Seminario didattico

Lezione 5:

Elettrostatica

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Esercizio n°1Ai vertici di un quadrato di lato 2 l sono poste 4 cariche uguali Q. Determinare :a) Il campo elettrico in un punto P dell'asse;b) il campo al centro del quadrato;c) il punto dell'asse in cui il campo elettrico è massimo;d) il potenziale elettrostatico in un punto P dell'asse;e) se una carica q

0 è nel centro qual'è la sua energia potenziale elettrostatica e quanto

vale il lavoro W necessario per portare q0 ad una distanza infinita;

f) quale carica q va inserita nel centro affinché la forza sulle cariche degli estremi sia nulla.

DATI:Lato = 2 l Cariche = Q

p

3

Svolgimento esercizio 1 (1)

a) Per calcolare il campo elettrico nel punto P considero il piano passante per P e 2 cariche uguali, le denomino Q

1 e Q

2.

P

Q1

Q2

α

E2

E1

E1∥

E2∥

E2

E1

r

Rl2

L'ultima uguaglianza la abbiamo poiché la distanza dalle 2 cariche è identica e Q1=Q

2.

Possiamo scomporre i campi elettrici generati dalle due cariche in una componente parallela all'asse e una perpendicolare ad esso.

E=Q

40r2

rr⇒∣E∣=∣ E1∣=∣ E2∣

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme ad una distanza r risulta:

E1∥=∣E∣cos 2−=∣E∣cos

E1 ⊥=∣E∣sin 2−=−∣E∣sin

E2∥=∣E∣cos

E2 ⊥=∣E∣sin La componente parallela all'asse è identica in entrambi i casi, mentre la componente perpendicolare ha verso opposto. Il campo risultante avrà solo componente parallela all'asse

x

4

Svolgimento esercizio 1 (2)

Una analisi analoga a quella precedente sulle altre 2 cariche consente di scrivere il campo risultante come somma delle 4 componenti parallele all'asse.

E tot= uxE tot∥= ux∣E∣cos= ux4Q

40 r2 cos

Riscriviamo il modulo di questo vettore in funzione della distanza R dal centro e del lato 2 l del quadrato . Utilizziamo le seguenti relazioni geometriche:

P

α

r

Rl2 α

r=R22 l 2

R=rcos ⇒cos =Rr=

R

R22l 2

5

E tot∥=4Q

40 r2 cos =

Q R

0 R22l2

32

Svolgimento esercizio 1 (3)

Sostituendo le relazioni precedenti otteniamo:

c) Per calcolare il punto in cui il campo elettrico è massimo, lungo l'asse, è necessario fare la derivata in funzione di R dell'equazione precedente ed uguagliarla a zero:

dEtot∥dR

=Q0 [ R22l2

32−3R2R22 l2

12

R22 l23 ]=0

b)Il campo elettrico nel centro del quadrato lo possiamo ottenere valutando a R=0 la formula generale, ottenendo che il campo è nullo:

E R=0=0

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Svolgimento esercizio 1 (4)

d) Il potenziale elettrostatico generato da un sistema di cariche puntiformi è uguale alla somma dei potenziali generati singolarmente dalle cariche, ad una distanza R dal centro del quadrato:

V P=4Q40r

=Q

0R22 l2

Data tale formula è possibile riottenere il campo elettrico utilizzando la relazione:

E=−V=− uxQ0

ddR

R22l2−12 = ux

Q0

R

R22l232

R22l2−32 −3R2R22 l2

−52 =R22 l2

−32 1− 3R2

R22l2 =0

1− 3R2

R22l2 =0⇒3R2=R22l2⇒R= l

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Svolgimento esercizio 1 (5)

e) L'energia potenziale elettrostatica del sistema formato dalle 4 cariche risulta: U e sistema=U12U 13U 14U 23U 24U34

Q4

Q1

Q3

Q2

2 l

q0

Poiché le cariche agli angoli sono tutte uguali valgono le seguenti relazioni:

U 12=U 14=U 23=U34=Q2

402l

U 13=U 24=Q2

402l2

Da cui si ottiene : U e sistema=Q2

02 l

Q2

40 l2

L'energia potenziale della carica q

0 risulta:

U e q0=4Qq0

40 l2

8

Svolgimento esercizio 1 (6)

f) per valutare la carica necessaria affinché la forza sulle cariche degli estremi sia nulla, consideriamo una delle cariche agli angoli del quadrato e valutiamo le singole forze che vi agiscono. La risultante delle forze dovute alle cariche agli angoli del quadrato risulta:

