysa.


Po powrocie na uniwersytet Godel zabrał się intensywnie dopracy. Brał udział w prowadzonym przez Hahna seminarium z logi-ki matematycznej, opublikował kilka artykułów, wreszcie 13 stycz-nia 1933 r. obronił pracę habilitacyjną, której tematem były na-turalnie twierdzenia o niezupełności.

W tym samym czasie w Europie przebywał Oswald Ve-blen, amerykański matematyk zaangażowany w projekt utworze-nia w Princeton w Stanach Zjednoczonych elitarnego ośrodka ba-dawczego — Institute for Advanced Study (IAS). Odkrycia Godlazrobiły na nim tak wielkie wrażenie, że zaproponował mu przyjazddo Princeton już w pierwszym roku funkcjonowania Instytutu, tj.na przełomie lat 1933 i 1934.

Sytuacja polityczna w Austrii była wówczas bardzo napięta.Nasilały się wpływy ruchów faszystowskich, w parlamencie nie by-ło porozumienia, co do sposobów przeciwdziałania kryzysowi eko-nomicznemu państwa, wprowadzono cenzurę i zakazano publicz-nych zgromadzeń. Jednak zanim Godel, przyjąwszy zaproszenieVeblena, wyjechał do Ameryki, zdążył jeszcze skorzystać z nowonabytego prawa do nauczania na uniwersytecie i w maju 1933 r.rozpoczął krótki cykl wykładów o podstawach arytmetyki.

IAS było instytucją naukową powołaną i finansowaną przezmilionerów — filantropów: Louisa Bambergera i jego siostrę FelixFuld. Formalnie utworzona w 1930 r. faktycznie zaczęła funkcjo-nować w trzy lata później. Jej celem było prowadzenie specjali-stycznych badań, początkowo w dziedzinach matematyki i fizyki.IAS oprócz tego, że zatrudniał stałych pracowników, zapraszałtakże na stypendia najwybitniejszych naukowców z całego świata.Od 1933 r. pracowali tam m. in. Albert Einstein, James Alexan-der, Heramnn Weyl, Wolfgang Pauli, Paul Bernays, Alozo Churchoraz wspomnieni już John von Neumann i Oswald Veblen. Godeldo przybył Princeton w październiku tego roku i pozostał tamprzez najbliższe osiem miesięcy, zapoznając się przy okazji z naj-nowszymi osiągnięciami teorii względności i mechaniki kwantowej.

16 | Tomasz Furman

W międzyczasie wydarzenia w Austrii szybko tempa. W lipcu1934 r. naziści zamordowali kanclerza Engelberta Dollfussa, a nauczelniach władzę przejęli nacjonaliści. Przez nich z uniwersytetuw Wiedniu za żydowskie pochodzenie wyrzucono profesora Gom-perza, na którego wykłady z historii filozofii uczęszczał wcześniejGodel.Po powrocie z Ameryki Godel znaczną część swojego czasu po-

święcił fizyce, głównie pracom Eddingtona, Plancka, Macha, Bor-na, Schrodingera i Diraca. Równocześnie żywo interesował się filo-zofią (szczególnie Leibnizem i Husserlem) oraz prowadził wykłady.W tym samym czasie osiągnął kolejny znaczący sukces w logice,udowodnił mianowicie niesprzeczność aksjomatu wyboru i uogól-nionej hipotezy continuum z innymi aksjomatami teorii mnogo-ści18, ale z publikacją zwlekał do 1937 r.W 1935 r. po raz kolejny wyjechał do Princeton, ale z po-

wodów zdrowotnych musiał prawie natychmiast wrócić. Kłopotyze zdrowiem, głównie na tle nerwowym, okazały się poważniejszeniż można było przypuszczać. W efekcie prawie cały 1936 r. mu-siał spędzić w sanatoriach. Termin powrotu do pracy dwukrotnieprzesuwał i ostatecznie wykłady o aksjomatyce teorii mnogościrozpoczął dopiero latem 1937 r.Atmosfera, jaka panowała wówczas na uniwersytecie, nie sprzy-

jała pracy naukowej. Wśród wykładowców i studentów dominowaliludzie o sympatiach nazistowskich a sytuacja polityczna w krajubyła wciąż bardzo napięta. Godel, jako jedyny z dawnej kadry lo-gików, pozostał wtedy w Wiedniu (Hahn zmarł jeszcze w 1934 r.,Schlick został zamordowany w 1936 r., a Carnap i Menger wyemi-growali do Stanów Zjednoczonych), ale i on wyjechał do Princeton,gdy po przyłączeniu Austrii do Rzeszy w 1938 r. stracił prawo na-uczania na uniwersytecie. Przed wyjazdem zdążył jeszcze wziąćślub z Adele 20 września 1938 r.

18Por. K. Wójtowicz, Platonizm matematyczny. Studium filozofii matematykiKurta Godla, OBI–Kraków, Biblos–Tarnow, 2002, s. 144.


Mimo wiszącej nad Europą groźby wojny, Godel zdecydował sięw 1939 r. wrócić na kilka miesięcy do Europy — na zaproszenieMengera przyjechał na Uniwersytet Notre Dame w Paryżu z cy-klem wykładów o teorii mnogości. Okazało się to fatalnym w skut-kach błędem. W międzyczasie bowiem ważność straciła jego wizawjazdowa do Stanów Zjednoczonych, a Hitler zaatakował Polskę,rozpętując tym samym II Wojnę Światową. Uzyskanie pozwoleniana opuszczenie Rzeszy było w tych warunkach niezwykle trudnei wymagało czasu, zwłaszcza, że Kurt musiał jeszcze uregulowaćswój stosunek do służby wojskowej i w jakiś sposób zarabiać nażycie. Także po drugiej stronie Atlantyku (głównie za sprawą vonNeumanna) robiono wszystko, co możliwe, aby sprowadzić go doUSA, ale podejmowane wysiłki nie przynosiły żadnych rezultatów.

Niespodziewanie jednak już w grudniu 1939 r., zapewne dzię-ki listowi Adele do ambasady niemieckiej w Waszyngtonie, Godelwraz z żoną otrzymali w końcu upragnione pozwolenie na wyjazddo Ameryki. Z obawy przed aresztowaniem przez Anglików naAtlantyku, administracja Rzeszy nakazywała podróż przez Zwią-zek Radziecki, Japonię i Pacyfik, do czego Godlowie posłusznie sięzastosowali. Ostatecznie 4 marca 1940 r. przybyli do San Franci-sco.

Princeton

Pierwsze lata pobytu w Princeton nie były dla Godla łatwe. DoUSA przybył oficjalnie jako Niemiec, a nie Austriak (Austria byławtedy częścią Rzeszy) i dlatego traktowany był jako potencjalnywróg — za każdym razem, gdy chciał wyjechać poza Princetonmusiał ubiegać się o specjalne pozwolenie. Cała sprawa wyjaśnionazostała dopiero w 1942 r.

Oprócz tego, na początku lat czterdziestych dały o sobie poraz kolejny znać obsesje Godla. Twierdził mianowicie, że z lodów-ki oraz z kaloryferów wydzielają się zabójcze dla jego organizmu

18 | Tomasz Furman

gazy19. Kiedy indziej, podczas wakacji, nie opuszczał swojego po-koju będąc przekonanym, że przyjeżdżający do hotelu obcokra-jowcy chcą go zamordować20. Zaniepokojona stanem psychicznymswojego męża Adele była w stałym kontakcie z lekarzami, z któ-rymi na bieżąco konsultowała stan zdrowia Kurta.Dziwaczne i niekiedy uciążliwe zachowanie Godla oraz jego na-

tura samotnika sprawiały, że wraz z żoną pozostawali raczej nauboczu życia towarzyskiego Princeton. Problemem była też trud-no nawiązująca kontakty i nieskora do nauki języka angielskiegoAdele. Podczas gdy Kurt w Ameryce czuł się bardzo dobrze, jejPrinceton raczej nie przypadło do gustu. Tęskniła za ojczyzną i pozakończeniu wojny często wyjeżdżała do rodziny w Austrii.Mając zapewnione stałe źródło dochodu, Godel mógł w końcu

poświęcić się znowu pracy, głównie próbom udowodnienia nieza-leżności hipotezy continuum i aksjomatu wyboru od pozostałychaksjomatów teorii mnogości. Jednak brak ostatecznych efektóww tych dziedzinach sprawił, że od około połowy lat czterdziestychniemal całkowicie pochłonęła go filozofia Leibniza.Godel żywił bardzo mocne przekonanie, że Leibniz padł ofiarą

spisku wydawców, którzy nie chcieli dopuścić do publikacji frag-mentów jego tekstów, a nawet całych dzieł, w których, zdaniemGodla, wypowiadał się m. in. na temat naukowej doniosłości teoriigier, antynomii teorii mnogości oraz antycypował zasadę zacho-wania energii. Swoimi rewelacjami Godel podzielił się wcześniejz Mengerem w czasie pobytu w Paryżu, a będąc już w Prince-ton ze swoim wieloletnim przyjacielem, Oskarem Morgensternem.Obydwaj do odkryć Godla odnosili się z dużym dystansem i wyro-zumiałością. A jednak pewne wydarzenie niedługo potem wprawi-ło Morgensterna w niesamowite zdumienie i kazało mu z większąuwagą podchodzić do szalonych pomysłów Kurta. Godel zabrałgo mianowicie do biblioteki, gdzie zgromadził mnóstwo książeki artykułów wydanych za życia i wkrótce po śmierci Leibniza, za-

19Zob. J. W. Dawson, dz. cyt., s. 158.20Zob. ibidem, s. 161.


wierających odwołania do jego tekstów. Jak się okazało, w wieluprzypadkach w przytaczanych pismach Leibniza albo nie możnabyło odnaleźć fragmentów, na które się powoływano, albo cyto-wane dzieła nigdy się nie ukazały!21 Prezentacja Godla zrobiła naMorgensternie tak duże wrażenie, że gdy już po wojnie nawią-zano ponownie kontakty z niemieckimi instytucjami naukowymi,zaangażował się wspólnie z nim w przedsięwzięcie sporządzeniai sprowadzenia do USA kopii rękopisów Leibniza.W 1945 r. Godel wznowił korespondencję listową z matką i bra-

tem w Austrii oraz wspierał ich materialnie w trudnym okresiezaraz po wojnie. W jednym z listów przyznał się też Rudolfowi,że cierpi na poważne dolegliwości żołądkowe. Z ich powodu mu-siał później przejść na ścisłą dietę, a nawet przebywać przez krótkiokres w szpitalu.W 1946 r., po raz kolejny dzięki staraniom m. in. von Neu-

manna, Godel został mianowany stałym pracownikiem IAS, a 5grudnia 1948 r. otrzymał obywatelstwo amerykańskie (przy tejokazji ze śmiertelną powagą i wyrazem autentycznego zatroska-nia wyjawił Einsteinowi i Morgensternowi, że znalazł sprzecznośćw konstytucji Stanów Zjednoczonych!).Zainteresowania naukowe Godla skupiły się tymczasem na ko-

smologii, a ściślej na problematyce czasu. Analizując ogólną teorięwzględności doszedł do wniosku, że absolutny czas nie jest koniecz-nym elementem wszystkich możliwych rozwiązań równań pola Ein-steina22. Następnie zaś zaczął badać światy, w których za spra-wą zamkniętych linii czasopodobnych, możliwe jest podróżowaniew czasie. Teoretyczną możliwość istnienia takich światów przewi-dział dużo wcześniej sam Einstein, ale nigdy nie zajmował się bliżejtym zagadnieniem. Po opublikowaniu wyników pracy Godla uznałje za interesujące, ale nie mające raczej szans na potwierdzenie em-piryczne. W ogóle na znakomitą większość wyników badań Godlaz kosmologii nie zwrócono prawie zupełnie uwagi. Traktowano je

21Zob. ibidem, s. 166.22Zob. ibidem, s. 177.

20 | Tomasz Furman

raczej jako teoretyczne, noszące znamiona paradoksów ciekawost-ki, leżące poza głównym obszarem zainteresowań ówczesnej fizyki.W maju 1949 r. wspólnie w Morgesterenm Godel przystąpił do

realizacji powziętego wcześniej planu sporządzenia kopii rękopisówLeibniza. Przedsięwzięcie trwało ponad cztery lata, ale ostatecz-nie zakończyło się powodzeniem i zebrane materiały umieszczonow bibliotece Uniwersytetu Pensylwanii.W 1951 r. Godel, wspólnie z Julianem Schwingerem, został

uhonorowany przyznawaną corocznie prestiżową nagrodą Einste-ina. Symptomatyczne, że było to dopiero pierwsze akademickiewyróżnienie, jakiego dostąpił Godel w swej wieloletniej i obfitują-cej w przełomowe dokonania karierze naukowej. Wkrótce miało sięto zmienić. Jeszcze tego samego roku otrzymał bowiem honorowydoktorat Uniwersytetu Yale, a rok później Uniwersytetu Harvarda.Wreszcie w 1953 r. został mianowany członkiem National Acade-my of Sciences oraz profesorem IAS.Paradoksalnie, po otrzymaniu tak wielu znakomitych wyróż-

nień Godel usunął się całkowicie w cień publicznej pacy naukowej.Po 1951 r. nie uczestniczył już w żadnym posiedzeniu jakiego-kolwiek towarzystwa matematycznego, nie prowadził seminariów,rzadko wykładał i mimo ciągłych badań wszystkie jego publika-cje po 1952 r. były zaledwie uzupełnieniami poprzednich. IzolacjęGodla pogłębiła dodatkowo śmierć, w przeciągu pięciu lat, trzechnajbliższych przyjaciół: Einsteina, którego nazwał kiedyś uosobie-niem życzliwości23, von Neumanna oraz Veblena. Ze znajomych,których poznał przybywając do Princeton w 1940 r., nie został pa-wie nikt, a grono przyjaciół zawęziło się do jednej osoby — OskaraMorgensterna.Wiele do życzenia pozostawiało także zdrowie Godla. Na prze-

łomie lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych regularnie konsultowałsię z psychiatrą, aby przeciwdziałać postępującej anoreksji, nie-mniej wizyty nie odnosiły oczekiwanych rezultatów. Na początkulat siedemdziesiątych nasiliły się ataki hipochondrii i paranoi, mie-

23Ibid., s. 203.


wał halucynacje, ale konsekwentnie nie ufał lekarzom i odmawiałprzyjmowania pokarmu, przez co pod koniec życia ważył poniżej50 kg. W latach wcześniejszych, kiedy obsesyjnie bał się, że możezostać otruty i także nic nie jadał, od śmierci głodowej ratowałago Adele. Teraz jednak z powodu choroby sama była przykuta dołóżka i Godel był skazany wyłącznie na siebie.Z czasem Kurt przestał zważać na przyznawane wyróżnienia.

Nie fatygował się już, aby odbierać kolejne honorowe doktoraty.Nie odebrał też prestiżowego, przyznanego mu w 1975 r. przezprezydenta USA, National Medal of Science. Coraz rzadziej po-jawiał się w Instytucie, aż w końcu 1 lipca 1976 r. przeszedł naemeryturę.W ostatnich latach życia, szczególnie po śmierci Morgenster-

na, prawie całkowicie stracił kontakt ze światem zewnętrznym.Ponieważ Adele większość czasu musiała spędzać w szpitalu, Kurtzostał sam i tylko od czasu do czasu rozmawiał telefonicznie z HaoWangiem.28 grudnia 1978 r. w stanie skrajnego wyczerpania i wygłodze-

nia został przyjęty do szpitala, gdzie zmarł 17 stycznia następnegoroku. Pogrzeb miał miejsce w Princeton dwa dni później.Jego śmierć, poza wąskim gronem uczonych, nie zwróciła więk-

szej uwagi opinii publicznej. Jeden z najwybitniejszych umysłówXX w. do dziś pozostaje poza światem nauki osobą prawie zupeł-nie nieznaną.


s. Teresa Obolevitch

Motywy filozoficzne w twórczości KurtaGodla

Wstęp

Nie jest tajemnicą, że filozofia i matematyka są ściśle związa-ne ze sobą. Od czasów starożytnych, zwłaszcza pitagorejczykówi Platona, matematyka była i nadal pozostaje przedmiotem szcze-gólnej uwagi filozofów. Z kolei wiele problemów filozoficznych (jakchociażby zagadnienie nieskończoności) odnajduje swe rozwiąza-nia właśnie na terenie matematyki1. Nie dziwi więc, że największeteorie matematyczne zrodziły się nie tylko na skutek technicznychzabiegów, ale także inspiracji filozoficznych, dostarczając obfite-go materiału dla dalszej refleksji. Wystarczy wspomnieć o kwestiipodstaw matematyki, statusu ontologicznego obiektów matema-tycznych, problematyce epistemologicznej dotyczącej źródeł wie-dzy matematycznej oraz jej zakresu i praktycznego zastosowania2.Najstarszym, najbardziej „zasłużonym” i wciąż aktualnym

nurtem w filozofii matematyki jest koncepcja platońska w jej roz-maitych wariacjach. Pod jej wpływem znajdował się między in-nymi „ojciec współczesnej matematyki” Georg Cantor, a takżeGottlob Frege, Alonzo Church. Fascynacja platonizmem nadała

1J. Dadaczyński, Matematyka w oczach filozofa. Jedenaście artykułów z fi-lozofii matematyki, OBI – Kraków, Biblos – Tarnów, 2002, s. 9.2Do zagadnień ontologicznych i epistemologicznych J. Pikul dodaje gru-

pę problemów aksjologicznych. Zob. J. Pikul, Obecność tradycyjnych wątkówwe współczesnej filozofii matematyki w: „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”XXIII (1999), ss. 68, 88–94.

Motywy filozoficzne w twórczości Kurta Godla�23

również kierunek badaniom Kurta Godla. Już z tej racji warto za-stanowić się nad filozoficznymi przesłankami jego twórczości. Cowięcej, logiczno–matematyczny dorobek Godla, szczególnie jegosłynne twierdzenia o niezupełności, pozostają „dyżurnym tema-tem” dla filozofów matematyki3.Na temat dziedzictwa Godla istnieje bogata literatura. Ni-

niejsze opracowanie nie rości pretensji do wyczerpującej analizywszystkich wątków filozoficznych obecnych w twórczości „króla lo-giki XX wieku”. Jego skromnym celem jest przedstawienie pew-nych filozoficznych idei przyświecających pracom austriackiego lo-gika, a także wybranych konsekwencji zeń wynikających. Na ko-niec wspomnimy o niektórych stricte filozoficznych dociekaniachwystępujących w pismach Godla.

Założenia filozoficzne

Założenia ontologiczne: natura obiektówmatematycznych

Kurt Godel nie ukrywał swego światopoglądu filozoficznego,już w 1933 roku deklarując się jako zwolennik platonizmu4. Dzie-sięć lat później w artykule Russell’s Mathematical Logic napisał,że „klasy i pojęcia (concepts) mogą być pojmowane jako realneobiekty, mianowicie klasy — jako «wielości rzeczy» (pluralities ofthings) lub jako struktury składające się z wielości rzeczy, a poję-cia (concepts) — jako własności i relacje między rzeczami istnie-jącymi niezależnie od naszych definicji i konstrukcji”5. StanowiskoGodla jest określane mianem realizmu ontologicznego (w odróż-nieniu od antyrealizmu). Godnym uwagi jest fakt, że jednocześnie

3K. Wójtowicz, O matematyce i filozofii matematyki [w:] „Zagadnienia Fi-lozoficzne w Nauce” XXIII (1999), s. 60.4K. Wójtowicz, Platonizm matematyczny, OBI – Kraków, Biblos – Tarnów,

2002, ss. 24–25.5K. Godel, Logika matematyczna Russela [w:] (red. i tł.) R. Murawski,

Współczesna filozofia matematyki, PWN, Warszawa 2002, s. 89.

24 | s. Teresa Obolevitch

Godel nie był idealistą w duchu Platona, gdyż nie pojmował obiek-tów matematycznych jako pierwotnych w stosunku do przedmio-tów fizycznych. Przekonanie o obiektywnym istnieniu uniwersummatematycznego — hierarchii zbiorów będącej przedmiotem teoriimnogości Zermelo–Fraenkla — pozwala ocenić poglądy Godla jakosilny realizm (w opozycji do umiarkowanego realizmu Arystotelesaczy konceptualistów).Zdaniem Godla istnieje tylko jedno niezmienne uniwersum ma-

tematyczne. Austriacki logik odrzucał koncepcję tzw. „pełnokrwi-stego” (full–blooded) platonizmu, czyli „maksymalizmu ontologicz-nego” połączonego z „minimalizmem epistemologicznym”, głoszą-cą, że istnieje wiele uniwersów, z których żadne nie zajmuje wyróż-nionego miejsca6. Matematyk nie tworzy obiektów matematycz-nych, lecz je odkrywa i opisuje możliwie pełnie, ale w ramach jed-nej teorii, nigdy wyczerpująco.To właśnie filozoficzne credo Godla stało się punktem wyjścia

dla jego badań nad podstawami matematyki. Wprawdzie plato-nizm matematyczny jest raczej przedmiotem wiary aniżeli racjo-nalnie uzasadnionym stanowiskiem7, stąd sam logik miał świado-mość, iż jego założenia filozoficzne nie mogą „zadowolić żadnegokrytycznego umysłu, a nawet nie wywołują przekonania, że są onekonsekwentne”8. Niemniej był on przekonany o słuszności swychfilozoficznych poglądów. Z perspektywy czasu napisał nawet, że„to właśnie antyplatoński przesąd uniemożliwił innym dojście domoich wyników”9.

6Zob. K. Wójtowicz, O tzw. programie Godla [w:] „Zagadnienia Filozoficznew Nauce” XXVIII/XXIX (2001), s. 106; tenże, Platonizm. . . , dz. cyt., s. 33.7Zob. A. Olszewski, Teza Churcha a platonizm [w:] „Zagadnienia Filozo-

ficzne w Nauce” XXIV (1999), s. 98.8K. Godel, The present situation in the foundations of mathematics [w:]

(red.) S. Feferman and all, Collected Works. Unpublished Essays and Lectures,vol. 3, Oxford University Press, Oxford 2001 (1995), s. 50.9H. Wang, A logical journey. From Godel to Philosophy. Cyt. za: R. Mu-

rawski, O różnicy między prawdziwością a dowodliwością w matematyce [w:]„Filozofia Nauki” 1 (2001), s. 20.


Założenia epistemologiczne

Źródła wiedzy matematycznej

Kolejnym wyrazem platonizmu Godla jest jego przekonanieo obiektywności prawdy matematycznej, do której docieramy po-przez „bezpośredni wgląd” — intuicję matematyczną (mathemati-cal insight). Nie jest to jednak bezpośrednie nawiązanie do Platoń-skiego αναµνησιζ. Owej intuicji nie należy rozumieć jako zagad-kowego „szóstego zmysłu”. Jest to pewien rodzaj relacji z obiek-tywną rzeczywistością matematyczną10. Umożliwia ona rozumie-nie wszystkich pojęć opisujących świat matematyki, począwszy oddefinicji liczby naturalnej aż po pojęcia teorii mnogości, jak np.„zbiór”, „należenie do zbioru”, itp.Intuicja matematyczna nie dostarcza gotowej, apriorycznej

wiedzy. Wedle Godla, dane intuicji „mogą być rozwijane poprzezgłębsze badanie obiektów, które może doprowadzić do przyjęcianaszych stwierdzeń jako aksjomatów”11. Zatem intuicja, z jednejstrony, reprezentuje „pierwotne pojęcia” matematyczne, z drugiejzaś podlega nieustannemu twórczemu rozwojowi. Dzięki temu, po-przez analizę podstawowych pojęć matematycznych, dochodzimydo pojęć coraz to bardziej abstrakcyjnych. Prawidłowe stosowa-nie intuicji — właściwe ukierunkowanie aktywności intelektualnej,prowadzące do wyjaśnienia sensu pojęć matematycznych — stano-wi dla Godla jedno z kryteriów (wraz z owocnością) prawdziwościwiedzy matematycznej.Na marginesie należy zaznaczyć, że w wyniku uważnego stu-

dium filozofii Husserla (począwszy od roku 1959) Godel dostrzegłpokrewieństwo między swoją własną koncepcją matematycznegopoznania a metodą fenomenologiczną i uznał tę ostatnią za mają-

10K. Wójtowicz, Platonizm. . . , dz. cyt., ss. 60–62.11R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN, Warszawa 1995,s. 139.


cą „fundamentalne znaczenie dla podstaw matematyki”12. Aczkol-wiek fenomenologia nie odegrała żadnej roli w kształtowaniu siępoglądów wiedeńskiego logika i nie należy umieszczać jej wśródjego założeń filozoficznych, niemniej jednak trzeba pamiętać, żeidee fenomenologiczne przyświecały Godlowi w drugim, filozoficz-nym okresie jego twórczości.

Zagadnienie prawdy matematycznej

Jako realista Godel był przekonany o obiektywności pojęcia praw-dy matematycznej13. Skoro obiekty matematyczne istnieją nieza-leżnie od nas, to nasze badania i opis nie są konstruktami, two-rami umysłu, ale ich obiektywną reprezentacją. Należy zauważyć,że Godel w swych pracach rzadko posługiwał się terminem praw-dy (lub prawdziwości) matematycznej, używając w zamian pojęciepoprawności. Sądził bowiem, iż pojęcie prawdy jest obciążone fi-lozoficznymi przesądami i z tej racji nie znajduje życzliwego przy-jęcia w kręgach współczesnych mu matematyków.Czym zatem jest prawda w matematyce? W tym miejscu na-

leży przywołać, po pierwsze, twierdzenie Godla o pełności logikipierwszego rzędu, pochodzące z roku 1929, oraz, po drugie, jegopierwsze twierdzenie limitacyjne (o niezupełności) ogłoszone dwalata później. Rzecz ciekawa, twierdzenie o pełności w odniesieniudo logiki pierwszego rzędu poniekąd wskazuje na równoważnośćprawdziwości i dowodliwości, tj. semantycznego i syntaktycznegoujęcia14. Natomiast twierdzenie o niezupełności arytmetyki uwy-pukla różnicę między semantycznym pojęciem prawdy a syntak-tycznym pojęciem dowodliwości.Zdaniem Godla prawda ma charakter intuicyjny i nieścisły.

Jest to pojęcie niedefiniowalne: „prawdy dla [danego] języka nie

12H. Wang, A logical journey. . . . Cyt. za: K. Wójtowicz, Platonizm. . . , dz.cyt., ss. 64–65.13Zob. R. Murawski, O różnicy. . . , art. cyt., s. 17.14Tamże, s. 16.


można zdefiniować w nim samym”15. W tej wypowiedzi uderzapodobieństwo do koncepcji prawdy Tarskiego. Jednakże Godelnie zajmował się wprost analizą pojęcia prawdy. Nie było onogłównym celem jego badań. Niemniej, jak sam przyznawał, wła-śnie zauważenie różnicy między prawdą a dowodliwością stało siędla niego punktem wyjścia dla odkrycia twierdzenia o niezupeł-ności: „zasada heurystyczna mojej konstrukcji nierozstrzygalnychzdań teorii liczb sprowadza się do wysoce pozaskończonego po-jęcia „obiektywnej prawdy matematycznej” jako czegoś przeciw-stawnego [. . . ] pojęciu „dowodliwości”, z którym było powszechniemieszane przed pracami moimi i Tarskiego”16. W wyniku badańGodla stało się jasne, że pojęcie dowodliwości jest słabsze niż po-jęcie prawdziwości. Oznaczało to załamanie się programu D. Hil-berta, postulującego formalizację matematyki przy pomocy metodfinitystycznych, w oparciu o syntaktyczną teorię dowodu (Bewe-istheorie)17.Na skutek rozróżnienia między prawdziwością a dowodliwością

w matematyce Godel w 1951 r. wyróżnił „matematykę w sensieobiektywnym” (matematykę właściwą) i „matematykę w sensiesubiektywnym”. Podczas gdy druga obejmuje wszystkie zdania do-wodliwe, matematyka „obiektywna” stanowi system zdań „praw-dziwych w absolutnym sensie, bez dodatkowych założeń”. Do tejgrupy należą takie zdania18, jak np. 2 + 2 = 4. Z twierdzeń Godlawynika, że wszystkie prawdy matematyki nie mogą być zawarte

15K. Godel, List do Balasa z 27 maja 1970 r. Cyt. za: R. Murawski, O róż-nicy. . . , dz. cyt., s. 17.16K. Godel, List do Hao Wanga z 7 marca 1968 r. Cyt. za: J. Woleński,Metamatematyka a epistemologia, PWN, Warszawa 1993, s. 95.17Problem interpretacji programu Hilberta jest przedmiotem dyskusji: je-żeli jest to zagadnienie czysto techniczne, to twierdzenia Godla rzeczywiścieobalają możliwość jego przeprowadzenia. Jeżeli natomiast traktować programHilberta jako specyficzne filozoficzno–terminologiczne zagadnienie, to wówczasjego częściowa realizacja jest możliwa np. w tzw. matematyce odwrotnej (re-verse mathematics). Zob. K. Wójtowicz, Platonizm. . . , dz. cyt., s. 83.18K. Godel, Some basic theorems on the foundation of mathematics and theirimplications [w:] (red.) S. Feferman and all, Collected Works. . . , vol. 3, s. 305.


w jednym systemie formalnym. Rozważenie tego ograniczenia bę-dzie przedmiotem dalszej części niniejszego opracowania.

Założenia metodologiczne: język matematyki

Dla uprawiania matematyki istotne znaczenie ma język, w któ-rym są formułowane jej teorie. K. Godel był przekonany, że jedy-nym właściwym narzędziem dla niej jest logika pierwszego rzędu19.To założenie opiera się na realizmie ontologicznym Godla, wierzą-cego w istnienie intuicji matematycznej zgodnie z którą „aksjoma-ty [logiki pierwszego rzędu] narzucają się nam jako prawdziwe”20.Znamiennym jest fakt, że wielu komentatorów uważa, iż twierdze-nia limitacyjne Godla dotyczą nie tylko arytmetyki nadbudowanejnad logiką pierwszego rzędu, ale także tych systemów formalnych(przy spełnieniu określonych warunków), które posługują się apa-ratem logiki drugiego rzędu. Godlowski wybór First Order Logicdla matematyki nie zawęża jej epistemologicznych konsekwencjitylko do tego języka. Innymi słowy, ograniczenia, które nakłada-ją na matematykę (a wedle szerszej interpretacji — na poznaniew ogóle) twierdzenia Godla, nie są spowodowane przez ogranicze-nie jej języka do logiki pierwszego rzędu. Takie same konsekwencjedotyczą również wszystkich systemów, spełniających pewne mini-malne warunki21.Jednak nie wszyscy matematycy zgadzają się z wyborem

Godla. Przyjęcie dla matematyki języka logiki pierwszego rzęduprzez wielu jest uważane za przejaw konwencjonalizmu, arbitralnejdecyzji uwarunkowanej co najwyżej historycznie (P. Maddy) i po-zbawionej głębszego uzasadnienia. Nie brakuje głosów (S. Shapiro,J. Barwise, F. R. Drake, D. Scott) domagających się formalizowa-

19K. Wójtowicz, O matematyce. . . , art. cyt., s. 58.20K. Godel, Co to jest Cantora problem kontinuum? [w:] (red. i tł.) R. Mu-rawski, Współczesna. . . , dz. cyt., ss. 120–121.21System taki musi być niesprzeczny, posiadać rozstrzygalny zbiór aksjoma-tów oraz musi być na tyle bogaty, aby dało się w nim reprezentować aksjoma-tykę liczb naturalnych. Wszystkie te warunki spełnia logika pierwszego rzędu,ale także wiele innych systemów.


nia matematyki w języku logik silniejszych22. Czy należy przyznaćrację tym propozycjom? Jak zaznacza J. Woleński, wysunięte za-rzuty o niewystarczalności First Order Logic są bezpodstawne.Ponadto, w obronie swej tezy, iż nie należy uciekać się do logikidrugiego rzędu, krakowski logik przytacza argument, że „posiada[ona] własności niezbyt intuicyjne, m. in. nie jest zwarta, nie istnie-je dla niej efektywna i niesprzeczna aksjomatyka, z której możnawyprowadzić wszystkie tautologie II rzędu, iwreszcie jest wpraw-dzie pełna, ale za cenę rozbicia modeli na zasadnicze i wtórne,przy czym kryterium podziału na te modele jest pozalogiczne. [. . . ]Mamy więc do wyboru: albo zachować jednolitość «dobrej» logikii formalizacji powodujące pewne niedogodności, albo też zgodzićsię na wielość logik i ich formalizacji za cenę rozmycia pojęcialogiki”23. Pytanie, czy należy identyfikować całą logikę z logikąpierwszego rzędu oraz czy jest ona adekwatnym narzędziem dlamatematyki, pozostaje zatem otwarte.

Implikacje filozoficzne twierdzenia Godla

Godel nie podał żadnego przykładu zdania niezależnego odarytmetyki Peano, jedynie zdanie metamatematyczne „Ja nie je-stem twierdzeniem”24 (które wszelako można zastosować do mó-wienia o liczbach naturalnych przy pomocy arytmetyzacji). Z tegoi innych powodów odkrycie Godla nie od razu spotkało się z życz-liwym przyjęciem w gronie logików. Niemniej jego twierdzenia li-mitacyjne szybko wywołały dyskusję nad tym, jakie konsekwencjeo naturze filozoficznej z nich wynikają. Niejednokrotnie twierdze-nia Godla bywają aplikowane do systemów pozaformalnych, wy-

22Zob. K. Wójtowicz, O nadużywaniu twierdzenia Godla w sporach filozo-ficznych [w:] „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” XIX (1996), ss. 37–39.23J. Woleński, Metamatematyka a epistemologia, dz. cyt., s. 91.24Dla arytmetyki Peano zdania niezależne zostało odnalezione przez J. Pa-risa, L. Harringtona i L. Kirby’ego dopiero niedługo przed śmiercią Godlaw 1977 roku; natomiast dla teorii mnogości zdaniami niezależnymi są: pew-nik wyboru i hipoteza continuum. Zob. K. Wójtowicz, Paradoksy skończoności[w:] „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” XVIII (1996), ss. 89–90.


korzystywane w metafizycznych czy nawet teologicznych rozwa-żaniach25. Ograniczymy się tu do przedstawienia najczęściej spo-tykanych filozoficznych implikacji logiczno–matematycznego dzie-dzictwa Godla.Jednym ze skutków pierwszego twierdzenia jest uznanie, iż re-

kurencyjnie aksjomatyzowalna teoria formalna zawiera zdania nie-rozstrzygalne w ramach danej teorii. Prowadzi to do koniecznościodwołania się do coraz to bogatszych systemów. W sposób na-turalny fakt ten wywołuje pytanie o granice naszego poznania.Nie ulega wątpliwości, że Godlowskie twierdzenia limitacyjne mó-wią o ograniczoności metody aksjomatyczno–dedukcyjnej, przy-najmniej w zakresie logiki pierwszego rzędu. Często wniosek tenjest ekstrapolowany również na inne dziedziny poznania. K. Wójto-wicz wspomina o opinii J. Życińskiego, zgodnie z którą „twierdze-nie Godla ma dowodzić niemożności udzielenia naukowej odpowie-dzi na pytania o charakterze egzystencjalnym czy metafizycznym”,o supozycji S. L. Jakiego, iż próby poszukiwania „teorii wszyst-kiego” bez odwołania się do założeń o naturze teologicznej z górysą skazane na niepowodzenie26, a także o przekonaniu Katsoffao niemożliwości istnienia zupełnej i ostatecznej teorii rzeczywisto-ści, tzn. metafizyki27.Czy rzeczywiście metamatematyczne twierdzenia Godla mają

jakieś zasadne konsekwencje epistemologiczne? Jest rzeczą oczy-wistą, że wnioski o charakterze filozoficznym („materialnym”) niewynikają wprost z twierdzeń logiczno–metamatematycznych przyzastosowaniu reguł inferencji, ale dotyczą takiej czy innej inter-pretacji tezy logicznej. Jak w przypadku każdego poważnego pro-blemu, tak i w wypadku konsekwencji filozoficznych twierdzeńGodla, opinie są podzielone. Jedni badacze stoją na stanowisku„minimalizmu” czy też „optymizmu” interpretacyjnego utrzymu-jąc, że sugestia o ograniczoności ludzkiego poznania powstaje je-

25Zob. szerzej: K. Wójtowicz, O nadużywaniu. . . , dz. cyt., ss. 24–25.26Zob. S. L. Jaki, Zbawca nauki, W drodze, Poznań 1994, ss. 104–105.27K. Wójtowicz, O nadużywaniu. . . , dz. cyt., s. 25.


dynie na skutek braku mocniejszych środków technicznych, którew przyszłości pozwoliłyby uniknąć ograniczeń nakładanych przeztwierdzenia limitacyjne. Jak wspomnieliśmy wyżej, istnieją pró-by sformalizowania matematyki w języku logiki drugiego rzędu,co w opinii autorów tego projektu, osłabiłoby moc wiążącą twier-dzeń Godla. W tym wypadku można by mówić nie o absolutnej, aleo względnej ograniczoności ludzkiego poznania w ogóle i metodydedukcyjnej w szczególności.Inni znawcy problemu bronią tezy, iż twierdzenia Godla z całą

pewnością posiadają mocne reperkusje epistemologiczne. Do zwo-lenników pesymistycznej (a raczej sceptycznej) interpretacji twier-dzeń limitacyjnych należy H. DeLong argumentując, że dotychcza-sowe wysiłki zbudowania systemu, w którym by one nie obowią-zywały, skończyły się niepowodzeniem28. Z kolei J. Ladriere sy-gnalizuje, iż nawet gdyby udało się skonstruować takie systemy,„będą to jednak albo systemy ubogie, wyrażające bardzo ograni-czoną dziedzinę matematyki intuicyjnej, albo też systemy, w któ-rych pewne pojęcia przybierają sens całkowicie różny od sensułączonego z nimi na poziomie intuicji. [. . . ] Formalizacja nie możedostarczyć obiektywnego modelu myślenia; nie jest ona w stanieogarnąć całości tego, co poznawalne. [. . . ] Myśl zawiera więcej niżmożna wyrazić w ścisłych granicach rachunku logicznego”29.Przytoczmy w tym miejscu bardzo wyważoną — jak się wy-

daje — opinię J. Woleńskiego. Jest on zdania, że istotnie, drugietwierdzenie Godla, głoszące, iż niesprzeczność formalnej arytme-tyki pierwszego rzędu nie jest w niej dowodliwa, implikuje tezęo niepewności naszego poznania, o ile przyjmiemy dodatkowe prze-słanki: (1) dowodliwość niesprzeczności naszego poznania w nimsamym jest warunkiem koniecznym jego pewności oraz (2) formal-na arytmetyka I rzędu należy do naszego poznania30. Za K. Ajdu-

28Zob. J. Życiński, Metafilozoficzne następstwa twierdzeń limitacyjnych [w:]„Studia Philosophiae Christianae” 24 (1988) 1, s. 152.29J. Ladriere, Les limitations internes des formalismes. Cyt. za: J. Życiński,Metafilozoficzne. . . , art. cyt., s. 152.30J. Woleński, Metamatematyka a epistemologia, dz. cyt., ss. 10–12.


kiewiczem Woleński wyróżnia konsekwencje logiczne i konsekwen-cje interpretacyjne, które zależą od akceptacji (choćby implicite)dodatkowych przesłanek. Ponieważ najczęściej nie możemy wy-kazać ich prawdziwości, problem interpretacji pozostaje otwarty.Niemniej Woleński uważa, że wykorzystywanie twierdzeń Godlaw epistemologii „ jest równie zasadne, jak rozpatrywanie deter-minizmu w oparciu o mechanikę kwantową. I tak jak rozprawia-nie o determinizmie bez uwzględnienia zasady nieoznaczoności jestobecnie jałowe, tak też jałowe są analizy epistemologiczne ignoru-jące twierdzenia limitacyjne”31.Oprócz licznych przykładów wykorzystania twierdzenia Godla

w dociekaniach nad naturą matematyki i naturą poznania w ogó-le, nie brakuje prób zastosowania go także do badań nad naturąludzkiego umysłu i sztuczną inteligencją. E. Nagel i J. R. Newmanw roku 1953, w słynnej monografii Twierdzenia Godla wskazywali,„że struktura i działalność umysłu ludzkiego jest daleko bardziejzłożona i subtelna, niż budowa i sposób funkcjonowania której-kolwiek z maszyn, jakie dziś potrafimy zaprojektować”32. Amery-kańscy badacze dostrzegali w tym powód „nie do zwątpienia, leczdo wzmożonej ufności w potęgę twórczego umysłu”33. NastępnieJ. R. Lucas w artykule Minds, Machines and Godel (1961) usi-łował wykazać niemożliwość sztucznej inteligencji, powołując sięwłaśnie na odkrycie wiedeńskiego logika. Dziś jednak, głównie zasprawą H. Dreyfusa, odmawia się słuszności argumentacji Lucasa,gdyż jest ona w gruncie rzeczy paralogizmem34.Interesującym jest fakt, że sam Godel żywił przekonanie, a na-

wet poszukiwał argumentów na rzecz tego, iż prawa myślenia niesą mechaniczne. Podczas wykładu w Providence w 1951 roku po-

31J. Woleński, Metamatematyka i filozofia [w:] „Zagadnienia Filozoficznew Nauce” VI (1984), s. 14.32E. Nagel, J. R. Newman, Twierdzenie Godla, tł. B. Stanosz, PWN, War-szawa 1966, s. 71.33Tamże.34S. Krajewski, art. cyt., ss. 161–162, 171–175; J. Kloch, Świadomość kom-puterów?, OBI – Kraków, Biblos – Tarnów, 1996, s. 9.


wiedział, że „umysł ludzki nie jest w stanie sformułować (czy zme-chanizować) całej swej intuicji matematycznej”, z czego wynika, iż„przewyższa [on] wszystkie maszyny”35. Jednak Godel nie uważał,by jego twierdzenie cokolwiek wprost mówiło o niemechanicznejnaturze ludzkiego umysłu, chyba że przyjmie się dodatkowe za-łożenie (mianowicie, że ludzie, w odróżnieniu od maszyn, potrafiąrozstrzygnąć każde równanie diofantyczne)36. Godel był przeciwnywyjaśnianiu świadomości na podstawie jakichkolwiek metod na-ukowych37. Aczkolwiek, jak zobaczymy, sam chętnie wykorzysty-wał narzędzia logiczne w uprawianiu filozofii, niemniej rozróżniałstatus poznawczy obydwóch dziedzin.Obecny stan badań nie pozwala jednoznacznie rozstrzygnąć,

w jakim stopniu twierdzenie Godla nakłada ograniczenie na naszepoznanie. Odpowiedź na to pytanie w dużej mierze zależy od wy-znawanych poglądów na naturę matematyki. Twierdzenie Godlajest wymownym przykładem wzajemnych powiązań pomiędzy lo-giką a filozofią. Nie tylko bowiem techniczne procedury, ale i przy-jęte filozoficzne założenia „odpowiadają” za nasze rozumienie czy-sto formalnych, wydawać by się mogło, konkluzji. Podsumowując,należy się zgodzić, iż „filozoficzne implikacje [twierdzenia Godla]są ciągle jeszcze przedmiotem dociekań i dyskusji”38.

