Señales en Tiempo Discreto

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Señales en Tiempo Discreto

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

Procesamiento Digital de SeñalesDepartamento de Maestría

DICIS - UG

Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2

Índice2.1. Introducción

2.2. Señales en tiempo discreto

2.3. Clasificación de las señales en tiempo discreto

2.4. Manipulaciones Simples de Señales en tiempo discreto

2.5. Tarea

2


IntroducciónDefinición: Una señal en tiempo discreto x(n) es una función de una variable independiente entera. Gráficamente se representa como en la Figura 2. es importante destacar que una señal en tiempo discreto no estádefinida para instantes entre dos muestras sucesivas. Igualmente es inco-recto pensar que x(n) es igual a cero si n no es un entero, simplemente la señal x(n) no está definida para valores no enteros de n.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5

0

0.5

1

Figura 2. Representación gráfica de una señal en tiempo discreto


IntroducciónAdemás de la representación gráfica de una señal en tiempo discreto o secuencia como se ilustra en la Figura 2. existen otras representaciones alternativas que para fines de manipulación matemática. Los formatos más convenientes a utilizar son:

a) Representación funcional

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧==

=caso otropara0

2para43 1para1

n,n

nx

b) Representación tabular

3


Introducciónn ... -2 -1 0 1 2 3 ...x(n) ... 0 0 0 1 4 1 ...

c) Representación como secuencia. Una señal de duración infinita con el origen de tiempo (n = 0) indicado por una flecha se representa como

( ) { },...0,1,4,1,0,0...,=nx

2.2. Señales Elementales en Tiempo Discreto

En el estudio de sistemas y señales discretas en el tiempo existen varias señales básicas que aparecen con frecuencia y juegan un papel importante en el procesamiento digital de señales. Estas señales son:


Señales en Tiempo Discreto1. El Impulso Unitario, está función está simbolizada como δ(n) y se define

( )⎩⎨⎧

≠=

=0001

nn

nδ (1)

en otras palabras, el impulso unitario es una señal que siempre vale cero excepto para n = 0 donde vale uno.

Al contrario de la señal analógica δ(t), que también se conoce como impulso unitario y siempre vale cero excepto cuando t = 0, donde tiene área igual a la unidad, la secuencia de respuesta al impulso en tiempo discreto es mucho menos complicada matemáticamente hablando que la respuesta al impulso en señales continuas. La representación gráfica de δ(n) se muestra en la Figura 3-a

4


Señales en Tiempo Discreto2. La señal Escalón Unitario, se denota como u(n) y se define como

(2)( )⎩⎨⎧

<≥

=0001

nn

nu

en otras palabras, el escalón unitario es una señal que vale cero para todos los valores negativos de n y uno para todo los valores positivos de nincluyendo al cero. La representación gráfica del escalón unitario se muestra en la Figura 3-b.

Del mismos modo que en el caso de tiempo continuo, el escalón tiene una gran aplicación en el análisis de señales en tiempo discreto por lo cual es de gran interés conocer todas la propiedades del escalón unitario.



( )⎩⎨⎧

<≥

=000

nnn

nur

3. La señal Rampa Unitaria, se denota como ur(n) y se define como

(3)

en otras palabras, la rampa unitaria es una señal que vale cero para todos los valores negativos de n y n en cualquier otro caso. La representación gráfica de la rampa unitaria se muestra en la Figura 3-c.

En algunas ocasiones, para valores negativos de n, la magnitud no es cero, sino que puede ser un valor negativo ó el modulo de n según se desee ponderar a dicha señal.

