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© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20081
SEPS – SinaisOs sinais podem ser:
Contínuoem t
Discretoem t
Amplitude não quantificada
Amplitude quantificada
Amplitude não quantificada
Amplitude quantificada
Sinaisanalógicos
Sinaisdigitais
s(t)
t
( )s t
0
( )qs t
0 t t
( )ss nT
0
( )q ss nT
0 tsT snTsnTsT
Discreto
DigitalAnalógico
Contínuo
quantificação
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20082
SEPS – Processadores de sinal
Os sinais s1(t), s2(t) e s3(t) são equivalentes ?
Em que condições ?
O sinal s(t) pode ser processado de forma equivalente por
Contínuo
Processamento digital
Processamento analógico
Processadorcontínuo
Processador comamostragem
Processadordigital
ConversorA/D
ConversorD/A
Filtroanalógico
1( )s t
2( )s t
3( )s t
sina
l co
ntín
uo,
()
st
sω
sωsω
Digital Processador numérico
Processador analógicoAmostrado
Processador
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20083
SEPS – Transformadas de sinais I
X(ω) é um desenvolvimento contínuo de x(t) em funçõescomplexas ortogonais de duração infinita φα(x)
Funções:
Ortogonalidade:
x(t) periódico origina espectro de riscas
Transformada integral de Fourier:
Directa:
Inversa:
Transformada integral de Fourier:
Directa:
Inversa:
{ }( ) ( ) ( )j tX x t e dt x tωω∞ −
−∞= =∫ F
{ }11( ) ( ) ( )
2j tx t X e d Xωω ω ω
π∞ −
−∞= =∫ F
( ) , j xx e xααφ = −∞ < < ∞
*( ) ( ) ( )E x xβαφ φ δ α β⎡ ⎤ = −⎣ ⎦
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20084
SEPS – Transformadas de sinais II
Série de Fourier: O sinal x(t) periódico com períodoT0= 2π/ω0 tem o desenvolvimento em série de Fourier
onde cn são os coeficientes de Fourier
Série de Fourier: O sinal x(t) periódico com períodoT0= 2π/ω0 tem o desenvolvimento em série de Fourier
onde cn são os coeficientes de Fourier
0( ) jnw tn
n
x t c e∞
=−∞= ∑
00
0
/2
/20
1( )
Tjnw t
nT
c x t e dtT
−
−= ∫
O coeficiente cn representa o conteúdo espectral de x(t) na frequência nω0: espectro de riscas (amplitude e fase)
{ }
{ }arg
, amplitude
arg , fasen
nj c
n nn
cc c e
c
⎧⎪⎪= → ⎨⎪⎪⎩
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20085
SEPS – Transformadas de sinais III
X(s) é uma extensão da transformada de Fourier querepresenta o desenvolvimento contínuo de x(t) em funçõescomplexas exponenciais de duração infinita est coms=σ+jω (transformada de Fourier obtém-se com σ = 0)Pode existir transformada de Laplace sem que existatransformada de Fourier
Transformada integral de Laplace:
Directa:
Inversa:
Onde γ é um contorno vertical no plano complexo, escolhido de forma a que as singularidades de X(s) estejam à sua esquerda
Transformada integral de Laplace:
Directa:
Inversa:
Onde γ é um contorno vertical no plano complexo, escolhido de forma a que as singularidades de X(s) estejam à sua esquerda
{ }( ) ( ) ( )stX s x t e dt x t∞ −
−∞= =∫ L
{ }11( ) ( ) ( )
2
jst
jx t X s e ds X s
j
γ
γπ+ ∞ −
− ∞= =∫ L
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20086
SEPS – Transformadas de sinais IV
Sistema linear einvariante notempo (SLIT)
( )
( )
x t
X s
↓ L
( )
( )
y t
Y s
↓ L
Sistema linear einvariante notempo (SLIT)
( )
( )
y t
Y ω
↓ F
( )
( )
x t
X ω
↓ F