O filozoficznym projekcie Godla

Słynny logik przez całe życie żywo interesował się metafizy-ką, teologią, a nawet demonologią. Jak wiadomo, drugi okres jego

35Hao Wang, From Philosophy to Mathematics, cyt. za: R. Murawski, Funk-cje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzy-galności, twierdzenia Godla, Wyd. Naukowe UAM, Poznań 2000, s. 172.36S. Krajewski, art. cyt., ss. 176–177.37R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, tł. P. Amsterdamski,Prószyński i S–ka, Warszawa 1997, s. 99.38B. Stanosz, hasło Twierdzenie Godla [w:] (red.) W. Marciszewski, Ma-ła encyklopedia logiki, Wrocław–Warszawa–Kraków, Ossolineum 1970, s. 335.Zob. także: J. Dadaczyński, Filozofia matematyki w ujęciu historycznym, OBI– Kraków, Biblos – Tarnów, 2000, s. 353.


twórczości, począwszy od roku 1943, był prawie wyłącznie poświę-cony filozofii39. Po przedstawieniu filozoficznych wątków obecnychw działalności Godla — logika, na koniec należy wspomnieć o nie-których zagadnieniach poruszanych przez Godla — filozofa.Godel marzył o stworzeniu spójnego systemu metafizycznego

na wzór monadologii Leibniza40. Co więcej, w rozmowie z Carna-pem (1940 r.) wysunął on nawet możliwość dokonania formalizacjiteologii: „Można skonstruować ścisły system postulatów, używa-jąc do tego terminów powszechnie uważanych za metafizyczne, jaknp.: «Bóg», «dusza», «idea». Jeżeli zrobi się to bardzo starannie,to wówczas nie będzie można nic zarzucić takiemu systemowi”41.W roku 1970 Godel przedstawił ontologiczny dowód na istnienieBoga jako summum bonum, dokonany na gruncie logiki modalnejdrugiego rzędu42.Wracając do Godlowskiego projektu zbudowania systemu me-

tafizycznego powstaje pytanie o jego zasadność. Skoro bowiemtwierdzenia limitacyjne nakładają ograniczenia na teorię sformuło-waną w języku logiki pierwszego rzędu, to czy możliwe jest stwo-rzenie całościowego i spójnego systemu metafizycznego na wzórsystemów aksjomatycznych? Nasuwa się myśl o istnieniu pewnego

39Zob. K. Wójtowicz, Platonizm. . . , dz. cyt., s. 145.40Tamże, s. 15; R. Murawski, „Elementy Leibnizjańskie i kantowskie u Hil-berta i Godla” [w:] (red.) J. Perzanowski, A. Pietruszkiewicz, Byt, Logos, Ma-tematyka, Wyd. UMK, Toruń 1997, ss. 381-383.41K. Godel, R. Carnap, Stenogram rozmowy, tł. T. Sierotowicz [w:] S. Wszo-łek (red.) Refleksje na rozdrożu, s. 253.42K. Godel, Ontological proof [w:] (red.) S. Feferman and all, CollectedWorks. . . , vol. 3, ss. 403–404. Dowód ten opiera się na trzech aksjomatach o ce-chach pozytywnych (Ax 1: „Nadzbiory klas pozytywnych są pozytywne”; Ax 2:„Tylko dana klasa lub jej dopełnienie jest pozytywne”; Ax 3: „Iloczyn wszyst-kich klas pozytywnych jest sam pozytywny”) oraz wynikających zeń trzechtwierdzeniach (Th 1: „Żadna klasa pozytywna nie jest pusta”; Th 2: „Sum-mum bonum istnieje”; Th 3: „Co najwyżej jeden byt jest summum bonum”).Zob. E. Nieznański, „Dowód Godla na istnienie «summum bonum»” [w:] Stu-dia Philosophiae Christianae, 25 (1989), ss. 89–102; tenże, „Drogi i bezdrożaformalizacji teodycei od Salamuchy do Godla” [w:] (red.) Z. Wolak, Logikai metafilozofia, OBI – Kraków, Biblos – Tarnów, 1995, ss. 105–106.


paradoksu w twórczości Godla: z jednej strony, jego logiczne ba-dania wykazały niemożliwość stworzenia Leibnizjańskiej charac-teristica universalis43. Z drugiej strony projekt ten powraca tyl-nymi drzwiami na gruncie jego metafizyki. Czyżby było to zwy-kłe przeoczenie?44 Być może jest to raczej wyraz wiary Godla,iż stosowanie metod formalnych sprzyja rozwojowi także filozo-ficznych zagadnień, choć niekoniecznie je rozwiązuje, ujawniająctym samym „nadwyżkowość” filozofii. J. Woleński, odpowiadającna pytanie o zadanie formalizacji zaznacza, iż jest ona „sposobemkonstruktywnej reprezentacji naszych intuicji. Nawet jeśli skąd-inąd [z twierdzeń limitacyjnych — T. O.] wiemy, że nie jest tocałkowicie realizowalne, każdy częściowy sukces w tym względziejest ważny”45.

43Por. J. Życiński, Teizm i filozofia analityczna, t. 2, Znak, Kraków 1985,s. 21–27.44K. Wójtowicz, O nadużywaniu. . . , art. cyt., s. 42.45J. Woleński, Metamatematyka a epistemologia, dz. cyt., s. 96.


Anna Brożek

Hilbert a Godel: prawda i dowódw matematyce1

Od czasów najdawniejszych matematyka uznawana była zawiedzę pewną i niepodważalną, a jej twierdzenia za bezwzględ-nie prawdziwe. Wraz z logiką stanowiła wzorzec pewności dla in-nych nauk. O ile można było wątpić w wyniki nauk empirycznychi w świadectwa zmysłów, o tyle matematyka wydawała się wolnaod tego typu problemów. Była zawsze, dzięki oczywistości swoichtwierdzeń, ideałem epistemologicznym.Co decyduje o tym, że przekonania o prawdziwości zdań mate-

matycznych wydają się pewniejsze niż wszystkie inne? Przyjmijmyże „pewne” znaczy tyle, co „dobrze uzasadnione”. Matematycznetwierdzenia wydają się ugruntowane tak dobrze, gdyż uzasadniasię je w szczególny sposób. Prawdy w matematyce zajmują hono-rowe miejsce w systemie naszych przekonań. Podczas, gdy naszewierzenia empiryczne – że ziemia jest okrągła, że rośliny wyrastająz nasion, że ciężkie przedmioty spadają – wszystkie są potwierdzonejedynie przez nagromadzenie empirycznych obserwacji czy ekspe-rymentu, w matematyce osiągamy umiłowany ideał oczywistości:mamy dowody2. Wydaje się, że to właśnie specyficzny rodzaj do-wodu w matematyce przyczynia się do szczególnego statusu jejprawd.

1Tytułowym zagadnieniem zainteresowałam się, uczestnicząc w seminarium„Logic and cognition” prowadzonym w roku 2003 na Uniwersytecie w Lipskuprzez prof. Ryszarda Wójcickiego. Panu Profesorowi bardzo dziękuję za in-spirację. Dziękuję także Redakcji za cenne uwagi, które pozwoliły mi uniknąćwielu błędów.2Maddy [1997], s. 1.

Hilbert a Godel: prawda i dowód w matematyce�37

Celem niniejszego artykułu jest omówienie wzajemnej relacjidowodu i prawdy w matematyce na kanwie zestawienia dokonańmatematycznych i poglądów filozoficznych dwóch postaci: KurtaGodla i Davida Hilberta. W paragrafie pierwszym zarysuję pro-blem dowodu w matematyce i przedstawię ideę systemu zaksjo-matyzowanego. Następnie opowiem o pożądanych cechach syste-mów zaksjomatyzowanych w matematyce (przede wszystkim nie-sprzeczności) i o zastrzeżeniach, jakie w XIX wieku pojawiły się codo niesprzeczności matematyki. Omówię następnie program sfor-mułowany przez Hilberta – matematyka, który wierząc w ideę do-wodu formalnego, pragnął uratować pewność matematyki przedgroźbą pojawiających się w jej podstawach antynomii. W paragra-fie trzecim opiszę słynne twierdzenia Godla o niezupełności i ichkonsekwencje dla programu Hilberta. Kolejnym krokiem będziepróba analizy poglądów filozoficznych Hilberta i Godla, które, jakpokażę, miały wpływ na ich pracę nad podstawami matematy-ki, ich koncepcję dowodu oraz matematycznej prawdy. W końcuomówię konsekwencje, jakie przedstawione zagadnienia mają dlarelacji prawdy i dowodu w matematyce.

1. Calculemus !

W XIII wieku filozof Raimond Lullus napisał: pojętność chce,aby rozmaite zasady zostały ze sobą zhierarchizowane, sklasyfiko-wane, a poza tym sprowadzone do reguł; ażeby rozumienie praw-dy w każdej kolejnej nauce dało pewność, że można przyswoić so-bie inne nauki3. Lullus wierzył, że da się zbudować uniwersalnąi pewną naukę opartą na logice i matematyce. W ramach takiej,obejmującej wszystkie dziedziny wiedzy mathesis universalis, każ-dą prawdę można byłoby ustalić po prostu za pomocą obliczeń,a wręcz manipulacji symbolami. Idea Lullusa, z początku zapo-mniana, odżyła w filozofii G. Leibniza. Ten siedemnastowiecznyfilozof i matematyk wierzył, że wszelkie problemy (nawet spory

3Cyt. za: Minois [1995], s. 202.

38 | Anna Brożek

filozoficzne) można rozwiązać, przekształcając argumenty w ciągimatematycznych symboli i dokonując stosownych obliczeń. Sądziłnawet, że można zbudować maszynę rozstrzygającą o prawdziwościtwierdzeń, gdyż w zasadzie utożsamiał rozumowanie ze – świado-mym lub nieświadomym – obliczaniem. Stąd jego słynne wezwanie:„Calculemus!”Geneza marzenia o zbudowaniu uniwersalnej nauki w oparciu

o zasady matematyczno–logiczne wydaje się oczywista. Kuszącajest myśl, że w każdej dziedzinie można osiągnąć taką pewność, ja-ka występuje w naukach dedukcyjnych. Aby wytłumaczyć fenomentej pewności, wyobraźmy sobie, że ktoś pyta nas, czy prawdziwejest następujące zdanie matematyczne:

2 + 2 = 4. (1)

Tym, co sprawia, że bez chwili wątpienia zgadzamy się nazwaćje prawdziwym, jest narzucająca się oczywistość zapisanego za je-go pomocą rachunku (zakładamy naturalnie rozumienie symboliużytych w jego zapisie). A teraz załóżmy, że ktoś pyta, czy zdanie:

27463284672 + 57294625 = 2803679297 (2)

jest prawdziwe. Niewątpliwie nasza odpowiedź nie będzie takszybka, jak w pierwszym wypadku. Każdy jednak, kto przeszedłw szkole kurs arytmetyki, potrafi znaleźć odpowiedź na zadane py-tanie przy pomocy kawałka kartki i ołówka – stosując się do zasadpisemnego dodawania. Po zapisaniu kilku symboli na kartce uzy-skać można odpowiedź niemal tak pewną, jak odpowiedź na pyta-nie pierwsze. Na lekcjach matematyki nauczyliśmy się bowiem nie-zawodnej metody rozwiązywania tego typu matematycznych pro-blemów. Potrafimy, za pomocą dających się ująć algorytmiczniekilku prostych czynności, dodać do siebie każde dwie liczby cał-kowite. Tym samym znamy procedurę pozwalające rozstrzygnąć,czy zdania arytmetyczne tego typu są prawdziwe. Do rozstrzygnię-


cia prawdziwości (2) wystarczy umiejętność dodawania w zakresieliczb 1− 9 i odpowiedniego operowania symbolami4.Czynności wykonywane przy dodawaniu pisemnym można na-

zwać „dowodzeniem” zdania (2). Pewność tego dowodu bierze sięstąd, iż procedura, którą stosujemy, jest niezawodna. Dowód w ma-tematyce nie zawsze jednak opierał się na tak ściśle określonychzasadach, z jakimi mamy do czynienia w działaniach arytmetycz-nych. Początkowo zbiór zdań matematycznych nie miał żadnegostrukturalnego porządku. Zdanie jakieś uznawano za prawdziwe al-bo dlatego, że wydawało się intuicyjnie oczywiste, albo dlatego, żezostało udowodnione na podstawie innych, intuicyjnie oczywistychzdań, czyli dlatego, że na podstawie innego intuicyjnie prawdziwegorozumowania okazało się ono konsekwencją logiczną innych zdań5.Matematyk musiał po prostu, w taki czy inny sposób, «przekonać»społeczność uczonych, że teza przez niego dowodzona jest prawdzi-wa. Dowód taki można nazwać dowodem „w sensie psychologicz-nym”6. Budził on szereg zastrzeżeń ze względu na obecne w nimelementy subiektywne, które matematycy próbowali usunąć.Wzorem dla ulepszonej teorii dowodu stała się metoda dowo-

dzenia zastosowana w „Elementach” Euklidesa. Z tego dzieła —jak uważa wielu, największego osiągnięcia matematyki starożytnej— wywieść można dwie podstawowe zasady nauk dedukcyjnych.Po pierwsze — budowanie systemu naukowego należy rozpocząćod wymienienia pewnej małej ilości zdań, zwanych aksjomatami,uznanych za prawdziwe bez żadnego dowodu. Po drugie — niemożna uznać za prawdziwe żadnych innych zdań, jeśli nie zdołasię ich udowodnić odwołując się do aksjomatów i innych, już do-wiedzionych zdań, posługując się mechanizmem logicznym. W celurozszerzenia ideału Euklidesowego dowodu z geometrii na całą ma-

4Osoby lepiej „wyposażone” poradzą sobie jeszcze szybciej przy pomocykalkulatora lub komputera. Fakt, że komputer może pomóc w odpowiedzi na topytanie, świadczy o istnieniu algorytmu pozwalającego na sprawdzenie owegoobliczenia.5Tarski [1995] s. 319 – 320.6Por. m. in. Tarski [1995], s. 322 oraz Czeżowski [1965].

40 | Anna Brożek

tematykę, należało więc i w tej ostatniej wprowadzić podział nadwie klasy zdań: tych, które nie są dowodzone (aksjomatów), oraztych wymagających dowodu. Rozwój tworzonych w ten sposóbtzw. systemów aksjomatycznych polegał na stopniowym ograni-czaniu liczby zdań pierwszej klasy, a rozszerzaniu klasy drugiej.Im mniejszą liczbę bardziej oczywistych podstaw ma nauka, tymwydaje się lepiej uprawomocniona.W XIX wieku, za sprawą G. Fregego, wykształciło się specy-

ficzne pojęcie dowodu w matematyce (czy szerzej w naukach de-dukcyjnych) – pojęcie dowodu formalnego, które miało zastąpićstare, nieostre pojęcie dowodu psychologicznego. Sprecyzujmy, naczym polega jego specyfika. Przez „system formalny” rozumiemysystem (język?), który spełnia następujące warunki: (a) posiadadobrze zdefiniowany słownik używanych w nim symboli oraz (b)określa ściśle sposób tworzenia za ich pomocą poprawnych wyra-żeń (reguły formowania). W dalszej kolejności (c) pewne z tychwyrażeń uznane zostają za aksjomaty, oraz (d) podaje się tzw.reguły inferencji (dowodzenia), pozwalające ze zdań już uznanychwyprowadzać dalsze twierdzenia systemu (np. modus ponendo po-nens). Przez „dowód formalny” w takim systemie rozumie się ciągzdań lub formuł zdaniowych, który zawiera: wyrażenia przyjęte ja-ko aksjomaty, wyrażenia otrzymane z aksjomatów w wyniku ichprzekształceń zgodnie z regułami dedukcyjnymi; dalej ewentualniewyrażenia powstałe z przekształceń poprzednich wyrażeń. Ostat-nim zdaniem w ciągu jest zdanie dowodzone7.W dowodzie formalnym poszczególne twierdzenia są wyrażone

w języku sformalizowanym – za pomocą ściśle określonego zbio-ru symboli, a stosowane w nim dyrektywy dowodowe są dyrekty-wami strukturalnymi. Dowody formalne sprowadzają się więc doprzekształceń napisów wykonywanych według zasad określonychprzez system. W praktyce można posługiwać się nimi abstrahującod znaczeń stosowanych w nich symboli, a znalezienie dowodu for-malnego dla dowolnej dobrze zbudowanej formuły okazuje się spra-

7Por. Marciszewski [1998], s. 24.


wą kombinowania symboli. Dowodząc formalnie matematycznegotwierdzenia, możemy działać w mechaniczny sposób – szukamy do-zwolonego przez reguły dowodzenia «przejścia» od aksjomatów dodowodzonej formuły. Ten nowy, formalny typ dowodu miał swojewady i zalety. Z jednej strony, dzięki wyeliminowaniu metod intu-icyjnych w dowodzeniu twierdzeń, nowa teoria dowodu zapewniałaintersubiektywność kontroli jego przebiegu. Dlatego pojęcie dowo-du formalnego wydawało się początkowo triumfem logiki i mate-matyki. Z drugiej jednak strony, rozumienie dowodu jako ciągusymboli kłóci się z naszymi intuicjami: niczego tam się bowiemnie «dowodzi». Zauważmy, że w dowodzie formalnym zdanie praw-dziwe to zdanie będące mechanicznie wywiedzioną konsekwencjąprzyjętych aksjomatów. Czy jednak pojęciem konsekwencji da sięzastąpić pojęcie prawdy?

Teorię wyposażoną w aksjomaty i w pojęcie dowodu nazywamy„sformalizowaną”. Zastanówmy się teraz, jakie są pożądane cechytakiej teorii, powracając w tym celu jeszcze raz do rozpatrzonegoprzykładu zdania (2). Załóżmy, że nasze pisemne dodawanie wyka-zało, iż zdanie (2) jest prawdziwe. Jednakże w celu upewnienia sięco do naszej odpowiedzi, wykonujemy obliczenia jeszcze raz. Tymrazem nasze obliczenia prowadzą do wniosku, że zdanie (2) nie jestprawdziwe. Co robimy? Przypuszczalnie większość z nas zdecydu-je się jeszcze raz wykonać obliczenia, sądząc, że za którymś razemw rachunki wkradł się błąd. Dlaczego jednak obliczenia nie mogąprowadzić do różnych wyników? Dlaczego wynik dodawania dwóchtakich samych liczb nie może raz być taki, a raz inny? Powodemjest tzw. zasada niesprzeczności. Dwa zdania nawzajem ze sobąsprzeczne nie mogą być równocześnie prawdziwe. 2+2 zawsze jestrówne 4. Nie może zdarzyć się, że wynik wynosi raz 4, a raz 5.

Dobra teoria zaksjomatyzowana nie powinna dopuszczać, byz jej aksjomatów dało się wywieść dwa zdania ze sobą sprzeczne.Nie jest to jednak jedyna pożądana jej cecha. Jeśli dowód formalnymiałby być jedyną metodą dowodzenia prawdziwości zdań w da-nym w systemie, należałoby jeszcze pokazać, że za jego pomocą

42 | Anna Brożek

można o każdym zdaniu rozstrzygnąć, czy jest prawdziwe, czy nie.Inaczej mówiąc, powinien istnieć dowód formalny dla każdego zda-nia prawdziwego w systemie. Własność dowodliwości wszystkichprawd danego systemu nazywa się „pełnością”8.

2. Wir wollen wissen czyli program Hilberta

Niesprzeczność jest, jak uważa wielu, podstawową zasadą ludz-kiego myślenia i dlatego na sprzeczności w najpewniejszej z nauk– matematyce – nie można się zgodzić. Tymczasem w XIX wie-ku pojawiły się w matematyce paradoksy (antynomie), stawiająceniesprzeczność matematyki pod znakiem zapytania. „Antynomia-mi” nazywa się rozumowania, które wydają się poprawne, ale któreprowadzą do sprzeczności. Powodują, że w ramach jednego syste-mu formalnego dowodliwe są dwie tezy o postaci „A” i „¬A”. An-tynomie pojawiły się w dziewiętnastowiecznej matematyce głównieza sprawą Cantorowskiej teorii mnogości. Przykładami są np. pa-radoks zbioru wszystkich zbiorów Cantora i antynomia Russella.Matematycy i filozofowie matematyki próbowali się pozbyć para-doksów ze swojej dziedziny. Przecież – jako sprzeczna – matema-tyka przestawała być pewna i niepodważalna. Na dodatek teoriazawierająca sprzeczności, dzięki zasadzie ex contradictione quodli-bet, pozwala na udowodnienie każdej tezy. Stąd dający się zaob-serwować na przełomie XIX i XX stulecia wzrost zainteresowaniaproblemami podstaw matematyki i liczne pomysły na to, jak z niejusunąć niepożądane paradoksy.Na ogół mówi się o trzech głównych programach, rewidują-

cych podstawy matematyki. Logicyści (jak G. Frege i przez pe-

8Należy tu zwrócić uwagę na rozróżnienie między „pełnością” systemu,i dwoma rodzajami jego „zupełności”. Pierwsze pojęcie jest semantyczne, dwadalsze – syntaktyczne. System jest (semantytcznie) pełny, jeśli wszystkie twier-dzenia, które są w nim prawdziwe, są w nim też dowodliwe. System jest zupeł-ny1, gdy z dwóch formuł o postaci A oraz (A co najmniej jedna jest twierdze-niem systemu. Jest zaś zupełny2 (zupełny w sensie Posta), gdy każda formułaniedowodliwa w tym systemie po dołączeniu do aksjomatów czyni tę teorięsprzeczną. (Por. Marciszewski [1987], s. 32 – 33).


wien czas B. Russell) wierzyli, że da się sprowadzić matematykędo logiki i w ten sposób przywrócić jej miano wiedzy pewnej. Takzwani intuicjoniści (np. L. Brouwer) postulowali pozbycie się para-doksów poprzez ograniczenie dziedziny dociekań matematycznychi usunięcie z niej wszystkich tzw. elementów niekonstruowalnych,do których należały według nich m.in. pojawiające się w teoriiCantora nieskończoności. Trzecim pomysłem na usunięcie antyno-mii i odzyskanie pewności matematyki był sformułowany w latachdwudziestych XX wieku program Hilberta. Przeciwstawiając siępomysłom intuicjonistów, ten wybitny matematyk wypowiedziałswoje słynne zdanie: Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaf-fen hat, soll uns niemand vertreiben konnen9. David Hilbert był«rasowym» matematykiem i sądził, że pozbycie się tak dobregonarzędzia w rękach matematyków, jakim okazała się teoria mno-gości, byłoby niepotrzebnym ograniczeniem w ich pracy. Uważał,że nie można po prostu pozbyć się wszystkiego, co sprawia trud-ność i trzeba raczej próbować uprawomocnienia stosowania metodnieskończonościowych. Zadaniem, jakie Hilbert postawił matema-tykom w swoim programie, było uzasadnienie całej matematyki,łącznie z jej częścią infinitystyczną. Jego strategia obejmowała kil-ka etapów. Po pierwsze, uważał, należało (1) wydzielić część mate-matyki, która «nie sprawia kłopotów», nie generuje paradoksów.Hilbert sądził, że tą częścią matematyki jest jej część finitystyczna.Następnym krokiem miała być (2) rekonstrukcja całej matematy-ki (także owej infinitystycznej, «kłopotliwej») w jednym systemieformalnym. W końcu należało (3) dowieść niesprzeczności tego sys-temu przy pomocy metod finitystycznych. Przyjrzyjmy się niecobliżej tym krokom.Na czym opiera się finitystyczna część matematyki „nie bu-

dząca zastrzeżeń”? Według Hilberta jest to matematyka mówiącao wielkościach dyskretnych – takich, jak liczby naturalne10. Dużą

9Nikt nie powinien nas wypędzać z raju, do którego wprowadził nas Cantor.10Zaznaczmy, że często zwraca się uwagę na fakt, iż Hilbert nigdy nie spre-cyzował wyraźnie, co znaczy „finitystyczny”

44 | Anna Brożek

rolę w formułowaniu finitystycznego programu odegrała aksjoma-tyzacja arytmetyki dokonana przez Giuseppe Peano. Definiującliczby naturalne oraz charakteryzując podstawowe działania przyużyciu jednej funkcji (następnika), Peano zbudował system zawie-rający zaledwie kilka aksjomatów, stanowiących podstawę całejarytmetyki. Hilbertowi wydawało się, że pokazując związki mię-dzy matematyką finitystyczną a infinitystyczną, da się dokonaćuprawomocnienia stosowania metod wykorzystujących cantorow-skie nieskończoności. Z «raju cantorowskiego» nie trzeba by byłowychodzić. Hilbert, wraz ze swoimi uczniami, postawił sobie takiwłaśnie cel — pokazać niesprzeczność matematyki finitystycznej,a następnie, dzięki wykazaniu, że rachunek nieskończonościowyda się wyprowadzić ze skończonego, «rozciągnąć» niesprzecznośći pełność na całą, także infinitystyczną matematykę. Niesprzecz-ność była oczywiście podstawowym postulatem każdego systemumatematycznego. Hilbert był jednak także przekonany, że postu-lowany przez niego duży system formalny powinien cechować siętakże zupełnością, czyli każde jego twierdzenie lub jego negacjapowinno mieć formalny dowód.

We wrześniu 1930 roku w Królewcu odbyła się konferencjaz udziałem najwybitniejszych matematyków tego czasu, na któ-rej Hilbert jeszcze raz wyłożył swój program. W trakcie tej samejkonferencji młody matematyk, Kurt Godel, przedstawił jako wy-nik swej pracy doktorskiej dowód pełności logiki pierwszego rzędu.Dowiódł, że każde prawdziwe logicznie zdanie (tautologia) rachun-ku predykatów jest dowiedlne w rachunku predykatów, czyli że ist-nieje dla niego formalny dowód. Twierdzenie o pełności Godla byłoetapem na drodze do realizacji programu Hilberta, po wcześniej-szym dowodzie pełności rachunku zdań Posta i Bernaysa. (Rachu-nek pierwszego rzędu jest bowiem rachunkiem silniejszym, zawie-rającym w sobie rachunek zdań.) Hilbert oczekiwał tego wyniku,o czym wspominał już w 1928 roku w artykule o podstawach ma-tematyki. Zaprezentowany dowód pełności rachunku predykatówbył bez wątpienia wynikiem dającym nadzieję na pełną realizację


programu Hilberta i wydawało się, że autor programu finitystycz-nego ma w Godlu «sprzymierzeńca». W takim przeświadczeniuHilbert opuścił konferencję.Tymczasem tuż przez zakończeniem obrad Godel postanowił

przedstawić jeszcze jeden swój wynik, który okazał się jednymz najbardziej zaskakujących w matematyce. W powszechnym prze-konaniu zapewnił on też Godlowi tytuł jednego z największychmatematyków w historii. Godel, używając środków preferowanychprzez Hilberta, dowiódł, iż niesprzeczność i pełność arytmetykiliczb naturalnych nie mogą zachodzić równocześnie, a dowodu nie-sprzeczności nie da się przeprowadzić w ramach systemu formal-nego, zawierającego w sobie arytmetykę liczb naturalnych. Jak sięuważa, twierdzenia Godla pozbawiły Hilberta nadziei na pełną re-alizację programu.Kilka dni po zakończeniu konferencji w Królewcu Hilbert, nie

uświadamiając sobie jeszcze rangi odkrycia Godla, dał w wywia-dzie radiowym wyraz swojemu matematycznemu optymizmowi,mówiąc: Wir mussen wissen, wir werden wissen11. Tymczasemwynik Godla poddał drugi człon tego zdania w wątpliwość. . .

3. Ignorabimus. O dowodzie Godla12

Celem Hilberta było wykazanie niesprzeczności i pełności kla-sycznej matematyki. Aby to osiągnąć, należało pokazać, że klasazdań prawdziwych w danym systemie formalnym jest identycznaz klasą zdań dowodliwych w tym systemie. Inaczej mówiąc, że każ-de zdanie wywiedzione za pomocą reguł dowodowych z aksjoma-tów jest prawdziwe i odwrotnie – każde zdanie prawdziwe posiadadowód formalny. Ponieważ aksjomaty «uznaje się» za prawdziwe

11Musimy wiedzieć, będziemy wiedzieć.12Niniejszy paragraf jest (z konieczności skrótowym) omówieniem wynikuGodla. Zdaję sobie sprawę, że może pojawić się w nim wiele niedomówieńi niejasności. Dokładniejsze, a równocześnie klarowne (w moim przekonaniu)omówienie twierdzeń Godla można znaleźć w: Dadaczyński [2000] oraz Nagel[1996].

46 | Anna Brożek

a reguły dowodzenia uważa się za poprawne reguły wyprowadza-nia konsekwencji przyjętych aksjomatów, jasne jest, że klasa zdańdowodliwych zawiera się w klasie zdań prawdziwych13. Ażeby jed-nak stwierdzić identyczność owych dwóch zbiorów zdań, musiałobyjeszcze zachodzić zawieranie odwrotne: zbioru zdań prawdziwychw zbiorze zdań dowodliwych. Z kolei aby udowodnić, że owo dru-gie zawieranie nie zachodzi, wystarczyłoby wskazać jedno zdanieprawdziwe, a nie posiadające dowodu. Założeniem i przekonaniemmatematyków było, że każda prawda matematyczna musi miećdowód, a dowodliwość można wręcz utożsamić z matematycznąprawdziwością. Godel podał kontrprzykład podważający to moc-ne założenie i odrzucił, wbrew powszechnym przekonaniom mate-matyków, utożsamienie dowodliwości i prawdy14. W ramach aryt-metyki opartej na aksjomatyce Peano i na niezawodnych regułachinferencji pokazał, że przy użyciu takich środków pewnych prawdw matematyce dowieść nie można.Twierdzenie Godla jest twierdzeniem metamatematycz-

nym, a dokładniej: metaarytmetycznym. Przez metamatematykę(w węższym tego słowa znaczeniu) rozumie się zdania o matematy-ce wyrażone za pomocą środków ściśle matematycznych15. Ażebydowieść metaarytmetycznego twierdzenia w ramach danego syste-mu (dokładniej – arytmetyki z Principia matematica Whiteheadai Russela), Godel posłużył się procedurą tzw. arytmetyzacji. Ko-rzystając z własności systemu sformalizowanego (z aksjomatami,

13Podważenie tego zawierania wymagałaby albo podważenia aksjomatówalbo reguł derywacji – czyli logiki. Można tak uczynić – gdyż mówi się o pa-radoksach logiki takich jak paradoks implikacji materialnej.14Godel musiał bardzo ostrożnie przeprowadzać swój dowód, gdyż, jak polatach napisał w liście do Wanga, prawdziwość wydawała się wówczas podej-rzana, a dowodliwość – nie. (Por. Krajewski [2003], s. 190.)15Por. Dadaczyński [2000], s. 15. Choć początki metamatematyki sięgająwieku XIX, to w zasadzie dopiero dzięki szkole Hilberta idea mówienia o ma-tematyce za pomocą samej matematyki nabrała wyraźniejszych kształtów. Po-stulowane przez Hilberta dowiedzenie niesprzeczności matematyki za pomocąmetod finitystycznych wymagało właśnie matematycznego ujęcia metamate-matycznych zdań.


regułami inferencji i pojęciem dowodu formalnego), Godel zna-lazł sposób na przedstawienie wszystkich zdań metaarytmetykiw tejże arytmetyce. Znalazł procedurę, która pozwoliła dowolnezdanie metaarytmetyczne przedstawić w postaci liczby naturalnej– numeru Godlowskiego tej formuły. Przypomnijmy, że jednymz założeń programu Hilberta było wykazanie niesprzeczności ma-tematyki za pomocą finitystycznych środków dowodowych. Aryt-metyzacja mogła stanowić krok do realizacji tego postulatu.

Każda liczba naturalna daje się rozłożyć na iloczyn liczb pierw-szych. Korzystając z tej własności Godel pokazał, że każdą formułęmetamatematyczną można przestawić jako iloczyn potęg kolejnychliczb pierwszych. Jak tego dokonał? Najpierw przypisał liczby na-turalne wszystkim symbolom używanym w metaarytmetyce. Sta-łym logicznym (takim, jak symbol implikacji, nawiasy, itp.) przy-pisał Godel liczby 1 − 10. Zmiennym liczbowym – kolejne liczbynieparzyste, począwszy od 11. Zmiennym zdaniowym – kwadratyowych kolejnych liczb nieparzystych, a predykatom – ich sześcia-ny. Na przykład kolejnym symbolom zdania 0 = 0 przypisane byłyliczby: 6, 5, 6. Numer Godlowski (g) tego zdania to iloczyn pierw-szych trzech liczb pierwszych (bo zdanie zapisane jest za pomocątrzech znaków) podniesionych do potęg o wykładnikach 6, 5, 6,czyli 26 ∗ 35 ∗ 56, co daje wynik 243 000 000. Ta ostatnia liczba tonumer Godlowski wyjściowej formuły.

Dzięki arytmetyzacji, każdemu zdaniu metaarytmetyki moż-na było przypisać w sposób jednoznaczny jego numer Godlowski,a liczbę będącą takim numerem jednoznacznie „przetłumaczyć”na formułę metaarytmetyczną. Dzięki temu, że Godlowi udało sięwszystkim zdaniom metamatematyki przypisać jakiś element zbio-ru liczb naturalnych, metamatematykę można było wyrazić w po-staci relacji w zbiorze liczb naturalnych. Dzięki tak zarytmetyzo-wanemu systemowi Godel przeprowadził konstrukcję tzw. zdaniaGodlowskiego. Przyjrzyjmy się, na czym ona polegała.

Na początek zauważmy, że dowód w sensie formalnym to poprostu ciąg formuł i jako taki również ma swój numer Godlowski.

48 | Anna Brożek

Na dodatek musi istnieć ściśle matematyczna zależność międzynumerem dowodu a numerem zdania dowodzonego. Przecież zda-nie dowodzone jest ostatnim elementem ciągu dowodowego. Godeloznacza relację między zdaniem a dowodem symbolem Dem(x, y),co czytamy: „x jest numerem Godlowskim ciągu formuł stano-wiącego dowód formuły o numerze Godlowskim y”. Zatem zdanie„∀x ¬Dem(x, y)” oznacza, że dla każdego numeru x, x nie jestnumerem Godlowskim dowodu formuły o numerze y. To zdanie,«przetłumaczone na metamatematykę», mówi, że nie istnieje ciągformuł, stanowiący dowód formuły o numerze y. Godel pokazał,że w pewnym szczególnym przypadku zdania tego typu nie możnadowieść, czyli że ∃y∀x ¬Dem(x, y). Skonstruował taką formułę y,dla której nie można dowieść, czy ma ona dowód, czy nie.Każdej formule, także zawierającej zmienne, da się przypisać

liczbę naturalną. Zauważmy, że w szczególnym wypadku możnaw danej formule A w miejsce zmiennej liczbowej wstawić numerGodlowski tejże formuły A. Niech numer Godlowski formuły za-wierającej zmienną liczbową wynosi y. Przez formułę sub(y, 13, y)Godel rozumiał numer Godlowski zdania powstałego przez pod-stawienie w formule o numerze Godlowskim y cyfr oznaczającychliczbę y zamiast zmiennej o numerze Godlowskim 1316. Nowa for-muła, powstała przez podstawienie za y w wyrażeniu sub(y, 13, y)jakiejś określonej liczby, także posiada swój numer Godlowski.Powróćmy do formuł stwierdzających niedowodliwość.

Formuła:∀x ¬Dem(x, sub(y, 13, y))

16Zastosowany przez Godla zabieg można opisać następująco. Załóżmy, żedana jest formuła ∃x(x = sy), mówiąca, że istnieje następnik liczby y. Owaformuła, jak każda formuła metaarytmetyczna, posiada numer Godlowski. Na-zwijmy go m. Ponieważ y jest w naszej formule zmienną liczbową (o numerzeGodlowskim 13), można zamiast niej wstawić do owej formuły dowolną liczbę,w szczególności liczbę m. Owa nowa formuła także posiada numer Godlowski,który można opisać: „numer Godlowski formuły, którą otrzymuje się z formułyposiadającej numer Godlowski m przez wstawienie zamiast zmiennej o nume-rze Godlowskim 13 cyfr oznaczających liczbę m”.


wyrażona w arytmetyce, mówi, że dla każdego numeru x, x nie jestdowodem formuły o numerze sub(y, 13, y). I to zdanie ma swój nu-mer Godlowski, który da się wyliczyć. Przyjmijmy, że ten numerwynosi n. Możemy teraz w formule sub(y, 13, y) wstawić za zmien-ną y liczbę n. Otrzymamy zdanie:

∀x ¬Dem(x, sub(n, 13, n))będące właśnie zdaniem zwanym od nazwiska swego twórcy— „zdaniem Godlowskim” (G). I ta formuła ma swój numerGodlowski. Chwila namysłu wystarcza by stwierdzić, że wynosion sub(n, 13, n). Charakterystyczną cechą G jest to, że odnosi sięono do samego siebie. «Mówi» mianowicie o sobie, że nie jest do-wodliwe.Godel dowodzi następnie, że G nie da się dowieść, czyli, że

jest tak, jak G mówi. Przypomnijmy, że z założenia koniecznącechą systemu aksjomatycznego jest jego niesprzeczność. ZdanieGodlowskie mówi o sobie, że nie jest dowodliwe. Załóżmy, że G dasię udowodnić. Wówczas jest tak, jak G mówi: że G nie daje sięudowodnić. Zatem, jeśli dałoby się dowieść G, to dałoby się rów-nież dowieść zaprzeczenia tego zdania. Łatwo pokazać, że jest tak-że odwrotnie: jeśli ¬G jest dowodliwe, to dowodliwe jest także G.Możliwość dowodu zdania Godlowskiego oznaczałaby więc poja-wienie się w systemie sprzeczności. Prowadzi to do wniosku, żeo ile arytmetyka ma być niesprzeczna, to musi być niezupełna17.Jak dotąd Godel pokazał, że istnieją w arytmetyce zdania nie

posiadające dowodu, o których nie możemy matematycznie orzecani prawdziwości ani fałszywości. Sam fakt istnienia zdań niedo-wodliwych (niezależnych) nie byłby jeszcze może groźny, gdyby nie

17Niedowodliwe zdanie wskazane przez Godla jest zdaniem metamatema-tycznym, choć – dzięki zabiegowi arytmentyzacji – także zdaniem matema-tycznym. Warto tu jednak zaznaczyć, że udało się znaleźć inne zdania niedo-wodliwe w systemie arytmetyki, ale już o treści «czysto–matematycznej» (czyteż interesującej z matematycznego punktu widzenia). Takie zdania odnaleźliJ. Parris, L. Kirby oraz L. Harrington w latach siedemdzisiątych i osiemdzie-siątyh dwudziestego wieku. (Zob. Murawski [2000], ss. 110–118).

50 | Anna Brożek

to, że zdanie G, z metamatematycznego punktu widzenia, jest zda-niem prawdziwym. Krajewski tak rekonstruuje metamatematycz-ne rozumowanie stwierdzające jego prawdziwość:W trakcie dowo-du twierdzenia Godla pokazaliśmy, że G nie jest dowodliwe w S(systemie aksjomatycznym), jeśli S jest niesprzeczny. G stwierdzajednak, że jest niedowodliwe w S. A zatem jest tak, jak G mówi,czyli G jest prawdziwe. Choć sam końcowy wniosek tego rozumo-wania wyprowadzony jest „z zewnątrz systemu”, to wszystkie faktypotrzebne do wyciągnięcia wniosku o prawdziwości G i poprawnościdowodu dają się wypowiedzieć i dowieść w ramach systemu. Dlate-go wątpliwości co do prawdziwości zdania Godla rzadko pojawiałysię wśród matematyków18.Wniosek, jaki można wyciągnąć z pierwszego twierdzenia

Godla brzmi: jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, jest niezupełna.Nie ma dowodu dla wszystkich jej prawd, a zatem dowodliwośćnie jest tożsama z prawdziwością. Cecha dowodliwości jest zre-latywizowana do konkretnego systemu, podczas gdy prawda ma-tematyczna wydaje się niezależna od jakiegoś stworzonego przezczłowieka układu aksjomatów i reguł. Na dodatek, trudności wska-zanej przez Godla – czyli niedowodliwości pewnych prawdziwychtwierdzeń – nie da się całkowicie usunąć wprowadzając nowe,silniejsze aksjomaty. Twierdzenie Godla wykazuje niezupełnośćwszystkich takich teorii, które dane są efektywnie (czyli takich,które posiadają przeliczalny zbiór aksjomatów i reguł) oraz wy-starczająco bogatych, by dało się za ich pomocą wyrazić arytme-tykę liczb naturalnych. W każdym takim systemie, mimo kolejnychwzmocnień, pojawią się bowiem nowe niedowodliwe zdania.Z twierdzenia pierwszego, dzięki jego formalnej analizie, wyni-

ka drugi wynik Godla. Można mianowicie z jego pomocą pokazać,że w ramach systemu aksjomatycznego arytmetyki nie da się do-wieść niesprzeczności tejże arytmetyki. Tę konsekwencję referatuGodla zauważył już von Neumann, w owym czasie bliski współ-pracownik Hilberta, a nawet dowiódł jej niezależnie od Godla. Za-

18Por. Krajewski [2003], s. 122.


uważmy tu jednak, że drugie twierdzenie Godla nie mówi, że dowódniesprzeczności arytmetyki w ogóle nie jest możliwy. Nie da się gotylko przeprowadzić wewnątrz niej, za pomocą środków uznanychprzez Hilberta za „matematykę nie budzącą wątpliwości”19.Najczęściej chyba cytowana wypowiedź Hilberta brzmi: w ma-

tematyce nie ma żadnych ignorabimus. Godel pokazał, że praw-dopodobnie «jakieś ignorabimus» będą w matematyce istnieć za-wsze. . .

4. Werden wir wissen? czyli o strategiachrozwiązywania problemów matematycznych

Zatrzymajmy się tu na chwilę, by przedstawić analizę poglą-dów filozoficznych Hilberta i Godla. Zastanowimy się, jaki wpływmiały one na pracę w dziedzinie matematyki i jak determinowa-ła ona stosowaną przez obu matematyków metodologię. Hilbertmówił w swym wystąpieniu z 1900 roku (w którym przedstawiłzestaw 20 doniosłych i nierozwiązanych problemów matematycz-nych): Przekonanie o rozwiązywalności każdego problemu matema-tycznego stanowi doskonałą motywację dla matematyka. Słyszymyciągłe wezwanie: Oto problem. Poszukaj jego rozwiązania20. TakżeGodel był «optymistą» w matematyce – pomimo dowodu twier-dzenia o niezupełności. Obaj uważali, że pytania matematycznesą dobrze postawione, że można na nie odpowiedzieć i że nawetsprzeczności i antynomie pojawiające się w ramach ich dziedzinydadzą się ominąć lub wytłumaczyć. Zarówno Hilbert, jak i Godelwierzyli, że da się utrzymać pogląd uznający matematykę za wie-dzę pewną i bezwzględnie prawdziwą. Różnie jednak uzasadnialifilozoficznie to przekonanie. Na przestrzeni wieków pojawiły się co

19W istocie dowód niesprzeczności arytmetyki został przeprowadzony m. in.w 1936 roku za sprawą ucznia Hilberta, G. Gentzena, z tym, że nie zostałon przeprowadzone w systemie arytmetyki i nie obyło się bez środków nie–finistycznych. Zatem nie realizował programu Hilberta w jego pierwotnym sfor-mułowaniu.20Hilbert [1901].

52 | Anna Brożek

najmniej dwie koncepcje filozofii matematyki, które pozwalały naugruntowanie jej jako wiedzy pewnej. Nazywa się je – od imiontwórców – „platonizmem” i „kantyzmem”. Postaram się pokazać,że optymizm Godla oparty był na jego platońskich przekonaniachfilozoficznych, podczas gdy Hilbert inspirował się filozofią mate-matyki Immanuela Kanta.W realizmie platońskim prawda matematyczna jest ugrunto-

wana «metafizycznie». Platon wierzył, że przedmioty matematycz-ne istnieją w świecie idealnym, niezależnym od świata fizycznego,a dostęp do nich mamy dzięki sile intelektu. Dzięki idealnemu,niezmiennemu istnieniu matematycznych obiektów, w matematy-ce nie ma miejsca na niepewność. Matematyka była dla Grekówwzorem episteme, czyli wiedzy pewnej, którą przeciwstawiali oniprawdopodobnej doxa. Inaczej pewność matematyki ugruntowu-je Immanuel Kant. W jego Krytyce czystego rozumu pojawia siękoncepcja matematyki jako wiedzy syntetycznej a priori. Twier-dzenia matematyki są pewne, gdyż są niezależne od zawodnegodoświadczenia, a ich konieczność wynika z konstrukcji ludzkichwładz poznawczych. Matematyka jest ugruntowana w tzw. for-mach naoczności czasu i przestrzeni, dzięki którym poznajemyświat w trzech wymiarach przestrzennych i jednym czasowym. Jestdzięki temu wiedzą bezpośrednią, intuicyjną. W Krytyce czyste-go rozumu pojawia się kantowskie, bardzo specyficzne rozumienieintuicji. Według Kanta, intuicyjna matematyczna wiedza a prio-ri opiera się na mentalnych przedstawieniach indywiduów czaso-przestrzennych. Przedmiotem intuicji jest to, co może stać narazi bezpośrednio przez naszymi oczami i co można sobie bezpośred-nio wyobrazić. Mówiąc inaczej, wszystko co człowiek może sobieprzedstawić jako indywiduum, jest intuicyjne21.

21Por. Hintikka [1991]. Pisze on, że u Kanta: Intuitivity is simply individu-ality. Hintikka dodaje, że nie ma nic «intuicyjnego» w takim rozumieniu in-tuicyjności. Jest to po prostu silne założenie filozoficzne. Należy tu zaznaczyć,że istnieją inne interpretacje kantowskiej teorii intuicji. Na przykład I. Dąbska(w: Dąbska [1978]) twierdzi, że rozumienie intuicji matematycznej Kanta jako


Najbardziej podstawowe prawdy arytmetyczne można ugrun-tować dzięki bezpośredniemu spostrzeganiu przedmiotów jednost-kowych. Pozostała wiedza matematyczna jest, według Kanta,skonstruowana na podstawie tych pierwotnych intuicji. Filozofz Królewca definiuje matematykę jako czystą wiedzę a priori, któ-ra opiera swe poznanie jedynie na konstrukcji pojęć na podstawieintuicyjnego wyobrażenia przedmiotu22. Według Kanta, złożoneprzedmioty matematyczne nie są, jak u Platona, bytami samo-istnymi, a pochodzą z apriorycznej konstrukcji podmiotu. Choćjednak Kant uznawał wiedzę a priori za konstruowaną niezależ-nie od zmysłowego doświadczenia, to uważał, że zdobycie takiejwiedzy może się dokonać dopiero wtedy, gdy nasz umysł zosta-nie wyposażony w «jakieś» poznanie. Warto tu znów zacytowaćfilozofa z Królewca:

Matematyczne poznanie [jest] zaś poznaniem na pod-stawie konstrukcji pojęć. Skonstruować zaś pojęcieto znaczy przedstawić odpowiadającą mu naocznośća priori. Dla konstrukcji pojęcia wymagana jest więcnaoczność nieempiryczna, która przeto – jako naocz-ność – jest przedmiotem jednostkowym [. . . ]. Konstru-uję więc trójkąt przedstawiając przedmiot odpowiadają-cy temu pojęciu albo za pomocą samej tylko wyobraźniw naoczności czystej, albo wedle niej także na papierzew naoczności empirycznej, ale w obu wypadkach całko-wicie a priori, nie zapożyczając na to wzoru z żadnegodoświadczenia23.

