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SEÑALES Y SISTEMAS

2.1.-INTRODUCCION:

Tal y como se dijo anteriormente, los sistemas de comunicación eléctrica son los que han tenido más éxito debido a que logran la mayor eficiencia al transmitir mas información a mayores distancias. La base de estos sistemas son las señales eléctricas que , aunque generalmente dependen del tiempo, puede ocurrir que la variable independiente sea otra (Por ejemplo en una imagen fija existen dos variables espaciales independientes). Originalmente la mayoría de las señales que se deseaban transmitir de un lugar a otro eran de tiempo continuo; las aplicaciones de señales de tiempo discreto tuvieron sus orígenes en el análisis numérico, la estadística y el análisis de series temporales. Sin embargo el advenimiento de las computadoras que ofrecieron mayores velocidades de procesamiento, y el desarrollo de dispositivos de almacenamiento de alta densidad, impulsaron la discretización y digitalización de las señales.

Pero no solo es en los sistemas de comunicaciones eléctricas modernos donde se usan señales discretas en tiempo. A partir de 1950 se comenzaron a aplicar técnicas sencillas de procesamiento digital sobre señales de muy baja frecuencia en áreas diversas tales como: control de procesos, biomedicina, audio, sísmica, procesamiento de imágenes, etc. Las principales ventajas del procesamiento digital de señales radican en que al limitarse el número de símbolos a manejar, el procesamiento se realiza más rápida y fácilmente además de fortalecerse el proceso frente al ruido.

Entre los objetivos del curso de Señales y Sistemas está el aprender a utilizar diversas herramientas matemáticas que permitirán representar las señales eléctricas y determinar el efecto de su paso por sistemas de comunicaciones, es decir, gráficamente se tiene:

se desea:

1.- Representar convenientemente a la señal de entrada x

2.- Representar al sistema.

3.- Obtener la salida usando el método mas apropiado

Analicemos por separado las señales y los sistemas.

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2.2.- SEÑALES: Son funciones de 1 o más variables. Generalmente la variable es el tiempo y la señal representa una cantidad física que varía con él (p.e voltaje, corriente). Sin embargo, hay otros ejemplos , como la luminancia de una imagen que es función de 2 variables espaciales (Horizontal y Vertical). Las señales se pueden clasificar:

A) De acuerdo a la certidumbre de su descripción: En Aleatorias y Determinísticas, si existe incertidumbre o nó sobre el valor de la señal en todo tiempo. En el caso de las determinísticas se puede especificar la señal mediante una fórmula cerrada ( Ej: Sen2t ), mediante algún conjunto de valores ( 0,1, 3.2,....) ó mediante una fórmula recursiva (x(n)=x(n-1)+2).

Ejemplos:

a1) x(t) = u(t) = {1 para t > 0; 0.5 para t=0 y 0 para t <0 }. Esta señal se le conoce como escalón unitario y es determinística.

a2) x(t) = at donde a es el valor de la cara superior de un dado al ser lanzado. Esta señal es aleatoria antes de lanzar el dado.

B) De acuerdo a la naturaleza de la amplitud (A) y a las características de la variable independiente que generalmente es el tiempo (t) en :

Señales continuas o analógicas: t y A son variables continuas.

Señales discretas o de tiempo discreto : t discreto , A continua.

Señales cuantificadas: t contínuo, A discreta.

Señales digitales: t y A son variables discretas.

Siempre se puede, con algunas restricciones, convertir una señal analógica en una digital mediante el proceso de muestreo , cuantificación y digitalización de las muestras :

Figura Nº 2.2 . Ejemplo de señal analógica, discreta en tiempo y digital.

U ñ l di it l d t l d l á á fá il d t áPágina 2

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Una señal digital que puede tomar solo dos valores, será más fácil de procesar, presentará mayor fortaleza frente al ruido y al tener más cambios por unidad de tiempo, ocupará mayor ancho de banda que una señal analógica.

Ejemplos:

b1) x(n) = u(n) = { 1 para n >= 0 y 0 para n < 0}. Esta señal discreta se conoce como escalón unitario discreto .

b2) x(n)= A e-n/τ u(n) . Esta señal es una exponencial unilateral discreta.

b3) x(t) = A e-t/τu(t). Esta es una exponencial unilateral continua.

C) De acuerdo a su periodicidad o nó : En periódicas y aperiódicas

C1) Para señales de t continuo: Si x(t) = x( t + kT) para todo valor de k entero, se dice que x(t) es periódica con período T.

C2) Si para una señal discreta x(n) = x(n + kN) para k entero, se dice que x(n) es periódica con período N.