T(s) é a resposta do sistema a um impulso unitáriox(t)=δ(t) (X(s)=1 para todo o s)T(s) permite estudar a estabilidade do sistemaCom o conhecimento de T(s) pode estudar-se a respostado sistema a qualquer excitação, desde que se conheça a transformada destaPara sistemas com excitação periódica pode usar-se a transformada de Fourier (σ = 0)
( )( )
( )Y s
T sX s
=
( )( )
( )Y
TX
ωω
ω=
função de sistema
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20087
SEPS – Transformadas de sinais V
incómodo das funçõesexponenciais
t
( )y t
0 t0 0 tsT snTsnTsT
1
( )x t
Transformada Z: simplifica a descrição e a análise de sistemas discretos (amostrados) no domínio da frequência
y(t) resulta da multiplicação do sinal x(t) por uma sériede impulsos de Dirac (pente)
Transformada de Laplace: 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s sn n
y t x t t nT x nT t nTδ δ∞ ∞
=−∞ == ⋅ − = ⋅ −∑ ∑
{ } 2
0
( ) (0) ( ) (2 )
( )
s s
s
sT sTs s
nsTs
n
y t x x T e x T e
x nT e
− −
∞−
=
= + + +
= ×∑
L
sistema causal
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20088
Plano z Plano s
jω
σ
0
1
1
ssTz e=
SEPS – Transformadas de sinais VI
Transformada Z:Directa:
Inversa:
onde γ é um contorno fechado na região de convergência de X(z) que inclui a origem do plano z
Transformada Z:Directa:
Inversa:
onde γ é um contorno fechado na região de convergência de X(z) que inclui a origem do plano z
{ }0
( ) ( ) ( )ns s
n
X z x nT z x nT∞
−
== =∑ Z
Fazendo o semi-plano complexoesquerdo do plano s émapeado no interior da circunferênciaunitária (sistemasestáveis)
ssTz e=
{ }1 11( ) ( ) ( )
2n
sx nT X z z dz X zj γπ
− −= =∫ Z
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20089
SEPS – Transformadas de sinais VII
Análise no domínio do tempo:
Transformada Z: muito cómoda para a análise em frequênciados sistemas discretos
Análise no domínio da frequência:
1z−
( )X z ( )Y z
1( )Y z z−⋅
α
equação às diferenças, pode ser complicada (equivale àresolução da equação diferencialnos sistemas contínuos)
mais simples
( ) [( 1) ] ( )s s sy nT y n T x nTα− ⋅ − =
1
1
( ) ( ) ( )
1( ) ( )
1
Y z Y z z X z
Y z X zz
α
α
−
−
− ⋅ ⋅ =
⇒ =− ⋅
sT
( )sx nT ( )sy nT
( )s sy nT T−
α
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200810
SEPS – Amostragem de sinais I
Amostragem: multiplicação de um sinal x(t) por um sinal de amostragem xa(t), que tem o valor 0 ou 1, produzindo o sinal y(t)
( )x t ( )y t
( )ax t
τsT t
1
0
0
t
t
t
( ), 0ax t τ →
( )x t
( )y t
sT
5 sT
1-Amostragem periódica ideal:O sinal xa(t) é um pente de Diracs(função delta ou impulso)
e portanto
1-Amostragem periódica ideal:O sinal xa(t) é um pente de Diracs(função delta ou impulso)
e portanto
( ) ( )a sn
x t t nTδ∞
=−∞= −∑
( ) ( ) ( )
( ) ( )
sn
s sn
y t x t t nT
x nT t nT
δ
δ
∞
=−∞∞
=−∞
= ⋅ −
= ⋅ −
∑
∑
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200811
SEPS – Amostragem de sinais II
Espectro do sinal amostrado
xa(t) é um sinal periódico com período Ts=2π/ωs (período de amostragem) e pode assim ser representado pela série de Fourier
com coeficientes
desta forma
2( ) , sjn t
a n ssn
x t c e Tω πω
∞
=−∞= =∑
1( ) ( ) ( ) ( ) sjn t
as n
y t x t x t x t eT
ω∞
=−∞= ⋅ = ⋅ ∑
/2 /2
/2 /2
1 1 1( ) ( )
s ss s
s s
T Tjn t jn t
n aT Ts s s
c x t e dt t e dtT T T
ω ωδ− −
− −= = =∫ ∫