Porównajmy te poglądy Kanta z wypowiedzią Hilberta:

sposobu percepcji znaków liczbowych (przyjęte przez Hilberta i Hintikkę) jestmylne. Por. też Dadaczyński [2000], ss. 181–183.22Kant, Metaphysische Anfangsgrunde der Naturwissenschaft, cyt. za: Da-daczyński [2002], s. 181.23Kant [2001], s. 540, 713.

54 | Anna Brożek

Coś musi być już dane w przedstawieniu jako warunekwstępny dla zastosowania wnioskowań i wykonywaniaoperacji logicznych: są to mianowicie pewne pozalogicz-ne konkretne przedmioty, które tam występują poglądo-wo, jako bezpośrednie przeżycia. Jeżeli myślenie logicz-ne ma być pewne, to przedmioty te muszą całkowiciedać się ogarnąć jednym spojrzeniem we wszystkich ichczęściach [. . . ]. Takie jest podstawowe stanowisko fi-lozoficzne, które uważam za potrzebne dla matematykii w ogóle dla całego naukowego myślenia, rozumieniai porozumiewania się24.

Dochodzimy tu do źródła finitystycznej strategii Hilberta. Po-siadamy intuicję skończonych indywiduów, a wiedza o nich narzucasię nam z niepowątpiewalną oczywistością. Pewność matematykimożna ugruntować właśnie na postrzeganiu bezpośrednio dyskret-nych obiektów, a w szczególności potrafimy rozpoznawać symboletakie, jak ciągi: I, II, III, IIII. Bezpośrednie ich poznanie daje namwiedzę o liczbach naturalnych – dlatego prawdy ich dotyczące wy-dają się niepodważalne. Według Hilberta, podobnie jak w filozofiiKanta, pozostałą część matematyki można skonstruować dzięki tejniewzruszonej podstawie i operacjom logicznym.Przypomnijmy jeszcze jedną istotną tezę Kantowskiej filozofii

matematyki — stosunek do nieskończoności. Filozof z Królewca nieuznawał istnienia nieskończoności aktualnej. Określał ją jako ideęczystego rozumu — punkt graniczny naszego poznania. Nieskoń-czoności nie możemy poznawać bezpośrednio, nie może być namdana. Wydaje się, że i ten pogląd przejął Hilbert od Kanta i stądjego, jak się często mówi, instrumentalistyczne traktowanie metodteorii mnogości. Łatwo teraz zrozumieć, dlaczego Hilbertowi byłpotrzebny mocny program finityzmu — należało uprawomocnićposługiwanie się czymś, co nie jest nam w żaden sposób dane25.

24Hilbert, Uber das Unendliche, cyt. za: Murawski [2001], s. 125–126.25Hilbert odwoływał się także do wyników fizyki, które zdają się przeczyćistnieniu w świecie nieskończoności. Musimy tu zaznaczyć, że do Kanta (nawet


Hilbert dzielił matematykę na realną i idealną. Realna ma-tematyka to ta, która «nie sprawia kłopotów», w ramach którejnie pojawiają się paradoksy. W szczególności była to matematykabez nieskończoności. Matematyka zawierająca kantorowską teorięmnogości zwana była przez Hilberta – po linii kantowskiej – ma-tematyką „idealną”. Ta «idealność» pojęcia nieskończoności nieprzesądza o porzuceniu teorii mnogości. Hilbert uważa jedynie, żemusimy ustanowić w całej matematyce taką samą pewność wnio-skowań, jaka ma miejsce w elementarnej teorii liczb, gdzie niktnie ma wątpliwości, i gdzie paradoksy i sprzeczności powstają tyl-ko przez nieuwagę26. Można powiedzieć, że program Hilberta miałdoprowadzić do ugruntowania matematyki idealnej za pomocą re-alnych środków.Godel, jako platonik, uznawał całą matematykę (także nieskoń-

czonościową) za realną, a jej przedmioty za istniejące rzeczywiście,choć niezależnie od świata fizycznego i ludzkiego umysłu. Napisał:

Pojęcia i klasy mogą być potraktowane jako obiektyrzeczywiste [. . . ]. Wydaje się, że założenie o istnieniutakich obiektów jest równie uzasadnione jak założenieo istnieniu obiektów fizycznych. Filozofia matematykipowinna i musi być metafizyczna27.

Ale Godel również wprowadził w matematyce podział, choćzasadniczo inny niż ten Hilbertowski: na matematykę obiektywną

bardziej bezpośrednio) odwołuje się też nurt intuicystyczny w filozofii mate-matyki. Jego protoplasta – Kronecker powiedział kiedyś, że „Liczby naturalnestworzył Pan Bóg, reszta jest dziełem człowieka”. Wnioski intuicjonistów szłyjednak o wiele dalej, niż hilbertowska interpretacja Kanta. Szczególną rolęprzywiązywali do tzw. konstruowalności przedmiotów matematyki. Na przy-kład uważali, że matematykę nieskończonościową należy wyeliminować jakoniekonstruowalną. Hilbert natomiast nie wykluczał ze swoich dowodów metodnie–konstruktywistycznych, a niesprzeczność, nie zaś konstruowalność, uzna-wał najważniejszy warunek matematycznego systemu.26Hilbert [1986], s. 296.27Godel [1990], ss. 119–153.

56 | Anna Brożek

i subiektywną. Pierwsza stanowi ogół prawdziwych zdań o istnie-jących obiektywnie bytach matematycznych. Matematyka subiek-tywna zaś to ogół zdań dowodliwych w jakimś konkretnym ma-tematycznym systemie. Są to twierdzenia, którą formułują ludzie,badając świat matematyki obiektywnej. Dokonują tego za pomocąintuicyjnego analizowania jej pojęć.Zaznaczmy od razu, że „intuicję” rozumie Godel zupełnie ina-

czej niż Hilbert. Pisze:

Należy zauważyć, że intuicja matematyczna nie powin-na być uważana za zdolność, która daje bezpośredniąwiedzę o analizowanych obiektach. [. . . ]Wydaje się ra-czej, że podobnie jak w przypadku doświadczenia fizycz-nego, formułujemy nasze idee na gruncie czegoś in-nego niż to, co jest dane bezpośrednio, w sposób na-tychmiastowy. To coś innego tutaj nie jest, a przynaj-mniej nie jest głównie, wrażeniem. Fakt, że coś jeszczeoprócz wrażeń jest dane w sposób natychmiastowy, wy-nika (niezależnie od matematyki) z tego, że nawet ideeodnoszące się do obiektów fizycznych posiadają w so-bie coś, co nie wynika z obserwacji – na przykład ideęobiektu. Oczywiście to, co dane w matematyce, jest ści-śle związane z abstrakcyjnymi elementami zawartymiw naszych ideach empirycznych. Nie wynika stąd jed-nak, że te dane drugiego rodzaju, jak twierdził Kant,są czymś czysto subiektywnym, ponieważ nie mogą byćzwiązane działaniem określonych przedmiotów na na-sze organy. Przeciwnie, one też mogą wyrażać jakiśaspekt obiektywnej rzeczywistości, a ich pojawienie sięmoże wynikać z innej relacji pomiędzy nami a rzeczy-wistością28.

Matematyka subiektywna zbliża się do matematyki obiektyw-nej, odkrywając coraz więcej jej prawd, podobnie, jak fizyka zbli-

28Godel [2003], s. 121.


ża się do adekwatnego opisu świata materialnego. Tak jak światfizyczny, matematyczne obiekty (także np. zbiory nieskończone)istnieją obiektywnie i nie są tylko ludzką konstrukcją. Dostęp doprawd o nich mamy poprzez analizę pojęć matematycznych, aleta analiza nigdy nie będzie pełna. Zbiór zdań prawdziwych ma-tematyki obiektywnej tworzy nieprzekraczalną granicę, której niezdołamy osiągnąć, lecz do której staramy się zbliżyć, rozszerzającstopniowo klasę zdań dowodliwych29. Mimo ograniczeń intuicji,poznajemy dzięki niej dużą klasę matematycznych przedmiotów.Jesteśmy w stanie analizować pojęcia matematyczne, nawet te po-stulowane przez teorię mnogości. Takie analizy pojęć doprowa-dzają do coraz lepszego ich rozumienia i eksploracji obiektywnejmatematyki.Wobec takich przekonań Godla widać, że finitystyczne założe-

nia Hilberta nie były mu potrzebne i nie stanowiły nieodzownegowarunku uprawomacniającego matematykę. Dlatego miał on innąstrategię «radzenia sobie» z paradoksami teorii mnogości. Przedewszystkim Godel był przekonany, że paradoksy są czysto logiczne,a nie dotyczą matematyki czystej. Obiekty tej ostatniej istniejąobiektywnie i nie ma między nimi sprzeczności. Zatem, jeśli przy-jęty system aksjomatyczny nie pozwala na udowodnienie wszyst-kich prawd lub doprowadza do powstania antynomii, oznacza to,że pojęcia matematyczne w jego ramach nie zostały dostateczniezanalizowane. Prawdopodobnie należy go więc rozszerzyć o takieaksjomaty, które pozwolą na rozwiązanie problemu. Załóżmy, ro-zumuje Godel, że A jest nierozstrzygalnym zdaniem systemu aksjo-matycznego S. Zdanie A jest albo bezsensowne, albo prawdziwe,albo fałszywe. Nie możemy go uznać za bezsensowne ze względuna klarowność pojęć stosowanych w jego budowie, może więc byćtylko prawdziwe albo fałszywe. Jednakże ani A, ani jego negacja,nie mogą być dowiedzione w S. Stąd, aby rozstrzygnąć, czy A jestprawdziwe, czy fałszywe, musimy dodać nowy zestaw S1 aksjoma-

29Jak się zdaje – na przykład w ujęciu Peirce’a czy Poppera – pojęcie prawdyodgrywa podobną rolę w naukach empirycznych.

58 | Anna Brożek

tów do S, budując rozszerzony system aksjomatów S ∪{S1}, taki,że za ich pomocą możemy dowieść A lub jego negacji, ale nie mo-żemy dowieść ich obu. Choć rozszerzony system (nasze S ∪ {S1})pozwala na rozstrzygnięcie zdania A, to w jego ramach pojawiąsię inne zdania nierozstrzygalne, wymagające jeszcze silniejszychaksjomatów. Tak będzie w nieskończoność, gdyż, według Godla,matematyczne pojęcia są niewyczerpane.

Konstruowanie coraz wyższych szczebli jest koniecznedo dowodzenia twierdzeń dotyczących nawet stosunko-wo prostej struktury, a mianowicie twierdzeń arytme-tycznych. Istnieją zadania arytmetyczne, które mogąbyć udowodnione tylko metodami analitycznymi, a na-wet przez zastosowanie metod, w których odwołujemysię do bardzo dużych nieskończonych liczb kardynal-nych i podobnych rzeczy30.

Każde zdanie tzw. niezależne – czyli takie, które jest niedowo-dliwe i niedowodliwa jest także jego negacja – może zostać dołą-czone do aksjomatów, nie wywołując sprzeczności. Takimi nieza-leżnymi, jak wykazał Godel, zdaniami są między innymi: zdanieGodlowskie, aksjomat wyboru i hipoteza continuum.

Bez wątpienia odkrycie niezupełności arytmetyki mogło dlaGodla stanowić uzasadnienie trafności jego założeń ontologicz-nych. Pokazał, że mamy pozaformalne rozumienie twierdzeń ma-tematycznych oraz dana jest kategoria prawdziwości, którą możnastosować do zdań tego typu. Dowodliwość nie jest równoważnaprawdziwości. Zdanie Godlowskie jest prawdziwe w «pozaformal-ny» sposób, a my widzimy jego prawdziwość spoza systemu, w ra-mach którego zostało sformułowane.

30Godel [1995] s. 48.


5. Od programu Hilberta do programu Godla

Godel dowiódł zatem, że formalnie – przy pomocy metod pre-ferowanych przez Hilberta – nie da się dowieść niesprzecznościarytmetyki. Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, jest także niezu-pełna, bo istnieją zdania prawdziwe, ale w jej ramach niedowo-dliwe. W tym ostatnim paragrafie postawimy sobie dwa pytania.Po pierwsze: czy i w jakim stopniu Godel położył kres progra-mowi Hilberta? Po drugie: czy Godel skutecznie i trwale oddzieliłpojęcia prawdy i dowodu?Twierdzenie Godla wywołało ferment wśród badaczy podstaw

matematyki, choć nie stało się to z dnia na dzień. Przypuszczal-nie matematycy nie od razu dostrzegli doniosłość twierdzenia.Na przykład H. Reichenbach, podsumowując słynną konferencjęw Królewcu, nawet nie zwrócił uwagi na drugi referat Godla31.Hilbert podobno początkowo zareagował złością. Musiał zdawaćsobie sprawę, że twierdzenie Godla stawia pod znakiem zapytaniasensowność jego programu i wieloletniej pracy. Nie ma jednak cał-kowitej zgody co do tego, czy wynik Godla definitywnie kładziekres programowi finitystycznemu. Wątpliwości co do konsekwencjitwierdzenia Godla dla finitystycznego programu Hilberta wynikająz faktu, że sam ten program był sformułowany niezbyt ściśle. Dlaprzykładu niedookreślona była idea finityzmu – czy przez „fini-tyzm” rozumiał Hilbert tylko istniejącą już aksjomatyzację mate-matyki, czy też dopuszczał możliwość innej, lepszej finitystycznejaksjomatyzacji. Dlatego, o ile niektórzy są przekonani, że programHilberta zakończył się w 1931 roku definitywną klęską, o tyle inniuważają, że wcale tak nie jest32. Warto zauważyć, że do tej drugiejgrupy należeli (przynajmniej w pewnym okresie) dwaj główni bo-

31Podobno tylko Von Neuman – ówczesny bliski współpracownik Hilberta– od razu uznał dowód niezupełności za doniosły, szczególnie dla programufinitystycznego.32Por. Krajewski [2003], ss. 261 i nn. Udowodniono m.in. tzw. twierdzenieFriedmana i Siega, głoszące, że każde twierdzenie matematyczne, które moż-na udowodnić w systemie stanowiącym podsystem Z2, (arytmetyki drugiego

60 | Anna Brożek

haterowie niniejszego artykułu – Hilbert i Godel. Hilbert (w przed-mowie do książki o podstawach matematyki napisanej wspólniez Bernaysem) stwierdził:

Zazwyczaj utrzymuje się opinię, że z wyniku Godla wy-nika niewykonalność mojej teorii dowodu. Ale jego do-wód pokazuje tylko, że bardziej zaawansowane teorieniesprzeczności wymagają użycia finistycznych dowo-dów, które nie mogą być wyrażone w formalizmie P33.

Z kolei Godel, jeszcze w artykule z roku 1931 zaznacza wyraź-nie, że jego twierdzenie

nie zaprzecza formalistycznym poglądom Hilberta. Topodejście presuponuje jedynie istnienie dowodu nie-sprzeczności, w którym mogą być użyte tylko środki fi-nitystyczne, a jest możliwe, że istnieją takie dowody,które jednak nie mogą być wyrażone w P34.

Najrozsądniej jest chyba przyjąć, że twierdzenie Godla narzucapoważne ograniczenia na program Hilberta. Jeśli może on nadalbyć realizowany, to tylko w pewnym ograniczonym zakresie.Hilbert napisał: Gdzie tylko są jakieś widoki powodzenia, tam

chcemy dokładnie badać owocne definicje i metody dedukcji. Chce-my je pielęgnować, wzmocnić i uczynić użytecznymi35. Skoro, cowiemy dzięki twierdzeniu Godla, nie da się programu przepro-wadzić dla całości matematyki, trzeba przynajmniej uczynić totam, gdzie to możliwe. Choć dzięki twierdzeniom Godla wiemy, żeprawdziwości całej matematyki nie da się wykazać za pomocą fini-tystycznych operacji (rozumiejąc tu „finitystyczne” wąsko — jako

rzędu), nazwany WKL, jest finitystycznie dedukowalne w sensie programu Hil-berta. Por. Simpson [2002], s. 200.33Hilbert, Bernays [1934], s. 8.34Godel [1931], s. 37.35Hilbert [1986], s. 296


„wyrażalne w arytmetyce Peano”), nie oznacza to, że nie da się te-go zrobić dla jakiejś części matematyki. Kontynuatorzy programuHilberta zdają się uważać, że całkiem duża część matematyki mo-że być jednak finitystycznie uprawomocniona36. Najciekawszymchyba przykładem kontynuacji badań nad podstawami matema-tyki w duchu hilbertowskim jest tzw. arytmetyka odwrotna (ang.reverse mathematics). Przedstawmy w paru słowach jej ideę37. Za-łóżmy, że dane jest zwykłe twierdzenie matematyki. Wobec każde-go takiego twierdzenia możemy zapytać: jakie aksjomaty istnieniazbiorów są potrzebne, aby dowieść tego zdania? «Odwrotność» te-go typu dociekań matematycznych polega na tym, że przechodzisię, nie jak w klasycznie pojętym dowodzie — od aksjomatów doich konsekwencji, a odwrotnie — od gotowych twierdzeń do ichminimalnych założeń ontologicznych.Warto tu przypomnieć charakterystyczne podejście Godla do

badań nad systemami aksjomatycznymi. W zgodzie ze swym re-alizmem, Godel wierzył, że każde zdanie matematyczne jest praw-dziwe lub fałszywe. Równocześnie pokazał, że w gotowych jużsystemach istnieją zdania niezależne (niedowodliwe). Godel pro-ponował zatem poszukiwanie nowych aksjomatów, które dodanedo aksjomatyki teorii mnogości pozwoliłyby na dowiedzenie zdańniezależnych – takich, jak hipoteza continuum. Ten Godlowski po-stulat zostały nazwany „programem Godla”38. Łatwo zauważyć,że kierunek dociekań jest tu właśnie «odwrotny», a pomysł wpro-wadzenia reverse mathematics jest prawdopodobnie inspirowanyideami Godla.Zwróćmy jeszcze uwagę, że analiza strategii postępowania

w programie Godla prowadzi do przekonania, iż autor twierdzeńo niezupełności nie neguje doniosłości idei formalnego dowodu ma-tematycznego. Choć twierdzi, że w naszym rozumieniu matema-tyki jest «coś więcej» niż da się udowodnić za pomocą finistycz-

36Por. Krajewski [2003], s. 199.37Por. Wójtowicz [2002], ss. 99 i nn.38Por. Wójtowicz [2001], ss. 100–117.

62 | Anna Brożek

nego systemu formalnego, to sam proponuje poszukiwanie takichaksjomatów, które pozwoliłyby na formalne dowiedzenie uznawa-nych (intuicyjnie) twierdzeń. Godel uważa, że dowód jest ważnyw matematyce, ale stanowi tylko końcowy etap pracy matematy-ka. Aby przeprowadzić dowód, należy najpierw zbudować systemaksjomatów i reguł dowodowych, a do tego potrzeba rozumieniapojęć matematycznych. Rolę dowodu formalnego widział Godel ra-czej — użyjmy określenia z filozofii nauki — tylko w „kontekścieuzasadnienia”.Twierdzenie Godla bywa nadużywane — często słyszy się, że

Godel dowiódł, iż niczego nie możemy dowieść. Tymczasem dowódjest nadal podstawową metodą uzasadnienia prawd matematycz-nych i tak już pewnie zostanie. Jak napisał Tarski:

w rozwoju matematyki nie ma sprzeczności pomiędzypojęciem prawdy i pojęciem dowodu; pojęcia te nie sąna stopie wojennej, lecz pozostają w stanie pokojowegowspółistnienia39.

Pozostaje więc pytanie: jeśli dowód w sensie formalnym służyćmiałby przede wszystkim – jak to zdaje się postulować Godel –w kontekście uzasadnienia, to czy istnieje jakaś inna metoda od-krywania prawd matematycznych, czy też jakieś inne, pozaformal-ne kryteria pozwalające matematykom na przyjęcie dowodzonychtwierdzeń? Czy istnieją inne kryteria matematycznej prawdy? Podkoniec tych rozważań chcę pokazać «kandydata» na takie kryte-rium, które zaakceptowaliby, przypuszczam, zarówno Hilbert, jaki Godel. Kryterium to można nazwać „pragmatycznym”, a polegaono na wykazaniu skuteczności i użyteczności dowodzonych twier-dzeń matematycznych.Zacznijmy od Hilberta. Przedstawiciel intuicjonizmu, L. Bro-

uwer, nazwał twórcę programu finitystycznego „formalistą”. Odtego czasu utarło się określać Hilberta jako głównego przedstawi-

39Tarski [1995], s. 332.


ciela tego kierunku, ale istnieją wątpliwości co do słuszności takie-go przyporządkowania. Oczywiście rozstrzygnięcie tej kontrower-sji zależy od naszego rozumienia formalizmu. Według niektórych,mocnych wersji formalizmu, przedmiotem matematyki są, w do-słownym tego słowa znaczeniu, ciągi napisanych symboli i doko-nywane na nich manipulacje. Konsekwentny formalista nie zwracauwagi na „prawdziwość” aksjomatów i nie starta się jej uzasad-nić. Jego wymaganiem jest niesprzeczność aksjomatów, a wszyst-kie niesprzeczne systemy uważa za równoważne. W zasadzie niemówi o prawdzie, a o manipulacji symbolami, przypominającej gręo określonych, konwencjonalnych regułach. Każda «gra na symbo-lach» jest równie dobra. Tak skrajnie rozumiany formalizm nierozwiązuje szeregu problemów epistemicznych. Przede wszystkimnie tłumaczy skuteczności matematyki i czyni ją intelektualną za-bawą i raczej nieużyteczną czynnością40.Hilbert mocno wierzył w skuteczność matematyki i w sensow-

ność jej uprawiania. Jeśli uznawałby, że matematykę można spro-wadzić do gry na symbolach, niezrozumiała stawałaby się chęćugruntowania jej aksjomatów, która towarzyszyła formułowaniuprogramu finitystycznego. Dlatego, o ile chce się stosować do filo-zofii Hilberta określenie „formalizm” — to tylko w drugim, słab-szym znaczeniu. Owa druga, słabsza wersja formalizmu znana jestteż pod nazwą „deduktywizmu”. Deduktywista uważa, że moż-na tak wyznaczyć znaczenie ciągu symboli, że «reguły gry», czy-li operowania nimi, staną się prawdziwe — w tym sensie, że zaich pomocą można dobrze opisywać rzeczywistość. Metodę stoso-waną przez Hilberta można zatem raczej nazwać „teoretyczno–

40Hilbert mówił często, że jego symbole są pozbawione znaczenia – i stądmoże wspomniane nieporozumienia. Pisał np.: w szczególności w matematyceprzedmiotem naszych rozważań są konkretne znaki, których kształt jest bezpo-średnio jasny i niepodważalny. Z drugiej strony wydaje się, że Hilbert przyzna-wał zdaniom matematycznym pewną treść. Solidaryzując się z Kantem, pisał:Już Kant uczył, że matematyka posiada treść pewną i niezależną od jakiejkol-wiek logiki i dlatego nigdy nie może zostać ugruntowana w oparciu o samą tylkologikę. (Por. Murawski [2002], s. 125 i nn.)

64 | Anna Brożek

modelową”. Matematyk dostarcza różnych, niesprzecznych syste-mów aksjomatycznych, a sprawdzenie, które z nich mogą praw-dziwie (czy raczej — skutecznie) opisywać świat, należy już dofizyków.Rozpatrzmy przykład z historii geometrii. Gdy w XIX wieku

powstały geometrie nieeuklidesowe (przez zastąpienie piątego, nie-zależnego postulatu Euklidesa przez postulaty alternatywne), niktnie przypuszczał, że nowe geometrie mają coś wspólnego z real-nie istniejącym światem. Tymczasem już w początkach XX wie-ku okazało się, że geometria opisująca Wszechświat jest odmianągeometrii nieeuklidesowej. Można z tego wyciągnąć wniosek, żebudowanie alternatywnych, niesprzecznych systemów nie jest po-zbawione sensu. Każda niesprzeczna teoria matematyczna możeokazać się dobrym narzędziem do opisu świata. Na dodatek, ist-nienie w fizycznym świecie modelu dla teorii matematycznej uznaćmożna za pośredni dowód jej niesprzeczności41.Przytoczmy teraz poglądy Godla:

obok intuicji istnieje inne (choć tylko prawdopodobne)kryterium prawdziwości aksjomatów matematycznych– ich owocność w matematyce i, można powiedzieć, tak-że w fizyce42. Decyzja dotycząca prawdziwości [aksjo-matów] jest także możliwa w inny sposób, a mianowicieprzez indukcyjną analizę ich „sukcesu”. Sukces oznaczatutaj owocność w sensie konsekwencji, w szczególnościweryfikowalnych konsekwencji badanych aksjomatów.[. . . ] Mogą istnieć aksjomaty tak owocne w sprawdzal-ne konsekwencje, rzucające tak dużo światła na dyscy-plinę i dostarczające tak dobrych metod rozwiązywaniaproblemów, że niezależnie od zagadnienia, czy są onewewnętrznie konieczne, powinny zostać zaakceptowane

41Rozważając problem, czy istnieje nieskończoność aktualna mówi na przy-kład Hilbert: tutaj musimy zbadać rozciągłość wszechświata, aby zbadać, czyistnieją w nim nieskończenie duże. (Hilbert [1996], s. 291)42Godel [2002], s. 121.


przynajmniej w takim stopniu, jak dobrze ugruntowanateoria fizyczna43.

Jak widać, Godel również dopuszczał pragmatyczne kryteriumuznawania twierdzeń matematycznych. I choć intuicja matema-tyczna jest dla niego bez wątpienia podstawowym narzędziem po-znawczym, to skuteczność zbudowanego systemu stanowi dobre,choć zawodne kryterium jego uzasadniania. Nie trzeba dodawać,że kryterium pragmatyczne jest do przyjęcia niezależnie od przeko-nań filozoficznych. Najlepszym na to dowodem jest fakt, że dwajmatematycy o tak różnych poglądach filozoficznych, jak Hilberti Godel, uznali je za doniosłe.

Literatura cytowana

Czeżowski, Tadeusz [1965] Filozofia na rozdrożu, PWN, War-szawa 1965

Dadaczyński, Jerzy [2002] Filozofia matematyki w ujęciu histo-rycznym, Biblos, Tarnów

Dąmbska, Izydora [1978]Idee Kantowskie w filozofii matematy-ki XX wieku,w: Archiwum historii i myśli społecznej (24),ss. 167–213

Hilbert, David [1996] „Uber das Unendliche”, przekład polskiw: Murawski Stefan, Filozofia matematyki. Antologia tekstówhistorycznych, PWN, Warszawa, ss. 288–307

Hilbert, David [1901] Mathematical Problems, przekład angiel-ski wykładu z 1900 roku (wydanego w roku 1901) na stronie:<http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html>

Hilbert, David; Bernays, Paul [1934] Grundlagen der Matematik, Sprin-ger Verlag, Berlin

43Godel [2002], s. 113.

66 | Anna Brożek

Hintikka, Jaakko [1998] „Hilbert vindicated?”, w: Language, truth and logicin mathematics, Collected Works, Kluwer Academic Publishers, ss. 84–105.

Hintikka, Jaakko [1991] „Kant’s New Method of Though and his Theoryof Mathematics”, w: The Knowledge and the Known, Kluwer AcademicPublishers, ss. 126–134

Godel, Kurt [1931] „Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mate-matica und verwandter Systeme I”, w: Davis, Martin (wyd.) The unde-cidable, Ravin Press, New York 1965, ss. 5–37 (tłumaczenie angielskie)

Godel, Kurt [1944] „Russell’s mathematical logic”, w: Collected works, vol.II. Oxford 1990, ss. 119–153

Godel, Kurt [1995] „The present situation in fundations of mathematics”,w: Collected works, vol. III, Oxford 1995, s. 47

Godel, Kurt [2003] „What is Cantor’s Continuum Problem?”, tł. polskie w:Murawski [2003], ss. 103 – 123.

Kant, Immanuel [2001] Krytyka czystego rozumu, przeł. R. Ingarden, An-tyk, Kęty

Krajewski, Stanisław [2003] Twierdzenie Godla i jego implikacje filozoficz-ne, Wydawnictwo Instytutu Filozofii i Socjologii PAN, Warszawa

Maddy, Penelope [1990] Realism in mathematics, Oxford

Maddy, Penelope [1997] Naturalism in mathematics, Oxford

Minois, Georges [1995] Kościół i nauka, Warszawa

Marciszewski, Witold (red.) [1987] Logika formalna. Zarys encyklope-dyczny, PWN, Warszawa

Murawski, Roman [1994] „Hilbert’s Programm: Incompletness Theorem vsPartial Realizations”, w: Woleński [1994], ss. 103–127

Murawski, Roman [2000] Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematy-ki, Wydawnictwo UAM, Poznań

Murawski, Roman [2001] Filozofia matematyki, zarys dziejów, PWN, War-szawa


Murawski, Stefan (red.) [2002] Współczesna filozofia matematyki. Wybórtekstów, PWN, Warszawa

Nagel, Ernst; Newman, James R. [1996] Godel’s Proof, New York Uni-versity Press,

Podsiad, Antoni [2001] Słownik terminów i pojęć filozoficznych, PAX, War-szawa

Simpson, Stephen [2002] „Partial Realizations of a Hilbert’s Programm”,przekład polski: „Częściowe realizacje programu Hilberta”, w: Muraw-ski [2002], ss. 189–213

Tarski, Alfred [1995] „Prawda i dowód”, w: Pisma logiczno–filozoficzne, t. I,PWN, Warszawa, ss. 292–332

Woleński, Jan (red.) [1994] Philosophical Logic in Poland, Kluwer Acade-mic Publishers

Wójtowicz, Krzysztof [2002] Platonizm matematyczny. Studium filozofiimatematyki Kurta Godla, Biblos, Tarnów

Wójtowicz, Krzysztof [2001] „O tzw. programie Godla”, Zagadnienia Fi-lozoficzne w Nauce, XXVII/XXIX, ss. 100–117

Wójtowicz, Krzysztof [2002] „Reverse Mathematics and the Indispensabi-lity Argument”, w: M. Tałasiewicz (red.) Logic, Methodology nad Phi-losophy of Science at Warsaw University, Semper, Warszawa 2002


Leszek Wroński

Twierdzenia Godla — dowody. Czyarytmetyka jest w stanie dowieść własnąniesprzeczność?

W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowodyobu twierdzeń Godla wykorzystujące warunki dowodliwości Loba,a także problem pewnej, być może zbyt pochopnie wysuwanej filo-zoficznej implikacji drugiego twierdzenia Godla dotyczącego niedo-wiedlności niesprzeczności arytmetyki środkami samej arytmetyki.

1. Wstęp

Niech M =< N,+, ·, S, 0 > będzie tzw. modelem Peano, czylistandardowym modelem arytmetyki. Niech PA będzie systememstandardowo sformalizowanym opartym o następujące aksjomaty:

(1) ∀x, y(Sx = Sy → x = y)

(2) ∀x(¬(0 = Sx))

(3) ∀x(x+ 0 = x)

(4) ∀x, y(x+ Sy = S(x+ y))

(5) ∀x(x · 0 = 0)

(6) ∀x, y(x · Sy = x · y + x)

(7) [α(0) ∧ ∀x[α(x)→ α(S(x))]]→ ∀xα(x)

Twierdzenia Godla — dowody. . .�69

(oczywiście, (7) powyżej to schemat nieskończenie wielu aksjoma-tów).Łatwo dowieść, iż M |= PA, tak więc możemy stwierdzić, co

następuje:

Twierdzenie 1.1 PA jest teorią niesprzeczną.

Jasne jest, że zbiór aksjomatów PA jest rozstrzygalny, czyli ist-nieje algorytm rozpoznawania aksjomatów PA w zbiorze wszyst-kich formuł języka arytmetyki. Pierwsze twierdzenie Godla poka-zuje, iż arytmetyka PA jest istotnie niezupełna, czyli niezupełnejest każde jej rozszerzenie o rozstrzygalnym zbiorze aksjomatów.

Definicja 1.2 Mówimy, że wyrażona w języku teorii PA formułaα(x1, . . . xk) mocno reprezentuje relację R ⊆ Nk jeśli dla dowol-nych n1, . . . nk jest tak, iż

(1) < n1, . . . nk >∈ R⇒ PA ` α(n1, . . . nk)

(2) < n1, . . . nk >/∈ R⇒ PA ` ¬α(n1, . . . nk),

gdzie n1, . . . nk są tzw. termami kanonicznymi, które w języku aryt-metyki desygnują liczby naturalne — term oznaczający liczbę n mapostać SS . . . S︸︷︷︸

n−razy

0.

W dalszym ciągu — dla uproszczenia notacji — liczbę orazdesygnujący ją term będziemy często oznaczać tym samym sym-bolem w sytuacjach, w których kontekst nie pozostawia wątpli-wości co do tego, co mamy na myśli. Zakładam, iż Czytelnikowiznana jest jakaś metoda arytmetyzacji, czyli jednoznacznego przy-porządkowania liczb naturalnych wyrażeniom języka arytmetyki.Może być to metoda samego Godla, albo np. Smullyana lub Bo-olosa. Nie będzie dla nas ważny sposób dokonania arytmetyzacji,lecz tylko fakt, iż jest ona możliwa. Numer Godla formuły α bę-dziemy oznaczać często używanym symbolem pαq. Wprowadźmynastępujące relacje:

70 | Leszek Wroński

Definicja 1.3 Prf(a,b) wtw a jest numerem Godla dowodu for-muły o numerze Godla b.

Definicja 1.4 Pr(a) wtw ∃x : Prf(x, a)(w obu definicjach a, b, x ∈ N).

Dla dowodu twierdzeń Godla potrzebny nam będzie następu-jący fakt:

Fakt 1.5 Relacja Prf jest mocno reprezentowalna w teorii PA.

Dla uproszczenia notacji używać będziemy tego samego symbo-lu na określenie relacji Prf oraz formuły w języku PA, która owąrelację mocno reprezentuje. Łatwo udowodnić następujący fakt:

Fakt 1.6 Dla dowolnej formuły α, jeśli numer Godla pαq ma wła-sność Pr, to PA ` α.

Przypomnijmy, że w zależności od kontekstu symbol Prf bę-dzie oznaczał relację zawartą w N × N lub formułę arytmetycznąz dwiema zmiennymi wolnymi, która tę relację mocno reprezentujew PA.

Definicja 1.7 Mówimy, że formuła ϕ(x, y, z) mocno reprezentujefunkcję f (f : N2 7→ N), jeżeli dla dowolnych n,m ∈ N jest tak, że

PA ` ∀z[ϕ(n,m, z)↔ [z = f(n,m)]].

Tak więc reprezentacją k-argumentowej funkcji jest formułaz k + 1 zmiennymi wolnymi.Rozważmy funkcję Sub : N2 → N. Niech Sub(pαq, n) = pα(x/

n)q, jeśli pierwszy argument jest numerem formuły, zaś w innymprzypadku wartość funkcji nie jest określona. Wiemy, iż prawdziwyjest następujący fakt:

Fakt 1.8 Istnieje formuła arytmetyczna S(x, y, z), która mocnoreprezentuje w PA funkcję Sub.


Udowodnijmy następujące twierdzenie, zwane „lematem prze-kątniowym”:

Twierdzenie 1.9 Dla dowolnej formuły arytmetycznej θ(x) za-wierającej dokładnie jedną zmienną wolną x istnieje zdanie ∆ ta-kie, że

PA ` ∆↔ θ(p∆q).

Dowód: Nasze intuicje co do zdania ∆ można wyrazić stwier-dzeniem, iż mówi ono „Mój numer ma własność θ”. Zdefiniujmyformułę Γ(x) z jedną zmienną wolną:

Γ(x) def= ∀y[S(x, x, y)→ θ(y)].

Niech n = pΓ(x)q. Zdefiniujmy tak oto zdanie ∆:

∆ def= Γ(x/n) (1)

czyli∆ def= ∀y[S(n, n, y)→ θ(y)].

Wiemy, że PA ` ∆↔ ∆, a zatem

PA ` ∆↔ ∀y[S(n, n, y)→ θ(y)]. (2)

Fakty, iż formuła S mocno reprezentuje w PA funkcję Sub, a tak-że, iż n = pΓ(x)q implikują1:

PA ` ∀y[S(n, n, y)↔ y = pΓ(n)q]. (3)

Z (2) i (3) otrzymujemy

PA ` ∆↔ ∀y[(y = pΓ(n)q)→ θ(y)]. (4)

Na mocy definicji (1):

pΓ(n)q = p∆q.

1Stosujemy def. 1.7 do funkcji Sub i reprezentującej ją formuły S.


Po podstawieniu do (4) otrzymujemy:

PA ` ∆↔ ∀y[(y = p∆q)→ θ(y)],

czyliPA ` ∆↔ θ(p∆q).

Q.E.D.Dowody twierdzeń Godla sprowadzają się do zwykłego rachun-

ku zdań przy założeniu tzw. warunków dowodliwości Loba:

(D1) jeśli PA ` ϕ, to PA ` Pr(pϕq)

(D2) PA ` Pr(pϕq)→ Pr(pPr(pϕq)q)

(D3) PA ` [Pr(pϕq) ∧ Pr(pϕ→ ψq)]→ Pr(pψq)

2. Twierdzenia Godla

Poniżej wykorzystywać będziemy zdanie ϕg, które wyraża wła-sną niedowodliwość środkami PA. Fakt, iż owo zdanie da się napi-sać w języku arytmetyki uzasadniamy powołując się na (1.5) oraz(1.9).

Twierdzenie 2.1 (I twierdzenie Godla) Niech ϕg będzie ta-kim zdaniem języka PA, że PA ` ϕg ↔ ¬Pr(pϕgq). Wtedy:

(i) PA 0 ϕg

(ii) PA 0 ¬ϕg.

Dowód: Najpierw dowiedziemy warunku (i). Załóżmy, że PA` ϕg. Wtedy, z warunku D1 mamy PA ` Pr(pϕgq). PonieważPA ` ¬ϕg ↔ Pr(pϕgq), otrzymujemy wniosek, iż PA ` ¬ϕg,dochodzimy więc do sprzeczności z twierdzeniem (1.1). Zatem PA0 ϕg.Następnie dowiedziemy warunku (ii). Załóżmy, że PA ` ¬ϕg.

Zatem PA ` Pr(pϕgq), czyli, z faktu (1.6), PA ` ϕg, co prowadzido sprzeczności. Tak więc PA 0 ¬ϕg. Q.E.D.


Twierdzenie 2.2 (II twierdzenie Godla) Niech ConPA ozna-cza formułę ¬Pr(p0 = 1q). Wtedy PA 0 ConPA.

Dowód: Niech ϕg będzie zdaniem takim, że PA ` ϕg ↔¬Pr(pϕgq). Chcemy pokazać, że PA ` ϕg ↔ ConPA.Udowodnimy najpierw implikację w prawo, PA ` ϕg →

ConPA. Zauważmy, że PA ` (0 = 1)→ ϕg. Z warunku D1 otrzy-mujemy: PA ` Pr(p(0 = 1) → ϕgq). Po wykorzystaniu warunkuD3 mamy: PA ` Pr(p0 = 1q)→ Pr(pϕgq). Po zastosowaniu pra-wa kontrapozycji: PA ` ¬Pr(pϕgq) → ¬Pr(p0 = 1q). Z definicjiϕg: PA ` ϕg → ¬Pr(pϕgq). Zatem, z przechodniości implikacji,PA ` ϕg → ¬Pr(p0 = 1q), czyli PA ` ϕg → ConPA.Następnie udowodnijmy implikację w lewo,

PA ` ConPA → ϕg.Z definicji ϕg mamy

PA ` ϕg → ¬Pr(pϕgq)

z czego po zastosowaniu transpozycji wynika

PA ` Pr(pϕgq)→ ¬ϕg.

Z warunku D1 otrzymujemy

PA ` Pr(pPr(pϕgq)→ ¬ϕgq)

zaś po zastosowaniu warunku D3

PA ` Pr(pPr(pϕgq)q)→ Pr(p¬ϕgq). (5)

Z D2, (5) oraz przechodniości implikacji otrzymujemy

PA ` Pr(pϕgq)→ Pr(p¬ϕgq). (6)

Wiemy, że PA ` ϕg → (¬ϕg → (ϕg ∧ ¬ϕg)). Zatem, na mocyD1 i D3, otrzymujemy

PA ` Pr(pϕgq)→ (Pr(p¬ϕgq)→ Pr(pϕg ∧ ¬ϕgq))


a zatem, po zastosowaniu prawa komutacji,

PA ` Pr(p¬ϕgq)→ (Pr(pϕgq)→ Pr(pϕg ∧ ¬ϕgq)). (7)

Z samorozdzielności implikacji i prawa komutacji otrzymujemytautologię

[p→ (q → r)]→ [(q → p)→ (q → r)]

Za zmienną p podstawiamy Pr(p¬ϕgq), za q Pr(pϕgq) oraz zar Pr(pϕg ∧ ¬ϕgq), by otrzymać

PA ` [Pr(p¬ϕgq)→ (Pr(pϕgq)→ Pr(pϕg ∧ ¬ϕgq))]→→ [(Pr(pϕgq)→ Pr(p¬ϕgq))→ (Pr(pϕgq)→ Pr(pϕg ∧ ¬ϕgq))]

Odrywamy (7), (6) i otrzymujemy

PA ` Pr(pϕgq)→ Pr(pϕg ∧ ¬ϕgq) (8)

Wiemy, że PA ` (ϕg ∧¬ϕg)↔ (0 = 1). Zatem w szczególnościPA ` (ϕg ∧ ¬ϕg)→ (0 = 1). Z warunków D1 i D3 otrzymujemy:

PA ` Pr(pϕg ∧ ¬ϕgq)→ Pr(p0 = 1q). (9)

Z (8) i przechodniości implikacji mamy

PA ` Pr(pϕgq)→ Pr(p0 = 1q)

a zatem (z prawa kontrapozycji)

PA ` ¬Pr(p0 = 1q)→ ¬Pr(pϕgq)

Z definicji ConPA i ϕg mamy

PA ` ConPA → ϕg,

co chcieliśmy udowodnić.


Wnioskujemy więc, że PA ` ϕg ↔ ConPA. Z udowodnionegowyżej pierwszego twierdzenia Godla wiemy, że PA 0 ϕg. ZatemPA 0 ConPA. Q.E.D.

3. Niesprzeczność arytmetyki

Często słyszy sie pogląd, iż drugie twierdzenie Godla impli-kuje niedowiedlność niesprzeczności arytmetyki środkami samejarytmetyki. Można by sądzić, iż dobrą interpretacją powyższegopoglądu jest następujące zdanie (występujący w nim symbol „⊥”oznacza wybraną „formułę absurdalną” (np. „¬(0 = 0)”): nie mo-że ona być twierdzeniem żadnej niesprzecznej teorii zawierającejarytmetykę):Nie istnieje formuła arytmetyczna γ(x) taka, że

(1) dla dowolnej formuły α, PA ` α wtw PA ` γ(pαq) (czyliformuła γ wyraża dowiedlność w PA)

(2) PA ` ¬γ(p⊥q).