Ejemplos:

Ejemplo C1

Por lo tanto esta señal es periódica con período T Ejemplo C2 x(n) = A Cos ( 2πn/N) si N es entero

x(n +N) = A Cos ( 2π ( n + N) /N) = A Cos ( 2πn/N + 2π)= x(n)

Por lo tanto esta señal es periódica con período N. Ejemplo C3 x(n) = A Cos ( 2πn/N) si N es real. Si x(n)= x( n+ kC), cuanto vale x(n+N)?

x(n +N) = A Cos ( 2π ( n + kC) /N) = A Cos ( 2πn/N + 2πkC/N)

x(n +N) es distinto de x(n) . Por lo tanto esta señal es aperiódica Ejemplo C4 x(n) = A Cos ( 2πn/N) y N = C/B es decir N pertenece a los racionales con C y B enteros no simplificables. Si calculamos x( n+ kC)

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x(n + kC) = A Cos ( 2π ( n + kC) /N) = A Cos ( 2πn/N + 2πkC/N)=

=A Cos ( 2πn/N + 2πkB) = x(n) . Por lo tanto esta señal es periódica con período C.

D) De acuerdo a la potencia o energía:

D1) Para señales contínuas:

Se define la energía de una señal x(t) como:

Por otra parte , se define la potencia promedio normalizada de una señal x(t), como:

Si E es menor que infinito ( en cuyo caso P=0) la señal se dice que la señal es de energía

Si 0 < P y menor que infinito (En este caso E tiende a infinito) la señal es de potencia

D2) Para señales discretas: De manera equivalente al caso contínuo:

y se aplican los mismos criterios que para señales continuas

Ejemplos:

d1)

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Si se calcula la potencia de esta señal dará cero, mientras que la energía resulta A2τ. Por lo tanto esta señal , conocida como pulso rectangular, es una señal de energía.

d2)

( t0 positivo)

Esta señal es la anterior desplazada hacia la derecha t0 unidades de tiempo, por lo tanto es también de energía.

d3) x(t) = Tren periódico de pulsos

Si se calcula la energía de esta señal resulta ser infinita. La potencia por su parte resulta ser A2τ/T; por lo tanto esta es una señal de potencia.

En general , cualquier señal periódica es de potencia.

d4) Cualquier señal de duración limitada ( finita) en tiempo, es de energía

d5) x(n) = u(n) es una señal de potencia

d6) x(n) = n no es de energía ni de potencia, es una secuencia inestable.

d7) Determine E o P según corresponda

.

Si i t l ód l d t ñ l l d d t i fi it i fi it lt á l

)25.0t2(je)t(x π+=

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Si se integra el módulo de esta señal al cuadrado entre -infinito e infinito resultará que la energía es infinita.

Es una señal de potencia; además es periódica con período π. Por lo tanto

d8) Determine E o P según corresponda

En este caso la señal es de energía y esta se calcula como:

E) Según la simetría: Las señales se clasifican en :

E1)Pares si x( t) = x(-t) ó si x(n) = x(-n)

E2) Impares si x(t) = - x(-t) ó si x(n) = - x(-n)

Ejemplos: e1)

es el llamado pulso triangular es una señal par.

e2) x(t) = Senω0t es una señal impar

e3) x(t) = Función signo de t = sgn (t) = { 1 para t > 0 y -1 para t < 0} es una señal impar.

F) Señales reales o complejas: Por ejemplo

1e21P

2)25.0t2(j =π

= ∫π

π−

π+

)t(ue)t(x t2−=

41

4eeE

0

t42

0

t2 =−

==∞−∞ −∫

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Esta señal tiene parte real e imaginaria. Es decir es una función compleja

Todos estos tipos de señales ocuparán nuestro interés y sería conveniente poder expresarlas en función de alguna señal que sea común al tipo de problemas eléctricos a tratar y que además facilite la determinación del efecto de los sistemas sobre las señales que lo excitan. Esa señal será la más común en nuestro campo : exponenciales complejas y sinusoides.

Si revisamos la Teoría de Redes encontraremos que las respuestas de los sistemas pasivos R, L, C siempre incluyen exponenciales reales o complejas; por otra parte la caracterización de estas redes se logra con ecuaciones diferenciales cuya solución es inmediata si se considera como excitación cualquier función exponencial. Por ejemplo:

Para esta red se cumple:

pero como i=v0/R

Esta ecuación, es muy fácil de resolver si vi(t) es una función exponencial. Por otra parte, el análisis de Fourier permite representar una señal en función de sinusoides y si dicha señal alimenta a un sistema, la salida se podrá calcular como superposición de las respuestas individuales a cada sinusoide.