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200812
SEPS – Amostragem de sinais III
Y(ω) apresenta um número infinito de repetições do espectrooriginal X(ω), centradas em múltiplos da frequência de amostragem
Espectro do sinal amostrado (continuação)Aplicando a transformada de Fourier a y(t) vem
( )
( )
1( ) ( ) ( )
1 ( )
1 ( )
s
s
s
j t jn t j t
s n
j n t
s nX n
ss n
Y y t e dt x t e e dtT
x t e dtT
X nT
ω ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω
∞∞ ∞− −
−∞ −∞ =−∞∞ ∞ − −
−∞=−∞−
∞
=−∞
⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
=
= −
∑∫ ∫
∑ ∫
∑
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200813
SEPS – Amostragem de sinais IV
ω
( )Y ω
{ }arg ( )Y ω
0
ω0 sω snωsω−
1/ sT
snωsωsω−
ω
ω
( )X ω
{ }arg ( )X ω
0
função parde ω
função ímparde ω
1x(t) é um sinal real e portanto o seuespectro tem simetria conjugadaX(ω) =X*(-ω)Com um filtro passa-baixo com largura de banda ωc<ωs/2 poderecuperar-se o sinal original x(t)Com um filtro passa-banda centradoem nωs e com largura de banda(bilateral) ωs pode recuperar-se o espectro de x(t) deslocado para nωs
A amostragem periódicaaltera o espectro do sinal !
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200814
SEPS – Amostragem de sinais V
Se o espectro X(ω) contiver frequências superiores a ωs/2 ocorremsobreposições espectrais em Y(ω) (soma de componentesvectorias) que impedem a recuperação do sinal original x(t)
Teorema da amostragem (passa-baixo):Seja x(t) um sinal com espectro X(ω) tal que
Nesta condição a sequência x(nTs) com Ts=2π/ωs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que ωs ≥ 2ωM
Teorema da amostragem (passa-baixo):Seja x(t) um sinal com espectro X(ω) tal que
Nesta condição a sequência x(nTs) com Ts=2π/ωs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que ωs ≥ 2ωM
( ) 0, MX ω ω ω= ≥
ω 0 sω0 ω
( )X ω ( )Y ω
! Aliasing
/2sω/2sω
/2sB ω>
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200815
SEPS – Amostragem de sinais VI
A amostragem ideal tem o inconveniente de multiplicar o espectro por 1/Ts
Energia muito baixase Ts for elevado
Permite aumentar a energiado sinal amostrado
2-Amostragem ideal com retenção da amostra:
O sinal xa(t) é um pente de Diracs (função delta ou impulso) mas as amostras são retidasdurante um intervalo de tempo de duração τ
2-Amostragem ideal com retenção da amostra:
O sinal xa(t) é um pente de Diracs (função delta ou impulso) mas as amostras são retidasdurante um intervalo de tempo de duração τ
( )x t ( )y t
( )pr t
τ sT0 t
t
( )ax t
t
0
Retenção daamostradurante τ
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200816
SEPS – Amostragem de sinais VII
Espectro do sinal amostradoO sinal amostrado y(t) pode ser visto como a resposta de um sistema
linear, com resposta impulsional p(t), ao sinal amostrado x(t)⋅xa(t) ou seja
Aplicando a transformada de Fourier vem
( ) [ ( ) ( )] ( )ay t x t x t p t= ⋅ ⊗
{ }espectro da amostragem ideal
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 ( )
1 = ( )
a
j
ss n
j
ss n
F
Y x t x t P
eX n
T j
eX n
j T
ωτ
ωτ
ω
ω ω
ω ωω
ω ωω
∞ −
=−∞∞−
=−∞
= ⋅ ⋅
⎛ ⎞ −⎟⎜= − ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
−⋅ −
∑
∑
F
( )p t
τ sT t
1
F
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200817
SEPS – Amostragem de sinais VIII