Jednakże zdanie powyższe jest fałszywe. Zdefiniujmy γ(x) takoto:

γ(x)↔ ∃y[Prf(y, x) ∧ (x 6= p⊥q)]

Jeśli PA ` α to, wobec niesprzeczności arytmetyki, pαq 6=p⊥q; tak więc (ponieważ relacja różności między liczbami natu-ralnymi jest mocno reprezentowalna w PA) PA ` (pαq 6= p⊥q).Zatem

PA ` ∃y[Prf(y, pαq) ∧ (pαq 6= p⊥q)]

z czego wnioskujemy, iż PA ` γ(pαq). Mamy więc implikację w le-wo z powyższego warunku (1). Implikacja w prawo jest oczywistaz definicji własności Prf .Aby dowieść warunku (2) zauważamy, że

¬γ(p⊥q)↔ ¬∃y : (Prf(y, p⊥q) ∧ (p⊥q 6= p⊥q))↔↔ ∀y : (Prf(y, p⊥q)→ (p⊥q = p⊥q))


zaś to ostatnie jest prawem logiki.Stajemy więc w obliczu takiej sytuacji: wiemy, iż

PA ` α wtw PA ` Pr(pαq) wtw PA ` γ(pαq)

a takżePA ` ¬γ(p⊥q)

oraz (z poprzedniego twierdzenia)

PA 0 ¬Pr(p⊥q)

Tak więc istnieje formuła arytmetyczna γ(x) wyrażająca do-wiedlność w PA i taka, że PA ` ¬γ(p⊥q). Widać stąd, iż drugietwierdzenie Godla wymaga, by formuła Pr wybrana została w spo-sób „właściwy”, tak, by miała pożądany sens arytmetyczny. Możesię bowiem zdarzyć, iż dla odpowiednio skonstruowanej formułyPr1 formuła

Pr(pαq)↔ Pr1(pαq)

będzie prawdziwa w modelu M (czyli Th(M) |= Pr(pαq) ↔Pr1(pαq)), ale nie będzie twierdzeniem PA (z pierwszego twier-dzenia Godla wiemy, że jest to możliwe)2.

2Podane tu informacje można w dużej części znaleźć w książce RomanaMurawskiego „Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki” (Wydaw-nictwo Naukowe UAM, Poznań 2000) oraz drugim wykładzie z „FoundationalStudies” Andrzeja Mostowskiego (PWN 1979).


Robert Piechowicz

Dlaczego twierdzenia Godla inspirująfilozofów?

Tak zwane twierdzenia Godla należą chyba do najczęściej ko-mentowanych wyników (meta)matematycznych. Niestety liczbapoświęconych im publikacji jest odwrotnie proporcjonalna do ja-kości zawartych w nich rozważań. Aby więc nie powiększać ilościinspirowanych twierdzeniami Godla spekulacji o wysokim stop-niu dowolności w niniejszej pracy przedyskutuję, jakie cechy tychtwierdzeń decydują o ich atrakcyjności dla filozofii. Jako punktwyjścia przyjmuję następującą listę takich cech podaną przez Kra-jewskiego:1. kontekst filozoficzny w którym się pojawiły,2. ogólność,3. paradoksalność1.

Część pierwsza i druga niniejszej pracy będą miały charakterhistoryczny; zrekonstruuję w nich wspomniany kontekst filozoficz-ny twierdzeń Godla, gdyż charakterystyka pozostałych cech wyma-ga jego znajomości. W części trzeciej przedyskutuję wymienionecechy, zaś całość niniejszej pracy zakończę krótkim podsumowa-niem.

1S. Krajewski, Czy twierdzenia Godla mają zastosowanie filozoficzne?,[w:] J. Perzanowski, A. Pietrszuczak, Byt, Logos, Matematyka, WydawnictwoUMK, Toruń 1995, s. 399.

78 | Robert Piechowicz

Pytanie o jedność matematyki

Głównym problemem matematyki XIX i początku XX stuleciabyła jej jedność i spójność. Pojawił się on z uwagi na bogactwoi różnorodność rezultatów działalności matematyków, ponieważnie potrafili oni wskazać, co jest podstawą matematycznego cha-rakteru tych teorii ani zależności pomiędzy nimi. Gdy na dodatekpróby wskazywania dyscyplin unifikujących prowadziły do znaczne-go powiększenia liczby proponowanych matematyce dróg (algebra)czy też wręcz wyprowadzały ją na bezdroża, gdzie problem spójnościustępował lękowi o zasadność jej istnienia (teoria mnogości), spra-wa uporządkowania matematyki stawała się dla wielu jej twórcówkwestią pierwszoplanową2. Innymi słowy, matematyka wymagałaunifikacji oraz systematyzacji, to znaczy uporządkowania poszcze-gólnych teorii i wskazania zależności pomiędzy nimi3. Dwie głównepropozycje to sformułowany przez F. Kleina program erlangeńskioraz program Hilberta4.Klein wskazywał, że należy badać obiekty matematyczne a nie

teorie. To, że w matematyce występuje wiele różnorodnych teorii,jest konsekwencją aspektowości poznania matematycznego; jedy-nie pojęcia matematyki mają [. . . ] swój (niezawisły) byt podglądanyprzez nas za pomocą naszych (różnych) matematycznych teorii5.Według Kleina podobieństwo teorii jest oparte na odniesieniu dotych samych obiektów. Jednak z różnych względów matematycywybrali drugą propozycję, w myśl której należy skoncentrować sięna teoriach, nie zaś na obiektach. Istotą teorii matematycznej jestnie to, o czym ona mówi, lecz sposób w jaki jest skonstruowana.

2M. Kordos,Wykłady z historii matematyki, WSiP, Warszawa 1994, s. 245.3Por. J. Dadaczyński, Filozofia matematyki w ujęciu historycznym, OBI –

Kraków, Biblos – Tarnów 2000, s. 22.4Program ten stworzył M. Pasch; Hilbert rozwiną go i przede wszystkim

upowszechnił. W niniejszej pracy używam pojęcia „program Hilberta” zamiast„program Pascha”, gdyż nie jest moim celem reformowanie zastanego kanonuterminologicznego.5M. Kordos, op. cit, s. 246.

Dlaczego twierdzenia Godla inspirują filozofów?�79

Zalecany przez Pascha syntaktyczny rygoryzm stał się kryteriumunifikacji matematyki i ułatwił — prowadzoną już — jej systema-tyzację.

Rezultatem działalności matematyków było nie tylko wskaza-nie odpowiednich zależności pomiędzy teoriami, ale również wy-odrębnienie arytmetyki liczb naturalnych jako teorii podstawowej.Wraz z tym pojawiła się kontrowersja co do tego, czy podsta-wy matematyki to właśnie arytmetyka, czy też istnieje dyscyplinabardziej fundamentalna.

Problem podstaw

Zagadnienie istnienia i charakteru podstaw matematyki zwią-zane jest z pytaniem o ignorabimus w tej dziedzinie. Skoro bowiemmatematycy nie wiedzieliby, jak ich dyscyplina jest ufundowana,to działalność matematyczną można by uznać — na przykład —za przejaw jakiegoś zbiorowego szaleństwa czy też zrozumiałą tyl-ko dla nielicznych, działalność magiczną. Nieznajomość pewnegoszczegółowego twierdzenia czy problem ze znalezieniem dowodunie jest tak zasadniczym mankamentem, jak brak wiedzy doty-czącej najbardziej podstawowych struktur. Zaproponowano dwarozwiązania tego problemu. Z jednej strony, L. Kronecker w swo-jej słynnej wypowiedzi wskazał, że obiekty arytmetyki są po pro-studane; rozważania dotyczące ich natury nie będą miały matema-tycznego, lecz — co najwyżej — filozoficzny charakter. Na szczę-ście nie wszyscy matematycy przejęli się kroneckerowskim dictum;podjęto próby wyprowadzenia arytmetyki liczb naturalnych z bar-dziej podstawowej dyscypliny, mianowicie teorii mnogości.

Jako pierwszy próbę taką podjął G. Frege mniej więcej w tymsamym czasie, gdy pojawiła się propozycja Pascha. Frege stwier-dził, iż teorię mnogości trzeba wyprodukować jakoś tam, ale jeślibysię już ją miało, to z niej wyprodukuje się arytmetykę liczb natural-


nych6; co więcej sam Frege nie ma ambicji zajmowania się teoriąmnogości i zaczyna od zbudowania w teorii mnogości arytmety-ki liczb naturalnych7. Brak dobrze skonstruowanej teorii mnogościmiał dla koncepcji Fregego poważne konsekwencje — teoria ta pro-wadziła do antynomii8. Problemy z teorią mnogości zmusiły mate-matyków do ponownego zrewidowania podstaw swojej dyscyplinyi stosowanych w niej metod. W rezultacie pojawiły się trzy od-rębne propozycje metodologiczne: intuicjonizm, formalizm i tzw.poprawiony logicyzm9.Intuicjoniści wskazywali, że problemy podstaw matematyki są

konsekwencją niefrasobliwości jej twórców; dlatego należy wpro-wadzić ograniczenia metodologiczne. Według intuicjonistów ma-tematyka musi być oparta na pierwotnej intuicji liczb naturalnychi zasadzie indukcji; a zatem rozwiązując problem podstaw mate-matyki poszli oni w ślady Kroneckera. Z kolei w odniesieniu doprocedur dowodowych dopuszczali dowody istnienia, o ile mająone charakter konstrukcyjny10. Oszczędność metodologiczna intu-icjonistów chroniła ich skutecznie przed paradoksami [. . . ] nieste-ty chroniła ich także przed ogromną częścią matematyki11; z tegowzględu stanowisko to nie było dla matematyków zadowalające.Logicyści — podobnie jak Frege — postulowali, że arytme-

tyka liczb naturalnych jest wyprowadzalna z teorii mnogości12;przedstawienie takiej konstrukcji wymaga skonstruowania syste-mu, w którym nie dałoby się odtworzyć – nie tylko aktualnie zna-

6M. Kordos, op. cit, s. 280. Teoria mnogości o której pisze Kordos to —ściśle rzecz biorąc — fragment logiki drugiego rzędu.7Ibid.8Była to tak zwana antynomia Russella.9Logicyzm poprawiony to logicyzm w wersji Russella i Whiteheada.10J. Dadaczyński, op. cit, s. 354.11M. Kordos, op. cit, s. 282.12Nazwa kierunku sugeruje, iż matematyka miała być wyprowadzalna z lo-giki. Realizacja tego przedsięwzięcia wykroczyła poza wcześniejsze deklaracje,realizując idee logicyzmu, zredukowano matematykę nie do logiki, lecz do (przy-najmniej pewnego fragmentu) teorii mnogości. Zob. J. Dadaczyński, op. cit,s. 231.


nych ale jakichkolwiek – antynomii. Ambicje logicystów znalazływyraz w monumentalnych Principia mathematica Russella i Whi-teheada. Aby właściwie ocenić doniosłość tej pracy przypomnijmysobie, że twierdzenie o niezupełności podane przez Godla dotyczymiędzy innymi systemu tam zawartego13.Formalizm z kolei był przede wszystkim dokładniejszą reali-

zacją koncepcji Pascha; a zatem, według przedstawicieli tego kie-runku, teorie w matematyce są określone jedynie syntaktycznie.Postulat ten miał umożliwić zachowanie całej dotychczasowej ma-tematyki oraz uniknięcie wyprowadzania jej z teorii mnogości; for-malizm był więc alternatywą tak dla intuicjonizmu, jak i dla logi-cyzmu. Podstawową dyscypliną matematyki jest zatem arytmety-ka liczb naturalnych, a jako główny problem podstaw matematykiformaliści wskazali niesprzeczność i zupełność. Cała dotychczaso-wa matematyka byłaby zatem niesprzeczna i zupełna, o ile cechyte posiadałaby arytmetyka. Obie sugestie i próby ich dowiedzeniazostały podważone przez twierdzenia Godla.

Kontekst, ogólność i paradoksalność

Twierdzenia Godla rozwiały filozoficzne oraz metodologicznepretensje logicyzmu i formalizmu; mimo to sądzę, że — wbrew su-gestiom Krajewskiego — kontekst filozoficzny tych twierdzeń tonie tylko wspomniane kierunki badania podstaw matematyki14.Zarówno program Hilberta, jak i logicyzm należały do pewnego— zainicjowanego w XIX stuleciu — nurtu badań metamatema-tycznych, który miał na celu uporządkowanie matematyki i wy-odrębnienie dyscypliny podstawowej. Twierdzenia Godla są jegokońcowym rezultatem.Oba twierdzenia nie dotyczą jakiejś konkretnej teorii formalnej

— z tego względu są one ogólne. Ich założenia wymagają, by układ

13Tytuł pracy Godla, w której znajduje się to twierdzenie wraz z dowodem,brzmi Uber formal unentscheidbare Satze der „Principia mathematica” undverwandter Systeme.14Por. S. Krajewski, op. cit, s. 399.


aksjomatów teorii, do której można je zastosować pozwalał na re-konstrukcję arytmetyki liczb naturalnych. Z formalnego punktuwidzenia nie jest to wymóg zbyt silny; ma on jednak istotne kon-sekwencje — teoria taka jest niezupełna, a jej niesprzeczności nieda się dowieść bez wykorzystania konstrukcji spoza tej teorii. A za-tem twierdzenia Godla mówią coś, i to coś bardzo podstawowego,o całej teorii, całym systemie15.Wynik Godla jest paradoksalny tak ze względu na swoją kon-

strukcję, jak i z uwagi na konsekwencje dla filozofii matematyki.Jednakże pierwszy przypadek jest interesujący jedynie dla kogoś,kto zna lub chce poznać te twierdzenia od strony formalnej; pro-blematyka ta jest w rozważaniach filozoficznych prawie nieobecna– większość inspiracji Godlowskich to analizy i próby ekstrapolacjikonsekwencji filozoficznych.Filozoficzna paradoksalność twierdzeń Godla związana jest

z wyróżnionym miejscem matematyki w dziejach ludzkiej myśli;wyjątkowość tej dziedziny nie uległa zmianie mimo pojawiają-cych się podczas jej rozwoju problemów, ani mimo zwiększają-cej się abstrakcyjności. Dopiero wynik Godla wskazał na potrze-bę zrewidowania rozmaitych filozoficznych deklaracji. Jego doko-nanie wskazuje bowiem na niemożliwość usunięcia z matematykitakich pojęć, jak sens czy intuicja; innymi słowy aby cokolwiekmogło być sformalizowane, coś innego musi pozostać niesformali-zowane16. Matematycy – w odróżnieniu od filozofów — zazwyczajbyli i są tego świadomi. Zapewne dlatego obecne w niektórychfilozoficznych komentarzach pesymistyczne wnioski są im obce17.Twórcza aktywność matematyków świadczy o tym, że są oni prze-konani o sensowności uprawiania swojej dziedziny.

15Ibid.16J. Woleński, Metamatematyka a epistemologia, PWN, Warszawa 1993,s. 32.17Warto zwrócić uwagę na wypowiedzi samego Godla. Zob. K. Wójtowicz,Platonizm matematyczny, OBI – Kraków, Biblos – Tarnów, 2002 oraz A. Bro-żek, Russell i Godel — filozofowie, paradoksy i broda Platona, „Semina Scien-tiarum”, 2 (2003), ss. 30 – 45.


Zakończenie

Dotychczasowa argumentacja miała wskazać, jakie cechy posia-dają twierdzenia Godla. Czy są to jednak cechy decydujące o fi-lozoficznej atrakcyjności tychże twierdzeń? Pozytywną odpowiedźna to pytanie uzasadnię nie wprost. Zauważmy bowiem, iż twier-dzenia nie posiadające którejś z wymienionych cech nie spotkałysię z podobnym zainteresowaniem; na przykład:

a) twierdzenie Lindenbauma (o nadystemach zupełnych) jestogólne i paradoksalne, ale pozbawione odpowiedniego kon-tekstu;

b) lemat Craiga jest z kolei ogólny i ma pewien kontekst, alepozbawiony jest paradoksalności;

c) twierdzenie Banacha–Tarskiego (o paradoksalnym rozkła-dzie kuli) posiada odpowiedni kontekst, jest paradoksalne,ale ma charakter szczegółowy;

d) twierdzenie o antypodach — jest ono paradoksalne, nie mazaś kontekstu i jest szczegółowe.

Oczywiście w oparciu o podane kontrprzykłady nie można roz-strzygnąć tego, czy lista rozważanych w niniejszym artykule cechjest pełna; wskazują one natomiast na to, że wymienione cechystanowią istotną charakterystykę twierdzeń Godla.


Anna Tomaszewska

Twierdzenie Godla a filozofia umysłu.W sprawie pewnej dwuznacznościargumentu Lucasa

1.

Co mają wspólnego artykuł Godla z 1931 roku o zdaniachformalnie nierozstrzygalnych w systemie Principia Mathematicai filozofia umysłu? Z punktu widzenia nie uprawiającego filozo-fii matematyka czy logika być może niewiele, natomiast z punktuwidzenia filozofa umysłu czy epistemologa – wprost przeciwnie:filozofowie uważają, że korzystając przede wszystkim z osiągnięćz zakresu metamatematyki (choć w filozoficznych rozważaniachuwzględnia się przeważnie w równym stopniu odkrycia z zakre-su nauk przyrodniczych), mogą dowodzić twierdzeń o charakte-rze wyłącznie filozoficznym, a nawet metafizycznym. Niekiedy ży-wią przekonanie, że rozstrzygnięcia dotyczące zagadnień matema-tycznych czy metamatematycznych, wykorzystane w filozoficznychsporach, umożliwią ostateczne rozwiązanie niejako z definicji nie-rozwiązywalnych problemów filozoficznych albo – co wydaje sięniezwykle istotne – „oczyszczenie” filozofii z ogromnej liczby błęd-nych mniemań, „metafizycznych iluzji”, „nonsensów” itp. Przy-kładowo, Kazimierz Ajdukiewicz, korzystając z twierdzenia Godlao niezupełności arytmetyki, dowodził fałszywości idealizmu trans-cendentalnego w ujęciu Rickerta1. John R. Lucas, w oparciu o to

1Por. K. Ajdukiwewicz, Problemat transcendentalnego idealizmu w sformu-łowaniu semantycznym [w:] Język i poznanie, Warszawa 1985, t. I.

Twierdzenie Godla a filozofia umysłu . . .�85

samo twierdzenie, usiłował wykazać fałszywość mechanicyzmu2,tj. poglądu, zgodnie z którym można skonstruować model umysłuludzkiego nie różniący się istotnie od modelu skonstruowanego dlamaszyny. W niniejszej pracy zajmę się argumentem zaproponowa-nym przez Lucasa.Zanim jednak zostanie przedstawiona struktura tego argumen-

tu, należałoby przybliżyć treść pierwszego twierdzenia Godla. Ar-tykuł Godla3 zaczyna się nawiązaniem do programu formalizacjimatematyki Hilberta. Jeden z postulatów tego programu wyra-zić można w najprostszy sposób tak: zdanie, które jest prawdziwew danym systemie formalnym, daje się w nim w skończonej liczbiekroków dowieść przy użyciu środków, jakich ten system dostar-cza (czyli zestawu znaków i procedur konstruowania z nich wyra-żeń, aksjomatów systemu i obowiązujących w nim reguł inferencji)i na odwrót: zdanie, które daje się w danym systemie formalnymudowodnić, jest w nim prawdziwe, czyli jest tezą tego systemu.Tym samym po udowodnieniu powyższych zależności ustalona zo-stałaby koekstensjonalność odnoszących się do zdań predykatów„prawdziwy” i „mający dowód”, przy czym tak rozumiana praw-dziwość przestaje być pojęciem semantycznym, lecz zostaje zredu-kowana do własności syntaktycznej. Procedurę rozstrzygania, czydane zdanie jest, czy też nie jest tezą danego systemu formalnego,można nazwać mechaniczną. Sposób postępowania, mający na celuprzedłożenie dowodu tego zdania, zostaje bowiem ściśle wyznaczo-ny przez określenie, jakiego rodzaju operacje można wykonywaćna pewnych wyrażeniach, przy czym nie bierze się pod uwagę ichznaczenia, a tylko poprawność syntaktyczną (czyli uwzględnia sięfakt, czy są poprawnie zbudowane).

2Por. J. R. Lucas, Minds, Machines and Godel, Philosophy36, 1961; artykuł można znaleźć także na stronie internetowej:<http://users.ox.ac.uk/~jrlucas/Godel/mmg.html>.3Opieram się na angielskiej wersji tego artykułu: On Formally Undecidable

Propositions of ’Principia Mathematica’ and Related Systems I [w:] Goedel‘sTheorem in Focus, ed. G. S. Shanker, London 1988.

86 | Anna Tomaszewska

Ideę pierwszego twierdzenia Godla można wyrazić tak: dla każ-dego niesprzecznego systemu formalnego SF , zawierającego ele-mentarną arytmetykę liczb naturalnych z operacją mnożenia i do-dawania, istnieje zdanie G, wyrażone w języku systemu formalnegoJSF , które jest dla tego systemu prawdziwe, ale nie daje się w nimdowieść; jest więc tak, że ani zdanie G, ani jego negacja nie należydo zbioru konsekwencji tez SF . Zakładamy na początku, ze zda-nie prawdziwe to takie, dla którego istnieje dowód w SF . Niechzdanie G4 brzmi: „To zdanie nie ma dowodu w SF”. Jeśli jest onofałszywe, to znaczy, że jego negacja – przy metalogicznym zało-żeniu dwuwartościowości logiki – jest prawdziwa, a głosi ona, żezdanie to ma dowód w SF , a skoro tak, to należy do zbioru tezSF – bo, zgodnie z naszym założeniem, każde zdanie, dające siędowieść w SF , jest zdaniem prawdziwym, co w rezultacie przeczyzałożeniu o jego fałszywości. Jeśli natomiast jest prawdziwe, to namocy przyjętego wcześniej założenia, ma dowód w SF , a więc zda-nie: „To zdanie nie ma dowodu w SF” jest fałszywe, co przeczyzałożeniu o jego prawdziwości. Aby rozwiązać tę antynomię, przyj-mujemy, że jest tak, jak to zdanie mówi: zdanie G jest prawdziwe,czyli – jak „samo” stwierdza – nie ma ono dowodu. Z tego orazz założenia o niesprzeczności naszego systemu formalnego wynikajego niezupełność, czyli nie jest tak, że dla dowolnego zdania alboono samo, albo jego negacja jest tezą SF .

4Należące do języka JSF .


2.

Zdaniem J. R. Lucasa, filozoficzną konsekwencją5 rozumowa-nia Godla jest teza, iż umysł ludzki istotnie różni się od maszy-ny, rozumianej tutaj jako maszyna Turinga czy też równoważnośćdowolnego systemu formalnego, zawierającego porcję arytmetyki.Różnica, o jaką tu chodzi, polega na tym, iż umysł, co najmniejw zakresie matematyki, potrafi wykonywać operacje, których niepotrafi wykonywać maszyna. Jeśli maszyna (system formalny) po-trafi przedłożyć n zdań prawdziwych, my – ludzie – potrafimyzawsze podać ich n + 1. Na naszej liście zdań prawdziwych znaj-duje się bowiem zdanie godlowskie, dla którego dowód formalny,możliwy do przedstawienia przez maszynę, nie może istnieć.Można zadać sobie pytanie: co to znaczy, że pojęcie prawdzi-

wości okazuje się, w rezultacie, nie być pojęciem jednoznacznym

5Kiedy mówi się o filozoficznych konsekwencjach danego twierdzenia ma-tematycznego albo teorii fizycznej, z pewnością nie można mieć na myśli tegorodzaju konsekwencji, o jakiej mówi się w logice. (Zob. w tej sprawie: J. Woleń-ski, Metamatematyka a epistemologia, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1993,s. 10nn). W tym ostatnim przypadku jest tak, że jeśli z jakiegoś zbioru zdańwynika pewne zdanie, to pod warunkiem, że ów zbiór nie jest sprzeczny, niemoże zeń wynikać także negacja owego zdania. W przypadku tzw. konsekwencjifilozoficznych nie jest to takie oczywiste: teorie fizyczne czy nawet twierdze-nia matematyki mogą być rozmaicie interpretowane – to m.in. od interpretacjizależy wyciągnięcie z nich takich czy innych konsekwencji. Przez interpretacjęrozumiem funkcję przeprowadzającą według z góry określonych reguł pewienzbiór zdań w inny, nie zawierający się w nim, zbiór zdań.Operator konsekwencji logicznej ma między innymi taką własność: dla pewne-go zdania p i zbioru zdań A, jeśli p należy do A, to p należy także do zbiorukonsekwencji logicznych A. W szczególnym przypadku, gdy A jest zbiorempustym, zbiór konsekwencji tego zbioru będzie się składał z praw logiki. Niejest natomiast prawdą, jakoby zbiór konsekwencji filozoficznych danego zbioruzdań zawierał się w tym zbiorze. Przykładowo, z twierdzenia Godla o niedo-wodliwości niesprzeczności elementarnej arytmetyki liczb naturalnych w niejsamej logicznie nie wynika zdanie mówiące, dajmy na to, że poznanie prawdyabsolutnej jest niemożliwe. Byłoby raczej tak, że zbiór konsekwencji filozoficz-nych stanowiłby podzbiór zbioru zdań będących interpretacjami interesującychnas w danym przypadku twierdzeń czy teorii.


z pojęciem dowodliwości, co to znaczy, że prawdziwość jakiegośzdania nie sprowadza się do wszystkich „mechanicznych” proce-dur, jakie trzeba wykonać, by prawdziwość tę wykazać? Nieco ta-jemniczą mogłaby się wydać odpowiedź, że umysłowi ludzkiemudane jest coś w rodzaju „wglądu w naturę rzeczywistości” czy„wglądu w naturę prawdy”. Umożliwiałby on uznawanie za praw-dziwe zdania, którego prawdziwości nie można w żaden sposóbdowieść, a w każdym razie nie przy pomocy narzędzi systemu for-malnego (ale wtedy powstaje pytanie o innego rodzaju „narzędzia”służące dowodzeniu naszych twierdzeń nieempirycznych6). Praw-dziwość jest niejako dostępna w bezpośrednim intelektualnym uję-ciu, widoczna „gołym okiem”, jej „samomanifestowanie się” ozna-cza dokładnie to samo, co zasadność zdania charakteryzującego sięową prawdziwością. Żywienie takiego przeświadczenia mogłoby sięokazać równoznaczne ze zwolnieniem osoby, głoszącej prawdziwośćjakiegoś twierdzenia, z odpowiedzialności za podanie dlań stosow-nego, akceptowalnego uzasadnienia. W ostateczności uzasadnieniedowolnego stwierdzenia typu „Wiem, że A”, gdzie A ma charakterzdania nie mającego empirycznych podstaw uzasadnienia, a więccharakter czegoś w rodzaju zdania a priori, przedstawiałoby sięnadzwyczaj prosto: „Wiem, ponieważ wiem”.Jak należałoby rozumieć pojęcie prawdziwości w kontekście ar-

gumentacji przedstawionej przez Lucasa? Niestety, sprawa ta niezostała dokładnie przez niego wyjaśniona. Co to bowiem znaczy, żezdanie godlowskie jest prawdziwe? Nie podejmuję się jednoznacz-nie odpowiedzieć na to pytanie, pozwolę sobie jednak zacytowaćstosowny fragment artykułu Lucasa. Otóż pisze on tak:Konstruujemy teraz formułę godlowską w tym[rozważanym

przez Lucasa] systemie formalnym. Formuła ta nie może byćdowiedziona–w–systemie [podkr. Lucasa]. Dlatego maszyna niemoże wyprodukować odpowiadającej jej formuły jako prawdziwej.My jednak widzimy, że formuła godlowska jest prawdziwa

6Problem nie dotyczy wszak dowodzenia twierdzeń w rodzaju „Słońce dzi-siaj wzeszło”, lecz takich, które mają charakter aprioryczny.


[podkr. A.T.]: każda racjonalna istota [podkr. A.T.] mogłabyprześledzić argument Godla i przekonać się [podkr. A.T.], że for-muła godlowska, choć niedowodliwa–w–systemie, jest jednakże[. . . ]prawdziwa.[. . . ] dla każdej maszyny istnieje prawda, której nie mo-że ona [scil. maszyna] wyprodukować jako prawdziwej, ale którąumysł może[jako prawdziwą przedłożyć]. To pokazuje, że maszynanie może być zupełnym i adekwatnym modelem umysłu7.W ostateczności niezbyt dobrze wiadomo, jak należałoby in-

terpretować fakt rozumienia przez nas prawdziwości formułygodlowskiej. Lucas zdaje się jednak sugerować co następuje: każ-da racjonalna istota, a więc istota wyposażona w ludzki umysł8,jest w stanie — jak zakładamy, abstrahując od wszelkiego rodza-ju ograniczeń z intelektualnymi włącznie —zrozumieć argumenta-cję Godla. Jeśli ją zrozumie, da się przekonać co do jej słuszno-ści. A zatem zgodzi się z twierdzeniem, iż dla każdego systemuformalnego istnieje pewne zdanie prawdziwe, którego w systemietym nie można dowieść. W następstwie tego zaś uzna antymecha-nistyczną tezę Lucasa, stanowiącą filozoficzną konsekwencję twier-dzenia Godla o niezupełności arytmetyki. Zwróćmy uwagę na pew-ną szczególną własność prawdziwości, wychodzącą tu na jaw jakbyniezamierzenie: otóż prawdziwość jest tym, co ma moc przekony-wania albo raczej tym, co stwierdza się w odniesieniu do jakiegośzdania wtedy, gdy zostało się już w dostatecznym stopniu (czylinajczęściej „do końca”) przekonanym. Aby zostać przekonanym,trzeba się najpierw poddać działaniu tego, kto przekonuje; mamyzatem sytuację – nazwijmy ją „sytuacją dialektyczną”9 – w któ-

7John R. Lucas, Minds, Machines and Goedel [w:] Phi-losophy XXXVI, 1961, ss. 112–127. Także na stronie:<http://users.ox.ac.uk/~jrlucas/Godel/mmg.html>, tłum. A.T.8Nie będziemy się tutaj wdawać w analizę natury ontologicznej umysłu;

prawdopodobnie Lucas nie zgodziłby się z fizykalistycznym redukcjonizmemuznającym tezę o tożsamości umysłu i mózgu, gdyż uznanie tej tezy możełatwo prowadzić do uznania mechanicyzmu.9Lucas mówi o „dialektycznej grze”, której protagonistami będą Umysł

i Maszyna – „obrazek” odsyłający do artykułu Turinga Maszyna licząca a in-


rej dwa umysły wchodzą we wzajemną relację, porozumiewają sięze sobą dla osiągnięcia pewnego celu. Być może nie całkiem odrzeczy będzie powiedzieć, że zrozumienie, na czym polega praw-dziwość jakiegoś zdania, wymaga, aby przyjrzeć się temu, jak doprawdziwości owego zdania w praktyce się dochodzi. Jest to dlafilozofa niezmiernie interesująca kwestia, wymaga jednak zajęciastanowiska maksymalistycznego, niemiłego orędownikom progra-mu Hilberta, pozytywistom, zwolennikom, niewykonalnej zresztą,redukcji semantyki do syntaksy itp. Prawdziwość bowiem w ludz-kiej praktyce życiowej10 jedynie w luźny sposób wiąże się z do-wodliwością; aby się o tym przekonać, wystarczy sporządzić listętwierdzeń przyjmowanych niejako „na wiarę”, czyli bez dowodu,których odrzucenie jednakże mogłoby poważnie zachwiać nasząracjonalnością, czyniąc obraz naszego doświadczenia świata we-wnętrznie niespójnym czy po prostu sprzecznym. Jednym z takichnie mających dowodu twierdzeń będzie to, które mówi, że jesteśmyistotami niesprzecznymi.

3.

Przedstawiony w poprzedniej części argument Lucasa11, wyka-zujący fałszywość mechanistycznych koncepcji umysłu12, spotkałsię z licznymi zarzutami, z których najważniejszy brzmi: Lucas jestsprzeczny. Dlatego też, bez względu na to, kto ma rację: mechani-cyści czy antymechanicyści, z matematycznego punktu widzenia,teza Lucasa okazuje się fałszywa. Odwołując się do twierdzeniaGodla, nie możemy zatem pokazać, że umysł istotnie różni się

teligencja, [w:] Filozofia umysłu. Fragmenty filozofii analitycznej, Aletheia–Spacja, Warszawa 1995.10Jeśli chcemy być bardziej precyzyjni, możemy mówić o praktyce językowej.11Jak widać, rekonstrukcja argumentu Lucasa nie wypadła imponująco, aleteż nie widzę powodów, dla których miałoby być inaczej. Rozumowanie prze-prowadzone przez Lucasa jest bowiem bardzo proste, ale jak wkrótce zobaczy-my, nie znaczy to jeszcze, iż jest ono zarazem matematycznie poprawne.12Sformułowanie to brzmi nieco zbyt „dziewiętnastowiecznie”, dlatego moż-na by zastąpić je wyrażeniem „komputacjonistyczne modele umysłu”.


od „inteligentnej” maszyny. Przed omówieniem jednak tego naj-istotniejszego zarzutu warto przyjrzeć się kilku „mniej groźnym”zarzutom, z którymi rozprawia się autor Minds, Machines andGodel.Zarzut 1. Tworzenie zdania godlowskiego jest procedurą stan-

dardową, można wręcz powiedzieć: mechaniczną, za każdym razembowiem stosujemy taką samą sztuczkę – przedkładamy prawdzi-we zdanie godlowskie, którego maszyna (system formalny) nie mana liście swoich tez. Jeśli przedłożone przez nas zdanie zostaniewciągnięte przez maszynę na tę listę (poprzez dołączenie do zbio-ru jej aksjomatów), to możemy przedłożyć kolejne zdanie, które-go maszyna nie ma na liście — i tak w nieskończoność13. Skorozatem „wygodlowywanie” (out-godeling — słowo, którego używaLucas) jest procedurą standardową, powinno dać się sformalizo-wać — można zaprogramować maszynę tak, by „produkowała”bez żadnych ograniczeń (ograniczeń technicznych ani czasowychnie bierzemy tu pod uwagę) zdania nierozstrzygalne; maszyna po-siadałaby wtedy tzw. Godelizing operator.Lucas odpowiada na ten zarzut, że umysł zawsze jest w sta-

nie „wygodlować” maszynę, przedkładając takie zdanie, któregota nie ma na liście. Ta w istocie niezbyt interesująca proceduraprzypomina grę, polegającą na wymienianiu coraz większych liczbnaturalnych —wygra ten, kto poda taką liczbę, że jego przeciw-nik nie będzie potrafił podać większej. Wiadomo, że w takiej grze,która gdyby nie przeszkody natury technicznej, nigdy by się nieskończyła, nie ma wygranej. Według Lucasa, jeśli maszyna jestw stanie podać ω zdań godlowskich, to umysł zawsze może podaćtych zdań ω + 1 i wygra. Skoro wiemy, że arytmetyka jest niezu-pełna i zakładamy też, że arytmetyka jest „wbudowana” w pro-gram maszyny, to zgodnie z twierdzeniem Godla musi dać się zna-

13Podobnie w nieskończoność można rozbudowywać hierarchię języków: dlakażdego języka, prócz języka naturalnego, zawierającego swój własny metaję-zyk, istnieje co najmniej jeden metajęzyk, będący też językiem, tyle że wyż-szego stopnia.


leźć zdanie, którego maszyna nie przedłoży. Można postawić Lu-casowi pytanie, czy nasza umiejętność „wygodlowania” maszynynie oznacza, że jesteśmy „zupełni”14, a więc potrafimy efektywnierozstrzygnąć wartość logiczną każdego zdania15? I na czym by to„efektywne rozstrzygnięcie” miało polegać – wszak przecież nie napodaniu formalnego dowodu nierozstrzygalnego dla maszyny zda-nia – wtedy bowiem z powrotem „lądujemy” w systemie formal-nym. Mówi się w takich wypadkach o jakimś „intuicyjnym ujęciu”prawdy czy, jak już wspominałam, o jakimś szczególnego rodzaju„wglądzie”, umożliwiającym identyfikację konkretnej prawdy na-wet wtedy, gdy prawda ta nie ma dowodu; nie zawsze jest jednakjasne, co się rozumie przez samo pojęcie intuicji czy wglądu. Jakjuż sygnalizowałam, problem sprowadza się do uznawania bądźnieuznawania procedur innych niż dowodowe za wystarczający wa-runek uzasadniania naszych twierdzeń — i do tego, czy w ogóletakie „procedury” istnieją. Problem ten staje się jeszcze bardziejogólny w momencie, gdy rozszerzymy, „odformalizujemy” naszerozumienie pojęcia dowodu — będziemy wtedy mówić, że jakieśzdanie ma dowód, jeżeli istnieją powszechnie uznane, racjonalneprocedury demonstracji prawdziwości tego zdania; innymi słowy,jeśli można sprawdzić, czy dane zdanie jest prawdziwe czy nie. Sta-rałam się także wcześniej zasugerować, że takie rozumienie praw-dziwości zdań byłoby zbyt restrykcyjne: w praktyce uznajemy zaprawdziwe wiele twierdzeń, których prawdziwości z różnych przy-czyn nie potrafimy udowodnić, co nie oznacza bezzasadności ichprzyjmowania. Żyjemy w konkretnych społecznościach, gdzie za-chowanie, sposób postępowania itd. jednostek są wyznaczane przez

14A zarazem niesprzeczni, w przeciwnym bowiem wypadku całe to rozumo-wanie, którego konsekwencją jest odróżnienie umysłów od maszyn, po prostuupada. Jeśli umysł jest sprzeczny, a maszyna – nie, to na liście zdań, któreumysł przedkłada maszynie, znajdzie się wiele takich, które nie znajdą się naliście przedkładanej przez maszynę, jak choćby negacje tych ostatnich.15Chodzi oczywiście o takie zdania, które są dobrymi kandydatami na posia-daczy wartości logicznej, których szczególny przypadek stanowią zdania ma-tematyczne.


pewne reguły racjonalności, każące pewne twierdzenia akceptować,pewne zaś odrzucać. Prawdziwość, jaką charakteryzują się tego ro-dzaju niedowodliwe, zdania, nie będące jednak aksjomatami, na-zwałabym prawdziwością normatywną (albo transcendentalną) –warunkującą prawdziwość twierdzeń, które się na ich podstawiewygłasza oraz wewnętrzną spójność systemu, do którego się onestosują.Zarzut 216. Twierdzenie Godla zachowuje ważność jedynie

dla systemów dedukcyjnych, ale ludzie stosują także inne rodzajerozumowania, np. indukcyjne, probabilistyczne.Zarzut ten mówi tyle: nie trzeba twierdzenia Godla, aby poka-

zać, że nie jesteśmy maszynami. W pewnym sensie bowiem oczywi-ście nie jesteśmy nimi, a tylko być może ta część naszego myślenia,którą stanowi matematyka, daje się „zmechanicyzować”. Lucasowijednakże chodzi o to właśnie, by pokazać, że nasze myślenie mate-matyczne jest niemechaniczne, a w konsekwencji niezdeterminowa-ne ściśle określonymi, wewnątrzsystemowymi regułami. Po prostu:nawet wtedy, gdy rozumujemy dedukcyjnie, rezultat naszego rozu-mowania nie musi być z góry określony; dlatego matematyka jesttak twórczą dziedziną ludzkiej działalności poznawczej.Zarzut 3 (Hilary Putnam17). Nie da się wykluczyć możliwo-

ści, że jesteśmy sprzecznymi maszynami.Lucas uważa to za mało prawdopodobne. Bywamy wpraw-

dzie niekiedy sprzeczni, na przykład wtedy, gdy nasz rozum da-je się opętać niezdrowym emocjom18. Przyznajmy Lucasowi ra-cję: rzekomą sprzeczność istot ludzkich możemy złożyć na karbich omylności i ignorancji. Wartość naszych twierdzeń – to, czysą one prawdziwe czy nie – zależy przecież od stanu naszej wie-dzy; korzystając z różnych założeń, dysponując na wyjściu raz

16Na liście zarzutów rozpatrywanych przez Lucasa był to zarzut trzeci.17O zarzucie tym wspomina Lucas w cytowanym wyżej artykule Minds,Machines and Goedel.18Prawdę mówiąc, jeśli określenie „niezdrowy” uznać w tym przypadku zadeterminujące, nie zaś modyfikujące, to otrzymamy pleonazm, prosiłabym jed-nak Czytelnika o wybaczenie tej językowej usterki.


takim, a innym razem zgoła odmiennym zasobem informacji, do-chodzimy niekiedy do wzajemnie się wykluczających wniosków.Stąd konkluzja, że absolutnie czy też idealnie niesprzeczny pod-miot musiałby zarazem być podmiotem wszystkowiedzącym. Alez drugiego twierdzenia Godla, mówiącego o niedowodliwości nie-sprzeczności arytmetyki w niej samej, oraz z rozważań Ajdukie-wicza przedstawionych w artykule Problemat transcendentalne-go idealizmu w sformułowaniu semantycznym19 wynika, że ideawszystkowiedzącego podmiotu jest wewnętrznie sprzeczna, oczy-wiście jeśli zgodzić się z postulatem, że „wiedzieć” znaczy tyle,co „dysponować dowodem” dla tego, co się wie. Podmiot ów niemoże wtedy wiedzieć wszystkiego – nie wie bowiem tego, czy jestniesprzeczny.Zauważmy, że założenie niesprzeczności umysłu ma charakter

normy, którą nasza racjonalność sama sobie nakłada; norm zaś niedowodzi się, a tylko się je postuluje lub wyznacza. Można jednak-że pójść nieco dalej i postawić pytanie o prawomocność tej nor-my. Abstrahując od godlowsko–lucasowskiego kontekstu naszychrozważań, możemy zapytać, co w ogóle czyni zasadę niesprzecz-ności normą regulującą naszej działalności teoretycznej, a także(w dużym stopniu przynajmniej) praktycznej. Niesprzeczność, ja-ko warunek wszelkiej rozumności, umożliwia racjonalny dyskurs,a więc rozumienie znaczenia zdań, za pomocą których ludzie siękomunikują – szacowanie ich prawdziwości względnie fałszywości.Jeśli naraz przyznaję jednemu i temu samemu zdaniu dwie wyklu-czające się wartości logiczne, zwyczajnie nie wiem, o czym mówię,czyli nie rozumiem znaczenia wypowiadanego przez siebie zdania.Wracam teraz do wspomnianego wyżej zarzutu Putnama. Otóż

jeśli niemechaniczność umysłu należy wykazać przy założeniu jegoniesprzeczności, to musimy znać odpowiedź na pytanie, czy jeste-śmy sprzeczni, czy nie; uczciwość intelektualna wymaga, abyśmyposiadali dowód naszej niesprzeczności (przyjmujemy tu, że wie-dza, iż jakieś zdanie jest prawdziwe, oznacza posiadanie dowodu

19K. Ajdukiewicz, Problemat... [w:] Język i poznanie, Warszawa 1985, t. 1.


na tę jego prawdziwość). Wiemy jednak tylko tyle, że pod warun-kiem, iż jesteśmy niesprzeczni, maszyna przegrywa. Ale założenie,że jesteśmy niesprzeczni, przyjmuje się bez uzasadnienia. Z tego,że wiem, że [jeśli A, to B] wynika, że jeśli wiem, że A, to wiem,że B (rozdzielność operatora epistemicznego względem implikacji);nie wynika natomiast, że jeśli A, to wiem, że B. Antymechanicy-sta zdaje się być w takiej sytuacji: wie, że [jeśli jest niesprzeczny,to wygrywa] i wie, że wygrywa (ale jeśli wygrywa, to nie znaczyjeszcze, że jest niesprzeczny; może być sprzeczny, również tego niewiedząc; wtedy też musi wygrać). Nie wie jednak najważniejsze-go, mianowicie, czy jest niesprzeczny i nie ma nadziei na to, żenawet jeśli byłby niesprzeczny, to mógłby tego dowieść. ArgumentLucasa nie może być zatem konkluzywny.Zarzut 4 (oczywiście nie rozpatrywany przez Lucasa!). Lu-

cas20 jest sprzeczny21.Sprawa przedstawia się w następujący sposób: mechanicysta

przedstawia Lucasowi maszynę M , o której twierdzi, że stanowiadekwatny model zdolności matematycznych (czy — szerzej —umysłu) Lucasa. Wtedy ten przedstawia mechanicyście formułęgodlowską GM odpowiadającą teorii T (M), w której znajdują sięzdania arytmetyki, dające się udowodnić przez maszynę M . Ma-my dwie możliwości: albo (1) T (M) jest sprzeczna, albo (2) T (M)jest niesprzeczna. Jeśli zachodzi (2), GM nie daje się dowieść przezmaszynę, ale Lucas widzi, że formuła ta jest prawdziwa. Jeśli za-chodzi (1), maszyna ma dowód dla każdego zdania, w tym takżeGM i takich zdań jak np. 0 + 1 = 0, czego Lucas nie udowodni,jako że jest niesprzeczny. W obu przypadkach Lucas różni się odmaszyny.

20A ściślej mówiąc, proponowany przez oksfordzkiego filozofa model umysłu,mający istotnie się różnić od modelu maszyny Turinga.21Dowód sprzeczności Lucasa można znaleźć w: Stanisław Krajewski, Twier-dzenie Goedla i jego interpretacje filozoficzne, Warszawa 2003, a także w: tenże,Philosophical Consequences of Goedel‘s Theorem [w:] Bulletin of the Sectionof Logic, 1983; 12.