5



-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

5

10

Figura 2. (a) Impulso unitario, (b) Escalón unitario y (c) Función rampa unitaria


Señales en Tiempo Discreto4. Por último, se tiene a la Señal Exponencial, es una secuencia de la forma

( ) nanx = (4)

si el parámetro a es real, entonces x(n) es una señal real. Cuando el pará-metro a es complejo, este puede expresarse como

( )θjra exp≡ (5)

donde r y θ son ahora los parámetros de magnitud y fase. De aquí se puede expresar a x(n) como

( ) ( ) == θjnrnx n exp ( )θθ njnr n sincos + (6)

6


Señales en Tiempo Discretodado que x(n) es ahora complejo, se puede representar gráficamente dibujando su parte real e imaginaria como función de n, es decir

θnrnx nR cos)( ≡

θnrnx nI sin)( ≡

(7a)

y(7b)

En las Figuras 4, 5 y 6 se muestran tres gráficas correspondientes a la (5) o (6) para diferentes casos de r. Es decir, para r > 1, r < 1 y r = 1.



Figura 4. Parte real e imaginaria de una exponente compleja; r = 0.9 y θ = π/10

7



Figura 5. Parte real e imaginaria de una exponente compleja; r = 1 y θ = π/10



Figura 6. Parte real e imaginaria de una exponente compleja; r = 1.1 y θ = π/10

8


Señales en Tiempo DiscretoAlternativamente, la señal x(n) dada por (6) se puede representar gráfica-mente mediante la función amplitud, es decir

y la función fase

( ) nrnAnx ≡=)( (8)

( ) ( ) nnnx θφ ≡=∠(9)

La Figura 7. muestra A(n) y φ(n) para r = 0.9 y θ = π/10. se observa que la función fase es lineal con n. Sin embargo, la fase se define solo sobre el intervalo de –π < θ ≤ π ó equivalentemente, sobre el intervalo de 0 < θ ≤ 2π.

En la Figura 8 y 9 se muestran los casos en que la magnitud es r = 1 y r = 1.1 con la misma fase.



Figura 7. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo, r = 0.9 y θ = π/10.

9



Figura 8. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo, r = 1 y θ = π/10.



Figura 9. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo, r = 1.1 y θ = π/10.

10


Clasificación de las Señales 2.3. Clasificación de las señales en tiempo discreto

Los métodos matemáticos empleados en el análisis de sistemas y señales en tiempo discreto dependen de las características de las señales. En esta sección se realiza la clasificación de las señales en tiempo discreto que atiende a diferentes características.1. Señales de Energía y Señales de Potencia

La energía E de una señal x(n) se define como

( )∑∞

−∞=

≡n

nxE 2 (10)

Aquí se considera el modulo cuadrado de x(n); por tanto, esta definición se aplica tanto a señales reales como a señales complejas. La energía de una señal puede ser finita o infinita.


Clasificación de las SeñalesSi E tiene energía finita (es decir, E < ∞), entonces se dice que x(n) es una señal de energía.

Algunas veces se añade un subíndice x a E y escribamos Ex para hacer hincapié en que Ex es la energía de la señal x(n). Muchas señales que poseen energía infinita tienen potencia media finita. La potencia media de una señal discreta en el tiempo x(n) se define como

( )∑−=

∞→ +=

N

NnNnx

NP 2

121lim (11)

Retomando la (10), si se define a la energía de una señal x(n) en un intervalo definido entre –N ≤ n ≤ N (señal finita) entonces, la energía es

( )∑−=

≡N

NnN nxE 2

(12)

11


Clasificación de las Señalessustituyendo la (12) dentro de (11) se obtiene la potencia media de la señal finita x(n)

P

NNE

NP

121lim+

=∞→

(13)

Claramente, si EN es finita, = 0. Por otra parte, si EN es infinita, la potencia media puede ser tanto finita como infinita. Si es finita (y diferente de cero), la señal se denomina señal de potencia.

Ejemplo 1. Se tiene las siguientes señales discretas, definir si su energía es finita ó infinita.