Q1

Q4

Q1

Q3

Q2

F32

F12

F42

2 l

R= F12 F32 F42

∣ F12∣=∣ F32∣=Q2

402 l2

∣ F42∣=Q2

40 22 l2

q

L'energia potenziale complessiva è la somma di quella del sistema e quella della carica q

0: U e=U e sistemaU eq0

Il lavoro per portare q0 sino ad infinito lo si ottiene considerando la variazione

dell'energia potenziale ( all'infinito quella del sistema non muta mentre Ue(q

0 )=0):

W=−U e=−U e q0=U e q0=q0Q

02l

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Svolgimento esercizio 1 (7)

Le componenti perpendicolari alla diagonale delle forze F12

e F32

sono uguali

ed opposte e si elidono. Le uniche componenti la cui somma è non nulla sono quelle parallele alla diagonale e quindi a F

42. La risultante delle forze

dovute alle altre 3 cariche agli angoli risulta:

∣R∣=∣ F12∣cos 4 ∣ F32∣cos 4 ∣ F14∣=2cos 4 Q2402l

2 Q2

4022l 2

∣R∣= 2Q2

402 l2

Q2

4022 l2

Affinche la forza totale sia nulla, quando viene aggiunta una carica al centro la seguente relazione deve essere verificata (f

q è la forza dovuta alla carica posta nel

centro):

f q=−R⇒Qq

402l 2=

−Q2

40 2 l 2 22

14 ⇒q=−Q

4122

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Esercizio n°2Un corpo sferico di raggio R = 10 cm è uniformemente carico con densità di carica ρ =10-6 C/m3 in tutto il volume, tranne in una cavità interna sferica di raggio r

1= R/2. Il centro della cavità si trova a distanza d= r

1 dal centro del corpo sferico.

Determinare:a) la carica totale Q sul corpo;b) l'espressione del campo elettrostatico in tutti i punti dello spazio (0≤r<∞)c) Il valore del campo e del potenziale elettrostatico nei punti A e B

DATI:R = 10 cm = 0.1 mρ =10-6 C/m3 r

1= R/2

Q=?E(r)=?E(A),V(A),E(B),V(B)=?

xO AB

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Svolgimento esercizio 2 (1)

a) La carica totale la si può calcolare valutando il volume della sfera cava come differenza del volume della sfera meno quello della cavità:

Q=V sfera−V cavità=43R3−r1

3=43R3

78=3.66∗10−9C

b) Per calcolare il campo elettrico della sfera cava con la cavità decentrata possiamo immaginare che la cavità sia composta sia da cariche negative che da cariche positive in egual numero. In tal modo il sistema è composto da una sfera S di raggio R, carica positiva Q

S e centro in O ed una sfera più piccola di raggio r

1 di

carica negativa QC centrata in O'.

QS=V S=43R3 QC=−V C=−

43r1

3

Il campo elettrostatico in ogni punto lo possiamo calcolare con la sovrapposizione dei campi dovuti alle 2 sfere.

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Svolgimento esercizio 2 (2)

Il campo elettrico generato da una sfera uniformemente carica di raggio R può essere ottenuto facilmente con il teorema di Gauss considerando come superficie una sfera concentrica. Da considerazioni geometriche si ha che il campo elettrostatico è radiale.

R

Campo interno alla sfera carica (0≤r<R):

E=∫SE int dS=4 r

2E int=43r3

0

E int r =30

r ur

Campo esterno alla sfera carica (R<r): E=∫S

Eext dS=4r2Eext=

43R3

0

Eext r =R3

30 r2ur

E

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Svolgimento esercizio 2 (3)

Calcoliamo il campo elettrostatico generto dal sistema in determinate parti:-Punto interno alla cavità

xO AB O'

P

I vettori r e s indicano rispettivamente la posizione del punto P dal centro O della sfera S e dal centro O' della cavità C.Tra di essi intercorre la relazione:

In tale condizione il campo elettrostatico complessivo si ottiene sommando i due campi interni:

rs

E P= EintS P EintC P=30

r ur−30

s us=30

r−s

r=r1s

E P=30

r1Il campo elettrico all'interno della cavità e costante ed è pari a quello che si avrebbe in O' se la sfera S non fosse cava.