Todas estas razones han definido la importancia de representar cualquier señal en función de exponenciales y ésto a su vez ha facilitado el estudio de la acción de un sistema sobre cualquier entrada. En particular una señal sinusoidal que no es más que la parte real de una exponencial compleja, puede representarse completamente mediante tres alternativas:

1)En tiempo o representación temporal: Necesitamos amplitud, frecuencia y fase:

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Figura Nº 2.4

2) Representación fasorial

Figura Nº 2. 5

3) Representación espectral : En este caso solo necesitamos amplitud y fase, ya que f será la variable independiente. A esto se le conoce como espectro unilateral de la señal x(t) y nos proporcionará un método de análisis poderosísimo en el campo de las comunicaciones.La representación de la sinusoideanteriormente descritaserá la siguiente:

Figura Nº 2.6

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Para realizar el espectro de las señales, debemos seguir algunas reglas:

a) Las amplitudes siempre serán positivas. Si alguna es negativa la haremos positiva y agregaremos a la fase+ o- 180°. b) Los arreglos siempre se refieren a cosenos. Por lo tanto si queremos representar un seno colocamos una fase de -90° ya que senα=cos(α-90). Siempre expresaremos los arreglos en grados.

Ejemplo:

x1(t) = 2 + 3Cos ( 2π x 10t + 45°) + 4Sen 2 π x15t +5 Sen ( 2 π x 30t + 90°) - 6 Sen ( 2 π x 35 t + 180°)

Escrito convenientemente:

x1(t) = 2cos ( 2 π x 0t + 0) + 3cos ( 2 π x 10t + 45°) + 4 cos( 2 π x15t - 90°) + 5 cos 2 π x 30t + 6 cos ( 2 π x 35 t - 90°)

El espectro unilateral de x1(t) será:

También puede utilizarse el hecho de que:

para obtener el espectro bilateral de x(t).

Para el ejemplo anterior (señal x1(t)) se tiene el siguiente espectro bilateral:

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Figura Nº 2.8 Espectro Bilateral

El espectro bilateral de amplitud es par y el de fase impar

En conclusión: Debido a las razones expuestas anteriormente es conveniente utilizar sinusoides en la representación de señales. Decidido ésto se debe saber representar la sinusoide de diversas formas. En particular las representaciones espectrales unilateral y bilateral serán de gran utilidad. Ejercicio: Dibuje el espectro bilateral de la siguiente señal: 2Cos2πt-3Sen2πt

Solución: Como ambas tienen la misma frecuencia y diferente fase (una es seno la otra coseno) se hace la representación de cada una en fasores, se suma y luego se construye el espectro bilateral.

Esto resulta 3.6Cos(2πt+56.31°)

De esta forma el espectro bilateral de magnitud tiene dos líneas ubicadas en 1Hz y -1Hz con altura 1.8

El espectro de fase tiene una línea en 1 Hz con altura 56.31° y en -1Hz con altura -56.31°

2.3.- SISTEMAS: Matemáticamente hablando, un sistema es la relación funcional entre una entrada "x" y la salida "y".

y(t) = T [ x(t) ]

y(n) = T [ x(n) ]

Los sistemas se clasifican en :

A) Lineales y no lineales: Un sistema es lineal si se puede aplicar el principio de superposición, es decir, si

y1(t)= T [ x1(t) ] y y2(t) = T [ x2(t) ] entonces si el sistema es lineal, se cumplirá que:

T [ ( ) b ( ) ] ( ) b ( )Página 10

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T [a x1(t) + b x2(t) ] = a y1(t) + b y2(t) .

Ejemplos:

a1) T [ x(t) ] = a x(t) es un sistema lineal.

a2) T [ x(t) ] = a x2(t) es no lineal

a3) T [ x(t) ] = a x(t) + b es un sistema no lineal. A este tipo de sistema se le llama lineal incremental .

B) Invariante o variante en el tiempo:

Un sistema donde y(t) = T [ x(t) ] se dice que es invariante en el tiempo si al excitarlo con x( t - t0 ) genera y( t - t0 ). La definición es similar para sistemas discretos. En otras palabras el comportamiento del sistema no cambia con el tiempo. Ejemplo: y(t) =t x(t) es variante en el tiempo.

C) Causal o no causal: Un sistema es causal si la salida no comienza antes de aplicar la excitación de entrada, es decir si no es anticipativo. La salida para t= t0 (ó para n= n0) , solo depende de los valores de entrada para t menor que t0 (o para n menor n0) y de los valores de la salida para t menor que t0 (ó para n menor que n0)

Cuando las señales provenientes de un proceso físico son almacenadas, uno puede realizar sobre ella procesamiento de tipo no causal.

D) Estable o inestable: Un sistema es estable si para entradas limitadas en amplitud, la salida también es limitada.