( )⎩⎨⎧

<≥

=0011

nn

nx na) ( )⎩⎨⎧

<≥

=0011

nn

nx nb)


Clasificación de las Señales

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1

21n n

E

Aplicando la (10) se obtiene

( ) ( )( )( )!22

211 22

21

12 k

Bn

kk

kk

nk

π−∞

=

−=∑

donde B(2k) son los números de Bernoulli los cuales están definidos como:

6

2π=E

B0 = 1; B1 = -1/2; B2 = 1/6; B4 = -1/30; B6 = 1/42; B8 = -1/30; B10 = 5/66

aplicando

Para k =1 se obtiene

12



( )⎩⎨⎧

<≥

=0011

nn

nx nb) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

2

1

1N

n nE

La gráfica de energía crece en forma monótona por lo cual, la serie es divergente, y por lo tanto, la señal x(n) posee energía infinita. .E = ∞

Por lo tanto, como la serie es convergente, implica que la señal x(n) posee energía finita con potencia promedio cero.

=+

=∞→ 12

lim 62

NP

N

π 0y

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛N

n n1

1

= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …


Clasificación de las SeñalesLa potencia promedio de la señal x(n) es

Por lo tanto, como la serie es convergente, implica que la señal x(n) posee energía infinita con potencia promedio cero.

=⋅+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

+=

∞→∞→ NNNNP

NN

112

1lim1...31

211

121lim 0

( ) ( )⎩⎨⎧

<≥−

=00013

nnnx

n

Ejemplo 2. Determine la potencia de la siguiente señal causal.

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

−=−=0

22

01913

n

n

n

nE

13



EN

PN 12

1lim+

=∞→

5.4=P

( )∑=

+−=N

mn

mNkk 1aplicando

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

= ∑=

∞→

N

nN NP

0

1912

1lim

Por definición se tiene que:

Entonces, se llega a:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++≅+

+=

∞→∞→ 125.45.4lim1

129lim

NN

NP

NN



El valor más pequeño de N para que (14) se verifique se denomina periodo fundamental. Si (14) no se verifica para ningún valor de N, entonces la señal x(n) se denomina señal periódica ó no-periódica.

2. Señales Periódicas y No-Periódicas

Una señal x(n) es periódica con periodo N (N > 0) si y solo si

)()( nxNnx =+ (14)

Ejemplo 3. Determine si la siguiente señal discreta es una señal periódica o no periódica

( ) 0cos ωnnx =a) b) ( ) )(nunx =

Se puede ver que:

14



)()( nxnx =− (15)

3. Señales Simétricas (Par) y No-Simétricas (impar)

Una señal real x(n) se denomina simétrica (par) si y solo si

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Tnn πω 2coscos 0

Por lo tanto, para cualquier valor de n = 0, ±1, ±2, … la señal x(n) es periódica. Por otro lado, para resolver el inciso b) se puede ver que esta señal carece del factor ω0 por lo que, por definición es una señal no-periódica.


Clasificación de las Señalespor otra parte, una señal x(n) se denomina antisimétrica (impar) si y solo si

)()( nxnx −=− (16)

En la Figura 10 se representan señales con simetría par e impar. Una señal arbitraria puede expresarse como la suma de dos componentes, una de las cuales es par y la otra impar. La componente par de la señal se construye sumando x(n) y x(–n) y dividiendo entre dos, es decir

[ ])()(21)( nxnxnxp −+= (17)

Claramente, xp(n) satisface la condición de simetría (15). De forma similar, se forma la componente impar de la señal de acuerdo a la siguiente relación

15



Figura 10. Representación de una a) Señal Par y b) Señal Impar



[ ])()(21)( nxnxnxi −−= (18)

( ) ( ) ( )nxnxnx ip +=

Es evidente que xi(n) satisface a (16); por tanto, es impar. Si ahora se añade las dos componentes de la señal dadas por (17) y (18), se obtiene a x(n) es decir

(19)