Powyższe stwierdzenie dotyczy wszystkich maszyn. Możemywięc sporządzić listę M1, M2,. . . (indeksy oznaczają opisy czy teżnumery porządkowe maszyn na liście). Istnieje funkcja rekurencyj-na g 22, taka że dla każdego n:(*) jeśli T (Mn) jest niesprzeczna, to g(n) jest numeremgodlowskim zdania godlowskiego, które jest prawdziwe i nie da-je się dowieść w T (Mn).Wykażemy, że zbiór wartości funkcji g, powiedzmy zbiór

A = {g(n) : n = 1, 2, . . . }, jest sprzeczny. Dochodzimy do tego na-stępująco: A = T (Mk), dla pewnego k. Jeśli T (Mk) jest niesprzecz-na, to na mocy (*) g(k) nie daje się dowieść w T (Mk), czyli nienależy do T (Mk). Ale g(k) należy do A, na mocy definicji, a więcteż do T (Mk). Otrzymaliśmy sprzeczność.Ponieważ n oznacza dowolny numer maszyny, więc możemy

przyjąć, że n = k. Zatem także T (Mn) = T (Mk) i T (Mn) jestsprzeczna. Stąd też funkcja g nie może być rekurencyjna (reku-rencyjność tej funkcji stanowiła warunek niesprzeczności T (Mn)).Pozostaje więc albo zgodzić się z uzyskanym rezultatem mó-

wiącym, że Lucas jest sprzeczny, wobec czego należy odrzucić(*), albo uznać możliwość istnienia nierekurencyjnych sposobówdochodzenia do prawdy za jedną z filozoficznych konsekwencjitwierdzenia Godla i utrzymać (*). Pozostaje jednak problem, czyT (Mn) jest sprzeczna czy nie.

4.

Konkluzje z powyższych rozważań wydają się dość zaskaku-jące: z jednej strony bowiem intuicyjnie, zdroworozsądkowo zga-dzamy się z rozumowaniem Lucasa, bez względu na to, czy naszeideologiczne sympatie lokują się po stronie antymechanicystów czyteż ich przeciwników; z drugiej strony można pokazać, że rozumo-wanie to jest matematycznie niepoprawne. Oczywiście, brak mi

22Założenie to jest istotne dla przeprowadzenia przez S. Krajewskiego, w cy-towanych w powyższym przypisie pracach, dowodu sprzeczności Lucasa.


kompetencji, aby dokonać „matematycznej apologii” Lucasa. Niechcę też zarazem przesądzać o prawdziwości owych intuicji, na-kazujących z jego rozumowaniem się zgodzić; niemniej faktu, żetakie intuicje tkwią w nas dość głęboko, nie należy lekceważyć.I jeśli w jakiś sposób udało mi się zwrócić uwagę Czytelnika natę rozbieżność – którą można z grubsza scharakteryzować jakorozbieżność między intuicyjnym, potocznym, zdroworozsądkowyma matematycznym rozumieniem i uznawaniem prawdziwości czynawet poprawności twierdzeń i rozumowań – uważam, iż cel ni-niejszego artykułu został osiągnięty.


Paweł Rojek

Antynomia Russella i twierdzenie Godlajako logika absolutnego1

1. List Russella do Fregego z 1902 roku i wystąpienie KurtaGodla na konferencji w Królewcu w roku 1930 stanowią kamieniemilowe rozwoju dwudziestowiecznej logiki i matematyki. Oba wy-darzenia łączy szereg podobieństw. Zarówno Russell jak i Godelbyli bardzo młodzi (Russell pisząc do Fregego był trzydziestolat-kiem, Godel miał 24 lata), i obaj dokonali rewolucyjnego zwro-tu w dziejach matematyki: Russell zakończył beztroski okres tzw.„naiwnej teorii mnogości” Cantora, a Godel – równie naiwny, jaksię okazało, program Hilberta. Antynomia Russella i tzw. pierw-sze twierdzenie Godla o niezupełności arytmetyki mają jednak nietylko podobieństwa historyczne. Wspólna im jest pewna strukturałącząca je z tradycyjnym w filozofii problemem absolutności. Tęosobliwą strukturę (dzieloną także np. z twierdzeniem Tarskiegoz 1933 o niedefiniowalności prawdy) łatwo można wydobyć, stosu-jąc opracowane niedawno przez W. I. Moisiejewa środki formalne.Najpierw, z pomocą dobrze znanej antynomii Russella, szcze-

gółowo omówione zostaną cechy tej struktury, które następnie zi-lustrowane zostaną na przykładzie twierdzenia Godla. Wreszciepokazane zostaną związki obu twierdzeń z logiką absolutnego.

1Przygotowanie tej pracy umożliwiły mi studia w semestrze wiosennym ro-ku akademickiego 2002/2003 w Państwowym Uniwersytecie w Woroneżu (Ro-sja). Nieocenioną pomoc okazał mi prof. Wiaczesław I. Moisiejew, któremupragnę złożyć tą drogą podziękowania.

Antynomia Russella i twierdzenie Godla jako logika . . .�99

2. Teoria L-sprzeczności W. I. Moisiejewa jest jedną z próbzbliżenia dwu linii rozwojowych filozofii: „formalnej” tradycji Par-menidesa, osadzonej na zachowaniu prawa tożsamości, niesprzecz-ności i wyłączonego środka, i „dialektycznej” linii Heraklita, od-rzucającej te zasady. Chodzi o znalezienie kryterium logicznejdemarkacji, które pozwoliłoby odróżnić sprzeczności „dialektycz-ne” (nieusuwalne bez straty dla poznawczych możliwości systemu)od sprzeczności–pomyłek. Teoria ta jest ścisłą eksplikacją pewnychintuicji filozoficznych, podzielanych w kręgu tzw. „rosyjskiej filo-zofii wszechjedności”, biorącej początek od Wł. Sołowjowa. O. Pa-weł Florenski, na początku XX wieku, w pracy [8] jako pierwszypróbował zastosować współczesną logikę dla wyjaśnienia tych intu-icji. Praca ta została współcześnie podjęta przez W. I. Moisiejewai doprowadziła do skonstruowania formalnych narzędzi, u źródełktórych leżą analogie między logiką i topologią, w szczególnościmożliwość wprowadzenia w logice pojęcia granicy (patrz [5], [6]i najnowsza praca [7]).

I. Antynomia Russella

3. Dobrze znana filozofom antynomia Russella generowana jestprzez określenie własności tworzącej tzw. zbiór Russella, czyli zbiórtych zbiorów, które nie są własnymi elementami:

R = {x : x /∈ x}. (1)

Jeśli zbiór R jest swoim elementem to, biorąc pod uwagę zadają-cą go własność, nie jest swoim elementem. Jeśli natomiast R niejest swoim elementem, to właśnie dlatego jest swoim elementem.Antynomia Russella przybiera postać:

R ∈ R ≡ R /∈ R. (2)

A zatem, po pewnych przekształceniach:

R ∈ R ∧R /∈ R. (3)

100 | Paweł Rojek

4. Istnieje prosty i naturalny sposób ominięcia tej antynomii,wykorzystany w aksjomatycznych teoriach mnogości (aksjomatwyróżniania). Gdyby dziedziną określenia zbioru R był jakiś ogra-niczony zbiór X, obok którego mogłyby istnieć jakieś inne zbio-ry, to sprzeczność mogłaby być usunięta przez przypuszczenie, żezbiór R po prostu nie należy do X. Zbiór R byłby wówczas zrela-tywizowany do pewnej dziedziny, na której określona jest zadającago własność:

Rx = {x : x ∈ X ∧ x /∈ x}. (4)

Założenie, że Rx ∈ X prowadzi do sprzeczności, więc możnaprzyjąć, że Rx /∈ X, co usuwa problem. Zbiór Russella – pisze Mo-isiejew – to szczególny typ obiektu–rozszerzyciela. Określenie go nazbiorze X prowadzi do budowy obiektu, wychodzącego za ramy X.I póki X jest lokalny, można wyjść za jego ramy, a zastosowaniedo niego predykatu tworzącego zbiór R nie prowadzi do sprzeczno-ści. Ale gdy tylko jako X zaczyna występować obiekt, za któregoramy nie sposób już wyjść, zbiór R staje się sprzeczny – wycho-dzi za ramy tego, za czego ramy wyjść już się nie da. Oto istotasprzeczności Russella ([6], s. 267).5. Moisiejew nazywa zbiór Russella i podobne obiekty

L-obiektami . Są to obiekty, które:

(i) zakładają wydzielenie dwu planów, w których jeden („przed-miotowy”) zawiera się w drugim („metaplanie”). W przy-padku antynomii Russella jest to zbiór X i pewien szerszyzbiór, do którego należy zarówno Rx i X;

(ii) charakteryzują się swoistym „dążeniem” do wyjścia pozaplan pierwszy i wymagają (pod groźbą sprzeczności) uznaniaje za należące do „metaplanu”;

(iii) jednocześnie można je odtwarzać dla dowolnej dziedziny,w tym także dla zbioru otrzymanego przez rozszerzeniepierwszego planu.


Podsumowując: L-obiekty zadawane są dwoma wzajemnie wy-kluczającymi się warunkami: określeniem siebie poza planem„przedmiotowym” i warunkiem rozszerzenia przedmiotowego planuna „metaplan”([6], s. 268).Jednym z pierwszych L-obiektów, opisanych w literaturze filo-

zoficznej, jest platońska idea, prowadząca do tzw. problemu trze-ciego człowieka. Platoński Parmenides jest zresztą w ogóle para-dygmatycznym przykładem analizy problemów absolutnego.6. Wobec tej naturalnej możliwości usunięcia (czy raczej –

jak się okaże –„przesunięcia”) antynomii, predykat tworzący zbiórRussella można zadać na dziedzinie uniwersum U , w którym moż-na wydzielić nieskończony ciąg zbiorów U0, U1, U2, . . . , takich, żeUi ⊆ Ui+1 i Ui 6= Ui+1, i = 0, 1, 2, . . . . Jest to procedura analogicz-na w pewnym sensie z podziałem na typy logiczne, proponowanymprzez Russella. Niech zbiór R1 jest zadawany przez własność„x nie należy do x i x należy do U0”:

R1 = {x : x ∈ U0 ∧ x /∈ x}. (5)

Zbiór taki nie prowadzi do sprzeczności, wyprowadza jednak pozaU0 do zbioru, do którego należy zarówno R1 jak i U0 (aby uniknąćsprzeczności trzeba założyć, że R1 nie należy do U0). Niech takimzbiorem będzie U1. Dla U1 można jednak utworzyć nowy zbiórRussella R2, zadawany przez własność:

R2 = {x : x ∈ U1 ∧ x /∈ x}. (6)

R1 spełnia predykat zadany przez własność zbioru R2 (ponieważR1 i U0 należą do R2), zatem:

R1 ∈ R2 ∧R1 /∈ R1, (7)

(por. z formułą (3)). R1 nie może jednak należeć do U1, ponieważprowadziłoby to do sprzeczności. Wobec tego wyprowadza on dokolejnego zbioru U2, który zawiera R1 i U1, itd.

102 | Paweł Rojek

Jest jasne, że procedura ta może być powtarzana bez końca.Dla uniwersum Un zbiór Rn+1 określa się predykatem „x /∈ x∧x ∈Un”. Tworzy się nieskończony szereg narastających uniwersów U0,U1, U2, . . . , gdzie Ui ⊆ Ui+1 i Ui 6= Ui+1, i = 0, 1, 2, . . . orazzbiorów R1, R2, . . . , gdzie Ri ∈ Ri+1, i = 1, 2, . . . . W ogólnymprzypadku formuła (7) przybiera postać:

Rn /∈ Rn ∧Rn ∈ Rn+1, (8)

która jest prawdziwa dla dowolnych n = 1, 2, . . . .Korzystając z procedury proponowanej przez Moisiejewa (sfor-

mułowanej w [1] i omówionej w [5] i [6]), można budować ciągi skła-dające się z formuł języków pewnych teorii. Nad formalną teoriąT można skonstruować – jako jej rozszerzenie – L-sprzeczną teorięT ∗, która jest definiowana jako zbiór ciągów z granicami formułz teorii T w języku L(T ). Posiadający granicę ciąg formuł teoriiT typu {An}n=∞n=0 nazywa się tezą teorii T ∗ jeśli istnieje pewnem 0 takie, że dla dowolnego n m formuła An języka L(T )jest tezą teorii T . Teza teorii T ∗ (czyli ciąg formuł z granicą) na-zywa się L-sprzecznością jeśli jej granica równa się A ∧ ¬A, gdzieA jest formułą języka L(T ). W pracy [1] podane są dowody nie-sprzeczności i pełności T ∗, o ile niesprzeczna i pełna jest teoriaT . Ciąg zbudowany na tej zasadzie z formuły (8) przedstawia sięnastępująco:

{Rn /∈ Rn ∧Rn ∈ Rn+1}n=∞n=0 . (9)

Każdy element tego ciągu składa się z koniunkcji dwóch praw-dziwych sądów, z których jeden jest „słabą” negacją drugie-go (tzn. różni się od drugiego elementu koniunkcji „przesunię-ciem” indeksu, patrz [6], s. 332) i sam jest zdaniem prawdzi-wym. Ciąg ten ma granicę, przy której dochodzi do sprzeczności:R∞ ∈ R∞ ∧ R∞ /∈ R∞. Takie granicznie sprzeczne formuły, de-dukowalne ze specjalnych rozszerzeń formalnych teorii, Moisiejewnazywa L-sprzecznościami. Logika L-sprzeczności nie jest sprzecz-na z tradycyjną logiką, stanowi tylko jej rozszerzenie i dopełnienie


o ciągi formuł z granicami, podobnie jak zbiór liczb wymiernychmoże być poszerzony o liczby niewymierne do zbioru liczb rzeczy-wistych. Sprzeczność zostaje „zneutralizowana” w formie ciągówformuł i pojawia się dopiero w ich granicach.Otrzymanie L-sprzeczności jest świadectwem obecności nietry-

wialnych sprzeczności, mających „dialektyczny” charakter. Jak zo-stanie pokazane w punkcie 9, otrzymanie jej w przypadku zbioruRussella związane jest z tym, że struktura antynomii Russella jestizomorficzna ze strukturą wielu filozoficznych antynomii, nie wy-łączając Kantowskich.

II. Twierdzenie Godla

7. Ta sama struktura obecna jest w przypadku twierdze-nia Godla. Niech teoria T 0 jest niesprzecznym, rekursywno–akjomatyzowalnym rozszerzeniem formalnej arytmetyki liczb na-turalnych. W tym wypadku – zgodnie z twierdzeniem Godlao niezupełności – dla tej teorii istnieje niedowodliwe prawdziweGodlowskie zdanie G0, głoszące swoją niedowodliwość w T 0. Teo-rię T 0 można rozszerzyć przez dołączenie do jej aksjomatów zdaniaG0 i otrzymaną nową teorię oznaczyć T 1. Wówczas:

T 0 0 G0 ∧ T 1 ` G0. (10)

Teoria zawierająca arytmetykę jest jednak zasadniczo niezu-pełna. Gdybyśmy bowiem powiększyli pierwotny zbiór aksjomatówo formułę G [w tym przypadku chodzi o G0 – P.R.], to w systemieopartym na tej wzbogaconej aksjomatyce można by zbudować innąprawdziwą, lecz nierozstrzygalną formułę arytmetyczną; konstruk-cja takiej formuły polegałaby po prostu na powtórzeniu w nowymsystemie procedury zastosowanej w systemie pierwotnym w celuzbudowania formuły prawdziwej lecz nierozstrzygalnej. Ewentualnedalsze wzbogacenie systemu wyjściowego nie zmieni sytuacji; praw-dy nierozstrzygalne zawsze będzie można sformułować ([4], s. 66).Teoria T 1 także jest niesprzecznym rozszerzeniem arytmetyki, wo-

104 | Paweł Rojek

bec czego istnieje zdanie Godlowskie G1 takie, że nie jest ono do-wodliwe w T 1. G1 także można dołączyć do T 1 otrzymując T 2,notabene niesprzeczne rozszerzenie arytmetyki. Procedurę tę moż-na powtarzać w ten sam sposób, jak miało to miejsce z „poszerza-jącym się” uniwersum w przypadku zbioru Russella (wyobrażenieo rozszerzającym się uniwersum ma czysto heurystyczny charak-ter). Dla dowolnych n = 0, 1, 2, . . . (10) przybiera ogólną postać:

Tn 0 Gn ∧ Tn+1 ` Gn. (11)

Postępując w ten sposób otrzymuje się nieskończony ciąg teo-rii T 0, T 1, T 2, . . . , gdzie T i ⊆ T i+1 i T i 6= T i+1, i = 0, 1, 2, . . . ,a teoria T k+1 jest otrzymana z T k przez dodanie do niej zdaniaGk jako nowego aksjomatu oraz nieskończony ciąg Godlowskichformuł G0, G1, G2, . . . . Postępując analogicznie jak w punkcie 6,można zbudować następujący ciąg formuł:

{Tn 0 Gn ∧ Tn+1 ` Gn}n=∞n=0 . (12)

W swojej granicy ciąg ten osiąga sprzeczną formułę T∞ 0 G∞ ∧T∞ ` G∞, co świadczy o jego L-sprzecznym charakterze.Inną, bardziej złożoną procedurę, operującą pojęciem

n–rekursywności, proponuje dla wyrażenia L-sprzecznego charak-teru twierdzenia Godla W. Moisiejew (por. [6] i [7]).8. W twierdzeniu Godla rolę L-obiektu spełnia zdanie

Godlowskie G. Zdanie to, podobnie jak zbiór R,

(i) skłania do oddzielenia dwu planów: bieżącej teorii Tn w któ-rej się pojawiło i teorii Tn+1, która powstaje po przyłączeniugo do aksjomatów;

(ii) „wyprowadza” poza posiadaną teorię, domagając się włącze-nia w skład aksjomatów. Nie ma tego problemu – analogicz-nie jak w przypadku antynomii Russella – jeśli zgodzić sięna sprzeczność;

(iii) odtwarza się dla każdej takiej teorii (por. punkt 5).


Analogia z antynomią Russella wymaga jeszcze wskazania nasprzeczność, do której prowadzi „naiwne” podejście do twierdzeniaGodla w matematyce. Historycznie takie „naiwne” podejście niezaistniało, ale jest możliwe do pomyślenia w analogii do antynomiiRussella. Sprzeczność pojawia się wraz z naturalną skłonnością,aby zdanie G0 wywieść z aksjomatów teorii T 0: w ramach naiw-nego podejścia zdanie Godlowskie powinno być włączone w składtwierdzeń teorii ([6], s. 337). Gdyby G0 było udowodnione w T 0, toteoria T 0 byłaby sprzeczna (ponieważ wówczas – jak pokazał Godel– dałoby się udowodnić i (¬G0), analogicznie jak rzecz ma się zezbiorem Russella w naiwnej teorii mnogości. Jest to ta sama struk-tura, która „wypycha” G, podobnie jak zbiór R, z granic „pierw-szego planu” teorii. Ale usunięcie G0 spośród twierdzeń T 0 dlaratowania jej niesprzeczności jest już świadectwem nie–naiwnegopodejścia. A więc – powiada Moisiejew – zdanie Godlowskie graw teorii elementarnej matematyki tą samą rolę co zbiór Russellaw teorii mnogości ([6], s. 338).

III. Logika absolutnego

9. Istnieje niezaprzeczalne podobieństwo – wskazane przezA. Churcha – między próbą usunięcia antynomii Russella w teoriitypów a stworzeniem hierarchii języków przez Tarskiego, ponie-waż przypuszczalnie nie robi to większej różnicy, czy ma się hie-rarchię wyrażeń w jednym języku czy hierarchię różnych języków([3], s. 661). Podobieństwo to obejmuje także problemy związanez twierdzeniem Godla. Wewnętrzna struktura antynomii Russella,twierdzenia Godla i twierdzenia Tarskiego odtwarza szczególną lo-gikę filozoficznych antynomii związanych z pojęciem absolutnego.Ich ogólna struktura jest wspólna dla wielu antynomii filozoficz-nych. W szczególności zbiór Russella przy pewnych dodatkowychumowach w pełni wyraża budowę wielu antynomicznych obiektównależących do dialektycznej tradycji w filozofii ([6], s. 265). Tą do-datkową umową jest ograniczenie dziedziny rozważań do uniwer-sów, w których występują tylko zbiory niezwrotne, czyli te, które

106 | Paweł Rojek

nie są własnymi elementami. Zbiór R staje się wtedy analogonem„totalnych pojęć” takich, jak świat, przestrzeń, czas, świadomośćitp. W ten sposób odtworzyć można strukturę pierwszej antynomiiKanta z Krytyki czystego rozumu, która jest izomorficzna do takiejwersji antynomii Russella, gdzie odpowiednikiem „x ∈ R” jest „xjest ograniczone”. Podobnie można odnieść się np. do sławnegoparadoksu kamienia, problemu zła i dobroci Boga itd.Omawiana struktura odtwarza się także w przypadku właści-

wego problemu logiki absolutnego, który bierze się z samego okre-ślenia Absolutu jako – z jednej strony – wolnego od tego, co in-ne, z drugiej zaś strony – jako pełni wszelkiego bytu, włączająctakże to, co inne. Paradoks absolutnego może być sformułowanyna wiele różnych sposobów, ale w każdym z nich odtwarza się ko-nieczność jednoczesnej podwójnej relacji absolutnego do względnego(warunkowego) bytu – relacji zawierania i utożsamienia absolut-nego z tym, co względne, oraz relacji ich wykluczania ([5], s. 2).Po oddzieleniu Absolutu (rozumianego jako źródło bytu) od bytu,który jest jego ontologiczną projekcją, pojawia się problem warun-ków, w których ta projekcja została uzyskana. One jednak takżemają swe źródło w Absolucie (który jest przecież pełnią bytu).To z kolei generuje problem warunków powstania tych warunkówitd. To, co było brane za bezwarunkowe na jednym etapie, okazujesię względne w perspektywie „rozszerzonego” uniwersum. Odtwa-rza się struktura znana z antynomii Russella i twierdzenia Godla.Przedstawiona tu metoda pracy z podobnymi problemami możebyć wykorzystana do modelowania filozoficznych koncepcji Abso-lutu, co zostało uczynione np. w przypadku rozbudowanej koncep-cji Sołowjowa i jego kontynuatorów (w [6]).


Literatura

[1] V. I. Moiseev, „About Some Properties of L–incositent The-ories”, preprint 2001.

[2] V. I. Moiseev, „To basic definitions of Logical Topology”, [w:]Smirnov’s Readings. 4th International Conference, Moscow:Russian Academy of Sciences 2003, ss. 84–85.

[3] U. Nortmann, „Paradoxes”, [w:] H. Burkhardt, B. Smith(eds.), Handbook of Metaphysics and Ontology, vol. II,Munchen: Philosophia Verlag 1991, ss. 658–661.

[4] E. Nagel, J. R. Newman, Twierdzenie Godla, przeł. B. Stanosz,Warszawa: PWN 1966.

[5] V. I. Moiseev, „Logika absol�tnogo”, preprint 2000.

[6] V. I. Moiseev, „Logika vseedinstva”, Moskva: Per Se 2002.

[7] V. I. Moiseev, „Matematiqeska� logika”, Vorone�: BGU,1999.

[8] P. Florenski$i, „Stolp i utver�denie istiny”, Moskva:Izd. AST 2003.


Paweł Polak

Podmiot a system aksjomatyczny

Wstęp

0. Twierdzenie Godla ukazuje ograniczenie systemów formal-nych (aksjomatycznych), które można wyrazić słowami: nie mo-żemy w sposób formalny ująć wszystkich prawd o liczbach natu-ralnych. Rozważania wokół twierdzenia Godla prowadzą do pytańo naturę i ograniczenia systemów aksjomatycznych. Wydaje się, żedociekania te mogą iść dwiema drogami: albo poprzez analizę sa-mego formalizmu (jak to uczynił Godel), albo poprzez postawieniepytań o warunki możliwości istnienia systemów formalnych.W celu uzupełnienia prezentowanych w tym zbiorze artykułów

pragnę zaproponować próbę refleksji nad systemami formalnymi,podążającą drugą z możliwych dróg. Należy poczynić zastrzeżenie,że niniejsze opracowanie ma jedynie charakter wprowadzenia dodyskusji nad wpływem podmiotu na naturę systemów formalnych.0.1. Nową perspektywę rozumienia, czym są systemy aksjoma-

tyczne otwiera postawienie pytania, jaki musi być podmiot, któryjest w stanie je zdefiniować. Odpowiedzi na pytanie odkrywająukryte założenia systemu aksjomatycznego. Zwykle analiza syste-mów formalnych polega na analizie ich struktury. Metoda ta niejest jedyna. Można również pytać o warunki możliwości istnieniasystemu aksjomatycznego. Nie jest to ani pytanie matematyczne(ani logiczne), ani metamatematyczne (ani metalogiczne). Jest topytanie filozoficzne.0.2. Aby rozważania uprościć, ograniczmy się do pewnego, bar-

dzo prostego sytemu aksjomatycznego. Nadajmy mu nazwę F.

Podmiot a system aksjomatyczny�109

0.3. Oto F:obiekty: a baksjomat: areguła inferencyjna: X 7−→ Xb

0.4. Objaśnienie do 0.3.System F składa się z obiektów a oraz b. Wyróżniony został

obiekt a. Obiekt a jest wyrażeniem sensownym. Mówimy więc, żea jest aksjomatem systemu F. X jest nazwą metazmiennej. W sys-temie istnieje jedna reguła inferencyjna. Reguła ta opisuje dozwo-lone przekształcenia wyrażeń. Nowe wyrażenie otrzymujemy przezdołączenie obiektu b z prawej strony pewnego wyrażenia.0.5. Użyteczne definicjeWyrażenie oznaczone jako A nazywamy twierdzeniem F, jeżeli

jest tożsame z a lub da się wyprowadzić z aksjomatu przy pomocystosowania reguły inferecyjnej. Zapisujemy to: F ` A.Oznaczmy przez Cn(F ) zbiór wszystkich konsekwencji syste-

mu F, czyli wszystkich wyrażeń, które możemy wyprowadzić z sys-temu. W naszym przypadku Cn(F ) jest nieskończonym zbioremnapisów:aababbabbbabbbbitd.

Implikacje pytania

1. Wobec takiego postawienia zagadnienia pierwotne pytanieprzybiera postać: jakie są niezbywalne cechy podmiotu mogące-go zdefiniować system aksjomatyczny F? Jest to próba podaniazałożeń koniecznych do zdefiniowania F. Z pewnością nie będąto wszystkie założenia, proszę więc o krytyczne uwagi, pomysłyi wnioski.

110 | Paweł Polak

1.1. Podmiot definiuje system aksjomatyczny. Zdanie to rozu-miem w następujący sposób: system aksjomatyczny jest pewnąkonstrukcją podmiotu. Uściśleniem tego, co rozumiem pod poję-ciem definiować, zajmę się w dalszej części.Teza: system aksjomatyczny jest sposobem poznawczego do-

stępu podmiotu do zewnętrznego świata. Uzasadnienie tej tezy,jest jednym z głównych problemów filozofii nauki i epistemologii.1.1. Pytanie postawione w 1. zakłada pewne podstawowe ce-

chy podmiotu i systemu aksjomatycznego. Założenie podstawowe:źródłem systemu jest podmiot, to on go definiuje1.1.2. Podmiotowi można przypisać pewne cechy.1.3. Podmiot istnieje (przynajmniej w tym sensie, że może

stworzyć system formalny). Jeżeli podmiot nie istniałby w żadnymsensie, to nie można by mówić o jakimś podmiocie definiującym.Wówczas system aksjomatyczny istniałby z nicości albo sam z sie-bie. Nie wymagałby więc definiowania (czyli jakiejś formy stwa-rzania). Można byłoby go co najwyżej zdefiniować w znaczeniu:dokonać opisu. Taki system aksjomatyczny byłby najbardziej pod-

1Wykluczamy więc tutaj platońską interpretację matematyki przyjmującą,że struktury matematyczne istnieją obiektywnie, niezależnie od jakiegokolwiekpoznającego podmiotu. Wydaje się, że w postawionym pytaniu chodzi bardziejo opisanie aktywnego podmiotu, którego dziełem jest system formalny. Ow-szem, można by się zastanawiać nad cechami podmiotu koniecznego do zde-finiowania (tj. opisania) systemu F przy założeniu koncepcji platońskiej, alerozważania te musiałyby pójść zupełnie odmienną drogą, dlatego pomijam jew niniejszej pracy.Pozostaje jeszcze pytanie, jaka koncepcja ontologiczna wydaje się być naj-bliższa prezentowanemu podejściu. Na obecnym etapie rozważań wydaje się, żenajbardziej interesująca jest popperowska koncepcja świata 3. Usiłuje ona wy-tłumaczyć, jak można połączyć aktywną rolę podmiotu przy tworzeniu syste-mu aksjomatycznego z poźniejszym samodzielnym istnieniem jego. Zob. K. R.Popper, „Świat 3 albo trzeci świat” [w:] Nieustanne poszukiwania. Autobiogra-fia intelektualna, tłum. A. Chmielewski, Znak, Kraków 1997, ss. 252–260; K. R.Popper, „Epistemologia bez podmiotu poznającego” [w:] Wiedza obiektywna.Ewolucyjna teoria epistemologiczna, tłum. A. Chmielewski, PWN, Warszawa1992 (zwłaszcza par. 6 „Ocena i krytyka epistemologii Brouwera”).


stawowy w porządku ontologicznym — jak już wspomnieliśmy, tęsytuację wykluczamy.

Zagadnienia ontologiczne

2. Czy może istnieć system F bez RZECZYWISTOŚCI (= te-go co istnieje)? Częściowa odpowiedź znajduje się już w 1.3., alenie wyczerpuje to całkowicie problemu. Aby został zdefiniowanysystem F musi istnieć:a) podmiot, czyli to, co tworzy system, tj. ustala język, aksjo-

maty i reguły inferencji,b) podmiot, czyli to, co może rozpoznać to, co zostało zdefi-

niowane jako system,c) podmiot, czyli to, co może dokonywać przekształceń,d) język J, czyli pewna struktura, w której definiujemy F.2.1. Podmiot został scharakteryzowany w czterech określe-

niach. Uważam, że nie jest konieczne, aby podmioty z punktua) oraz b) były tożsame. Aby możliwe było zdefiniowanie syste-mu F przez dwa różne podmioty a) i b) musi istnieć między nimipewna wymiana informacji. Jak inaczej zapewnić tożsamość de-finiowanego systemu F? Wymiana informacji zakłada zaś pewienjęzyk (pewną konwencję dotyczącą oznaczania).Wydaje się również, że każdy z podmiotów (lub jeden podmiot

o dwóch własnościach a)–b)) musi mieć możliwość dokonywaniaprzekształceń (tj. posługiwania się językiem — własność d)). Ina-czej bowiem niemożliwe będzie zdefiniowanie systemu F.2.2. Trzeba zanalizować system F, aby uściślić znaczenie okre-

śleń podmiotu (lub trzech podmiotów jednoatrybutowych). Pod-miot musi być wyposażony w język, aby móc wykonać a) – c).Operacje te są operacjami językowymi. Musi zatem istnieć rów-nież pewien język. Język jest konieczny do działania podmiotu.Podmiot, o który pytamy, musi być więc podmiotem językowym.2.3. Definiowanie rozumiem jako ustalenie symboli pierwot-

nych, aksjomatów i reguł inferencji w pewnym języku tak, że moż-

112 | Paweł Polak

liwe jest rozpoznanie go jako systemu formalnego. Przyjmujemywięc punkt widzenia podmiotu.2.3.1. Jak już zostało powiedziane, aby dokonać definiowania

trzeba móc dokonywać przekształceń w języku (używać języka)i móc rozpoznać to, co zostało zdefiniowane jako system aksjoma-tyczny (a nie bezsensowne napisy).2.4. Język jest uprzedni wobec wszelkich systemów aksjoma-

tycznych. Taki język należy więc do świata zewnętrznego wobecdefiniowanego systemu aksjomatycznego. Każda próba opisu języ-ka podmiotu przez system aksjomatyczny jest próbą taką samą,jak próba opisu systemem aksjomatycznym dowolnego fragmen-tu RZECZYWISTOŚCI — należy do nauk empirycznych. O tejodpowiedniości powiemy jeszcze w punkcie 4.2.5. Przykład:System F można zapisać w postaci programu komputerowego. Język zapisu

składa się wówczas z dwu symboli: 0 i 1. Operacje (reguły inferencji) kodujemy

przy pomocy tego samego alfabetu (zerojedynkowe kody operacji). Są one ope-

racjami językowymi, bo operują na ciągach symboli 0 i 1. Ich zapis jest również

językowy. Wyniki (zbiór konsekwencji Cn(F )) są zbiorem ciągów znaków 0 i 1. Nie

można rozróżnić bez dodatkowej informacji co jest zapisem obiektów, co regułą

działania, co wynikiem. Musi istnieć pozajęzykowa2 reguła przypisania kodom ope-

racji konkretnych operacji, zmieniających stan całego systemu (np. modyfikacja

pojedynczego znaku z 0 na 1). Operacje mają kody językowe, operują na języku,

ale mają przyczynę pozajęzykową.

Przykład ten jest użytecznym modelem do wskazania pewnychkoniecznych cech podmiotu konstruującego system formalny.2.6. Podstawą konieczną do definiowania systemu formalnego

są pojęcia obiektów. Podmiot musi posiadać możliwość wyodręb-niania z RZECZYWISTOŚCI pewnych części — obiektów. Ina-czej, jeżeli świat jest dany dla przedmiotu jako niepodzielne, izo-tropowe Jedno, nie jest możliwe ani określanie ani wyróżnianie.Wówczas nie jest więc możliwe definiowanie. Świat rozpoznawa-

2Oczywiście tylko w stosunku do omawianego języka służącego do zapisy-wania obiektów, operacji i ich wyników.


ny przez podmiot musi więc być dyskretyzowalny tj. możliwe jestwyodrębnianie w nim części3.2.6.1. Teza: RZECZYWISTOŚĆ poznawalna przez podmiot za

pomocą systemów aksjomatycznych musi być dyskretyzowalna.Ponieważ na drodze formalnej coś poznajemy, można uznać, że

jest to cecha naszej RZECZYWISTOŚCI. Z konieczności zajmuje-my się więc tylko taką RZECZYWISTOŚCIĄ. Uwaga ta należy dofilozofii przyrody i epistemologii, bo mówi zarówno o poznawalnymświecie dyskretyzowalnym, jak i o podmiocie.2.6.2. Modelem czegoś istniejącego jest pojęcie elementu. Mo-

delem rzeczywistości jest więc pojęcie zbioru wszystkich elemen-tów. Rzeczywistość bez ani jednego czegoś istniejącego jest zbio-rem pustym. To wszystko jest modelem RZECZYWISTOŚCIz której wyodrębniamy poznawczo części (zob. 2.6.1.). Pojęcia ele-mentu, zbioru i należenia do zbioru są dalej nieuzasadnialne. Sąone jedynie modelami (nazwami) czegoś, co pochodzi spoza języka,w którym je teraz opisuję.2.6.3. Spieranie się o to, czy zbiory istnieją tak samo jak ele-

menty, czy inaczej jest tutaj bezsensowne. Zagadnienie, jaka na-prawdę jest rzeczywistość (dyskretyzowalne Jedno czy wielość ist-niejących) jest domeną metafizyki i pomijam je tutaj. Koniecznenatomiast jest założenie, że podmiot poznawczo wyróżnia częścii przypisuje im tożsamość.2.7. Doszliśmy więc do zasady tożsamości. Podmiot musi umieć

rozpoznawać tożsamość:a = aoraz brak tożsamości:a 6= b.2.7.1. Jest to bardzo złożone zagadnienie, jak bowiem podmiot

rozpoznaje tożsamość symbolu a w języku mentalnym, «a» zapi-sanego w tym tekście, «a» lub «a» zapisanego inną czcionką, «a»zapisanego pismem odręcznym? Zresztą różnią się one położeniem

3Pojęcie dyskretyzowalności nie jest najtrafniejsze, ale brak lepszej nazwyw języku polskim.

114 | Paweł Polak

przestrzennym, dokładnym kształtem, itp. Uznanie tej tożsamościjest konieczne dla podmiotu scharakteryzowanego w punkcie 2. a)– c)4.2.7.2. Podmiot musi abstrahować od pewnych aspektów znaku,

a pewnym przypisywać doniosłość znaczeniową. Nie jest to zagad-nienie jednoznaczne, weźmy dla przykładu napisy: „kot” i „KOT”.Jeżeli uznamy, że oznaczają to samo — czworonożne zwierzę do-mowe określane jako kot, to okazuje się wówczas, że zachodzą toż-samości typu: «k» = «K». W innej sytuacji rozróżnienie «k» i «K»może mieć doniosłe znaczenie, np. w systemie Unix nazwy „kot”i „KOT” będą wskazywać w przypadku ogólnym dwa zupełnieróżne pliki, wówczas «k» 6= «K».2.7.3. Podmiot musi więc przyjąć, które aspekty są istotne,

a które nie. Określenie tych kryteriów jest konieczne, aby posłu-giwać się symbolami. Podmiot musi zatem posiadać lub określaćsamemu reguły interpretacji tożsamości. Reguły te mogą być okre-ślone tylko przez podmiot. Czy jest to tylko czysta konwencja in-terpretacji?2.7.4. Problem ten jest bardzo głęboki. Podmiot musi również

zinterpretować tożsamość systemu F, zapisanego w różnych języ-kach. Wydaje się, że w tym przypadku podmiot może uczynić toalbo przez zastosowanie reguł przekładu, albo (ogólniej) przez zba-danie konsekwencji. Jeżeli zbiory konsekwencji dwóch systemówaksjomatycznych okażą się według pewnego kryterium izomorficz-ne, to podmiot może uznać ich tożsamość, w przeciwnym wypadku— brak tożsamości5.

4Wiąże się z tym bardzo interesujące zagadnienie rozpoznawania obrazów.Rzuca ono dużo światła na mechanizmy działania i konieczne cechy podmiotu.5Ta metoda jest jednak nieefektywna w przypadku systemów aksjomatycz-

nych posiadających nieskończoną liczbę konsekwencji, np. dla arytmetyki liczbnaturalnych lub dla podanego przykładu systemu formalnego F. Podmiot niemoże bowiem porównać nieskończenie wielu konsekwencji. Intrygujący jestfakt, że podmiot mimo, iż nie może operować nieskończonymi (w dowolnymsensie) zbiorami konsekwencji, to może dzięki użyciu metod formalnych wy-ciągać wnioski dotyczące ich.


Język

3. Język jest tworzywem i uniwersum systemu F. System for-malny jest tworem językowym. Musimy posiadać język z któregostworzymy (zdefiniujemy) F (oznaczmy go J1). W języku tym wy-rażamy aksjomaty i reguły inferencyjne6. W tym sensie język J1jest tworzywem dla systemu F. Z drugiej strony, zbiór konsekwen-cji operuje na języku J2, który nie musi być tożsamy z J1. Możnazatem powiedzieć, że język J2 stanowi uniwersum dla F.3.1. Język musi składać się ze symboli. Symbole te nazywali-

śmy już wcześniej znakami. Rozumiemy je jako elementarne cząst-ki składowe języka7. Można je wyróżnić w języku pisanym (litery),mówionym (głoski). Czynię założenie, że każdy język musi charak-teryzować się tą właściwością. Zbiór wszystkich symboli elemen-tarnych to alfabet. Taki język nazywamy sformalizowanym. Dodat-kowo, jeśli przyjmiemy założenie, że obiekty tego języka pozbawio-ne są znaczeń (odniesień pozajęzykowych), to będzie on językiemformalnym8.3.1.1. Twierdzenie Godla wymaga m.in. tego, aby system ak-

sjomatyczny był normalny (rozsądny, ang. reasonable), czyli ta-ki, którego alfabet składa się ze skończonej liczby symboli. Sys-tem F jest normalny (reasonable). Ograniczamy nasze rozważaniado języków normalnych9. 3.2. Język musi składać się z napisów,

6To właśnie obecność reguł inferencyjnych w systemie formalnym nie po-zwala utożsamić go z językiem. Reguły inferencyjne są to strukturalne reguływnioskowania dedukcyjnego pozwalające uznawać zdania o określonej struktu-rze na podstawie już uznanych zdań (por. M. Poletyło, „Reguły dedukcyjne”w: Mała encyklopedia logiki, Zakład Narodowy im. Ossolińskich – Wydawnic-two, Wrocław 1998). Nie są one elementem języka.7Hiblert uważał, że istnieje nauka bardziej podstawowa od matematyki.

Podał nawet aksjomat inteligencji tej nauki: umysł człowieka potrafi tworzyćznaki a następnie je identyfikować.8Zob. W. Marciszewski, „Język” oraz „Język sformalizowany” [w:] Mała

encyklopedia logiki, dz. cyt.9Interesujący argument na rzecz tego stanowiska podał Alan Turing. Moż-

na go przedstawić następująco: ze względu na ograniczoność ludzkiej natury,

116 | Paweł Polak

jeśli ma być bogatszy od alfabetu. Alfabet można rozumieć ja-ko zbiór różnych napisów nierozkładalnych na mocy konwencji).Napis traktujemy jako złożenie symboli. Można przyjmować albosymbole albo napisy10 jako podstawowe dla istnienia języka. Jestto nieistotne z naszego punktu widzenia. Przyjmujemy, że symbolesą podstawowe, bo ta konwencja jest prostsza w użyciu.

3.3. Podmiot musi dokonywać operacji na znakach, w szczegól-ności konieczne jest dokonywanie konkatenacji (łączenia). W przy-padku języka systemu F możliwa jest konkatenacja Xb, gdziew miejsce X możemy wstawić a lub b lub inny dowolny napisjęzyka11. Zauważmy, że reguła inferencyjna systemu F jest w tymprzypadku po prostu regułą konkatenacji.

3.4. Podmiot musi operować metajęzykiem języka pierwszegorzędu J1. Jest on potrzebny, aby opisać znaczenia obiektów, abyuczynić je przenoszalnymi (przekładalnymi) między różnymi re-prezentacjami językowymi. W punkcie 0.3., który jest definicjąsystemu F, do metajęzyka należą napisy: „Oto F:”, „obiekty”, „ak-sjomat”, „reguła inferencyjna”. Punkt 0.4. (objaśnienie) zawierazdania metajęzyka. W metajęzyku podaje się znaczenia elementówdefinicji systemu formalnego.

3.4.1. Teza: Metajęzyk jest konieczny, aby podmiot mógł rozpo-znać napisy z punktu 0.3. jako system aksjomatyczny F.

ilość symboli powinna być skończona, ponieważ w przeciwnym wypadku mie-libyśmy problemy z rozróżnieniem symboli, których zapis musiałby się różnićnieskonczenie mało. Nie wchodząc w szczegóły zilustrujmy to następującymprzykładem: łatwo rozróżnimy 17 od 999999999, natomiast będziemy mieć jużkłopoty z odróżnieniem liczb 999999999999 i 99999999999. Por. A. Turing,„On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem”[w:] M. Davis, The Undecidable, Raven Press, New York 1965, ss. 135–136.10Wówczas symbole są sztucznie wydzielonymi powtarzającymi się częściaminapisów.11Regułę konkatenacji można zdefiniować również inaczej, np. XY , gdzie Xi Y są dowolnymi napisami języka.


3.5. Podmiot musi określić, jakie operacje na języku są niedo-zwolone, tzn. które operacje dają zawsze wyniki bezsensowne12.4. Podmiot rozpoznaje własności systemu aksjomatycznego.

Jest to dziedzina matematyki13.

Relacje

5. Podmiot musi rozpoznawać (określać) relacje. Inaczej niejest możliwy żaden język. Nie jest możliwe nawet zrozumienie tegozdania.5.1. Podmiot musi posiadać możliwość określania relacji po-

między elementami RZECZYWISTOŚCI (przynajmniej poten-cjalnie). Inaczej RZECZYWISTOŚĆ będzie stanowiła dla niegoJedno tożsame z nim samym (czego jednak nie będzie mógł żadnąmiarą ustalić).5.2. Relacje są konieczne do określenia struktury. Relacje ję-

zykowe odpowiadają relacjom strukturalnym systemu F. Relacjesystemu F są językowe.

Zasada podstawienia

6. Podmiot musi posiadać regułę podstawiania. Inaczej niebędzie można „rozwinąć” systemu F (podać zbiór konsekwencjiCn(F )). Bez reguły podstawiania system będzie mógł składać siętylko z aksjomatów wymienionych explicite. Takie systemy są try-wialne i nie będziemy się nimi zajmować.6.1. Aby możliwe było podstawianie musi istnieć pewna zmien-

na (w przypadku systemu F jest to metazmienna X)14. Dzięki

12Analiza tych ograniczeń to obszerne zagadnienie, dlatego tylko wspomi-nam o tym.13Matematykę rozumiem tutaj jako naukę o przekształceniach struktur.14Warto zauważyć, że paradoksy biorą się właśnie z użycia zmiennych, a do-kładnie z pewnych podstawień, gdy za zmienną podstawiamy ją samą (wpewnej formie). Unikanie paradoksów polega na wyeliminowaniu takich pod-stawień przez przyjęcie odpowiedniej struktury języka i metajęzyka. Takiegozabiegu dokonał Tarski podając swoją definicję prawdziwości zdań, która po-

118 | Paweł Polak

zmiennym jest możliwy „skrótowy” zapis systemów aksjomatycz-nych, w przeciwnym razie zbiór konsekwencji Cn(F ) byłby zawszetożsamy ze zbiorem aksjomatów.