14

Svolgimento esercizio 2 (4)

-Punto interno alla sfera ed esterno alla cavità

xO AB O'

PIn tale condizione il campo elettrostatico complessivo si ottiene sommando il campo elettrostatico interno della sfera e quello esterno della cavità:

rs

E P= EintS P EextC P=30

r ur− r1

3

30 s2us=

30 r−s r1s

3

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Svolgimento esercizio 2 (5)

-Punto esterno alla sfera ed alla cavità

xO AB O'

P

In tale condizione il campo elettrostatico complessivo si ottiene sommando il campo elettrostatico esterno della sfera e della cavità:

rs

E P= EextS P EextCP=R3

30 r2ur−

r13

30 s2us

E P=30 r Rr

3

−s r1s 3

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Svolgimento esercizio 2 (6)

c) il campo elettrostatico nei punti A e B lo otteniamo utilizzando la formula per i punti esterni alla sfera.Nel punto A valgono le seguenti relazioni:

xO AB O'

r AsA

r A=R ur=R ux

sA=r1R us=32R ux

us= ur= ux

E A =30 r−s r1

r1R 3

= 30 R ur− us

R3

8

9R2

4

E A =30

R ur1718

=3.55∗103 uxV /m

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Svolgimento esercizio 2 (7)

Nel punto B valgono le seguenti relazioni:

xO AB O'

rBsB

rB=R ur=−R ux

sB=r1 us=−12R ux

us= ur=− ux

E B=30

r−s =30 R ur−

R2

us E B=

30

R ur12=−1.88∗103 uxV /m

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Svolgimento esercizio 2 (8)

I potenziali in A e B possiamo calcolarli usando la stessa assunzione utilizzata per valutare il campo elettrostatico.

V A =V S A V C A =QS

40R

QC

40 Rr1

V A =

43R3

40R−

43 r1

3

40Rr1=R230

−

R3

8

30R32

=R230

1112

=345.1V

V B=V S BV C B=QS

40R

QC

40r1

V B=

43R3

40R−

43 r1

3

40 r1=R230

−

R3

8

30R12

=R230

34=282.3V

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Esercizio n°3

Una carica puntiforme q = 1.5 10-8C si trova nel piano mediano di una caricadistribuita uniformemente con densità ρ = 10-8 C/m3 tra due piani paralleli indefiniti distanti d = 2 cm. Determinare:a) L'espressione del campo elettrostatico in tutti i punti dell'asse x(asse mediano) in assenza della carica q;b) Il lavoro fatto dalle forze del campo elettrostatico per trasportare la carica q in un punto P situato all'esterno della regione carica e distante h= 3cm dal piano più vicino.

DATI:q = 1.5 10-8Cρ = 10-8 C/m3

d= 2 cm = 0.02 mh = 3 cm = 0.03 mE(x) =?L=?

d

h

x

+

++

++

+

+

+ + + +

+

+q

P

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Svolgimento esercizio 3 (1)

Per valutare il campo elettrico dobbiamo fare alcune considerazioni di simmetria e poi applicare il teorema di Gauss su una superficie consona.Poiché la carica è uniformemente distribuita tra due piani paralleli infinitamente estesi si ha che:a) per ogni punto la componente parallela ai piani del campo elettrostatico è nulla;b) il campo elettrostatico nel piano mediano è nullo;c) il campo elettrostatico per i punti superiori al piano mediano è verso l'alto mentre per quelli inferiori è verso il basso.Come superficie a cui applicare il teorema di Gauss scegliamo una scatola cilindrica con le basi di area Σ parallele ai piani. In tal modo il flusso totale che attraversa la superficie è pari solo alla somma del flusso attraverso le due basi.

Campo interno:La carica contenuta nella scatola cilindrica risulta ρΣ2x con (x<d/2), per cui si ottiene:

E int =2E int=2 x0

⇒ E int= x0

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Svolgimento esercizio 3 (2)

Campo esternoApplichiamo il teorema di Gauss alla stessa superficie. In tal caso le cariche contenute nel volume non dipendono da x ma sono Σρd. Il campo risulta:

Eext=2E=d0

⇒ Eext=d20

Il campo all'esterno è costante. La rappresentazione grafica del campo è la seguente:

E

xd/2-d/2

E=d20

E=−d20

E2Σ 2

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Svolgimento esercizio 3 (3)

b)Per calcolare il lavoro fatto dalle forze del campo elettrostatico per trasportare la carica q in un punto P situato all'esterno della regione carica e distante h dal piano più vicino valutiamo la differenza di potenziale tra i due punti:

L=−qV=−q V P−V O=−q ∫0

d2 E int⋅d x∫d

2

hd2 Eext⋅d x

L=−q ∫0

d2 x0dx∫d

2

hd2 d20

dx =−q d2

80d h20

L=−q0 d

2

8hd2 =5.9∗10−9 J