Ejemplo 4. Determine si las siguientes señales son del tipo par ó impar

( ) 0cos ωnnx =a) b) ( ) )sin( 0ωnnx =

16


Clasificación de las Señales( ) 0cos ωnnx =a) ( ) ( )00

21 ωω jnjn eenx −+=

( ) ( )0cos ωnnx −=− ( ) ( )00

21 ωω jnjn eenx +=− −

( ) ( )nxnx =−

0cos ωn=

Señal Par

b) ( ) 0sin ωnnx = ( ) ( )00

21 ωω jnjn eej

nx −−=



( ) ( )0sin ωnnx −=− ( ) ( )00

21 ωω jnjn eej

nx −=− −

( ) ( )nxnx −=−

0sin ωn−=

Señal Impar

Simplificando se llega a

( ) ( )00

21 ωω jnjn eej

nx −−−=−

17


Manipulación de las Señales2.4. Manipulaciones Simples de Señales en Tiempo DiscretoEn esta sección se considera algunas manipulaciones simples en las que intervienen la variable independiente y variable dependiente.

2.4.1. Transformación de la variable independiente

Una señal x(n) puede ser desplazada en el tiempo remplazando la variable independiente n por n– k, donde k es un entero.

Si k es un entero positivo, el desplazamiento temporal resulta en un retrazodel origen (flecha) de la señal en k unidades de tiempo.

Por el contrario si k es negativo, el desplazamiento temporal resulta en un adelanto del origen (flecha) de la señal en |k| unidades de tiempo.

)()( knxny −= – ∞ < n < ∞ k > 0 (20)


Manipulación de las SeñalesEjemplo 3. se tiene una señal discreta x(n) como

x(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

la cual ha tenido una transformación a través de (20), donde la constante ktiene los siguientes valores: a) k = 3, b) k = – 2.

a) para k = 3 se tieney(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

b) para k = – 2 se tieney(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

La representación gráfica del desplazamiento hacia delante y hacia atrás se muestra en la Figura 11, junto a la señal original.

18


Manipulación de las Señales

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2

0

2

4Señal Discreta Original

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-2

0

2

4Para k = 3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6-2

0

2

4Para k = -2 Figura 11.

Representación gráfica de una señal y sus versiones adelantada y retrazada


Manipulación de las Señales2.4.2. Inversión temporal.

Esta operación es de gran utilidad en el tratamiento de señales discretas en donde son hay que remplazar a la variable independiente n por – n. El resultado de esta operación es un pliegue o una reflexión de la señal con respecto al origen de tiempo n = 0, es decir,

( ) ( )nxny −= (21)

Ejemplo 4. se tiene una señal discreta x(n) como

x(n) = {0, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 0}

la cual ha tenido dos transformaciones, las cuales son: y1(n) = x(–n) y y2(n) = x(–n + 2), determine su grafica correspondiente para cada caso.

19


Manipulación de las Señalesa) y1(n) = {0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0}

b) y2(n) = {0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0}

2.4.3. Escalado

Una tercera modificación de la variable independiente implica remplazar a n por µn, siendo µ un entero. Se conoce a esta modificación de la base como escalado temporal o submuestreo, es decir,

– ∞ < n < ∞ (22)

En la Figura 12 se muestra dichas reflexiones y corrimientos.

( ) ( )nxny µ=



-6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 60

1

2

3

4y(n) = x(-n)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

1

2

3

4y(n) = x(-n+2)

Figura 12. Gráfica de las operaciones de reflexión y desplazamiento

20


Manipulación de las SeñalesEjemplo 5. Obtenga la representación gráfica de la señal y(n) = x(2n), donde x(n) es la siguiente señal discreta

x(n) = {0, 0, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0}

La forma de solucionar el problema es la siguiente: la señal y(n) se debe obtener a partir de x(n) tomando una de cada dos muestras de x(n), comenzando en x(0). Por lo tanto, y(0) = x(0), y(1) = x(2), y(2) = x(4) y asísucesivamente hasta completar las muestras. Por otra parte, se tiene que para y(–1) = x(–2), y(–2) = x(–4), y(–3) = x(–6) y así sucesivamente. En otras palabras, se han eliminado las muestras impares de x(n) y se conservan las pares. La secuencia final y(n) se muestra a continuación

y(n) = {0, –2, 0, 2, 4, 4, 4, 4, 0, 0}



-10 -5 0 5 10 15-4

-2

0

2


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

0

2

4Señal Submuestreada

Figura 13. Ilustración gráfica de la operación de submuestreo

21


Manipulación de las Señales2.4.4. Escalado de Amplitud.