6.1.1. Zwróćmy uwagę na przykład 2.5. W przypadku pro-gramu komputerowego musi również istnieć przynajmniej jednazmienna. Dla najprostszych procesorów reprezentowana jest onaakumulatorem (bardziej skomplikowane procesory mają więcej re-jestrów). Bez tego niemożliwe jest działanie jakiegokolwiek kom-putera15.

6.2. System formalny F jest zapisany w skończonej liczbie zna-ków16 (w przykładzie z punktu 0.3. jest to 40 znaków bez znakówoddzielających, które można pominąć). Dzięki regule podstawianiaze skończonego ciągu znaków (systemu F) otrzymujemy nieskoń-czoną, przeliczalną liczbę napisów (patrz 0.5.).

6.3. Podmiot musi mieć możliwość dokonywania podstawień.Zakłada to pewne działanie. Musi on również umieć zinterpretowaćnapisy ze zmiennymi po dokonaniu podstawienia. Podmiot musiteż umieć porównywać ciągi. Tylko wtedy będzie mógł rozpoznaćsystem F jako system aksjomatyczny, co jest konieczne do pełnegozdefiniowania (patrz 2.3.).

6.3.1. Dokonywanie podstawień zakłada algorytmiczność dzia-łania

6.4. Podmiot musi posiadać możliwość opisania relacji mię-dzy zbiorami wyrażeń — możliwość zdefiniowania reguł inferen-cyjnych.

zwoliła uniknąć paradoksu kłamcy (A. Tarski, Pojęcie prawdy w językach na-uk dedukcyjnych, 1933, por. „Definicja prawdy” [w:] S. Blackburn, Oksfordzkisłownik filozoficzny, Książka i Wiedza, Warszawa 1997, s. 78).15Maszyna Turinga, będąca matematycznym modelem każdego komputera,posiada pamięć aktualnego stanu, która pełni rolę zmiennej.16Można jednakże zająć się systemami zapisanymi w nieskończonej, przeli-czalnej liczbie znaków branych ze skończonego, przeliczalnego alfabetu, jednakwydaje się, że nie mogą być one definiowane przez podmiot. Por. przypis nr 6.


6.4.1. Interesują nas reguły strukturalne, czyli takie, które ma-ją wspólny schemat. Dzięki temu możliwa jest „skompresowana”postać sytemu F.6.4.2. Reguły inferencyjne muszą być efektywne, tzn. mając za-

dane przesłanki, można powiedzieć jaki jest wniosek. Dzięki temureguła inferencyjna jest stosowalna.

Zakończenie

7. W tym punkcie kończę charakteryzowanie podmiotu, któryjest w stanie podać definicję systemu aksjomatycznego F. Zapra-szam do dyskusji nad poczynionymi tu propozycjami podkreślającjednocześnie programowy charakter niniejszego artykułu.


Wojciech Załuski

O dwóch aksjomatach teorii zbioróww kontekście sporu o hipotezę continuum

Uwagi wstępne

Trwający od przeszło wieku spór o hipotezę continuum, w któ-rym kluczową rolę odegrali Georg Cantor, Kurt Godel i Paul Co-hen, dotyka fundamentalnych zagadnień teorii mnogości. Jednymz nich jest pytanie o status i prawomocność niektórych jej ak-sjomatów. Spośród aksjomatów teorii mnogości tworzących tzw.system ZFC1 szczególnie kontrowersyjny okazał się aksjomat wy-boru: jego przyjęcie jest wprawdzie konieczne dla udowodnieniawielu twierdzeń matematycznych, jednak z uwagi na swój specy-ficzny2 charakter został on odrzucony przez wielu matematyków,którzy podjęli próby jego „osłabienia” lub zastąpienia innymi ak-sjomatami. W niniejszej pracy chcemy zwrócić szczególną uwagęna jedną z wysuniętych propozycji – mianowicie na aksjomat de-terminacji, ilustrujący ciekawe związki między teorią gier a teoriąmnogości.

Hipoteza continuum a aksjomat wyboru

Wprowadzenie aksjomatu wyboru do systemu aksjomatów teo-rii mnogości było ściśle związane z próbami udowodnienia hipotezy

1Od nazwisk jego twórców: Zermelo i Fraenkla; C oznacza dodany aksjomatwyboru (axiom of choice).2Antycypując dalsze rozważania, wyjaśnijmy, iż ową „specyfiką” aksjomatu

wyboru jest jego niekonstruktywność – pozostałe aksjomaty teorii zbiorów sąkonstruktywne.

O dwóch aksjomatach teorii zbiorów. . .�121

continuum postawionej przez Cantora. Analiza aksjomatu wyborumoże być zatem w pełni klarowna tylko wtedy, jeśli przeprowadzisię ją w kontekście sporu o hipotezę continuum.Otóż, jak wykazała wspomniana analiza, najmniejszą poza-

skończoną liczbą kardynalną3 jest liczba kardynalna zbioru liczbnaturalnych (oznaczana jako ℵ0, czyli alef zero4). Ponadto, dlakażdego zbioru istnieje zawsze zbiór od niego liczniejszy, którymjest zbiór wszystkich jego podzbiorów, zwany zbiorem potęgowym.Liczba kardynalna odpowiadająca continuum wynosi c = 2ℵ0 , jestzatem równa liczbie 2 podniesionej do potęgi będącej licznościąnieskończonego zbioru liczb naturalnych5. Pytanie, które zadałCantor, brzmi: czy istnieje inna pozaskończona liczba kardynalna– inny alef – który leży między alef zero i pozaskończoną liczbą kar-dynalną odpowiadającą continuum? Odpowiedź negatywna nato pytanie jest właśnie hipotezą continuum6. Problem do-strzeżony przez Cantora można, jak widzimy, wypowiedzieć w pro-

3Liczba kardynalna, moc zbioru i liczność są terminami równoznacznymi;dwa zbiory X i Y posiadają tę samą liczbę kardynalną, gdy są równoliczne,tj. gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru X na zbiór Y .Liczbą kardynalna zbioru pustego jest 0, liczbą kardynalną zbioru skończo-nego jest ilość elementów tego zbioru, czyli dana liczba naturalna – por. np.Kuratowski 1966.4Alef (ℵ) jest pierwszą literą alfabetu hebrajskiego. Indeksowanymi alefami

Cantor oznaczał kolejne pozaskończone liczby kardynalne (ta konwencja jestobecnie powszechnie przyjęta). O mistycznych korzeniach badań nad nieskoń-czonością, zgłębianiu tajemnic Kabały jako inspiracji tych badań, magicznejaurze, jaką otoczona jest w tradycji hebrajskiej litera ℵ bardzo interesującopisze Aczel (Aczel 2002).5W identyczny sposób możemy tworzyć coraz liczniejsze zbiory, np. aby

skonstruować zbiór potęgowy liczb rzeczywistych, bierzemy pod uwagę wszyst-kie jego podzbiory – w rezultacie otrzymujemy zbiór d, którego liczność wynosi2c; tę procedurę można iterować i w efekcie dochodzimy do coraz większychliczb kardynalnych. Liczby te ciągną się w nieskończoność, nie istnieje więcnajwiększa liczba kardynalna (dla każdej liczby kardynalnej możemy utworzyćliczbę kardynalną od niej wyższą, będącą jej zbiorem potęgowym).6Hipoteza continuum mówi zatem, że moc zbioru typu continuum wynosi

alef jeden, czyli jest najmniejszą liczbą kardynalną większą od mocy zbioruliczb naturalnych.

122 | Wojciech Załuski

stym języku tak, iż na pierwszy rzut oka nic nie wskazuje na to, żesięga on samych podstaw matematyki i dotyka fundamentalnychzagadnień filozoficznych.Jeśli hipoteza continuum byłaby zdaniem prawdziwym, to

c można by oznaczyć jako ℵ1, a więc jako pozaskończoną licz-bę kardynalną występującą bezpośrednio po alef zero, który jestnajniższym rzędem nieskończoności. Hipotezę continuum wyrażazatem równość: 2ℵ0 = ℵ1, zaś – po uogólnieniu dokonanym przezHausdorffa – równość: 2ℵα = ℵα+1 (jest to tzw. uogólniona hipo-teza continuum łącząca każdy alef z alefem, który bezpośrednio gopoprzedza). Przejdźmy teraz do kwestii związanych z dowodliwo-ścią hipotezy continuum.Otóż, warunkiem wstępnym, który musi być spełniony, by moc

w ogóle podejmować próby udowodnienia tej hipotezy, jest znale-zienie reguły pozwalającej porównywać pozaskończone liczby kar-dynalne7 (z faktu, iż taka reguła istnieje, wynikałoby, iż każdaz owych liczb przynależy do skali alefów ℵ1, ℵ2, ℵ3,. . . , ℵn, któ-rą Cantor oznaczył symbolem taf 8). Zatem każda pozaskończonaliczba kardynalna znajdzie swoje miejsce w skali taf pod warun-kiem, iż istnieje sposób porównywania wszystkich możliwych partychże liczb, tj. jeśli dla dowolnych dwóch pozaskończonych liczbkardynalnych jedna z nich jest równa lub większa od drugiej9.Zachodzenie tej relacji także dla pozaskończonych liczb kardynal-nych gwarantuje twierdzenie o dobrym porządku, które głosi,że każdy zbiór daje się dobrze uporządkować, a zbiór dobrze upo-rządkowany to taki, którego każdy niepusty podzbiór ma elementnajmniejszy10. Gdyby twierdzenie to okazało się prawdziwe, to

7Por. Aczel 2002.8Będącym ostatnią liczbą alfabetu hebrajskiego.9W takiej relacji pozostają np. dwie dowolne liczby rzeczywiste.10Aczel 2002, s.139. Zatem jeśli mamy zbiór złożony z dwóch elementów{1, 2}, to zbiór wszystkich jego podzbiorów ma cztery elementy:emptyset {1}, {2}, {1, 2}; każdy z niepustych podzbiorów ma element naj-mniejszy; są nimi odpowiednio 1, 2, 1. Warto podkreślić, że zbiór liczb rze-czywistych nie jest dobrze uporządkowany: nie da się wskazać dla danej liczby


pozaskończone liczby kardynalne tworzyłyby skalę zbiorów dobrzeuporządkowanych; w takiej sytuacji aby dowieść hipotezy conti-nuum, należałoby wykazać, że liczba kardynalna odpowiadającacontinuum jest w skali taf drugą pozaskończoną liczbą kardynal-ną, czyli ℵ1. Jak pisze Aczel: widzimy zatem, że hipoteza continuummoże być spełniona tylko wtedy, jeśli każda pozaskończona liczbakardynalna będzie jednym z alefów Cantora; a do udowodnienia te-go koniecznego warunku trzeba było wykazać, że każdy zbiór możnadobrze uporządkować11. Dowód twierdzenia o dobrym porządku12

został podany w roku 1904 przez Zermelo, który posłużył się w nimaksjomatem wyboru.

Aksjomat wyboru13:

Jeżeli R jest rodziną zbiorów, żaden z tych zbiorów nie jest pu-sty i żadne dwa zbiory należące do tej rodziny nie mają wspól-nych elementów, to istnieje taki zbiór (zwany selektorem), któryzawiera dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru nale-żącego do rodziny R.

rzeczywistej ani liczby bezpośrednio po niej następującej, ani jej poprzedza-jącej; ponadto między dwie dowolne, różne liczby można wstawić nieskończe-nie wiele innych liczb, a zbiór ograniczony z dołu może nie mieć elementunajmniejszego (np. przedział (0, 1)). Nie jest zresztą dobrze uporządkowanyrównież zbiór liczb całkowitych, gdyż nie ma on elementu najmniejszego.11A.D Aczel, Tajemnica alefów. Matematyka. Kabała i poszukiwanie nie-skończoności, Rebis, Poznań 2002, s.142.12Z twierdzenia Zermelo wynika np., że także liczby rzeczywiste można do-brze uporządkować, a więc tak, iżby dla każdego elementu istniał elementnastępny; nie ma jednak konkretnej metody wskazującej, jak to zrobić; inaczejjest w przypadku liczb całkowitych, które można dobrze uporządkować w na-stępujący sposób: 0, 1,−1, 2,−2, . . . – każdy podzbiór tego ciągu ma elementnajmniejszy, a więc w przypadku każdej liczby wiadomo, jaka po niej nastąpi.


Kontrowersje wokół aksjomatu wyboru

Niebawem po sformułowaniu przez Zermelo dowodu twierdze-nia o dobrym porządku rozpoczęła się burzliwa dyskusja na tematzasadności przyjęcia aksjomatu wyboru. Krytycy tego aksjoma-tu zwrócili uwagę na fakt, iż nie jest rzeczą oczywistą, że wybórelementów ze zbiorów należących do danej rodziny jest możliwy,jeśli zbiorów tych jest nieskończenie wiele; sam Zermelo nie zdo-łał np. podać żadnej reguły wskazującej, w jaki sposób można byprzeprowadzić ów nieskończony ciąg wyborów. W istocie cały pro-blem dotyczył tego, jak należy rozumieć wyrażenia, które mówiąo istnieniu bytów matematycznych. Przeciwnicy włączania aksjo-matu wyboru – mimo jego intuicyjnej oczywistości – do zestawuaksjomatów teorii mnogości reprezentowali nurt intuicjonistycznyw filozofii matematyki, w ramach którego istnienie bytów mate-matycznych utożsamia się z możliwością ich efektywnego skon-struowania. Nic więc dziwnego, że odrzucali oni aksjomat wyboru,który nie dostarcza żadnych algorytmów wyboru zbioru reprezen-tantów (czyli selektora), lecz tylko stwierdza jego istnienie (jestzatem niekonstruktywny).

Dodajmy, że matematycy sformułowali wiele twierdzeń równoważnych ak-

sjomatowi wyboru; jednym z nich okazało się twierdzenie o dobrym uporząd-

kowaniu, które, jak pisze Aczel, zostało od razu uznane za podejrzane, gdyż

uwierzenie w jego dowód było równoznaczne z przyjęciem, że istnieje możli-

wość wybierania elementu ze zbioru nieskończenie wiele razy14; inne równo-

ważne twierdzenia to lemat Kuratowskiego–Zorna15, twierdzenie Tichonowa

o produkcie przestrzeni topologicznych, lemat Teichmullera–Tukeya, czy ak-

sjomat multiplikatywny Russella16. Cechą wspólną wszystkich tych twierdzeń,

14Aczel 2002, s. 142.15Mówi on, że jeśli A jest rodziną zbiorów o następującej własności:(⋃X) ∈ AX ∈ B dla każdej monotonicznej rodziny B ⊂ A i jeśli istnieje funkcja

wyboru dla rodziny P (A)−{∅}, to istnieje element maksymalny w A (sformu-łowanie to pochodzi z Kuratowski 1966).16Por. Marciszewski (red.) 1988, s. 141.


która czyni je „podejrzaną” w oczach wielu matematyków, jest fakt, iż należą

one do tzw. twierdzeń egzystencjalnych, tj. takich, które podają tylko warunki

istnienia jakiegoś obiektu, nie wskazują natomiast metody jego konstrukcji.

Przeciwnicy dołączania aksjomatu wyboru do systemu Zerme-lo – Fraenkla zwrócili także uwagę na fakt, że aksjomat ten pro-wadzi do paradoksalnych konsekwencji. Stwierdza on mianowicieistnienie zbiorów i funkcji niemierzalnych, tj. gwarantuje, że ist-nieje (choć oczywiście nie podaje metody jego konstrukcji) zbiórna płaszczyźnie, którego pola nie da się określić oraz zbiór w prze-strzeni trójwymiarowej, którego objętości również nie można okre-ślić. Na tezie o istnieniu takich zbiorów oparte jest słynne twier-dzenie Banacha–Tarskiego o paradoksalnym rozkładzie kuli, któreprzewiduje możliwość rozkładu kuli o danym promieniu na pewnąskończoną liczbę części w taki sposób, że da się z nich następniezłożyć dwie kule o identycznym promieniu jak kula pierwotna; ku-lę rozbija się właśnie na zbiory niemierzalne (a nie na „zwykłekawałki”), których istnienie gwarantuje aksjomat wyboru17.Zanim przejdziemy do omówienia aksjomatu determinacji, któ-

ry miał zastąpić problematyczny aksjomat wyboru, przedstawimydalszy ciąg zmagań matematyków z hipotezą continuum, tworzą-cą tło i niezbędny kontekst dla naszych rozważań poświęconychdwóm aksjomatom teorii zbiorów.

O dalszych losach hipotezy continuum

Dalsze badania wykazały, że w ramach aksjomatyki ZFC nieda się ani udowodnić ani obalić hipotezy continuum – jest zatemzdaniem nierozstrzygalnym18, tj. takim, o którym – na podstawieprzyjętego systemu aksjomatów – nie możemy powiedzieć, czy jestprawdziwe, czy fałszywe. Przedstawmy w zarysie przebieg tychbadań.

17Warto również dodać, że zbiory niemierzalnesprawiają szczególne kłopotynp. przy rozwiązywaniu zadań z rachunku całkowego.18Jest to zatem jeden z argumentów przeciw programowi Hilberta, zgodniez którym w matematyce nie może być żadnego ignorabimus.


Otóż najpierw Godel dowiódł, że założenie o prawdziwości hi-potezy continuum i aksjomatu wyboru nie jest sprzeczne z pozo-stałymi aksjomatami teorii mnogości19, nie może więc być obalone;okazało się zatem, że hipoteza continuum i aksjomat wyboru mogąbyć dołączone do systemu aksjomatów teorii mnogości. Oczywiściedowód Godla nie rozstrzygał o prawdziwości hipotezy Cantora –jak pisze Aczel: wynik Godla był połową dowodu, że hipoteza con-tinuum i aksjomat wyboru są niezależne od reszty matematyki20;„drugą część” dowodu przeprowadził Cohen, który, posługując sięmetodą tzw. forcingu21, wykazał, że aksjomat wyboru i hipotezacontinuum nie wynikają z pozostałych aksjomatów, są więc od nichniezależne22 (zatem ani dołączenie hipotezy continuum do systemuZF, ani dołączenie jej negacji nie rodzi w nim sprzeczności)23.Widzimy zatem, że hipoteza continuum jest jednym ze zdań

nierozstrzygalnych (których dotyczy słynne twierdzenie Godlao niezupełności). Oczywiście twierdzenie Godla nie wyklucza tego,że w ramach bogatszego systemu aksjomatów da się dowieść, żebądź hipoteza continuum bądź jej negacja jest prawdziwa. War-

19W dzienniku Godla, który po sformułowaniu twierdzenia o niezupełnościzajął się problemem continuum, odnajdujemy taki zapis: Kont. Hyp. im we-sentlichen gefunden in der Nacht zum 14 und 15 Juni 1937 – por. Aczel 2002oraz Godel 1947.20Aczel 2002, s. 167.21Oto jak (bardzo szkicowo) charakteryzuje te metodę Aczel (2000, s. 176):Forcing to wymuszanie na zbiorze postulatów przyjmowania jednej z dwóchwartości; następnie stopniowo przechodzi się z rodzinami zbiorów i prawamilogicznymi, które ich dotyczą, do coraz większych zbiorów, w których prawa tenadal obowiązują. Manipulowanie postulatami w ramach większego systemu lo-gicznego pozwala dowieść, że hipoteza continuum jest niezależna od aksjomatówteorii mnogości.22Ujmując rzecz ściślej: aksjomat wyboru jest niezależny od aksjomatówteorii mnogości, zaś hipoteza continuum jest niezależna od aksjomatów teo-riomnogościowych także z włączonym aksjomatem wyboru.23Warto dodać, że już Godel – kilkanaście lat po udowodnieniu niesprzeczno-ści hipotezy continuum – wyraził przypuszczenie, że jest ona także niezależna;przypuszczenie to, jak wiemy, zostało potwierdzone, przez dowód Cohena —por. Godel 1947.


to zauważyć, że sam Godel, jak wiadomo zwolennik platońskiegorealizmu, był przekonany o sensowności poszukiwań aksjomatów,które pozwoliłyby pełniej opisać, jego zdaniem istniejący obiek-tywnie, świat struktur matematycznych i tym samym rozwiązaćróżne „otwarte” problemy matematyczne, m.in. właśnie problemhipotezy continuum. W swojej przełomowej pracy24 z 1938 ro-ku Godel wyraził pogląd, że naturalnym uzupełnieniem aksjoma-tów teorii mnogości może być aksjomat konstruowalności25, któryw połączeniu z systemem ZF pozwala dowieść aksjomatu wyborui uogólnionej hipotezy continuum. Jak pisze jednak Cohen, jestmało nadziei na to, że aksjomat taki zostanie zaakceptowany ja-ko intuicyjnie oczywisty; bardziej prawdopodobne wydaje się raczejto, że jako aksjomat zostanie zaakceptowana jego negacja26; dodaćzresztą należy, że już w artykule z 194727 roku Godel zmienił zda-nie, twierdząc, że aksjomat konstruowalności nie doprecyzowujepojęcia zbioru nieskończonego w odpowiedni sposób.Podsumowując tę krótką dygresję na temat hipotezy continu-

um, trzeba podkreślić, że – w odróżnieniu od Cantora – zarównoCohen, jak i Godel (mimo pewnych wahań związanych z przej-ściową akceptacją aksjomatu konstruowalności) nie wierzyli w jejprawdziwość. Cohen uważał na przykład, że continuum, skonstru-owane przy pomocy aksjomatu zbioru potęgowego, jest nieosiągal-ne drogą konstrukcji opartej na aksjomacie zastępowania28, jestzatem zbiorem na tyle bogatym, że należy go traktować jako zbiórwiększy niż ℵ1, ℵn, ℵω itd.29; natomiast Godel wskazywał na nie-

24Godel 1938.25Głosi on, że każdy zbiór jest konstruowalny (czyli, że V = L, gdzie V ozna-cza uniwersum wszystkich zbiorów, zaś L — uniwersum zbiorów konstruowal-nych).26Cohen 1971, (w przekładzie polskim), s. 131.27Godel 1947.28Oto jego treść: jeżeli A jest zbiorem i każdemu elementowi zbioru A przy-porządkowano jakiś element (należący do A lub nie), to wszystkie przyporząd-kowane elementy też tworzą zbiór – por. Kuratowski 1966.29Cohen dodawał jednak, że takie rozważania są „czystą spekulacją” – por.Cohen 1971.


intuicyjny charakter niektórych konsekwencji tej hipotezy np. nafakt, iż wynika z niej istnienie „małych” zbiorów mocy continu-um oraz podkreślał, iż żadne wiarygodne zdanie nie implikuje tejhipotezy30. Jednak, jak zaznacza Wójtowicz, argumenty te nie sąpowszechnie uważane za rozstrzygające dyskusję31.

Aksjomat determinacji zamiast aksjomatu wyboru?

Problemy, jakie niesie z sobą przyjęcie aksjomatu wyboru,skłoniły wielu matematyków do poszukiwania alternatywnych ak-sjomatów, które mogłyby zostać dołączone do systemu Zermelo-Fraenkla. Jedną z najbardziej interesujących propozycji jest tzw.aksjomat determinacji32, oparty na pewnej grze wymyolonej przezStefana Banacha. Oto zasady tej gry33: dwóch graczy wybiera naprzemian jedną z cyfr od 0 do 9, tworząc w ten sposób pewienich nieskończony ciąg np. 8, 5, 3, 4, . . . , któremu odpowiada licz-ba z przedziału [0, 1] o rozwinięciu dziesiętnym danym przez ówciąg, np. 0, 8534 . . . . Przed rozpoczęciem gry gracz I wybiera pe-wien podzbiór A odcinka [0, 1] i usiłuje doprowadzić do tego, abywygenerowana wspólnie z graczemII liczba znalazła się w tymzbiorze; natomiast gracz II dąży do tego, aby wyprodukowanaliczba nie znalazła się w tym zbiorze A. Gra Banacha – oznacza-na dalej jako ΓA – stanowi przykład gry nieskończonej w postaciekstensywnej34. Czy którykolwiek z graczy ma w tej grze stra-

30Przegląd argumentów za i przeciw prawdziwości hipotezy continuum moż-na znaleźć w Wójtowicz 2002, s. 128–137.31Wójtowicz 2002, s. 125.32O tym aksjomacie, sformułowanym notabene przez polskich matematykówMycielskiego i Świerczkowskiego, napisano m. in. [it]is the most interestingalternative to the axiom of choice – Jech 1977, s. 365.33Por. Malawski, Wieczorek, Sosnowska 1997, s.183 oraz Jech 1977, s. 369.34Postać ekstensywna gry to po prostu rozbudowany graf lub rozgałęzionedrzewo ilustrujące wszystkie możliwe przebiegi danej gry wieloetapowej. Takiedrzewo lub graf konstruuje się przez wskazanie punktu początkowego gry, okre-ślenie możliwych posunięć graczy w kolejności: gracz1 – gracz2 – ewentualniegracz n – znów gracz1 (każdemu wierzchołkowi oprócz wierzchołka końcowego


tegię wygrywającą? Odpowiedź na to pytanie zależy od rodzajuzbioru A: jeśli zbiór A będzie np. zbiorem liczb mających cyfrę 2na drugim miejscu po przecinku, to zwycięzcą będzie oczywiściegracz II35, jeśli zaś będzie to np. zbiór liczb mających cyfrę 8 nasiódmym miejscu po przecinku, to zwycięży gracz I. Gra ΓA jestzdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma w niej strategięwygrywającą36.

Aksjomat determinacji37:

dla każdego zbioru A, gra ΓA jest zdeterminowana.

Aksjomat determinacji jest bardzo intuicyjny; nie daje się jed-nak pogodzić z równie intuicyjnym aksjomatem wyboru, gdyż, jakpisze Jech, posługując się dobrym porządkiem zbioru wszystkichciągów liczb całkowitych, można skonstruować grę, która nie jestzdeterminowana38. Należy zatem dokonać wyboru między obomaaksjomatami, gdyż ich równoczesne przyjęcie rodzi sprzeczność.

przypisany jest dokładnie jeden gracz) aż do osiągnięcia jednego z punktówkońcowych, przy których znajduje się opis wygranych poszczególnych graczy;por. np. Berninghaus, Erhhart, Guth 2002, ss. 89–113.35W przypadającym na niego ruchu wybierze np. cyfrę 9.36Strategia jest wyczerpującym opisem postępowania gracza w każdej sytu-acji, która może zaistnieć w trakcie gry. Strategią wygrywającą natomiast jesttaka strategia, która prowadzi do wygranej niezależnie od tego, jakie ruchywykona przeciwnik. Warto podkreślić, że teoria gier nie gwarantuje, że dlakażdej gry istnieje strategia wygrywająca (teza o istnieniu takiej strategii dlakażdej gry jest w istocie teoriogrowym odpowiednikiem prawa wyłączonegośrodka); Zermelo wprawdzie dowiódł, że wszystkie gry dwuosobowe o sumiezerowej o skończonej głębokości, tj. w których każdy z graczy ma skończonąliczbę strategii, są zdeterminowane; pozostają jednak inne typy gier, np. grynieskończone, dla których istnienie strategii wygrywającej można co najwyżejpostulować, wprowadzając aksjomat determinacji; por. np. Fudenberg, Tirole1993, s. 13.38Using a well–ordering of the set of all sequences of integers, one can con-struct a game that is not determined. – Jech 1977, s. 365.


***

Omówiliśmy wyżej szereg zarzutów, jakie wysuwa się zwykleprzeciw aksjomatowi wyboru; pojawia się jednak pytanie, czy ak-sjomat ten można całkowicie wyeliminować z teorii zbiorów. Więk-szość matematyków uważa, że nie jest to możliwe, gdyż pełni onzbyt doniosłą rolę m.in. w logice matematycznej, czy takich dzia-łach matematyki, jak algebra abstrakcyjna, analiza funkcjonalna,teoria miary39 (jest to tzw. argument zewnętrzny za aksjomatemwyboru, tj. wskazujący na to, iż jest on konieczny dla nauki; argu-mentem wewnętrznym jest wspomniana już wcześniej intuicyjnaoczywistość tego aksjomatu40). Można jednak osłabić aksjomatwyboru, ograniczając możliwość wyboru tylko do niektórych sy-tuacji41.

„Osłabiony” aksjomat wyboru powstaje np. wtedy, gdy rodziny zbiorów

zostają zawężone do takich, które są przeliczalne, a więc równoliczne ze zbiorem

liczb naturalnych; innym przykładem jest aksjomat zależnego wyboru (axiom

of dependent choice), który mówi, że jeśli pewnym elementom x jakiegoś zbioru

X przyporządkujemy niepuste zbiory F (x) i również każdemu elementowi y

każdego zbioru postaci F (x) przyporządkujemy pewien niepusty zbiór F (y),

to wówczas można znaleźć taki ciąg x0, x1, x2, . . . , xn, że x1 należy do zbioru

F (x0), x2 należy do F (x1), itd. Nazwa aksjomatu pochodzi stąd, że wybór

każdego elementu xi tego ciągu zależy od wyboru poprzedniego elementu xi−1.

Niekontrowersyjne aksjomaty teorii mnogości42 w połączeniuz osłabionym aksjomatem wyboru albo aksjomatem determinacji

39Aksjomat wyboru jest używany np. w definicji ciągłości funkcji Cau-chy’ego, w dowodzie twierdzenia Hahna–Banacha; więcej przykładów jego za-stosowania można znaleźć w Murawski 2001.40Rozróżnienie to pochodzi od Maddy 1988.41Malawski, Wieczorek, Sosnowska 1997, s. 189.42Np. aksjomat ekstensjonalności sumy, zastępowania, nieskończoności itd.Słowo „niekontrowersyjne” być może nie jest w pełni trafne, gdyż niektórez nich np. aksjomat wyróżniania również wzbudzają rożnego rodzaju wątpli-wości; jednak żaden z tych aksjomatów nie był nigdy kwestionowany z równiepoważnych powodów jak aksjomat wyboru.


tworzą układ pozwalający udowodnić wiele znanych twierdzeń ma-tematycznych43 i wyeliminować niepożądane konsekwencje pier-wotnego aksjomatu wyboru (taka konfiguracja aksjomatów nie po-zwala już np. na przeprowadzenie paradoksalnego rozkładu kuli,pozostają zatem wyłącznie zbiory i funkcje mierzalne). Jak pi-sze jednak A. Wieczorek: mimo iż takim zmodyfikowanym ukła-dem aksjomatów można udowodnić prawie wszystkie znane twier-dzenia matematyczne, które znajdują zastosowanie w codziennejpraktyce (. . . ) siła naszego przyzwyczajenia i tradycji jest jednakwielka i chyba nadal, mimo zalet zmodyfikowanej aksjomatyki, bę-dziemy posługiwać się starym wysłużonym zestawem aksjomatówZermelo–Fraenkla44. Opinię Wieczorka należy jednak skonfronto-wać z komentarzem Jecha, który zaznacza, że mimo zalet, jakieposiada aksjomat determinacji, zwłaszcza w kontekście deskryp-tywnej teorii zbiorów, jest on z pewnych względów problematycz-ny, np. implikuje on osobliwą prawidłowość – mianowicie, iż ℵ1i ℵ2 to mierzalne liczby kardynalne, ℵ3, ℵ4 nie są mierzalne, zaśℵω+1, ℵω+2 znów są mierzalne; co gorsza, nie jest rzeczą pewną,że wszystkie jego konsekwencje są niesprzeczne.

Np. nie wiadomo, czy niesprzeczne jest twierdzenie: każdy podzbiór ℵ1 al-bo zawiera zamknięty nieograniczony zbiór albo jest z nim rozłączny45. Jech

podkreśla, że to zdanie implikuje tezę, że ℵ1 jest mierzalną liczbą kardynalną(measurable cardinal); teza ta jest wprawdzie niesprzeczna, Jech dodaje jed-

nak, że implikacje zdania „każdy podzbiór ℵ1 albo zawiera zamknięty nieogra-niczony zbiór albo jest z nim rozłączny” zdają się być dużo silniejsze (appear

to be much stronger), gdyż implikują istnienie modeli teoriomnogościowych

z wieloma mierzalnymi liczbami kardynalnymi.

43Np. Jech pisze: The axiom of determinacy is particularly appreciated bythe descriptive set theorists; it implies the countable axiom of choice, and sothe basic theorems on real numbers are not affected by the absence of the axiomof choice (. . . ) Moreover, the axiom of determinacy settles various problems onprojective sets, like uniformization and reduction theorems – Jech 1977, s. 366.44Malawski. Wieczorek, Sosnowska 1997, s. 189.45Every subset of ℵ1 either contains or is disjoint from a closed unboundedset” Jech 1977, s. 366.


Ważną konkluzją rozważań Jecha jest konstatacja, że udowod-nienie niesprzeczności wspomnianego twierdzenia lub twierdzeńpodobnych byłoby pierwszym krokiem w kierunku wykazania nie-sprzeczności samego aksjomatu determinacji.

Uwagi końcowe

Współczesna teoria mnogości jest najczęściej interpretowana wduchu filozoficznego realizmu46. Inaczej mówiąc: fakt, iż w wieluprzypadkach nie można zdefiniować funkcji pozwalającej dokonaćwyboru reprezentantów z danej rodziny zbiorów, jest uznawanyprzez większość matematyków za nieistotny dla kwestii istnieniaselektora – zbiór ów uchodzi za istniejącyniezależnie od tego, czyda się go skonstruować. Przyjęcie realistycznego stanowiska w kwe-stii istnienia obiektów matematycznych, które z wielu względówwydaje się bardziej przekonujące niż stanowisko intuicjonistycz-ne47, znacznie osłabia pozycję krytyków aksjomatu wyboru (jużzachwianą przez fakt, iż aksjomat wyboru, jak wspominaliśmy, jestkonieczny dla udowodnienia wielu twierdzeń); pamiętając jednako wspomnianych wyżej „paradoksalnych” konsekwencjach tego ak-sjomatu, za przesadną należy uznać opinię, iż gdy abstrahować odrozróżnień dotyczących opozycji między istnieniem i konstrukcją,aksjomat wyboru staje się jednym z najmniej problematycznych ak-sjomatów teorii mnogości48. Niemniej jednak wypada zgodzić sięz tezą, że aksjomat determinacji nie jest autentyczną alternatywądla aksjomatu wyboru w ramach systemu Zermelo-Fraenkla.

46Por. Maddy 1988.47Interesującą argumentację na rzecz realizmu prezentuje np. Roger Penrosew swej słynnej książce Nowy umysł cesarza. O komputerach, umyśle i prawachfizyki, PWN, Warszawa 2000.48D. A. Martin, Sets versus classes, cytat za: Maddy 1988, s.172 ( w prze-kładzie polskim).


Literatura cytowana:

S. K. Berninghaus, K.–M. Erhhart, W. Guth (2002),Strategische Spiele. Eine Einfuhrung in die Spieltheorie,Springer, Berlin.

P. J Cohen (1971), Comments on the foundations of set theory,w: Axiomatic Set Theory, D. Scott (red.), „Proceedings ofSymposia in pure mathematics”, t. 13, cz. 1, Providence,Rhode Island 1971, ss. 9–16. Przekład polski: O podstawachteorii mnogości, w:Współczesna filozofia matematyki (wybóri przekład R. Murawskiego) (2001), PWN, Warszawa.

D. Fudenberg, J. Tirole (1993), Game Theory, MIT Press,Cambridge Massachusetts.

K. Godel (1938), The consistency of the axiom of choice and ofthe generalized continuum hypothesis with the axioms of settheory, „Annals of Mathematical Studies”, vol. 3, PrincetonUniversity Press, Princeton.

K. Godel (1947), What is Cantor’s problem continuum?, „TheAmerican Mathematical Monthly” 54, ss. 515–525. Przekładpolski: Co to jest Cantora problem continuum? w:Współcze-sna filozofia matematyki (wybór i przekład R. Murawskiego)(2001), PWN, Warszawa, ss. 103–123.

T. J. Jech (1977), About the Axiom of Choice, w: Handbook ofMathematical Logic (red. J. Barwise), North Holland Publi-shing Company, ss. 346–369.

K. Kuratowski (1966), Wstęp do teorii mnogości i topologii,PWN, Warszawa.

P. Maddy (1988), Believing the axioms I, II, „Journal of Sym-bolic Logic” 53, ss. 481–511 oraz 736–764. Przekład polski:


Wierząc w aksjomaty, w: Współczesna filozofia matematyki(wybór i przekład R. Murawskiego) (2001), PWN, Warsza-wa, ss. 171–173.

M. Malawski, A. Wieczorek, H. Sosnowska (1997), Konku-rencja i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i naukach spo-łecznych, PWN, Warszawa.

W. Marciszewski (red.) (1988), Mała encyklopedia logiki,Ossolineum, Wrocław.

R. Murawski (2001), Filozofia matematyki. Zarys dziejów,PWN, Warszawa.

K. Wójtowicz (2002), Platonizm matematyczny. Studium z filo-zofii matematyki Kurta Godla, Biblos — Tarnów, OBI —Kraków.


Maria Piesko

Twierdzenie Godla i marzenie Leibniza1

Podczas jednego z seminariów z kognitywistyki prowadzący jeprof. J. Perzanowski wypowiedział sąd, który pozostał dla mnieprzez jakiś czas zagadkowy, mimo iż nie zupełnie obca była mifilozofia Leibniza i sławny artykuł Godla „Uber formal unentsche-idbare Satze. . . ”2. Profesor stwierdził mianowicie, że niesłusznejest mniemanie, jakoby twierdzenie Godla o niezupełności mate-matyki obaliło projekt Leibniza znalezienia scientia universalis —uniwersalnej nauki posługującej się lingua characteristica — ide-alnym językiem opisującym całość rzeczywistości w tak doskona-ły sposób, że wszelkie rozumowania (w szczególności filozoficzne)można by sprowadzić do odpowiednich obliczeń przeprowadzanychw specjalnym rachunku (calculus ratiocinator). „Godel odkrył poprostu zdanie przypadkowe a priori”. Odkrył zatem, jak tłuma-czył profesor Perzanowski, że nie wszystkie prawdy matematycz-ne są konieczne. Cóż to znaczy? Pytanie okazało się tym bardziejniepokojące, że konkluzję, iż twierdzenia Godla (a dokładniej póź-niejszy dowód Churcha nierozstrzygalności rachunku predykatów,którego konsekwencją jest niezupełność tego rachunku) pokazały

1Za przejrzenie tego artykułu i cenne uwagi pragnę podziękować Panu Pro-fesorowi Jerzemu Perzanowskiemu, Księdzu Doktorowi Adamowi Olszewskie-mu i Panu Doktorowi Bartoszowi Brożkowi. Nie ponoszą oni oczywiście odpo-wiedzialności za treść tego tekstu (niestety nie udało mi się zgodzić ze wszyst-kimi ich twierdzeniami).2K. Godel, „Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathema-

tica und verwandter Systeme I”, Monatshefte fur Mathematik und Physik,38 (1931), ss. 173–198; angielski przekład: „On Formally Undecidable Pro-positions of Principia Mathematica and Related Systems I”, The Undecidable.Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Compu-table Functions, M. Davies (ed.), Raven Press, New York, 1965, ss. 5–38.

136 | Maria Piesko

nierealizowalność marzenia Leibniza, znalazłam w tak znakomitejksiążce, jaką jest Classical Recursion Theory P. Odifreddiego3.Wydaje się, że wynik Godla godzi w Leibnizjański plan stwo-

rzenia lingua characteristica — możliwości systemów formalnychokazały się ograniczone. Nadzieję na calculus ratiocinator zdająsię ostatecznie przekreślać twierdzenia o nierozstrzygalności i tezaChurcha–Turinga. W poniższym tekście zamierzam rozważyć, czytak jest rzeczywiście.

Przyjrzyjmy się najpierw twierdzeniu Godla. Głosi ono, iż je-śli teoria T jest niesprzeczna, „zawiera” elementarną arytmetykę(tzw. „słabą arytmetykę”) i jest oparta o rozstrzygalny zbiór ak-sjomatów, to jest ona niezupełna. Zatem w języku teorii T możnautworzyć zgodnie z regułami formacji zdanie G takie, że ani zada-nie G ani jego zaprzeczenie ¬G nie są twierdzeniami teorii T (nieistnieje dla nich dowód w T ).Na pierwszy rzut oka można więc stwierdzić, że rzeczywiście

wynik ten zdaje się zagrażać planom Leibniza, jego sławnemu po-stulatowi Calculemus! Jeśli filozofowie pokłóciliby się o prawdzi-wość zdania G, ich sporu nie można by rozstrzygnąć przez prosteodwołanie się do rachunków.Jak wiadomo, nie zawsze to, co wydaje się oczywiste na pierw-

szy rzut oka, jest prawdziwe. Przyjrzyjmy się zatem twierdzeniuuważniej. Do rozpatrzenia pozostają:

• założenia,

• wniosek,

• dowód.

3P. Odifreddi, Classical Recursion Theory. The Theory of Function andSets of Natural Numbers, Elsevier, Amsterdam – New York – Tokyo, s. 164.

Twierdzenie Godla i marzenie Leibniza�137

Dowód

Dowód w różnych, bardziej i mniej technicznych wersjach, zo-stał przytoczony w tym numerze czasopisma. Nadto, żeby wskazaćna wagę założeń, które pragnę podkreślić, należałoby prześledzićdość żmudne, techniczne szczegóły, które stosunkowo łatwo zna-leźć w książkach dotyczących teorii rekursji. Pozwolę sobie zatempominąć dowód, odsyłając Czytelnika do literatury przedmiotu4

i prosząc, by zechciał uwierzyć (lub sprawdzić), że założenia, któ-re poniżej rozważam, są w dowodzie twierdzeń Godla rzeczywiściekonieczne.

Założenia

Najmniej interesujące z naszego punktu widzenia jest założe-nie, by teoria T „zawierała” arytmetykę, choć jest to ważne i cie-kawe wymaganie. Wyrażalność arytmetyki w teorii T umożliwiaarytmetyzację języka i metajęzyka tej teorii i dalej pozwala nadiagonalizację, która jest jednym z podstawowych narzędzi teoriirekursji wykorzystywanym w dowodach nierozwiązywalności róż-nych problemów. Niemniej, skoro według Leibniza rozwiązywanieproblemów miałoby się dokonywać w oparciu o obliczenia, niece-lowe wydaje się zubażanie poszukiwanego rachunku o tak podsta-wowe narzędzie jak arytmetyka i to nawet w znacznie okrojonejwersji (można w przybliżeniu powiedzieć, że tzw. „słaba arytme-tyka” jest jedynie nieskończoną tabliczką dodawania i mnożenia).

Niezbyt rozsądne wydaje się również podważenie podstawo-wej zasady rozumowania (także u Leibniza) — zasady niesprzecz-

4Por. np. cytowaną wyżej pracę Odifreddiego albo w języku polskim: R. Mu-rawski, Funkcje rekurencyjne i elementy matematyki, Wyd. UAM, Poznań2000.

138 | Maria Piesko

ności5. Wprawdzie sprzeczna teoria jest zupełna6, ale też, skorowszystkiego da się w niej dowieść, to i wszystkie dowody wydająsię bezwartościowe. Nie pozwalają na odróżnienie tego, co uzasad-nione od tego, co bezpodstawne. Nadto rachunek Leibniza miał zazadanie opisywać rzeczywistość, a ta zdaniem autora Monadologii,jest niesprzeczna.

5Tu warto by dodać, że we współczesnej logice rozwijane są badania rachun-ków z różnymi „rodzajami sprzeczności” (por. B. Brożek, „Nauka w poszukiwa-niu logiki”, Semina Scientiarum 1, 2002, ss. 2–14). Często jednak w dyskusjachna temat różnych logik nieklasycznych, także niemonotonicznych, podkreślasię, że logika klasyczna (z zasadą niesprzeczności) wydaje się pełnić wobecnich wyróżnioną rolę — to w niej na przykład przeprowadza się analizę ra-chunków niestandardowych. Przywodzi to na myśl (dość luźne) skojarzenia zezwykłym sposobem rozumowania ludzi, którzy niejednokrotnie uznają sprzecz-ne tezy, ale kiedy tylko zdają sobie z tego sprawę, starają się tę sprzecznośćusunąć. Oczywiście, że powyższe zestawienie jest dość powierzchowne, sądzęjednak, że za wskazaną odległą analogią może się ukrywać głębsza prawidło-wość — trudno rozstrzygnąć czy ontologiczna czy psychologiczna. To ciekawezagadnienie w oczywisty sposób wykracza jednak poza przedmiot tego arty-kułu. Zrezygnowanie z założenia niesprzeczności wydaje się być sprzeczne (!)z filozofią Leibniza.6Warto w tym punkcie zauważyć rzecz nieco zaskakującą na terenie logi-

ki, że pojęcie „zupełności” jest wieloznaczne. Na szczęście każde spośród jegoróżnych znaczeń jest ściśle określone. W Małej Encyklopedii Logiki W. Mar-ciszewski wśród różnych możliwych znaczeń „zupełności systemu” wyróżniatrzy:

1) System S jest zupełnym zbiorem zdań zawierającym terminy stałeP1, . . . Pn wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zdania A zawierają-cego jako symbole stałe jedynie wyrażenia spośród P1, . . . Pn prawdąjest, że A ∈ S lub ¬A ∈ S.