Ejemplo:

Para un sistema integrador, si por ejemplo x(t) = u(t), la salida y(t) crecerá, en principio, hasta el infinito; por lo tanto este sistema es inestable.

E) Sistemas con y sin memoria: Un sistema se dice que no tiene memoria si la salida para cada valor de t ( ó n) solo depende de la entrada en ese instante

Ejemplos:

e1) y(t) = A x(t) es un sistema sin memoria

e2) y(t) = x2(t) -2x(t) es un sistema sin memoria.

e3) y(n) = x(n-2)-x(n)+2x(n-1) define un sistema discreto con memoria.

F) Sistemas invertibles o no invertibles: Si para entradas diferentes, las salidas también son diferentes entre sí, el sistema en cuestión se dice que es invertible.

Ejemplos:Página 11

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Ejemplos:

f1) y(t) = A = constante (es no invertible)

f2) y(t) = x2(t) (es no invertible)

2.4.- RESPUESTA DE SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO A SINUSOIDES: RESPUESTA EN FRECUENCIA

Supongamos ahora, que se tiene un sistema de tiempo continuo lineal, invariante en el tiempo, causal y estable que se excita con una señal continua en tiempo x(t) dada por:

En este caso la salida de dicha red será una señal y(t):

Donde las frecuencias angulares son iguales. Definamos a la red a través de su función transferencia H(jω) donde:

Debido a que la red es lineal, es posible aplicar superposición de forma que si

la salida y(t) vendrá dada por:

Para un Coseno,

entonces:

y como x(t) es real y(t) también lo será.

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Expresemos

En ese caso, al considerar que la parte imaginaria de y(t) debe ser nula, se determinan algunas características de la función transferencia:

Eso implica que

Por lo tanto la magnitud debe ser una funcion par y la fase una funcion impar

Es decir, la magnitud de la función transferencia es una función par y su fase una función impar. Con estas últimas consideraciones , se tiene que

Es decir:

- La amplitud de la sinusoide de salida es el producto de la amplitud de entrada multiplicada por el módulo de la función de transferencia a la frecuencia de excitación. - La fase de la sinusoide de salida es la suma de la fase de entrada mas el desfasaje que produce la red a la frecuencia de excitación.

Todo esto nos proporciona una forma muy útil de caracterizar una red: Se le excita con sinusoides de diferentes frecuencias y se observa la relación de amplitudes y fases entre salida y entrada a cada frecuencia. Esto se conoce como respuesta en frecuencia del sistema y es información importantísima a la hora de diseñar un módulo de comunicaciones completo.

Para el caso discreto, se define la respuesta en frecuencia como

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Por lo tanto, si la entrada es una sinusoide discreta del tipo

La salida será:

Es decir:

- La amplitud de la sinusoide de salida es el producto de la amplitud de entrada multiplicada por el módulo de la función de transferencia a la frecuencia de excitación.

- La fase de la sinusoide de salida es la suma de la fase de entrada más el desfasaje que produce la red a la frecuencia de excitación.

2.5.- SEÑALES ESPECIALES:

Existen señales que, incluso sin que sea posible generarlas en la práctica, son muy útiles para el modelaje y resolución de sistemas . Una de ellas es la delta de Dirac o impulso contínuo el cual está definido como:

Esta función satisface las siguientes propiedades:

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Una propiedad muy interesante de la Delta de Dirac es la de escalamiento en tiempo

Existe el equivalente en el mundo discreto llamado impulso discreto el cual está definido como

δ(n) = { 1 para n=0 y 0 para n distinto de 0} .

Entre sus propiedades tenemos

- x(n)δ(n) = x(0)δ(n) Otra función que será muy útil en el área de comunicaciones es la función Sinc(x)

Ejercicios varios:

1) Grafique la señal e-5t u(t+2)-e5tu(-t+2)

Grafiquemos primero u(t+2) y u(-t+2)

)t(a1)at( δ=δ

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Y ahora multiplicamos por las exponenciales

Finalmente se restan

2) Explique en que consiste la operación de escalamiento para secuencias, definida como y(n)=x(kn) para k positivo, mayor que 1 y entero.

En este caso la secuencia de salida y(n) tendrá solo algunos de los valores de la secuencia de entrada x(n).Por ejemplo y(n)=x(2n),entonces y(0)=x(0), y(1)=x(2),...Se observa que x(1) se perdió.

3) determine el periodo de las siguientes secuencias:

x(n)=5Sen2n (no es periódica)

x(n)=5Cos(0.2πn) (N=10)

x(n)=5Cos(6πn) (N=1)

x(n)=5Sen(6πn/35) (N=35)

4) determine si el siguiente sistema es lineal

y(t)=x(t)x(t-1) (No es lineal)

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