El escalado de amplitud de una señal por una constante A se obtiene multiplicando el valor de cada muestra de la señal por la constante. Así, obtenemos

( ) ( )nAxny = (23)– ∞ < n < ∞

2.4.5. Suma.

La suma de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor en cualquier instante es igual a la suma de los dos valores en ese instante de las dos señales de partida, es decir

( ) ( ) ( )nxnxny 21 += (24)– ∞ < n < ∞


Manipulación de las Señales2.4.6. Multiplicación.

El producto de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor se define análogamente en cada instante de tiempo como

( ) ( ) ( )nxnxny 21= – ∞ < n < ∞ (25)

Ejemplo 6. Si se tienen dos secuencias finitas de señales discretas las cuales se muestran a continuación

x1(n) = {–1, 0.6, –2, 1, 1.5, 1, 2, 0.6, 1}

y

x2(n) = {1, 3, –3, 3, 2, 1, 2, 3, –3, 3, 2}

22


Manipulación de las Señalesrealice la suma, multiplicación y escalado de ambas secuencias como (23), (24) y (25), como y3(n) = Ax1(n) siendo A = 2. Realice también sus gráficas de cada operación correspondiente.

La suma de dos secuencias discretas se debe de realizar en forma indivi-dual por cada muestra n que tenga la secuencia. Si una secuencia tiene una longitud más grande que la otra, se deberá llenar con ceros.

a) y1(n) = {-1, 1.6, 1, -2, 4.5, 3, 3, 2.6, 4, -3, 3, 2}

Del mismo modo, para el problema de la multiplicación se debe realizar la multiplicación por cada muestra n que tenga la secuencia. Si una secuencia tiene una longitud más grande que la otra, se deberá llenar con ceros.

b) y2(n) = {0, 0.6, -6,-3, 4.5, 2, 2, 1.2, 3, 0, 0, 0}


Manipulación de las SeñalesFinalmente, como A = 2, entonces solo se multiplica esta constante por cada uno de los elementos que contenga la secuencia discreta x1(n),

c) y3(n) = {-2, 1.2, -4, 2, 3, 2, 4, 1.2, 2}

23



Figura 14. Ilustración gráfica de las operaciones de a) suma, b) multiplicación y c) escalado


Tarea2.5. Tarea:

( ) ( )nxny −= 42

( ) ( )21 −= nxny( ) ( ) ( )314 −−= nnxny δ( ) ( )23 += nxny

1. Dibuje cada una de las siguientes señales discretas x(n) = {1, 2, 3, 0, 0, 1, 2, 1,}

2. Determine las propiedades de las siguientes señales discretas x(n) = {1, 2, 1, 1, 1, 1,}

( ) ( )nxnx −= 42( ) }2 ,7 ,0 ,11 ,2 ,3 ,2 ,1 ,0 ,2{1 −−−=nx

( ) ( )∑=

=n

k

kxnx1

3( ) ( )24 += nxnx

24


Tarea3. Realice las siguientes operaciones (realice la gráfica de cada uno)

( ) { }4 ,5 ,1 ,2 ,2 ,0 ,3 ,2 ,1 ,5 ,41 −−−=nx

( ) { }2 ,0 ,0 ,1 ,5 ,3 ,4 ,2 2 −−=nx

( ) ( ) ( )nxnxny 211 += ( ) ( ) ( )nxnxny 212 = ( ) ( ) ( )nxnxny 213 25 +=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]nxnxnxny 2114 3+=

4. Realice el código en Matlab® que pueda realizar la reflexión, desplaza-miento, escalonado, multiplicación, sub-muestreo y suma de dos secuencias cualesquiera de diferentes longitudes.

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