2) System jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy każda poprawnie zbudo-wana formuła bądź jest twierdzeniem systemu, bądź po dołączeniu dojego aksjomatów wprowadzi doń sprzeczność (tzw. zupełność w sensiePosta).

3) Trzecie pojęcie zupełności wyraża się w polskim piśmiennictwie raczejsłowem pełność (definicję pełności podaję poniżej).

Por. Mała encyklopedia logiki, red. W. Marciszewski, Ossolineum, Wrocław–Warszawa–Kraków, 1970.System sprzeczny jest zupełny w sensie (1).


Pozostaje do rozważenia trzecie założenie — o rozstrzygalno-ści zbioru aksjomatów. Wydaje się ono bardzo dobrze uzasadnione:jeśli nie umielibyśmy rozstrzygnąć, co jest a co nie jest aksjoma-tem, tym bardziej trudno oczekiwać, byśmy potrafili stwierdzić, cojest twierdzeniem teorii (które przecież jest z definicji zdaniem, dlaktórego istnieje dowód, czyli skończony ciąg zdań, które albo sąaksjomatami, albo też są zdaniami uzyskanymi za pomocą regułdowodzenia z aksjomatów lub podobnie uzyskanych zdań wystę-pujących uprzednio w dowodzie).To wskazuje na jeszcze jedno założenie — nie wyrażone explici-

te, gdyż przyjmowane jako oczywiste i powszechnie akceptowane,czyli wypracowaną w szkole Hilberta technikę uzasadniania zdańmatematyki — technikę formalnych dowodów. Zwróćmy przedewszystkim uwagę na podstawowe wymaganie wobec dowodu: mabyć on skończony. Fakt ten jest ważny i wykorzystywany w dowo-dzie twierdzenia Godla.Na związek tego poniekąd ukrytego założenia z rozumowaniem

Leibniza zwrócił uwagę prof. Perzanowski na kolejnym semina-rium, przypominając, klasyczny podział sądów przeprowadzonyprzez Leibniza:

• sądy konieczne (oparte o zasadę niesprzeczności),

• sądy przypadkowe (oparte o zasadę racji dostatecznej).

Można pokazać (i jest to czasem przyczyną rozczarowania stu-dentów filozofii zapoznających się z dziełami Leibniza), że wnio-skowanie w oparciu o zasadę racji dostatecznej sprowadza sięde facto do odwołania do zasady niesprzeczności. Chciałoby siępowiedzieć: „Cóż to za podział”, skoro jedna z proponowanychkategorii zawiera się całkowicie w drugiej? A jednak wskazaneprzez Leibniza kryterium rozróżniania tych dwóch rodzajów sądówjest istotne. Według Leibniza bowiem do sądów koniecznych moż-na dojść, wychodząc od zasady niesprzeczności za pomocą skoń-czonej liczby kroków wnioskowania, sądy przypadkowe zaś można

140 | Maria Piesko

wprawdzie otrzymać na mocy samej tylko zasady niesprzeczno-ści, ale przeprowadzając dowody o nieskończonej liczbie kroków.Twierdzenie Godla pokazuje, jak ważne (na pociechę studentomfilozofii) jest to rozróżnienie — za pomocą dowodów o skończonejdługości, wychodząc od rozstrzygalnego zbioru aksjomatów, niemożemy pewnych twierdzeń dowieść. Jakiego rodzaju są to twier-dzenia?

Wniosek

Przyjrzyjmy się krótko wnioskowi twierdzenia Godla. Żeby golepiej zrozumieć zestawmy go z innym twierdzeniem genialnego lo-gika — o pełności rachunku predykatów pierwszego rzędu. Systemdedukcyjny jest pełny wtedy i tylko wtedy, gdy z jego aksjomatówdadzą się wywieść wszystkie zdania będące zdaniami prawdziwymiw każdym modelu. Rachunek predykatów jest zatem takim syste-mem, który jest pełny (każde zdanie prawdziwe w każdym modelujest w nim dowiedlne), ale nie jest zupełny (można w nim wyra-zić zdania, które ani nie są dowiedlne, ani nie są dowiedlne ichzaprzeczenia). Jak to możliwe? Otóż zdania niedowiedlne w ra-chunku predykatów, to takie zdania, które ani nie są prawdziwewe wszystkich modelach, ani też nie są we wszystkich modelachfałszywe (wówczas ich zaprzeczenie byłoby prawdziwe we wszyst-kich modelach, a więc dowiedlne). Są to zatem zdania przypadko-we. W szczególności zdanie Godla jest takim zdaniem przypadko-wym (bo niekoniecznym; nie jest prawdziwe we wszystkich możli-wych światach — modelach). Jest ono mimo to zdaniem a priori,gdyż o tej jego przypadkowości nie wnioskujemy na podstawie do-świadczenia, możemy ją wykazać teoretycznie przytaczając dowódGodla.

***

Można spekulować, że jeśli potrafilibyśmy podać system (linguacharacteristica?), który adekwatnie opisywałby zamierzony model


(rzeczywistość) do ostatniego szczegółu, w taki sposób, że jedno-znacznie wyróżniałby (z dokładnością do izomorfizmu) jeden jedy-ny model, dla którego byłby prawdziwy i pełny, to wówczas byłbyon także zupełny. Kolejne twierdzenia limitacyjne mówią, że opistaki przekracza możliwości języków elementarnych7.Mimo tego, zgodnie z twierdzeniem Lindenbauma, każdą nie-

sprzeczną teorię można w prosty sposób rozszerzyć do teorii nie-sprzecznej oraz zupełnej. Nie podważa to bynajmniej wynikuGodla, gdyż teoria uzyskana „sposobem Lindenbauma” nie spełniapo prostu jednego z założeń jego twierdzenia — założenia o roz-strzygalności zbioru aksjomatów.Zagadnieniu rozstrzygalności warto przyjrzeć się uważniej.

Wiadomo, że wynik Godla można otrzymać z dowiedzionego 6 latpóźniej przez Churcha i niezależnie przez Turinga twierdzeniao nierozstrzygalności rachunku predykatów. Jeśli bowiem teoria(o rozstrzygalnym zbiorze aksjomatów) byłaby zupełna, to dlakażdej formuły istniałby albo jej dowód, albo dowód jej zaprzecze-nia. Wówczas o każdym zdaniu moglibyśmy za pomocą dowodówrozstrzygać8, czy przynależy ono do teorii czy też nie. Zatem sko-ro teoria jest nierozstrzygalna, to jest także niezupełna. I znowuprzyjrzyjmy się technicznemu pojęciu zaangażowanemu w dowóda nawet w wysłowienie twierdzenia Churcha: „rozstrzygalności”.Otóż z definicji „teoria jest rozstrzygalna, jeśli istnieje metoda po-zwalająca o każdym wyrażeniu tej teorii rozstrzygnąć za pomocąskończonej liczby prób czy jest ono twierdzeniem danej teorii. Tegotypu metody nazywa się efektywnymi”9.Po raz kolejny okazuje się, że twierdzenie o nierozstrzygalności

teorii wydaje się zrelatywizowane do techniki — tym razem sposo-bu rozstrzygania, czy coś przynależy do danego zbioru (aksjoma-

7Por. twierdzenie Lowenheima — Skolema — Tarskiego.8Algorytm rozstrzygania, czy dana formuła F jest tezą systemu, polegałby

na przeprowadzaniu w ustalonej kolejności dowodów, tak długo, aż natrafimyna dowód F albo ¬F . Ponieważ założyliśmy, że system jest zupełny, więc napewno istnieje dowód formuły F lub jej zaprzeczenia.9Mała encyklopedia logiki, dz. cyt.

142 | Maria Piesko

tów lub twierdzeń teorii). Podobnie jak metody dowodzenia, taki metody efektywne doczekały się precyzyjnego opracowania teo-retycznego. Zaproponowano kilka formalizmów, takich jak funkcjerekurencyjne, maszyny Turinga, reprezentowalność w teorii, skoń-czona definiowalność, itd., które okazały się równoważne. Wyróż-niają one tę samą klasę funkcji (np. każda funkcja obliczalna zapomocą maszyn Turinga jest rekurencyjna i na odwrót) i za ichpomocą rozstrzygalne są te same problemy. To, co jest nierozstrzy-galne za pomocą jednej spośród tych metod, nierozstrzygalne jestteż za pomocą jakiejkolwiek innej.W odróżnieniu jednak od powszechnie uznawanej teorii dowo-

du, teza, że wszystkie metody efektywne sprowadzają się do jednejspośród metod ujętych w któryś z tych formalizmów, jest wciążprzedmiotem dyskusji. Dopiero zaś ta teza (zwana tezą Churcha)pozwala na stwierdzenie absolutnej10 nierozstrzygalności danejteorii (np. rachunku predykatów).Warto podkreślić również, że po raz kolejny rzecz wiąże się

z zagadnieniem nieskończoności. W każdym ze wspomnianych wy-żej formalizmów zawarte są pewne ograniczenia, wymagania skoń-czoności pewnych parametrów. Dla przykładu przywołajmy jedenz formalizmów — maszynę Turinga.Najprościej rzecz ujmując, maszyna Turinga to pewien abs-

trakcyjny byt złożony z podzielonej na pola nieskończonej taśmyi głowicy czytająco–piszącej, wyposażony w odpowiedni zbiór in-strukcji. Maszyna może znajdować się w jednym ze skończonej listystanów wewnętrznych, może zapisywać lub wymazywać w polach

10„Absolutna nierozstrzygalność” oznacza, że wynik ten nie jest zrelatywi-zowany do jakiejś wybranej metody rozstrzygania. Zilustrujmy to przykładem:Turing udowodnił, że rachunek predykatów jest nierozstrzygalny, gdyż w prze-ciwnym przypadku rozstrzygalny byłby tzw. problem stopu. Wcześniej zaśpokazał, że problemu stopu nie da się rozwiązać za pomocą maszyn Turinga.Żeby wysnuć stąd wniosek, że problem stopu (a co za tym idzie problem byciatezą rachunku predykatów) nie jest rozstrzygalny za pomocą żadnej efektywnejmetody, trzeba przyjąć tezę Churcha; por. G. Boolos, R. Jeffrey, Computabili-ty and Logic, Cambridge University Press, 1974, s. 49 lub Odifreddi, dz. cyt.,s. 103.


taśmy po jednym ze skończonej listy symboli taśmowych. Instruk-cje, zgodnie z którymi postępuje, mogą mieć jedną z następującychtrzech postaci:

• qa Sb Sc qd: maszyna w stanie qa, czytająca symbol Sb wyma-zuje go i wpisuje w jego miejsce symbol Sc, po czym zmieniastan na qd,

• qa Sb R qd: maszyna w stanie qa, czytająca symbol Sb prze-suwa się o jedno pole w prawo, po czym zmienia stan naqd,

• qa Sb L qd: maszyna w stanie qa, czytająca symbol Sb prze-suwa się o jedno pole w lewo, po czym zmienia stan na qd,

Zbiór instrukcji powinien być skończony i niesprzeczny. Nie-sprzeczność oznacza, że nie ma takich instrukcji, które miałybytakie same przesłanki qa Sb, a żądałyby wykonania różnych dzia-łań.Jak widać, można wyliczyć wiele wymagań co do skończoności

różnych parametrów maszyny Turinga: skończona liczba stanówwewnętrznych, symboli taśmowych, instrukcji, głowic, taśm i ob-serwowanych w jednym kroku pól. Wśród nich szczególnie jednoprzywołuje skojarzenie z filozofią Leibniza — założenie o skończo-nej liczbie stanów wewnętrznych.Uzasadniając adekwatność swojej teorii jako formalnego ujęcia

obliczalności, Turing analizuje działanie rachmistrza przeprowa-dzającego obliczenia. Uzasadnia między innymi, że sensowne jestzałożenie, iż głowica maszyny „obserwuje” jedynie skończoną licz-bę pól taśmy 11, bo także człowiek jest w stanie objąć wzrokiemzaledwie skończony zapis. Turing przekonuje, że możemy posłu-giwać się jedynie skończoną liczbą symboli taśmowych, bo gdy-

11Łatwo pokazać, że maszyna obserwująca jedynie jedno pole taśmy jestrównoważna takiej, która obserwuje tych pól dowolną skończoną liczbę.

144 | Maria Piesko

by było ich więcej, to nie umielibyśmy ich w końcu rozróżniać12.Wreszcie twierdzi, że na podobnej zasadzie niemożliwa jest nie-skończona liczba dopuszczalnych stanów wewnętrznych — odpo-wiednika stanów umysłu rachmistrza — bo wówczas, podobniejak w przypadku symboli taśmowych, różniłyby się one nieskoń-czenie mało od siebie, a więc byłyby praktycznie nierozróżnialne.Sądzę, że to ostatnie wnioskowanie jest nadużyciem. Cóż bowiemszkodzi nasza niewiedza, nasza nieumiejętność rozróżniania sta-nów umysłu ich faktycznie infinityzemalnie małym różnicom?13

Jako przykład metafizyki, w której twierdzenie o swego rodzaju„dyskretyzacji” stanów umysłu jest nieprawdziwe, można podaćchociażby sławną monadologię — zgodnie z nią wszak w mona-dzie odbija się Wszechświat, który jest nieskończony14 i w którymzmiany przebiegają w sposób ciągły.Czy możliwe jest stworzenie rachunku (calculus ratiocinator?),

który „radziłby sobie” z opisem relacji w takim świecie? Nie wia-domo. Jeśli teza Churcha jest prawdziwa, nie jest to możliwe. O to,czy jest prawdziwa, wciąż toczą się spory.Jak sądzę, z powyższych rozważań można wysnuć następujące

wnioski:

• Samo twierdzenie Godla nie obaliło programu Leibniza, dzię-ki niemu jedynie wskazane zostały ograniczenia systemówformalnych spełniających ściśle określone warunki. (Nie wi-dać dlaczego lingua characteristica nie miałaby istnieć).

• Choć możliwe jest budowanie systemów opisujących rzeczy-wistość lepiej niż rachunek predykatów pierwszego rzędu i ję-

12Por. A. Turing, „On Computable Numbers, with an Application to theEntscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical Society,ser. 2, vol. 42 (1936–7), s. 249.13Trzeba przyznać, że Turing rozważa także sposób wyeliminowania słabookreślonych „stanów umysłu” z analizy obliczalności, ale moim zdaniem nieudaje mu się to do końca.14Por. założenie o skończonej liczbie obserwowanych pól — twierdzenie tomożna przyjąć w odniesieniu do potocznego rozumienia, świadomej „obserwa-cji”, ale nie do „działania” i „doznawania” na poziomie monad.


zyki elementarne, to na razie nie dysponujemy odpowied-nim dla nich narzędziem wnioskowania. Ani wypracowanaw szkole Hilberta metoda dowodu, ani inne „obliczalne środ-ki” nie są wystarczające.

• Jeśli teza Churcha–Turinga jest prawdziwa, to nie istniejeefektywna metoda pozwalająca na rozstrzyganie wszystkichproblemów15.

• Program Leibniza poszukiwania calculi ratiocinatoris pozo-staje wciąż aktualny.

• Wydaje się, że jego realizacja wymagałaby wynalezienia sku-tecznego sposobu „okiełznania nieskończoności”, co zresztągenialny filozof przewidział.

Leibniz przewidywał również, że odkrycie tego rachunku jestw zasięgu ludzkich możliwości. Czy miał rację? Godel wierzył, że(przynajmniej na terenie matematyki) tak.

15Teza Churcha–Turinga nie została dotąd udowodniona i nie wydaje się, bymogła zostać udowodniona za pomocą znanych obecnie technik. Zagadnienieto, szeroko dyskutowane, świadomie pominęłam; najczęściej wskazuje się, żew tezie Churcha porównuje się ściśle określone pojęcie funkcji obliczalnej zapomocą maszyn Turinga (lub funkcji rekurencyjnej, λ–definiowalnej, itd. —znaleziono wiele równoważnych, jak się później okazało, rachunków, co samow sobie wydaje się przemawiać na korzyść tezy Churcha) z intuicyjnym po-jęciem funkcji efektywnie obliczalnej. To ostatnie zaś niemal z założenia niemoże zostać opisane formalnie (taką formalizację proponuje się właśnie w te-zie Churcha, rzecz polega na tym, czy propozycja ta jest uzasadniona), więci formalny dowód nie jest możliwy.


Ryszard Philipps

Twierdzenia Godla a niemechanicznośćumysłu (cz. I)

Twierdzenia Godla, jak również inne twierdzenia z grupy tzw.twierdzeń limitacyjnych, stwarzają możliwość formalizacji sporuo naturę umysłu. Stanowią one mianowicie pewnego rodzaju test,który powinny przejść teorie mechanistyczne1. Schemat argumen-tacji antymechanistycznej z wykorzystaniem twierdzeń limitacyj-nych sprowadza się zazwyczaj do następującego rozumowania.Punktem wyjścia jest odnotowanie pewnych, stosunkowo precy-zyjnie ustalonych faktów, związanych z działalnością umysłu, mia-nowicie wytworów umysłu w dziedzinie matematyki. Gdyby umysłbył maszyną, maszyna taka powinna być równoważna umysłowi conajmniej pod względem tych wytworów. Antymechanicyści próbu-ją więc wykazać, że maszyny, zgodnie z twierdzeniami limitacyj-nymi, podlegają ograniczeniom, podczas gdy umysł takim ograni-czeniom nie podlega, o czym świadczą właśnie faktyczne wytworyumysłu. W związku z tym maszyna nie jest w stanie wytworzyćtego, co potrafi wytworzyć umysł i w konsekwencji umysł nie mo-że być maszyną2. W omawianym w dalszej części tekstu tzw. ar-gumencie Lucasa, autor argumentu próbuje wykazać, że zgodnie

1Por. J. Woleński, „Metamatematyka a filozofia”, Zagadnienia Filozoficznew Nauce, 6 (1984), 10; J. Życiński, „Metafilozoficzne następstwa twierdzeńlimitacyjnych”, Studia Philosophiae Christianae, 24 (1988), 1.2Warto zauważyć, że wnioskowanie odwrotne nie jest oczywiste, jak sądzą

być może zwolennicy tzw. testu Turinga. To, że maszyna byłaby równoważnaumysłowi pod względem pewnych lub nawet wszystkich wytworów, nie musioznaczać, że umysł jest maszyną. Wytworom umysłu mogłyby przykładowotowarzyszyć pewne subiektywne przeżycia (tzw. qualia), które nie towarzyszy-łyby wytworom maszyny.

Twierdzenia Godla a niemechaniczność umysłu (cz. I)�147

z twierdzeniami Godla jest niemożliwe, aby jakakolwiek maszy-na Turinga zweryfikowała wszystkie te twierdzenia arytmetyczne,które umysł ludzki jest w stanie uznać za prawdziwe, co ma wła-śnie obalić mechanistyczną koncepcję umysłu.Tradycyjne stanowisko antymechanistyczne w kwestii umysłu

wyraża się tym, że uważa się umysł, resp. duszę, za byt ontolo-gicznie odrębny od świata zmysłowego. Takie stanowisko wyklu-cza mechaniczność umysłu per definitionem, ponieważ znaczenieterminu mechanizm czy automat sugeruje, że jest to obiekt de-terministyczny, należący do świata fizykalnego, podczas gdy duszęuważa się za niematerialną i wolną.Stanowisko takie określa się tradycyjnie mianem dualizmu.

Klasycznymi jego przedstawicielami są Kartezjusz oraz Platon.Stanowisko Platona jest o tyle szczególne, że wielu współczesnychmatematyków skłania się w kwestii istnienia obiektów matema-tycznych do pewnej wersji platonizmu. Platonizm matematycz-ny przypisuje obiektom matematycznym byt w sensie idei platoń-skich, z którymi umysł ludzki może mieć bezpośredni (intuicyjny)kontakt. W takim świecie każda formuła matematyczna jest alboprawdziwa albo fałszywa.Dualizm kartezjański stał się ostatnio etykietą dla wszystkich

stanowisk antymechanistycznych, choć jest to nieco nieżyczliwainterpretacja stanowiska Kartezjusza3. Kartezjusz zapoczątkowałw nowożytnej filozofii tendencję radykalnego odróżniania umysłui faktów mentalnych od ciała i świata zmysłowego. Jeżeli ktoś, jakto czynili oświeceniowi materialiści, zaprzeczał dualizmowi Kar-tezjusza, przejmował na siebie obowiązek dowodu obalającego.Współcześnie większość filozofów opowiada się przeciwko duali-zmowi w sensie kartezjańskim. Przyjmuje się, niecałkiem słusz-nie, że ciężar dowodu spoczywa na tych, którzy próbują utrzymaćnieredukowalność umysłu do materii. Wymaga tego, by tak rzec,„polityczna poprawność”. Jest to o tyle nie fair, że zarówno zwo-

3Por. J. R. Searle, Umysł na nowo odkryty, PIW, Warszawa 1999.

148 | Ryszard Philipps

lennicy jak i przeciwnicy mechanicyzmu posługują się w zasadzieargumentami preferencyjnymi o, mniej więcej, podobnej sile.Spór o umysł wydaje się bardziej interesujący na gruncie na-

turalizmu, niż w paradygmacie klasycznego dualizmu. Zjawiskamentalne uważa się wtedy za pochodne względem zjawisk fizycz-nych, choć dopuszcza się niekiedy istnienie subiektywnej, nieredu-kowalnej do obiektywnego poziomu fizykalnego, sfery psychicznej.Stanowisko takie jest określane mianem emergentyzmu. Koncepcjasztucznej inteligencji (zwana czasem silną AI) jawi się w tym kon-tekście, jako stanowisko skrajnie mechanistyczne i optymistyczneze względu na wiarę w możliwości nauki4. Bardziej umiarkowaninaturaliści, na przykład Searle, zgadzają się z tym, że umysł jestquasi–fizykalnym systemem przejawiającym funkcje komputacyj-ne, niemniej twierdzą, że globalne możliwości umysłu przekracza-ją możliwości komputerów w sensie von Neumanna. Co więcej,uważa się również, że żaden komputer, rozumiany jako skończo-ny automat (ang. Finite State Machine), nie osiągnie poziomuistotnie inteligentnych zachowań nawet w przyszłości, bez względuna intensyfikację parametrów, takich jak rozmiar pamięci, często-tliwość taktowania, etc. Dotyczy to również tzw. sztucznych siecineuronowych, jeżeli przyjmiemy, że także w przyszłości będą dzia-łać w sposób deterministyczny, przy czym ich determinizm możnawyrazić formułą „output równa się input” – tyle dostaniemy nawyjściu, ile sami włożymy do systemu na wejściu.

***

Mniej więcej czterdzieści lat po sformułowaniu przez Godlajego twierdzeń o niezupełności pojawiła się argumentacja J. R.Lucasa5. Uzasadnia on tezę, że umysł przewyższa maszynę, czyli,

4Zwolennicy silnej AI głoszą, że umysł jest automatem, który w zasadzierównoważny jest zwykłym komputerom.5J. R. Lucas, „Minds, Machines and Godel”, Philosophy 36, 112–127. Por.

również J. R. Lucas, The Freedom of the Will, Oxford Univ. Press, Oxford1970.


wbrew zwolennikom sztucznej inteligencji (AI), nie jest kompu-terem. Argumentację tę można streścić następująco: twierdzenieGodla mówi, że w każdej, odpowiednio bogatej (zawierającej aryt-metykę liczb naturalnych) i niesprzecznej teorii, istnieje zdanieo liczbach naturalnych, które nie jest w tej teorii dowiedlne, nie-mniej (w metateorii) można pokazać, że zdanie to jest prawdziwe.Efektywnie dana teoria, tzn. oparta o rozstrzygalny zbiór aksjo-matów, a więc również maszyna w sensie Turinga, nie jest w staniedowieść zdania Godla, o ile ma pozostać niesprzeczna. Umysł na-tomiast umie pokazać prawdziwość tego zdania w modelu danejteorii, przy czym zakłada się, jako oczywiste – przynajmniej w in-tuicyjnym sensie, że umysł jest niesprzeczny. Umysł potrafi więczweryfikować zdanie Godla, podczas gdy maszyna tego nie potrafi,co świadczy o tym, że umysł nie może być maszyną. Gdy dopuści-my sprzeczność maszyny, to może ona, zgodnie z prawami logiki,dowieść dowolnego zdania, wtedy jednak nie chcemy uważać jej zarównoważną umysłowi6.Formalna krytyka argumentów Lucasa oraz innych, podobnie

myślących autorów7, opiera się na dwojakiej strategii. Pierwszagrupa argumentów zmierza do wykazania, że na podstawie samychtylko twierdzeń Godla nie da się wykluczyć tego, iż możemy byćmaszynami (niesprzecznymi). Wśród zwolenników tego typu ar-gumentacji wymienić można m. in. samego Godla, Wanga orazBenacerrafa. Druga grupa autorów, na przykład Putnam, uważaz kolei, że nie da się wykluczyć sytuacji, iż możemy być maszynami,aczkolwiek sprzecznymi, ponieważ to, iż umysł umie zweryfikowaćzdanie Godla, może wynikać właśnie z tego, że jest sprzeczny.Aby rozważyć argumenty metalogiczne przeciwko stanowisku

Lucasa, niezbędna jest dokładniejsza analiza założeń jego rozumo-wania. Przede wszystkim należy sprecyzować, co będziemy uważać

6Nie bierze się tutaj pod uwagę zarzutu, że to, iż umysł umie zweryfikowaćzdanie Godla, może wynikać właśnie z tego, iż jest sprzeczny.7Por. R. Penrose, Nowy umysł cesarza, PWN, Warszawa 1995 oraz R. Pen-

rose, Cienie umysłu, Zysk i S–ka, Poznań 2000.


za maszynę. Intuicyjnie, maszyną jest skończony automat działa-jący w sposób algorytmiczny. Zakłada się więc, że maszyna musimieć skończoną liczbę możliwych stanów, a jej program musi daćsię wyrazić skończonym tekstem. Pomimo tych, zdawałoby się sil-nych założeń, wgląd w możliwości maszyny nie jest trywialny. Na-wet odpowiedź na pozornie proste pytanie, czy maszyna zakończypracę w skończonym czasie, przerasta możliwości każdej maszyny.Innymi słowy, nie istnieje efektywna procedura rozstrzygająca topytanie dla dowolnej maszyny Turinga.Ważną cechą maszyn jest determinizm, tzn. działanie maszyny

jest w pełni opisane przez jej program, dane wejściowe oraz stanw jakim się znajduje. Można więc przyjąć, że maszyna puszczonaw ruch w tej samej konfiguracji, będzie zawsze działać identycznie.Z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego czas maszyny jestdyskretny, maszyna „wie” jedynie, że zawsze znajduje się w jakimśstanie wewnętrznym. Pytanie o to, jak długo trwa przejście od jed-nego stanu drugiego, jest z punktu widzenia maszyny bezsensowne.Na koniec wypada zgodzić się co do tego, że jeśli umysł jest w sta-nie wykonać pewne operacje w skończonym czasie, to maszyna,o ile ma być równoważna umysłowi, musi wykonać te same ope-racje, względnie osiągnąć te same wyniki, również w skończonymczasie, aczkolwiek dowolnie długim.Matematyczną formalizacją opisanego powyżej automatu jest

tzw. maszyna Turinga, która jest idealizacją „zwykłego” kompute-ra i jest mu równoważna pod względem efektów działania8. Takierozumienie automatu pokrywa się z intuicyjnym pojęciem algo-rytmu. Zgodnie z tzw. tezą Churcha, intuicyjne pojęcie algoryt-mu nie jest szersze od matematycznego pojęcia maszyny Turinga.Z kolei klasa obliczanych przez nią funkcji równoważna jest tzw.

8Dotyczy to również sztucznych sieci neuronowych. Zachowanie takiej sie-ci można symulować na zwykłym komputerze. Nie jest jednak oczywiste, czysieci takie nie „wymkną się” z ograniczeń determinizmu, gdy zaczną wykorzy-stywać ewentualne niedeterministyczne efekty, które, jak uważają niektórzy,są możliwe na gruncie współczesnych lub przyszłych teorii fizycznych (por.R. Penrose, Nowy umysł cesarza, op. cit.).


klasie funkcji rekurencyjnych9. Inaczej mówiąc, wszystko to, cowedług naszych intuicji można osiągnąć w sposób automatyczny,można również osiągnąć używając odpowiednio zaprogramowanejmaszyny Turinga. Turing pokazał, że nawet wprowadzenie elemen-tu quasi–indeterministycznego, np. w postaci losowania zachowa-nia maszyny w następnym kroku ze skończonej liczby możliwości,nie wyprowadza poza zwykłe, deterministyczne maszyny.Maszyna Turinga jest równoważna pewnemu systemowi for-

malnemu, wyrażonemu w języku I rzędu. System taki jest danyprzez zbiór aksjomatów i reguł dowodzenia, co do którego zakła-damy, że jest rozstrzygalny10, tzn. istnieje efektywna procedura,pozwalająca odróżnić aksjomaty od pozostałych wyrażeń języka.W tak zdefiniowanym języku zbiór wszystkich formuł, które moż-na udowodnić w oparciu o aksjomaty i reguły tego systemu, jestefektywnie przeliczalny11, tzn. istnieje algorytm, który umie roz-poznać dowody formalne wśród wszystkich (skończonych) tekstówtego języka. Nie jest natomiast efektywnie przeliczalny zbiór for-muł nie będących twierdzeniami systemu. Inaczej mówiąc, jeżelidowolna formuła jest twierdzeniem systemu, to maszyna potra-fi znaleźć dowód tej formuły w skończonym czasie. Maszyna niepotrafi natomiast orzec w skończonym czasie o dowolnej formule,że nie posiada ona dowodu w tym systemie. W dalszych rozważa-niach maszyna będzie per definitionem uważana za niesprzeczną,gdy odpowiadająca jej teoria elementarna jest niesprzeczna.Godel pokazał, że dowolny tekst (wyrażenie sensowne), utwo-

rzony w języku zbudowanym w oparciu o logikę elementarną (I rzę-

9Istnieją jeszcze inne równoważne matematyczne definicje pojęcia obliczal-ności, np. λ–rachunek Churcha. Fakt istnienia wielu, powstałych niezależnieod siebie, równoważnych definicji obliczalności uważany jest za dobre uzasad-nienie tezy Churcha.10Zgodnie z twierdzeniem Craiga założenie to można osłabić. Wystarczy,aby zbiór aksjomatów był efektywnie przeliczalny.11Dowód jest to na mocy definicji skończony ciąg formuł, z których każdajest albo aksjomatem, albo przesłanką, albo powstaje z poprzednich na mocyreguł dedukcji oraz kończący się formułą, która ma być dowiedziona.


du), ze skończonym zbiorem symboli pozalogicznych12, możnaw efektywny sposób zakodować, w sposób jedno–jednoznaczny,liczbą naturalną. Tak więc wszystkich tekstów, utworzonych z wy-rażeń tego języka nie może być więcej niż liczb naturalnych. Efek-tywna procedura odwrotna pozwala odtworzyć teksty na podsta-wie ich kodów, przy czym zbiór wszystkich kodów tekstów danegojęzyka jest rozstrzygalny (procedura „umie” stwierdzić czy danaliczba naturalna jest kodem jakiegoś tekstu, czy nie). Ponieważdowolna dedukcja, będąca na mocy definicji skończonym ciągiemwyrażeń języka, jest również tekstem, zatem liczba naturalna przy-porządkowana tej dedukcji, zwana numerem Godla, musi znaleźćsię na liście wszystkich liczb naturalnych. Można ponadto w spo-sób efektywny stwierdzić czy dany tekst jest poprawnym dowo-dem, czyli wszystkie dowody formalne można efektywnie ustawićw ciąg. Możemy zatem rozważania o systemach formalnych spro-wadzić do rozważań o liczbach naturalnych – zamiast o formułachwystarczy mówić o liczbach. Ponadto pewne interesujące własno-ści metasystemowe, jak np. dowodliwość, dają się wyrazić poprzezrelacje zachodzące między liczbami naturalnymi. W szczególnościograniczenia formalne arytmetyki będą „przenosiły się” na wyra-żony w niej system13.

12Założenie to również można osłabić, zbiór symboli pozalogicznych możebyć nieskończony, wystarczy, by był rozstrzygalny, por. R. Murawski, op. cit.,ss. 84 nn.13Warto zwrócić w tym miejscu uwagę na pewien interesujący fakt. Otóżjeżeli zgodzimy się, że każdy algorytm musi dać się wyrazić przy pomocy skoń-czonego tekstu, to wynika z tego, iż wszystkich algorytmów nie może być wię-cej niż liczb naturalnych, czyli przeliczalnie wiele. Również wszystkich maszynTuringa jest nie więcej niż przeliczalnie wiele. Każdy algorytm jest formalnierównoważny pewnej funkcji naturalnej (N 7−→ N), wiadomo jednak, że wszyst-kich funkcji naturalnych jest, zgodnie z twierdzeniem Cantora, nieprzeliczalnewiele, czyli istotnie więcej. Wynika stąd, że pewne funkcje naturalne nie dająsię obliczyć w sposób algorytmiczny. Pewne procesy myślowe (prowadzące odpewnych tekstów do innych tekstów, a zatem dające się pomyśleć jako funkcjenaturalne) nie mogą być więc przeprowadzone w sposób algorytmiczny.


Maszyna Turinga, aby być modelem umysłu, musi być dosta-tecznie „bogata”. Żądamy co najmniej tyle, by zawierała ona aryt-metykę, czyli była równoważna umysłowi pod względem zdolnościarytmetycznych. Maszyna taka powinna dla przykładu umieć od-powiadać na pytanie, czy konkretna formuła arytmetyczna jest dlaniej twierdzeniem, czy nie. Moglibyśmy umówić się, że formuła jestdowiedziona przez maszynę wtedy, gdy po wprowadzeniu danejformuły „na wejście” formule tej będzie towarzyszyć jakiś ustalo-ny znak „na wyjściu”, np. zapalenie się zielonej lampki. Wszystkie(i tylko te) formuły, które pojawią się na wyjściu systemu w obec-ności zielonego światła, mogą być uznane za twierdzenia maszyny.

***

Traktując tezę o mechaniczności umysłu poważnie, możnapróbować uważać umysł za efekt ewolucji prostszych systemówqusi–inteligentnych. Mechanizm nie obdarzony świadomością mo-że „stwierdzić” jedynie proste fakty, przy czym nie jest w staniedokonać aksjologicznej oceny owych faktów. Powtarzające się, dłu-gie czasy poszukiwania rozwiązań, mierzalne „zegarem biologicz-nym” systemu, mogły spowodować pojawienie się dodatkowychreguł działania, początkowo nieświadomych, pozwalających reago-wać w sytuacjach przedłużających się poszukiwań. Jednym z ta-kich mechanizmów mógł być mechanizm pozwalający oszacowaćczas poszukiwań, aby zareagować w sytuacji niekorzystnej z punk-tu widzenia egzystencji systemu. Jest to całkiem rozsądna hipoteza– systemy biologiczne w przyrodzie podlegają obiektywnej presjico do skuteczności swoich działań w sytuacjach decyzyjnych. Me-chanizmy podejmowania decyzji w przypadkach nierozwiązywal-nych, a taką byłoby właśnie dla systemu formalnego zdanie nieza-leżne, są niezbędne dla przetrwania systemu. Jednym z istotnychmechanizmów, być może jednym z kamieni milowych na drodze douzyskania samoświadomości, mogłaby być umiejętność ocenianiamożliwych rozwiązań z punktu widzenia dobra systemu przeciw-stawionego otaczającej go rzeczywistości. Oceniając pewną sytu-


ację jako krytyczną (ze względu na czas poszukiwania decyzji),system przechodziłby do rozważań metajęzykowych nad samą tąsytuacją. W naszym przypadku taką sytuacją krytyczną dla sys-temu są właśnie zdania Godla (GT ). Mechanicysta będzie argu-mentował, że metajęzykowe rozwiązanie problemu dowodliwościzdań GT nie wymaga pozamechanicznych zdolności, lecz powstałow wyniku przystosowania się organizmów (algorytmów) do rzeczy-wistości.Jednym z kluczowych punktów w sporze o konsekwencje twier-

dzeń Godla dla filozofii umysłu jest problem niesprzeczności, za-równo umysłu jak i maszyny. Maszyna, twierdzi się, aby dorów-nywać umysłowi musi być niesprzeczna, ponieważ umysł jest nie-sprzeczny, choć argumenty za niesprzecznością umysłu mogą byćtylko nieformalne14. Z drugiej strony, każdy system, w którym ist-nieje zdanie niedowodliwe, nie może być formalnie sprzeczny, po-nieważ, przez kontrapozycję, gdyby był sprzeczny, to nie istniało-by zdanie formalnie niedowodliwe w tym systemie. W rozważanejargumentacji za wyższością umysłu postępujemy jednak odwrot-nie. Chcemy mianowicie wykazać, że właśnie umiemy udowodnićzdanie Godla, niedowodliwe w rozważanym systemie formalnym,reprezentowanym przez maszynę. Musimy zatem niezależnie zało-żyć naszą niesprzeczność. Aby argumentacja była konkluzywna,trzeba nie tylko wykazać, że umysł potrafi dowieść zdania Godla,lecz dodatkowo tego, że jest niesprzeczny. Jak wynika z drugie-go twierdzenia Godla, żadna maszyna nie jest w stanie dowieśćwłasnej niesprzeczności, ponieważ nie jest możliwe dowiedzenieniesprzeczności systemu formalnego w tym samym systemie. Po-nieważ umysł również nie potrafi formalnie dowieść własnej nie-sprzeczności, nie możemy w punkcie wyjścia rozważań wykluczyć,że jest sprzeczną maszyną. Brak formalnego dowodu na niesprzecz-ność umysłu ogranicza więc rolę twierdzeń Godla w rozważanymsporze.

14Możliwy jest jedynie formalny dowód niesprzeczności pewnego fragmentuumysłu w oparciu o środki „wykraczające” poza ten fragment.


Intuicyjnie nasza niesprzeczność wydaje nam się oczywista –nie uznajemy przecież dowolnego stwierdzenia wierząc, że przynaj-mniej niektóre z nich są nieprawomocne, nieprawdziwe, czy w ja-kikolwiek inny sposób zdyskwalifikowane. Z drugiej strony, częstozdarzają się przypadki, i to nie tylko w codziennym użyciu umy-słu lecz również w praktyce matematycznej, że niedozwolone wnio-skowania nie od razu są rozpoznawane15. Niemniej jednak postulatniesprzeczności jest „ideą regulatywną”. Wydaje się, że umysł mo-że być sprzeczny najwyżej potencjalnie – nigdy aktualnie, w spo-sób jawny, przynajmniej w matematyce. Matematycy deklarują, żebędą zwalczać sprzeczność zarówno w swoich poglądach, jak i wpoglądach innych, co więcej, jak nikt inny się do tego stosują. Byćmoże sama ta deklaracja wystarczyłaby już jako nieformalny do-wód niesprzeczności umysłu gdyby nie to, że nie można wykluczyćsytuacji, w której rozpoznanie sprzeczności okaże się niewykonal-ne z powodu komplikacji teorii16. Wiele osób głosi, świadomie lubnie, sprzeczne poglądy, nic sobie z tego nie robiąc. Matematykgłoszący sprzeczne poglądy zostałby zdyskwalifikowany przez spo-łeczność matematyków. Matematycy przyjmują za oczywistą tezę,iż sprzeczność umysłu powinna oznaczać eksterminację równieżw każdej innej dziedzinie. Przejawia się tutaj implicite religijnewręcz przekonanie, iż „świat preferuje niesprzeczne umysły”. Tezataka może być jednak potwierdzona najwyżej w sposób empirycz-ny, tzn. ewentualnie przez fakt, że interakcja umysłów z rzeczywi-stością fizykalną odbywa się w sposób niesprzeczny17.Choć wielu autorów sądzi inaczej, nie można wykluczyć,

że obowiązuje nas pewnego rodzaju psychologiczna zasada nie-

15Wystarczy wspomnieć choćby historię dowodu tzw. wielkiego twierdzeniaFermata, zob. A. D. Aczel, Wielkie twierdzenie Fermata. Rozwiązanie zagadkistarego matematycznego problemu, Prószyński i S–ka, Warszawa 1998.16Por. Krajewski, op. cit., s. 111.17W sferze ogólnie pojętej kultury rzeczywistość weryfikuje raczej, jak sięwydaje, umiarkowaną zdolność do sprzeczności w przekonaniach jako korzyst-niejszą z punktu widzenia sukcesu ewolucyjnego. Zdolność tę próbuje się ostat-nio określać mianem inteligencji emocjonalnej.


sprzeczności18. Teza taka może mieć oczywiście charakter jedynieempiryczny. Niemożliwość istnienia dwóch sprzecznych przekonańw tym samym czasie, w jednym umyśle, może mieć więc przyczynypoza(onto)logiczne. Niektórzy uważają19, że mogą równocześniemieć dwa sprzeczne przekonania w swoim umyśle, choć dla innychwydaje się to niemożliwe. Niełatwo jest zweryfikować stan posia-dania takich dwóch sprzecznych przekonań, ponieważ nie jest tofakt intersubiektywnie komunikowalny. Należy podkreślić, że czyminnym jest mieć dwa bezpośrednio sprzeczne przekonania, a czyminnym jest rozważanie dwóch sprzecznych przekonań20. Ponadtosprzeczność może być mniej lub bardziej bezpośrednia. Niewieleosób jest prawdopodobnie skłonnych przyjąć, że dwa razy dwarówna się cztery i równocześnie, że dwa razy dwa nie równa sięcztery, lecz wielu ludzi przyjmuje za słuszne tezy, których uzasad-nienie opiera się na błędnym wnioskowaniu, przez co wspomnianetezy mogą pozostawać w sprzeczności z innymi wcześniej uzyska-nymi twierdzeniami. W tym drugim przypadku sprzeczność jest,można powiedzieć, „zapośredniczona” i w pewnym sensie nieświa-doma. Obiektami dobrze nadającymi się do testowania umiejęt-ności posiadania sprzecznych przekonań mogą być antynomie, naprzykład jakieś szczególnie drastyczne sformułowanie antynomiikłamcy lub któraś z kantowskich antynomii czystego rozumu21. Niejest wykluczone, że zdolność posiadania niesprzecznych przekonańjest stopniowalna (może przejawiać się w różnym stopniu u róż-

18Rozróżnienie na ontologiczną, logiczną i psychologiczną zasadę niesprzecz-ności pochodzi od Łukasiewicza, por. J. Łukasiewicz, O zasadzie sprzecznościu Arystotelesa, PWN, Warszawa 1987.19Przykładowo Łukasiewicz, por. op. cit.20Tak, jak czym innym jest logika parakonsystentna a czym innym metaję-zyk, w którym o niej mówimy.21Antynomie czystego rozumu Kanta dotyczą kwestii kosmologicznych. Dlaprzykładu pierwszą antynomię tworzy następująca para twierdzeń: „świat po-siada początek w czasie, a przestrzennie jest również ograniczony” oraz „światnie ma początku i nie ma granic w przestrzeni, lecz jest nieskończony zarów-no co do czasu, jak i przestrzeni”, I. Kant, „Antynomia czystego rozumu” w:Krytyka czystego rozumu, przekład R. Ingarden, Antyk, Kęty 2001.


nych ludzi) i uwarunkowana neurofizjologiczną strukturą mózgu.Jeśli zgodzimy się, że przynajmniej w interakcji z rzeczywistościąfizykalną, posiadanie niesprzecznej reprezentacji tej rzeczywisto-ści sprzyja sukcesowi ewolucyjnemu jednostki, można oczekiwać,iż w mózgach zarówno człowieka jak i zwierząt wykształciły sięodpowiednie struktury sprzyjające niesprzecznemu myśleniu.