O espectroY(ω) apresentaum número infinito de repetições do espectrooriginal X(ω), centradasem múltiplos dafrequência de amostragem, mas multiplicadas pelofactor (complexo) F(ω) que é uma funçãocontínua de ω
21 sin( /2)
( ) =/2
j j
s s
eF e
j T T
ωτωτ τ ωτω
ω ωτ
− −−= ⋅ ⋅
0 sω 2 sω 3 sω 4 sω0
0.25
0.5
0.75
1
frequência angular, ω
sin( /2)( )
/2sF
Tτ ωτ
ωωτ
= ⋅
sTτ =
2sT
τ =
4sT
τ =
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200818
SEPS – Amostragem de sinais IX
3-Amostragem rectangular:O sinal xa(t) é construído como a repetição periódica, com período Ts, do pulso p(t), de duração τ <Ts e admite a série de Fourier
com coeficientes
3-Amostragem rectangular:O sinal xa(t) é construído como a repetição periódica, com período Ts, do pulso p(t), de duração τ <Ts e admite a série de Fourier
com coeficientes
( ) ( ) ( )
2 , s
a p sn
jn tn s
sn
x t r t p t nT
c e Tω πω
∞
=−∞∞
=−∞
= = −
= =
∑
∑
/2
/2
2
1( )
sin( /2) =
/2
ss
s
s
Tjn t
n aTs
njs
s s
c x t e dtT
ne
T n
ω
ω ττ ω τω τ
−
−
−
=
⋅ ⋅
∫
( )x t
( )y t
τ sT0 t
t
( )ax t
0
o sinalamostradosegue x(t) durante τ
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200819
SEPS – Amostragem de sinais X
( ) ( )n sn
Y c X nω ω ω∞
=−∞= −∑
Espectro do sinal amostrado
A análise é semelhante ao caso da amostragem ideal pois xa(t) éperiódica, embora com coeficientes de Fourier diferentes. Recuperando o resultando para este tipo de amostragem temos
Y(ω) apresenta um número infinito de repetições do espectro original X(ω), centradas em múltiplos da frequência de amostragem, cada uma delas multiplicada pelo valor complexo cnmas que é fixo para cada repetição em nωs e tem o valor
( )sn nc F ω ωω ==
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200820
SEPS – Amostragem de sinais XI
0 sω 2 sω 3 sω 4 sω
0 sω 2 sω 3 sω 4 sω
ω
ω
Amostragem ideal com retenção
Amostragem rectangular
sin( /2)( )
/2sF
Tτ ωτ
ωωτ
=
sin( /2)( )
/2
1 sin( /2)
2 /2
sn s
s s
nc F n
T n
nn
τ ω τω
ω τ
ππ
= =
=
2sT
τ =
2sT
τ =
espectro desaparece
Espectro do sinal amostrado, Y(w)
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200821
SEPS – Amostragem de sinais XIISe o sinal x(t) for passa-banda:
Para não ocorrer sobreposição das réplicas “positivas” énecessário que:
s M m M ms
M s m
Nf f f f ff
Nf Nf f
− + <⎧⎪ −⎪ ⇒ >⎨⎪ < +⎪⎩
N0
P0P-N PN
P0
s MNf f− + s mNf f−
mf Mfmf−Mf− 0 f
f
( )X f f∆
0f
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200822
SEPS – Amostragem de sinais XIII
Para não ocorrer sobreposição entre as réplicas “negativas”e “positivas” é necessário que:
2( 1) 1
2
mss m m
MM s Ms
ffN f f f N
ff Nf ff
N
⎧⎪ <⎪⎧ − − <⎪ ⎪ −⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪< −⎪ ⎪⎩ >⎪⎪⎩
P0NN-1 NN
( 1) s mN f f− − s MNf f−f
N0 P0
mf Mfmf−Mf− 0 f
( )X f f∆
0f
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200823
SEPS – Amostragem de sinais XIV
Teorema da amostragem (passa-banda):Seja x(t) um sinal com espectro X(f) tal que
Nesta condição a sequência {x(nTs)} com Ts=1/fs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que
com N ≥ 1.
Teorema da amostragem (passa-banda):Seja x(t) um sinal com espectro X(f) tal que
Nesta condição a sequência {x(nTs)} com Ts=1/fs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que
com N ≥ 1.