Współczesne badania nad mózgiem potwierdzają tezę, iż pracamózgu wiąże się ze zmianą rozkładu pewnej mierzalnej wielkościfizycznej. Gdyby przyjąć, że myślenie jest uwarunkowane stanamimózgu, procesy myślowe mogłyby być zdefiniowane przez zmianytej wielkości, na przykład przez funkcję potencjału, analogiczniedo opisu rozkładu potencjału elektrycznego w pewnej przestrzeni(określony obszar mózgu mógłby być rozpatrywany jako wirtu-alne źródło potencjału). Jest prawdopodobne, że dwóm sprzecz-nym przekonaniom odpowiadałyby antysymetryczne rozkłady po-tencjałów. Posiadanie dwóch sprzecznych przekonań byłoby więcz energetycznego punktu widzenia stanem wysoce niestabilnym.Nie jest wykluczone, że mózgi mogą różnić się pewnymi parame-trami, analogicznie jak dwa elektryczne źródła napięcia różnią sięoporem wewnętrznym. Mózgi charakteryzujące się wysokim „opo-rem wewnętrznym” byłyby bardziej stabilne, bardziej odporne nakrytyczne połączenia, w tym wypadku również na sprzeczność.Duża odporność na sprzeczność mogłaby powodować jednak sil-ne osłabienie „sygnału”, a w związku z tym utrudniać przepro-wadzanie długich wnioskowań. Różnice indywidualne, związaneze zdolnościami przeprowadzania rozumowań matematycznych, sąoczywistym faktem empirycznym. Każdy chyba, kto zajmował sięmatematyką, a w szczególności analizował dowody matematycz-ne, wie dobrze, że rozumienie poszczególnych kroków dowodu tonie to samo, co rozumienie dowodu jako całości. W oparciu o po-wyższy model działania mózgu można zaryzykować hipotezę, żerozumienie pewnego wnioskowania wymaga jednoczesnego i sta-bilnego uaktywnienia odpowiednich obszarów mózgu, odpowiada-jących poszczególnym krokom dowodowym. Zdolność powtórnego


przeprowadzenia dowodu wymagałaby odtworzenia odpowiedniejstruktury połączeń. Sprzeczność we wnioskowaniu powodowałabyniestabilność rozumowania. Mózgi cechujące się większą odporno-ścią na sprzeczność nie byłyby zdolne do przeprowadzania długichwnioskowań, ponieważ sygnał mógłby być silniej tłumiony podczasprzejścia przez kolejne obszary i dla długich wnioskowań brakowa-łoby energii. Warto zauważyć, że myślenie o dwóch sprzecznychprzekonaniach, w przeciwieństwie do posiadania dwóch sprzecz-nych przekonań, nie musi w powyższym modelu prowadzić do nie-stabilności. Na zakończenie tych rozważań należy podkreślić, żesą to jedynie dość ostrożne spekulacje, niemniej dzisiejsze meto-dy badania mózgu22 stwarzają warunki, by taką hipotezę uczynićprzedmiotem sensownego programu badawczego.

***

Zakładając, że badany system formalny jest niesprzeczny, moż-na, na mocy twierdzenia Godla, wskazać formułę GT , która nie jestdowiedlna w tym systemie. Wykluczona jest zatem sytuacja, żemaszyna zweryfikuje zdanie GT , pojawiające się na jej wyjściu23.Nie wypowiadamy żadnych uwag na temat tego, czy maszyna ro-zumie zdanie GT , czy nie, jak również nie wymagamy od niej de-klaracji co do prawdziwości zdań. Jest to o tyle istotne, że zdanieGT jest tak skonstruowane, że mówi o sobie, iż nie jest dowiedlnew rozważanym systemie formalnym, czyli fakt jego niedowodliwo-ści świadczy o jego prawdziwości. Umysł uznaje to za oczywiste,w oparciu o rozumienie znaczenia tego zdania24. Ponieważ maszy-na tego nie potrafi, ma to świadczyć o jej podrzędności w stosunku

22Na przykład metoda rezonansu magnetycznego.23Twierdzenie Godla mówi nawet więcej. Przy pewnych dodatkowych zało-żeniach (które nie są konieczne, co wykazał Rosser, J. Rosser „Extensions ofSome Theorems of Godel and Church”, Journal of Symbolic Logic, 1 (1936),87–91, por. również R. Murawski, op. cit., s. 94), maszyna nie zweryfikujerównież zdania ¬GT .24Prawdziwość zdania Godla można uzasadnić bardziej formalnie. Jeżeli ba-dany system formalny jest niesprzeczny, to na mocy twierdzenia o pełności,ma model, w którym każde zdanie, należące do języka tego systemu, jest bądź


do umysłu – umiejętność wykraczania poza system ma świadczyćo niemechaniczności umysłu. Należy tutaj zwrócić uwagę na pewnąistotną rzecz. Jeżeli rzeczywiście zawieszamy tezę o niemechanicz-ności umysłu na potrzeby argumentacji, to samo przypisywanieumysłowi wglądu w prawdziwość zdania Godla należy traktowaćostrożnie. Przede wszystkim zdolność orzekania prawdziwości mo-że być spowodowana faktem, iż umysł jest sprzeczny. Jeżeli umysłnie jest sprzeczny, to prawdziwość zdania Godla wynika rzeczywi-ście ze spojrzenia na zdanie Godla z poziomu metajęzyka i odwo-łania się do semantyki. Prawdziwość zdania Godla nie może byćjednak rozumiana absolutnie, ponieważ nie we wszystkich mode-lach, w których prawdziwe są wszystkie inne twierdzenia produ-kowane przez maszynę, zdanie to jest prawdziwe. To, że umysłuznaje za prawdziwe zdanie GT a nie jego zaprzeczenie, jest ściślerzecz biorąc arbitralne – może wynikać przykładowo z powodówpozalogicznych (np. pragmatycznych, rozumianych w kontekścieewolucyjnym). Sama zdolność orzekania prawdziwości zdania GTnie wyklucza mechaniczności umysłu, orzekanie prawdziwości mo-że być po prostu odpowiednikiem zapalania zielonej lampki. Niejest wykluczone, że uznawanie przez nas pewnych zdań za prawdzi-we odbywa się na mocy nieznanych nam reguł, w związku z czymsam fakt operowania terminami semantycznymi nie musi świad-czyć o niemechaniczności umysłu; nie można wykluczyć sytuacji,że umiejętność rozumienia zdań zostanie „zautomatyzowana”. Ar-bitralne stwierdzenie, że maszyna dowodzi mechanicznie a umysłdowodzi przez zrozumienie, prowadzi do błędnego koła, ponieważz góry zakłada się niemechaniczność umysłu25. Odmawianie zdol-ności semantycznych maszynie należy traktować zatem jako argu-ment preferencyjny, a nie formalny.

prawdziwe, bądź fałszywe. W naturalnym modelach, zdanie to będzie praw-dziwe. Prawdziwość zdania GT nie ma charakteru „absolutnego”, ponieważistnieją modele, w których to zdanie jest fałszywe.25Wydaje się, że podobny zarzut można postawić komuś, kto powołuje sięna tzw. argument chińskiego pokoju.


Zgodnie z twierdzeniem Tarskiego o niedefiniowalności prawdydla dostatecznie bogatych i niesprzecznych systemów formalnych,żadnej własności, dotyczącej wszystkich formuł pewnego językaI rzędu, nie da się reprezentować w tym systemie przy pomocy jed-nej (tej samej) formuły26. Na mocy twierdzenia o reprezentowal-ności wynika stąd dalej, że czynność orzekania takiej uniwersalnejwłasności, którą w rozważanym przypadku jest prawdziwość, niemoże być „zautomatyzowana” w tym systemie. Zdolność orzekaniaprawdziwości o wszystkich zdaniach pewnego języka formalnegooznacza zdolność wyjścia poza system. Gdyby umysł potrafił zwe-ryfikować dowolne zdanie odpowiednio bogatego języka elemen-tarnego, świadczyłoby to o jego niemechaniczności. Jest jednakinaczej. Wierzymy wprawdzie, że każde zdanie pewnego językaformalnego jest albo prawdziwe, albo fałszywe w modelu odpo-wiednim dla tego języka, czyli zakładamy dwuwartościowość, coprzejawia się w definicji spełniania dla formuły ¬α w modelu tegojęzyka, niemniej istnieją sytuacje, w których orzekanie prawdzi-wości nie jest dla nas trywialne. Przykładem może być tzw. hi-poteza continuum, która jest zdaniem niezależnym w teorii ZFC.Orzeczenie prawdziwości w tym przypadku nie jest tak łatwe, jakw przypadku zdania Godla. Nasza zdolność intuicyjnego rozpo-znawania prawdy wydaje się więc ograniczona. Dlatego też prze-konanie o tym, że potrafimy orzec prawdziwość bądź fałszywośćkażdego zdania, które nie jest dowiedlne w systemie formalnym,należy traktować z dużą ostrożnością. Jeżeli nie potrafimy przypi-sać wartości logicznej każdemu zdaniu pewnego języka sformalizo-wanego (na przykład języka teorii mnogości), to nasza przewaganad maszyną może być złudzeniem. Wiemy, że każda niesprzecz-na i odpowiednio bogata teoria, wyrażona w języku elementarnymi oparta o rozstrzygalny zbiór aksjomatów, nie jest rozstrzygalna,

26Twierdzenie to zachodzi również dla systemów zupełnych, tzn. takich,w których dla każdej formuły φ, w systemie jest dowiedlna formuła φ lubjej zaprzeczenie.


czyli w języku teorii istnieją zdania niezależne od tej teorii27. Wie-rzymy również, że istnieje niesprzeczna i zupełna teoria pewnegomodelu, do której należą wszystkie i tylko prawdziwe zdania ję-zyka, którego interpretacją jest ten model, przy czym teorii tejnie da się zaksjomatyzować w sposób rozstrzygalny28. Przekona-nie, że umysł jest w stanie dokonać wglądu w tę teorię ma jednakcharakter metafizyczny a nie formalny. Przykładem zdania, co doktórego nasz wgląd zawodzi, jest wspomniana hipoteza continuum.Paradoksalnie, w przypadku gdy umiemy podać niekwestionowal-ny dowód jakiegoś twierdzenia, to, jak uważają niektórzy, stajesię on efektywny, a wtedy, jak zauważa Webb, „na podstawie fak-tu, że procedury efektywne mogą być symulowane przez maszynyTuringa, wnioskujemy, że dowody te także może symulować ma-szyna”29. Wniosek z powyższych rozważań jest następujący: o ilenawet istnieje „dwuwartościowy” platoński świat matematyki, toumysł niekoniecznie ma do niego dostęp, a jeżeli świat ten jestmitem i matematyka jest jedynie „modelem umysłu”, interpreta-cją pewnego języka, to okazuje się, że ten model jest wirtualny, żejest jedynie ideą regulatywną, ponieważ to, co jest w stanie stwo-rzyć umysł, nie może być kompletne. Nie można zatem wykluczyć,że nasza matematyka jest w zasięgu możliwości jakiegoś superau-tomatu. Ponadto, postulaty, którymi kierujemy się przy tworze-niu teorii matematycznych, na przykład niesprzeczność, mogą byćuwarunkowane empirycznie, choć nie oznacza to wcale, że rzeczy-wistość „sama w sobie” jest niesprzeczna.

27Mówi o tym twierdzenie Churcha.28Teoria taka istnieje na mocy twierdzenia Lindenbauma. W dowodzie wyko-rzystuje się nieefektywne metody teorii mnogości (należy przy tym pamiętać,że nieefektywne metody dowodu nie oznaczają tego samego co nieefektywnośćw teorii rekursji), choć dla języków skończonych (| J |= ℵ0) twierdzeniemożna dowieść efektywnie.29J. C. Webb, Mechanism, Mentalism and Metamathematics, Synthese Libr.vol. 137, Reidel, Dodrecht, 1980, cytat za: S. Krajewski, op. cit., s. 132.

Polemiki i recenzje


(Nie)zupełna teoria Godla

Stanisław Krajewski, Twierdzenie Godla i jego interpretacjefilozoficzne. Od mechanicyzmu do postmodernizmu, WydawnictwoIFiS PAN, Warszawa 2003, ss. 366.

Nie ulega wątpliwości, że twierdzenia Godla są jednymi z naj-istotniejszych twierdzeń dotyczących podstaw matematyki. Twier-dzenia te wskazały na niemożność realizacji programu Hilbertai postulatów logicyzmu; przede wszystkim jednak zakończyły onepewien etap dziejów ludzkiej refleksji, zdominowany przez próbyujednolicenia i systematyzacji całej dostępnej matematyki, wska-zując na to, że nierealizowalność takiego przedsięwzięcia jest za-sadnicza. Ten szczególny rezultat, którego ścisłość jest zagwaran-towana przez zastosowany formalizm, okazał się niezwykle inspi-rujący filozoficznie. Jednak doceniając istotność tychże twierdzeń,nie należy zapominać o ich (meta)matematycznym charakterze.Próby bezkrytycznego zastosowania twierdzeń Godla w innych niżmatematyka dziedzinach są co najmniej dyskusyjne i zazwyczajwątpliwe. Nie wynika z tego jednak, że nie jest możliwa żadna filo-zoficzna ich interpretacja. Z kolei wielość komentarzy do twierdzeńGodla pozwala zapomnieć o tym, że jego dokonania nie wyczerpująsię w tych twierdzeniach; na uwagę zasługują nie tylko jego pozo-stałe osiągnięcia matematyczne, ale także jego oryginalna refleksjafilozoficzna.

(Nie)zupełna teoria Godla�163

Powyższym zagadnieniom poświęcona jest książka StanisławaKrajewskiego Twierdzenie Godla i jego interpretacje filozoficzne.Według Autora ta publikacja „jest monografią twierdzeń Godlaz punktu widzenia zastosowań i konsekwencji filozoficznych” (s. 9).Jednak zawartość książki wykracza poza zakres sugerowany tą de-klaracją i tytułem. Krajewski nie tylko omawia twierdzenia Godlai próby ich zastosowań w filozofii umysłu oraz w innych filozo-ficznych i niefilozoficznych dziedzinach, ale również przedstawiapozostałe matematyczne osiągnięcia Godla, jego poglądy filozo-ficzne i krótką biografię. Sądzę, że Twierdzenie. . . można uznać zapolskojęzyczne kompendium wiedzy o życiu i dokonaniach „najge-nialniejszego logika od czasów Arystotelesa” (por. s. 10). Pomimotego, iż nie wszystkie problemy są omawiane równie szczegółowojak zagadnienia tytułowe, jednak dodatkowe informacje odgrywająistotną rolę merytoryczną i kompozycyjną.

Treść omawianej monografii świadczy o kompetencji autora,zaś prezentacja dyskutowanych zagadnień jest adekwatna zarów-no względem ich złożoności, jak również z uwagi na ich istotność.Przykładowo, prezentacja twierdzeń Godla wykracza poza stan-dardowe ujęcia; w części im poświęconej Krajewski umieścił rów-nież — między innymi — twierdzenia Tarskiego i Rossera, dowóddrugiego twierdzenia Godla na podstawie warunku Loba i dowódChaitina, wskazał ich kontekst filozoficzno–historyczny oraz przed-stawił uwagi dotyczące ich recepcji.

Podczas lektury książki Krajewskiego trudno nie zauważyć,iż jest ona bardzo dobrze skonstruowana; poszczególne jej częścisą uporządkowane merytorycznie, ponadto autor podaje explicitezasady ich następowania po sobie. Jednak w co najmniej dwóchprzypadkach sformułowane uzasadnienia są kontrowersyjne. W za-kończeniu pierwszego rozdziału znajdziemy lapidarną wzmiankęo pretensjach Finslera dotyczących tego, kto pierwszy sformu-łował twierdzenie o niezupełności; jak słusznie autor zauważył,praca Finslera „nie jest poważana”, choć „wedle Webba to Fin-sler, a nie Godel, przekonał wielu, że umysł przewyższa forma-

164 | Polemiki i recenzje

lizmy” (ss. 78nn). Problem relacji umysłu do tego, co formalnepojawia się tutaj bez jakiegokolwiek uzasadnienia, Krajewski zaśpotraktował go jako łącznik pomiędzy pierwszym rozdziałem, do-tyczącym twierdzeń Godla, a drugim — poświęconym ich zastoso-waniu w filozofii umysłu.

Z kolei w zakończeniu bardzo interesującej części rozdziałutrzeciego, w której poruszane jest zagadnienie „milczenia Godlao Tarskim” (zob. s. 221), Krajewski przytacza opinię Hintikki, we-dług którego poglądy Godla na temat pojęcia prawdy były ana-chroniczne. Autor Twierdzeń. . . , nie zgadzając się z fińskim lo-gikiem stwierdza, iż ujęcie Hintikki „nie jest w porządku. Godelmiał kłopoty psychiczne, ale to nie umniejsza znaczenia jego po-glądów. Sprawa jest jednak na tyle intrygująca, że zasługuje naosobne zbadanie” (s. 242). W konsekwencji kolejna cześć rozdzia-łu dotyczy relacji między twórczą aktywnością w dziedzinie logikia zdrowiem psychicznym, mimo tego, że Hintikka o problemie tymnie wspominał.

Chociaż książka Krajewskiego ma charakter monografii, niejest ona filozoficznie neutralna. Wskazują na to rozważania za-warte w ostatnim rozdziale, gdzie oprócz subtelnych rozróżnieńtypów konsekwencji twierdzeń Godla w dziedzinach pozamatema-tycznych i analiz obecnych w literaturze błędnych odniesień dotych twierdzeń Krajewski sugeruje, iż „twierdzenie Godla samoprzez się nie rozstrzyga żadnych sporów filozoficznych” (s. 342);ich ewentualne zastosowanie w filozofii wymaga uwzględnieniapewnych — sformułowanych przez Krajewskiego — kryteriów (naprzykład „stosowanie twierdzenia Godla [. . . ] do teorii pozamate-matycznych wymaga nadania tym teoriom postaci formalnej” (s.342)). Sugestia ta wydaje mi się wątpliwa z dwóch powodów. Zga-dzam się z autorem co do tego, że pozamatematyczne zastosowa-nie twierdzeń Godla wymaga ich interpretacji, co oczywiście możeprowadzić do ich nadużycia. Tymczasem sugestia Krajewskiego,iż z twierdzeń Godla nie można korzystać, o ile nie są spełnionedane kryteria, jest przecież pewną ich interpretacją; co więcej, nie

(Nie)zupełna teoria Godla�165

spełnia ona żadnego z kryteriów Krajewskiego. Po drugie, nor-matywne rozstrzyganie tego, jakie interpretacje danego zagadnie-nia należy uważać za słuszne, nie cieszą się w filozofii zbyt dużąestymą. I słusznie, albowiem na podstawie jakich przesłanek na-leżałoby uznać ich prawdziwość? Krajewski stara się wzmocnićswoją argumentację, przytaczając przykłady nadużywania twier-dzeń Godla; nie sądzę jednak iż z tego, że dotychczasowe reflek-sje, nie spełniające kryteriów Krajewskiego, okazały się mniej lubbardziej niezasadne wynika, że wszystkie tego typu próby równieżbędą bezwartościowe.Oczywiście należy liczyć się z tym, że skoro żyjemy w „erze

pogodlowskiej” (por. s. 343), w której „popularność twierdzeniaGodla [. . . ] będzie rosła” (tamże), to również rosła będzie ilośćnietrafnych komentarzy do tych wyników. Sądzę jednak, iż odpo-wiedzialna filozoficzna refleksja nie musi przyjmować form zada-nych z góry.

Robert Piechowicz


Dla kogo?

John L. Casti, Werner DePauli, Godel. Życie i logika, CiS,Warszawa 2003.

Ukazała się w tym roku niewielka książeczka o intrygującymtytule Godel. Życie i logika — łakomy kąsek dla czytelnika zainte-resowanego postacią matematyka, dla którego towarzystwa Einste-in miał przyjechać do Princeton. Notka na okładce informuje, żeco najmniej jeden z autorów zajmuje się „analizą dorobku KurtaGodla”.Otwieramy książkę. Tłumaczył ją Piotr Amsterdamski — ko-

lejny plus. Trochę zastanawia jej objętość: 192 strony, duża czcion-ka, mały format mają pomieścić opowieść o życiu i logice „naj-lepszego matematyka stulecia”; tymczasem rzecz zaczyna się „odczasów Arystotelesa”, a kończy — „podróżą w głąb duszy”. Najwi-doczniej należy nastawić się na popularne opracowanie, być możesympatyczny początek znajomości ze słynnym logikiem, przystęp-ne wprowadzenie w tajemniczy świat współczesnej matematyki?Styl i sposób wykładu wydaje się potwierdzać to przypuszcze-

nie: twierdzenie Godla zostało wytłumaczone na przykładzie „Ma-szyny do Czekoladowych Ciast”, paradoksy teorii mnogości zilu-strowane znaną historią fryzjera golącego wszystkich, którzy niegolą się sami, system formalny zbudowany jest w oparciu o karcia-ne symbole, dla wyjaśnienia numeracji Godla zapożyczono od Ho-fstadtera „analogię kolejową”, itp. W książce roi się od dowcipnychuwag i anegdotek z życia Godla: o tym, jak przyszła żona obroniłago parasolką przed „brunatnymi koszulami”, czy jak skrupulatny

Dla kogo?�167

logik znalazł w konstytucji amerykańskiej lukę, pozwalającą naprzekształcenie ustroju Stanów Zjednoczonych w dyktaturę.Tyle tylko, że wśród tych rozmaitych uwag, analogii i skojarzeń

gubią się informacje o głównym bohaterze. Niemal tyle samo co je-mu miejsca autorzy poświęcają filozofii Wittgensteina i Koła Wie-deńskiego1; znacznie więcej zajmuje dyskusja na temat możliwościkomputerów i sztucznej inteligenicji: od teorii rekursji ze stosun-kowo szczegółowym omówieniem maszyn Turinga łącznie z tzw.problemami stopu i pracowitych bobrów, poprzez tezę Turinga–Churcha, dyskusję z Penrosem, nauki kognitywne, test Turinga,różne podejścia do problematyki sztucznej inteligencji aż po algo-rytmy genetyczne — to wszystko po to, by wspomnieć o argumen-cie Lukasa błędnie interpretującym twierdzenie Godla.Dwa ostatnie rozdziały poświęcone są rozważaniom kosmolo-

gicznym oraz pracom Chaitina. Przyznać jednak muszę, że ich nieprzeczytałam. Książka, w pierwotnym zamierzeniu „do poduszki”,pobudzała do gwałtownej (i nie sprzyjającej miłemu zasypianiu)pracy umysłowej, polegającej jednak głównie na tym, by znaleźćtaki punkt widzenia, z którego ze spokojem mogłabym zaakcepto-wać twierdzenia autorów. Jednak kiedy na 149 stronie przeczyta-łam, jakoby „Immanuel Kant głosił, że zmiany są złudą wywołanąnaszym szczególnym ludzkim sposobem percepcji”, nie wytrzyma-łam. I w chwilę potem pogratulowałam sobie tej decyzji, szkodaże podjętej tak późno. Bowiem skoro czytając o rzeczach znanychmusiałam poszukiwać perspektywy pozwalającej na przyjęcie sta-nowiska autorów2, nie mogłam polegać na informacjach dla mnie

1Może to dziwić tym bardziej, jeżeli uważnie przeczyta się wprowadzają-cy w problematykę wiedeńskiej filozofii fragment, gdzie czytamy m.in.: Godelnigdy nie rozmawiał z Wittgensteinem, ale widział go kiedyś na wykładzieL. E. J. Brouwera o matematyce, nauce i języku, wygłoszonym, na Uniwersyte-cie Wiedeńskim w 1928 roku. W każdym razie jego sposób widzenia matematykiz pewnością odbiegał od późniejszej koncepcji Wittgensteina [. . . ]. Wprawdzieautorzy wskazują również pewne podobieństwa poglądów filozofa i logika, alemoim zdaniem, czynią to w sposób nieprzekonujący.2Tu dopisać by warto słówko, np. o rozstrzygalności aksjomatów w „formal-

nej wersji logicznej” twierdzenia Godla (s. 54), tu zaznaczyć, że tak twierdzili


nowych — skądże bowiem mieć pewność, że nie wyciągam z nichzupełnie błędnych wniosków?Jednym słowem: dla kogo ta książka? Ani dla specjalistów —

nie ma tam stwierdzeń odkrywczych3, ani dla nowicjuszy — strzeż-cie się! Można ją polecić co najwyżej kolekcjonerom anegdot.

Maria Piesko

tylko niektórzy interpretatorzy (np. filozofii Wittgensteina), to znów macha-łam już ręką i nie zastanawiałam się dłużej na istnienie jakichże to „ograniczeńlogicznej mocy ludzkiego umysłu” miałoby wskazywać twierdzenie Godla (niesądzę, by wynikało to z rozważań zamieszczonych na s. 120). Od wniesienia dooryginalnego tekstu poprawki nie mógł się powstrzymać najwidoczniej i tłu-macz (por. s. 41).3Autorów najwyraźniej pociąga tematyka sztucznej inteligencji; dlaczego

jednak nie zamieścili swoich rozważań pod nieco bardziej adekwatnym tytu-łem?


???TYTUŁ

J. W. Dawson, Logical Dilemmas. The Life and Work of KurtGodel, A. K. Peters, Wellesley, Massachusetts, 1997, ss. ??.

O Kurcie Godlu wiadomo niewiele. Poza wąskim gronemspecjalistów z dziedziny szeroko pojętej matematyki, większośćludzi, którzy o nim w ogóle słyszeli, wie zapewne tylko tyle, żenależał do najwybitniejszych matematyków XX wieku, a możei wszechczasów. Bliżej zaznajomieni z historią logiki i matematykidodadzą, że to właśnie on jest odkrywcą przełomowych twierdzeńo niezupełności, których znaczenie dla nauki do dzisiaj jest dysku-towane. Niektórzy być może wiedzą także i to, że przez całe swojeżycie cierpiał z powodu choroby psychicznej, że był dziwakiemi samotnikiem, że przez pewien czas uczęszczał na spotkaniaKoła Wiedeńskiego albo to, że oprócz matematyki zajmował siętakże filozofią i kosmologią. Wydaje się jednak, że o ile dorobeknaukowy Godla obejmujący główne prace z matematyki i logikijest — przynajmniej wśród specjalistów — powszechnie znanyi komentowany, o tyle sama postać ich autora wciąż pozostaje conajmniej enigmatyczna.O życiu Godla napisano do tej pory niewiele – zaledwie kilka

krótkich artykułów autorstwa Georga Kreisela, Curta Chrystianai Salomona Fefermana. Dwie książki o Godlu napisał Hao Wang,niemniej żadna z nich nie może pretendować do miana biografii.Wreszcie w 1997 r. ukazała się na rynku (niestety nie polskim) po-zycja, dzięki której sytuacja uległa długo oczekiwanej zmianie: Lo-gical Dilemmas. The Life and Work of Kurt Godel Johna W. Daw-sona.Nie można by chyba znaleźć osoby bardziej kompetentnej do

napisania biografii Godla. Dawson jest profesorem matematyki na


Uniwersytecie w Pennsylwanii, autorem prac z logiki matematycz-nej i teorii mnogości, a także historykiem nauki. Co jednak naj-istotniejsze, to właśnie on w latach 1982 – 1984 podjął się, naprośbę władz Institute for Advanced Study w Princeton, skata-logowania pism, które pozostawił po sobie Godel, a potem brałudział w wydaniu jego niepublikowanych za życia dzieł (w seriiCollected Works).

Materiał bibliograficzny zebrany przez Dawsona jest naprawdęimponujący. Oprócz zachowanych zapisków samego Godla, obej-mujących ponad 60 skrzyń (!) oraz jego korespondencji listowejz matką, przechowywanej w bibliotekach w Wiedniu, Dawson do-tarł m. in. do spisanych wspomnień Karla Mengera, brata KurtaGodla — Rudolfa, pamiętników Oskara Morgensterna, jak równieżlicznych archiwów państwowych.

W rezultacie otrzymujemy książkę bardzo bogatą pod wzglę-dem faktograficznym, niezrównane źródło informacji o geniuszu,którego losy to pasmo wielkich sukcesów naukowych, ale takżelicznych rozczarowań i problemów osobistych. Wydarzenia z życiaGodla przedstawione są w książce Dawsona chronologicznie – oddzieciństwa w Brnie, przez studia na Uniwersytecie w Wiedniu, ażpo wyjazd do Stanów Zjednoczonych i śmierć w Princeton. Zaj-mujący sposób narracji, rzetelny warsztat badawczy, urozmaicaniefaktów biograficznych anegdotami oraz wypowiedziami osób, któ-re Godla znały osobiście, wreszcie fotografie miejsc, z którymi byłw jakiś sposób związany, sprawiają, że sprawozdanie z życia wiecz-nego samotnika staje się naprawdę pasjonujące.

Interesujący jest sposób, w jaki Dawson zestawia ze sobą dwawizerunki Kurta Godla: po pierwsze, jako osoby prywatnej, sku-piając się przede wszystkim na jego cechach charakteru, zaintere-sowaniach, kontaktach z innymi ludźmi, oraz genezie i przebiegujego zaburzeń emocjonalnych. Po drugie zaś, patrzy na Godla jakona naukowca, geniusza – matematyka, który większość swojego ży-cia poświęcił pracy badawczej. Tych dwóch płaszczyzn nie możnaoczywiście precyzyjnie od siebie oddzielić, niemniej Dawson stara

???TYTUŁ�171

się zbadać, jaki wpływ na osiągnięcia naukowe Godla mogły miećwydarzenia z jego życia osobistego oraz analogicznie, jak pracanaukowa – zarówno spektakularne sukcesy jak i wielkie porażki –oddziaływały na stan jego psychiki.

Kurt Godel to — jakże często pojawiający w historii nauki— przykład geniusza, którego znamionuje wyraźny rys tragizmu.Epokowego odkrycia twierdzeń o niezupełności, z którym obecniekojarzone jest jego nazwisko, dokonał mając zaledwie dwadzieściacztery lata. Z początku zupełnie niezrozumiany przez środowiskonaukowe, sławę i zaszczyty uzyskał dopiero pod koniec życia –w czasie, kiedy nie przywiązywał już do nich żadnego znaczenia.Po odkryciu twierdzeń limitacyjnych osiągnął już tylko kilka li-czących się wyników naukowych i prześladowany przez nasilającesię obsesje i nerwice, prawie całkowicie usunął się w cień życiapublicznego. Przez te wszystkie lata był osobą niezwykle skrytą,pozstając zagadką nawet dla najbliższego grona nielicznych przy-jaciół.

Dzięki książce Dawsona mamy okazję przyjrzeć się postaciGodla z nieznanego do tej pory punktu widzenia – porzucić wizeru-nek zasadniczego, zawsze tajemniczego i niedostępnego dla otocze-nia uniwersyteckiego wykładowcy bez reszty poświęconego naucei spojrzeć na jego życie takie, jakim było naprawdę. Było w nimmiejsce na przelotne zainteresowanie zjawiskami parapsychologicz-nymi w czasie studiów w Wiedniu, brawurową ucieczkę z Rzeszyniemieckiej do USA przez Rosję i Pacyfik, była wielka miłość dożony Adele, a także przyjaźnie z najwybitniejszymi ludźmi jegoczasów, jak choćby z Einsteinem, czy Morgensternem. Przy tymwszystkim życie Godla nie było wcale łatwe. Dawson znakomi-cie pokazuje ciągłe napięcie między krótkimi okresami szczęściai równowagi psychicznej, a powtarzającymi się atakami depresjii hipochondrii, których tragicznym finałem była śmierć głodowaKurta.

Logical Dilemmas jest pozycja adresowaną do bardzo szero-kiego grona odbiorców. Z tego względu autor musiał stawić czoła


poważnej trudności, a mianowicie możliwie rzetelnej prezentacjidorobku naukowego Godla w sposób zrozumiały dla przeciętnegoczytelnika. Pociągało to za sobą z jednej strony konieczność umiej-scowienia jego pracy naukowej w szerokim kontekście historii logikii matematyki, z drugiej zaś ograniczenia do minimum, czy wręczzrezygnowania z formalizmu matematycznego. Dawson podjął siękarkołomnego zadania – przedstawienia w dwóch krótkich rozdzia-łach dziejów logiki od starożytności do czasów najnowszych orazpodstawowej problematyki teorii mnogości. W rezultacie czytelnikotrzymuje zbiór dość szczegółowych, lecz niejasno powiązanych zesobą stwierdzeń i wątków, które bez gruntownego przygotowaniamatematycznego mogą pozostać niezrozumiałe. Niedosyt pozosta-wia również sposób zaprezentowania głównego odkrycia naukowe-go Godla – twierdzenia o niezupełności. Szkoda, że mimo licz-nych uwag o nowatorstwie zastosowanej w jego dowodzeniu meto-dy arytmetyzacji składni, Dawson nigdzie jej nawet nie przybliża.Jednak dla czytelnika, którego znajomość logiki i matematy-

ki wychodzi poza poziom rudymentarny Logical Dilemmas stajesię fantastyczną pomocą, dzięki której można śledzić historię po-wstawania, dojrzewania, a wreszcie prób pokonywania określonychproblemów z dziedziny szeroko pojętej matematyki. Dawson z du-żą znajomością przedmiotu wskazuje niuanse rozważanych zagad-nień, czy np. wzajemne inspiracje rozmaitych myślicieli.Logical DilemmasJohna Dawsona to bez wątpienia pozycja

bardzo dobra, bogata pod względem faktografii, rzetelna, a jed-nocześnie pasjonująca. Niemała w tym zasługa budzącej respekterudycji autora. Dla logików i matematyków książka Dawsona mo-że stać się wartościową pomocą, dokumentującą proces rozwojupodstawowych idei związanych głównie z aksjomatem wyboru i hi-potezą continuum. Dla wszystkich zaś będzie bez wątpienia wy-czerpującym i zajmującym opisem życia Godla — kto wie, czy nienajwybitniejszego umysłu matematycznego w historii.

Tomasz Furman


Komentarz do przypisów. . .

Krzysztof Wójtowicz, Platonizm matematyczny. Studium filozofiimatematyki Kurta Godla, OBI–Biblos, Krkaów–Tarnów, 2002,ss. 160.

Problem istnienia bytów abstrakcyjnych jest jednym z naj-starszych i najbardziej podstawowych zagadnień filozoficznych.Zagadnienie to zostało postawione przez Platona dwadzieścia pięćwieków temu. Stawiając tezę realnego istnienia idei, niezależnychod świata fizycznego i ludzkich umysłów, Platon zainicjował spórznany w historii filozofii jako spór o uniwersalia.Realistyczny pogląd Platona w kwestii istnienia powszechni-

ków był później krytykowany na bardzo wiele sposobów. Krytykęzapoczątkował już uczeń twórcy Akademii (Arystoteles, a konty-nuowali ją średniowieczni nominaliści, a następnie przedstawicielerozmaitych odmian pozytywizmu i materializmu. Mimo to plato-nizm wciąż ma wielu «wyznawców» i to wśród największych po-staci myśli współczesnej.Krzysztof Wójtowicz przedstawia w książce Platonizm mate-

matyczny, wydanej przez Biblos w 2002 roku, poglądy filozoficznejednego z dwudziestowiecznych platoników, Kurta Godla. Książkaskłada się z ośmiu rozdziałów, w których autor charakteryzuje typuprawianej przez Godla filozofii (przede wszystkim rozdziały 1, 2,4) i zestawia jego poglądy ze stanowiskami współczesnych mu my-ślicieli (rozdziały 3, 5, 6). Całość dopełnia krótka biografia Godlai obszerna bibliografia.Chociaż głównym przedmiotem swoich rozważań Wójtowicz

czyni ontologię matematyki, poprzedza je przedstawieniem ogól-nego światopogląd filozoficznego Godla. Autor omawia Godlowski


program stworzenia całościowego systemu filozoficznego, zbudowa-nego na wzór systemów aksjomatycznych. Godel uważał, że pro-blemy filozoficzne są zasadniczo rozwiązywalne, a ich rozwiązanieotwiera drogę do stworzenia syntezy wyników nauk szczegółowychi dociekań czysto filozoficznych. Optymizm Godla wiązał się z je-go wizją metody filozoficznej. Nazywał ją „analizą treści pojęć”.W tle tej wizji stało przekonanie «metafizyczne» o obiektywnymistnieniu obiektu tej analizy: rzeczywistości pojęć dostępnej spe-cjalnej intuicji.

Dla czytelnika, któremu nazwisko „Godel” kojarzy się wyłącz-nie z osiągnięciami na polu logiki i matematyki, to filozoficznecredo może być nie lada zaskoczeniem. Program Godla jest bo-wiem programem bardzo śmiałym, jak na pełen na ogół pozy-tywistycznego sceptycyzmu i krytyki tradycyjnej metafizyki wiekdwudziesty.

Całościowy system filozoficzny, o którego stworzeniu marzyłGodel, nigdy niestety nie powstał. Ogólne założenia tego systemuznalazły jednak wyraz w refleksji Godla nad istotą matematykii nie pozostały bez wpływu na jego podejście do uprawiania naukformalnych.

Stanowisko Godla w filozofii matematyki zwykło się nazywać„platonizmem”. Tym samym mianem określa się jednak także in-ne, często znacznie różniące się od siebie (a nieraz i mające niewie-le wspólnego z poglądami samego Platona) doktryny filozoficzne.Wójtowicz w drugim rozdziale pracy charakteryzuje Godlowskąwersję platonizmu matematycznego następująco: „(1) Godel uzna-je istnienie obiektywnego, niezależnego od naszej działalności po-znawczej uniwersum matematycznego. (2) Uniwersum to ma [we-dług Godla] bogatą strukturę [. . . ]. (3) Możemy poznać to uni-wersum i dążyć do jego pełniejszego opisu” (s. 42). Godlowski pla-tonizm metafizyczny Wójtowicz przeciwstawia platonizmowi me-todologicznemu. W metafizycznej odmianie platonizmu założenie,że pojęcia i liczby istnieją niezależnie od umysłu ludzkiego i od

Komentarz do przypisów. . .�175

świata materialnego, nie jest jedynie ( jak dla platoników metodo-logicznych ( zabiegiem czysto heurystycznym.

Z platonistyczną wizją ontologii matematyki wiąże się ściśleGodlowska wizja epistemologii (rozdział czwarty). Podstawowymnarzędziem poznania matematycznego jest, jak już wspominano,intuicja, tj. specyficzny sposób obcowania z bytami matematycz-nymi i – ogólnie – pozaempirycznymi. Intuicja jest dla bytów abs-trakcyjnych tym, czym poznanie zmysłowe dla świata fizycznego –środkiem poznania bezpośrednim, ale i zawodnym. I w matematy-ce bowiem możemy błądzić, ale też i korygować błędne rezultatypoznania.

”Drugim filarem” wiedzy matematycznej jest u Godla „owoc-ność aksjomatów i ich przydatność w rozwiązywaniu problemów”(s. 70): to, w jakim stopniu mogą one przyczynić się do rozwojumatematyki (uproszczenia dowodów, znalezienia nowych metodheurystycznych itd.).

Wydobyciu swoistych cech Godlowskiej filozofii matematykisłuży zestawienie poglądów Godla ze stanowiskami innych współ-czesnych mu myślicieli zajmujących się podobną problematyką.Rozdział trzeci dotyczy w szczególności relacji platonizmu mate-matycznego do koncepcji przedstawicieli pozytywizmu logicznego.Godel sprzeciwia się – proponowanym m.in. przez młodego Car-napa – czysto syntaktycznym interpretacjom matematyki. Zdaniamatematyki są według Godla ( a wbrew neopozytywistom ( zda-niami analitycznymi, a matematyka to nie dziedzina operacji nabezsensownych symbolach. Wójtowicz zwraca uwagę na zasadni-czą różnicę w pojmowaniu „analityczności” przez Godla i przezCarnapa. Zdania analityczne w ujęciu neopozytywistów są właśniepozbawionymi treści tautologiami, gdy tymczasem według Godla– analityczne prawdy wypływają z analizy treści obiektywnie ist-niejących pojęć

W rozdziale piątym Wójtowicz zestawia poglądy „metafizy-ka” Godla ze stanowiskiem „instrumentalisty” Hilberta. Hilberti Godel podzielają pogląd o obiektywności wiedzy matematycznej


i obaj są optymistami (uważają, że matematyczne problemy sąrozwiązywalne), różnią się jednak zasadniczo co do tego, jaka mabyć «strategia» rozwiązywania tych problemów. Według Hilberta,sposobem na usunięcie pojawiających się w podstawach matema-tyki paradoksów i ugruntowanie jej pewności jest jej finitystycznaaksjomatyzacja i dowiedzenie niesprzeczności za pomocą metodczysto formalnych. Godel nie uważał za konieczne przyjmowanieograniczeń finitystycznych proponowanych przez Hilberta. Stano-wisko Godla jest realistyczne w stosunku do całości matematyki,także jej części infinitystycznej. Godel, jako realista, nie utożsa-miał prawdziwości z dowodliwością formalną. Bywa bowiem, żeprawda wymyka się procedurom dowodowym. Potwierdzenie te-go faktu znalazł, dowodząc niezupełności arytmetyki.W rozdzialeszóstym Wójtowicz zestawia poglądy Godla z tzw. argumentemz niezbędności Quine’a. Punktem wyjścia poglądów Quine’a natemat odniesienia przedmiotowego matematyki jest założenie, żeskoro istnieją te obiekty, o których mówi się w naukach empi-rycznych, to wystarczy wykazać, że matematyka jest niezbędnączęścią tych nauk, żeby mieć podstawy do zajęcia stanowiska re-alizmu matematycznego. W holistycznym ujęciu wiedzy Quine’aniknie jakościowa różnica między prawdami analitycznymi a syn-tetycznymi, czyli także między tezami matematyki a zdaniami wy-prowadzanymi z doświadczenia. Realizm Quine’owski obchodzi sięw ten sposób bez postulowania jakichś odrębnych obiektów mate-matycznych. Godel natomiast, choć nie umniejsza roli matematykiw opisie fizycznego świata, uznaje świat obiektów matematycznychza samodzielne uniwersum badań. O ile dla Quine’a matematy-ka to przede wszystkim nauka stosowana (a więc integralna częśćteorii fizycznych), o tyle dla Godla «prawdziwa» matematyka tomatematyka czysta.

Ostatnim zagadnieniem omawianym przez Wójtowicza są«zmagania» Godla z hipotezą continuum (rozdział siódmy). Tenchyba najciekawszy rozdział książki pokazuje, w jaki sposób ogólnepoglądy filozoficzne Godla odzwierciedlały się w sposobie rozwią-

Komentarz do przypisów. . .�177

zywania konkretnych problemów matematycznych. Godel dowiódłniezależności postawionej przez Cantora hipotezy. Jednakże jegofilozoficzne przekonanie o obiektywności prawd matematycznychi istnieniu matematycznego uniwersum kazało mu na tym nie po-przestać. Jako realista wierzył bowiem w możliwość rozstrzygnię-cia pytania o prawdziwość tej hipotezy. Inna sprawa, że mimodługotrwałych starań, nie udało się Godlowi tej możliwości zreali-zować.

Jak wspomina Wójtowicz, Godlowskie rozważania nad hipote-zą continuum i – ogólniej – zdaniami niezależnymi zaowocowałysformułowaniem przez Godla «programu» poszukiwania aksjoma-tów dla teorii matematycznych. Program ten, nazwany imieniemtwórcy, a postulujący nową metodę rozstrzygania otwartych pro-blemów matematycznych, jest obecnie realizowany z powodzeniemmiędzy innymi w ramach tzw. matematyki odwrotnej

Książka Wójtowicza jest godną polecenia lekturą zarówno dlafilozofów, jak i dla matematyków. Pozwala spojrzeć na postaćGodla z niecodziennej perspektywy i w nowym świetle stawia je-go dokonania matematyczne. Nasuwają mi się tylko dwie uwagikrytyczne. Pierwsza uwaga dotyczy zbyt stereotypowego przed-stawienia poglądów zarówno Hilberta, jak i logicznych pozytywi-stów. To instrumentalne ich potraktowanie można jednak uspra-wiedliwić. Dokładna analiza wymienionych doktryn wymagałabyznacznie obszerniejszych wywodów, przez co praca straciłaby naspójności. Druga uwaga dotyczy kompozycji całości książki. Jakpisze autor w przedmowie, książka powstała na podstawie kilkuwcześniej publikowanych artykułów. Ma to swoje dobre i złe stro-ny. Do dobrych należy to, że poszczególne rozdziały można czytaćjako oddzielne, niezależne od reszty eseje. Strona zła ujawnia siępodczas czytania książki «od deski do deski». Ma się wtedy wra-żenie, że autor niepotrzebnie wraca do rozważanych już wcześniejkwestii.

Whitehead napisał kiedyś, że cała filozofia zachodnia to przy-pisy do Platona. Jeśli tak byłoby rzeczywiście, to „Platonizm ma-


tematyczny” można nazwać „komentarzem do przypisów”. Nie jestto jednak bynajmniej określenie pojoratywne. Nie rozstrzygając,czy Whitehead miał rację, przyznajmy że zadziwiająca jest aktu-alność pytań stawianych przez Platona, a jeszcze bardziej – wieluudzielanych przez niego odpowiedzi. Obecność platońskich wątkówu tak wielu współczesnych myślicieli, do których należał i Godel,stanowi uzasadnienie tezy, że wielka filozofia nigdy się nie dez-aktualizuje. Książka Wójtowicza o tym przypomina i skłania dorefleksji nad starymi, choć wciąż istotnymi pytaniami metafizyki.

Anna Brożek

Documents

Semina Scientiarum