0 0( ) 0, 2 2f f
X f f f f∆ ∆
= + ≤ ≤ −
0 02 22 21
s
f ff ff
N f f N f
∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟≤ ≤⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜∆ ∆ − ∆⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Como fm = f0 - ∆f/2 e fM = f0 + ∆f/2 temos:
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200824
3N =2N =1N =
sff∆
2of
f
f
∆+
∆
10 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
0
limite superior
limite inferior
7
6
2.5
2.5
SEPS – Amostragem de sinais XV
Este gráfico dá os valores de fs que satisfazem o teorema anterior, ou seja, para os quais não existe sobreposição de quaisquer das réplicas (para frequências positivas e negativas) geradas pelo processo de amostragem
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200825
SEPS – Amostragem de sinais XVI
Temos que 2fM > 2fM –fm > fM –fm o que significa que se não ocorrer sobreposicão entre as réplicas “positivas” e “negativas”então também não ocorre entre réplicas “positivas” (ou “negativas”) pois
O teorema da amostragem passa-baixo obtém-se considerando N = 1 e f0 = ∆f/2, de que resulta 2∆f ≤ fs <¶Do gráfico verificamos que o valor mínimo da frequência de amostragem é fs =2∆f , mas só pode ser utilizado quando
pelo que em geral se terá fs >2∆f
2 M M ms s
f f ff f
N N−
> ⇒ >
( )0
0122 1
m M
ff f f
N f N f ff N N
∆+
= ⇔ = − ∆ ⇔ ∆ = =∆ −
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200826
SEPS – Amostragem de sinais XVIISinal de informação passa-banda com f0=1.024 MHz e ∆f=512 kHz (por exemplo, pode ser um sinal ADSL AsymmetricDigital Subscriber Link). Temos:
e pelo teorema anterior2 2.5 3
5 31
1 5
s
s
s
fN
ffN f N f
Nf
⎧⎪ = ⇒ ≤ ≤⎪⎪ ∆⎪≤ ≤ ⇒ ⎨⎪∆ − ⎪ = ⇒ ≤ ≤ ∞⎪⎪ ∆⎩
0 00 2 22 2.5 1.5
f ff ff
f f f
∆ ∆+ −
= = =∆ ∆ ∆
Nota: se N = 3
51.6(6) 1.5
3sff
= ≤ ≤∆
impossível (para N ≥ 3)
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200827
SEPS – Amostragem de sinais XVIII
Ocorre sobreposição para fs/∆f < 2.5 e para 3 < fs/∆f < 5
/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6
/sf f∆
P0N0
/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6
P0N0
/sf f− ∆
/ 5sf f∆ =
N1P-1
/sf f∆/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6
P0N0
/sf f− ∆
/ 3sf f∆ =
N1P-2
2 /sf f∆
P1N2P-1
2 /sf f− ∆
N-1
/sf f∆/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6
P0N0
/sf f− ∆
/ 2.5sf f∆ =
N1P-2
2 /sf f∆
P1N2P-1
2 /sf f− ∆
N-1
2.52.5−
N3P-3
6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6
P0N0 N1P-2 P1N2P-1N-1
3 / 5sf f< ∆ <
( )X f
/f f∆
© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 200828
SEPS – Amostragem de sinais XIX
A amostragem ideal repete o espectro de x(t) sem deformação
A amostragem ideal seguida de retenção repete X(f) com atenuação e deformação espectral devido à multiplicação pela função F(ω). Esta deformação pode ser compensada com pré-distorção na banda que contém a repetição de X(f) com interesse
A amostragem rectangular repete o espectro X(f) sem deformação mas com atenuação devido à multiplicação pelos coeficientes cn
Para recuperar o sinal original x(t) é necessário amostrá-lo com um ritmo ωs>2ωM onde ωM é a frequência máxima de X(f) e filtrar passa-baixo
Para recuperar a informação contida no sinal x(t) é necessário amostrá-lo com um ritmo fs>2∆f onde ∆f é a largura do espectro de x(t) e filtrar passa-baixo ou passa-banda
Conclusões sobre a amostragem: