SEQUENCE - MWITt2010117/PDF/Sequence.pdfและเร ยกลำด บ ท ม โดเมนเปนเซตของจำนวนเต มบวกวาลำด บอน

SEQUENCE

Thanomsak Laokul

MWITS

3 มถนายน พ.ศ. 2556

Thanomsak Laokul (MWITS) SEQUENCE 3 มถนายน พ.ศ. 2556 1 / 49

Q&A

ลำดบคออะไร


Sequences

นยามลำดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำนวนเตมบวก

เรยกลำดบทมโดเมน {1, 2, 3, . . . } วา ลำดบจำกด (finite sequence)

และเรยกลำดบทมโดเมนเปนเซตของจำนวนเตมบวกวา ลำดบอนนต(infinite sequence)


Sequence

ให S แทนเซต ลำดบจำกดคอฟงกชนจาก {1, 2, 3, . . . , n} ไป S

f : {1, 2, 3, . . . , n} → S

Example

ให S = R ฟงกชนตอไปนเปนลำดบ{

(1, 1), (2,1

2), . . . , (n,

1

n)

}

{

(1, 1), (2,√2), . . . , (n,

√n)}

{(1, 100), (2, 99), . . . , (n, 1)}


Sequence

Example

ให S = {�,N,©} ฟงกชนตอไปนเปนลำดบ{(1,�), (2,N), (3,©), (4,�), . . . , (100,�)}

{(1,�), (2,�), (3,N), (4,N), (5,©), (6,©)}


Sequence

Example

ให S = {f1(x), f2(x), . . . , fn(x)} ฟงกชนตอไปนเปนลำดบ{(1, f1(x)), (2, f2(x)), . . . , (n, fn(x))}{

(1, f′

1 (x)), (2, f′

2 (x)), . . . , (n, f′

n(x))

}

{(

1,

∫ 1

0

f1(x)dx

)

,

(

2,

∫ 1

0

f2(x)dx

)

, . . . ,

(

n,

∫ 1

0

fn(x)dx

)}


Sequence

Example

ให S = C ฟงกชนตอไปนเปนลำดบ{

(1, i1), (2, i2), . . . , (n, in)}

{

(1, cos θ + i sin θ), (2, (cos θ + i sin θ)2), . . . , (3, (cos θ + i sin θ)n)}


Sequence

Example

ให S = M2(Z) ฟงกชนตอไปนเปนลำดบ{

(1,A), (2,A2), . . . , (n,An)}

เมอ A =

[

1 1

0 1

]

{

(1,B), (2,B2), . . . , (n,Bn)}

เมอ B =

[

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

]


Arithmetic sequence

จะเรยกลำดบ วาลำดบเลขคณต ถาผลตางระหวางพจนทตดกนเปนคาคงท นนคอลำดบa1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . เปนลำดบเลขคณต ถา

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = · · · = d

เมอ d เปนคาคงท และจะเรยก d วาผลตางรวม (common difference)


Arithmetic sequence

จะเรยกลำดบ วาลำดบเลขคณต ถาผลตางระหวางพจนทตดกนเปนคาคงท นนคอลำดบa1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . เปนลำดบเลขคณต ถา

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = · · · = d

เมอ d เปนคาคงท และจะเรยก d วาผลตางรวม (common difference)

พจนทวไปของลำดบเลขคณต

an = a1 + (n − 1)d


Geometric sequence

จะเรยกลำดบ วาลำดบเรขาคณต ถาอตราสวนของพจนทอยตดกน เปนคาคงท นนคอลำดบa1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . เปนลำดบเรขาคณต ถามจำนวนจรง r ซง

a2

a1=

a3

a2=

a4

a3= · · · = r , r 6= 0

เรยกจำนวนจรง r วาอตราสวนรวมของลำดบ


Geometric sequence

จะเรยกลำดบ วาลำดบเรขาคณต ถาอตราสวนของพจนทอยตดกน เปนคาคงท นนคอลำดบa1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . เปนลำดบเรขาคณต ถามจำนวนจรง r ซง

a2

a1=

a3

a2=

a4

a3= · · · = r , r 6= 0

เรยกจำนวนจรง r วาอตราสวนรวมของลำดบ

พจนทวไปของลำดบเรขาคณต

an = a1rn−1


การหาพจนทวไปของลำดบ

กำหนดให a1, a2, a3, . . . an, . . . เปนลำดบซงไมใชลำดบเลขคณตและไมใชลำดบเรขาคณต มวธในการหาพจนทวไปดงน




1. หาผลตางของแตละพจนทอยตดกน




1. หาผลตางของแตละพจนทอยตดกน2. ดผลตางทไดสดทายวาเปนลำดบเลขคณตหรอลำดบเรขาคณต




1. หาผลตางของแตละพจนทอยตดกน2. ดผลตางทไดสดทายวาเปนลำดบเลขคณตหรอลำดบเรขาคณต

3. สมมตพจนทวไปของลำดบตามแตกรณ3.1 ถามผลตางครงสดทายเปนลำดบเลขคณต ใชพจนทวไปเปน

an = a1 + (n − 1)d1 +(n − 1)(n − 2)d2

2!+

(n − 1)(n − 2)(n − 3)d33!

+ · · ·



Example

จงหาพจนทวไปของลำดบ 2, 6, 12, 20, 30, . . .



Example


Example




3.2 ถามผลตางครงสดทายเปนลำดบเรขาคณต



3.2 ถามผลตางครงสดทายเปนลำดบเรขาคณต3.2.1 ถาผลตางครงท 1 เปนลำดบเรขาคณต ใช

an = Arn−1 + B เมอ n = 1, 2




an = Arn−1 + B เมอ n = 1, 2

3.2.2 ถาผลตางครงท 2 เปนลำดบเรขาคณต ใช

an = Arn−1 + Bn + C เมอ n = 1, 2, 3




an = Arn−1 + B เมอ n = 1, 2


an = Arn−1 + Bn + C เมอ n = 1, 2, 3


an = Arn−1 + Bn

2 + Cn + D เมอ n = 1, 2, 3, 4



Example

จงหาพจนทวไปของลำดบ 1, 4, 13, 40, . . .



Example

จงหาพจนทวไปของลำดบ 1, 4, 13, 40, . . .

Example



ลมตของลำดบอนนต

พจารณาลำดบตอไปน1

1

2,1

3,1

4, . . .




1

2,1

3,1

4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเขาใกล 0




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5

4, . . .




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5





1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5


3 5, 5, 5, 5, . . .




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5


3 5, 5, 5, 5, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเทากบ 5




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . .




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเพมขนอยางไมมขอบเขต




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเพมขนอยางไมมขอบเขต5 6, 3, 0,−3,−6, . . .




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเพมขนอยางไมมขอบเขต5 6, 3, 0,−3,−6, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะลดลงอยางไมมขอบเขต




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเพมขนอยางไมมขอบเขต5 6, 3, 0,−3,−6, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะลดลงอยางไมมขอบเขต6 2,−2, 2,−2, . . .




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเพมขนอยางไมมขอบเขต5 6, 3, 0,−3,−6, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะลดลงอยางไมมขอบเขต6 2,−2, 2,−2, . . . ไมมลมต




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเพมขนอยางไมมขอบเขต5 6, 3, 0,−3,−6, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะลดลงอยางไมมขอบเขต6 2,−2, 2,−2, . . . ไมมลมต7 2, 5, 3,−4, 6, 9,−7, . . .




1

2,1

3,1


2 2,3

2,4

3,5



4 1, 2, 3, 4, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะเพมขนอยางไมมขอบเขต5 6, 3, 0,−3,−6, . . . เมอ n มคาเพมขน คาของ an จะลดลงอยางไมมขอบเขต6 2,−2, 2,−2, . . . ไมมลมต7 2, 5, 3,−4, 6, 9,−7, . . . ไมมลมต







นยามลำดบ {an} เปนลำดบลเขาส L (converge to L) ถาสำหรบแตละ ǫ > 0

จะมจำนวนเตมบวก N ซงทำให |an − L| < ǫ สำหรบ n ≥ N และเขยนแทนดวย

limn→+∞

an = L

ลำดบทไมเปนลำดบลเขา เรยกวาลำดบลออก (divergence sequence)




การหาลมตของลำดบโดยใชกราฟ

{

(−1)n+1}∞

n=1



{

n

n + 1

}

∞

n=1



{

sinnπ

2

}

∞

n=1


Limit of a sequence

Theoremสมมตใหลำดบ {an} และ {bn} เปนลำดบลเขาส L1 และ L2 ตามลำดบ และ c

เปนคาคงท จะไดวา1 lim

n→∞

c = c


Limit of a sequence



n→∞

c = c

2 limn→∞

can = c limn→∞

an = cL1


Limit of a sequence



n→∞

c = c

2 limn→∞

can = c limn→∞

an = cL1

3 limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn = L1 + L2


Limit of a sequence



n→∞

c = c

2 limn→∞

can = c limn→∞

an = cL1

3 limn→∞


an + limn→∞

bn = L1 + L2

4 limn→∞

(an − bn) = limn→∞

an − limn→∞

bn = L1 − L2


Limit of a sequence



n→∞

c = c

2 limn→∞

can = c limn→∞

an = cL1

3 limn→∞


an + limn→∞

bn = L1 + L2

4 limn→∞


an − limn→∞

bn = L1 − L2

5 limn→∞

(anbn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = L1L2


Limit of a sequence



n→∞

c = c

2 limn→∞

can = c limn→∞

an = cL1

3 limn→∞


an + limn→∞

bn = L1 + L2

4 limn→∞


an − limn→∞

bn = L1 − L2

5 limn→∞

(anbn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = L1L2

6 limn→∞

(

an

bn

)

=lim

n→∞

an

limn→∞

bn=

L1

L2(L2 6= 0)


การหาลมตของลำดบโดยใชทฤษฎ

Theoremถา c เปนคาคงท และ f (n) เปนพหนามในเทอมของ n โดยท

limn→∞

f (n) = ∞ แลว limn→∞

c

f (n)= 0



Example

จงหาลมตของลำดบตอไปน1.

{

2n + 1

3n − 5

}

∞

n=1



Example


{

2n + 1

3n − 5

}

∞

n=1

2.

{

n

2n + 1

}

∞

n=1



Example


{

2n + 1

3n − 5

}

∞

n=1

2.

{

n

2n + 1

}

∞

n=1

3.

{

3 +3

n+

4

n2

}

∞

n=1



Example


{

n2 + 4n + 1

4n2 − 2n + 5

}∞

n=1



Example


{

n2 + 4n + 1

4n2 − 2n + 5

}∞

n=1

5.

{

2n2 + 3n

1− 5n + 4n2

}∞

n=1



Example


{

n2 + 4n + 1

4n2 − 2n + 5

}∞

n=1

5.

{

2n2 + 3n

1− 5n + 4n2

}∞

n=1

6.

{√5n2 + 1

7n + 4

}

∞

n=1



Example

จงหาลมตของลำดบตอไปน

7.

{

(

2n − 1

4n + 5

)2}

∞

n=1



Example


7.

{

(

2n − 1

4n + 5

)2}

∞

n=1

8.

{

5 +2n − 1

2n+1

}

∞

n=1



Example


7.

{

(

2n − 1

4n + 5

)2}

∞

n=1

8.

{

5 +2n − 1

2n+1

}

∞

n=1

9.

{

4n3 − 3n2 + 2n + 1

3n2 − 2n + 2

}∞

n=1



Example


{√n + 1−√

n}

∞

n=1



Example


{√n + 1−√

n}

∞

n=1

11.{√

n2 − 5n + 6− n}

∞

n=1



Example


{√n + 1−√

n}

∞

n=1

11.{√

n2 − 5n + 6− n}

∞

n=1

12.

{

(−1)n+1n

2n + 1

}

∞

n=1



Example


{

(−1)n+11

n

}

∞

n=1



Example


{

(−1)n+11

n

}

∞

n=1

14. {8− 2n}∞n=1



Exampleจงหาลมตของลำดบ

{ n

en

}

∞

n=1




{ n

en

}

∞

n=1


{

n√n}

∞

n=1


Theorem

Theoremลำดบ {an}∞n=1

เปนลำดบทลเขาสคา L ถาพจนเลขค และพจนเลขคของลำดบตางกลเขาสคา L


Theorem

Theorem

ถา an =f (n)

g(n)โดยท f (n) และ g(n) เปนพหนามในเทอมของ n

เมอ f (n) มพจนทมดกรสงสด มคาเปน akn

g(n) มพจนทมดกรสงสด มคาเปน bkn

และ g(n) 6= 0, a, b 6= 0


Theorem

Theorem

ถา an =f (n)




และ g(n) 6= 0, a, b 6= 0

1 ถา k = s แลว limn→∞

an =a

b


Theorem

Theorem

ถา an =f (n)




และ g(n) 6= 0, a, b 6= 0


an =a

b

2 ถา k < s แลว limn→∞

an = 0


Theorem

Theorem

ถา an =f (n)




และ g(n) 6= 0, a, b 6= 0


an =a

b

2 ถา k < s แลว limn→∞

an = 0

3 ถา k > s แลว limn→∞

an เปนลำดบลออก


Examample

Example

จงหาลมตของลำดบ ตอไปน1

an =8n2 + 2n − 1

3n2 + 3


Examample

Example


an =8n2 + 2n − 1

3n2 + 3=⇒ lim

n→∞

an =8

3


Examample

Example


an =8n2 + 2n − 1

3n2 + 3=⇒ lim

n→∞

an =8

3

2

an =4√n + 3 3

√n + 5

3n + 4


Examample

Example


an =8n2 + 2n − 1

3n2 + 3=⇒ lim

n→∞

an =8

3

2

an =4√n + 3 3

√n + 5

3n + 4=⇒ lim

n→∞

an = 0


Examample

Example


an =8n2 + 2n − 1

3n2 + 3=⇒ lim

n→∞

an =8

3

2

an =4√n + 3 3

√n + 5

3n + 4=⇒ lim

n→∞

an = 0

3

an =2√n + 5 3

√n + 7

5− 3√n +

√n


Examample

Example


an =8n2 + 2n − 1

3n2 + 3=⇒ lim

n→∞

an =8

3

2

an =4√n + 3 3

√n + 5

3n + 4=⇒ lim

n→∞

an = 0

3

an =2√n + 5 3

√n + 7

5− 3√n +

√n

=⇒ limn→∞

an = 2


Examample

Example


an =3√n + 5

√n + 3

11− 2 5√n + 3 3

√2n


Examample

Example


an =3√n + 5

√n + 3

11− 2 5√n + 3 3

√2n

=⇒ limn→∞

an =1

3 3√2


Examample

Example


an =3√n + 5

√n + 3

11− 2 5√n + 3 3

√2n

=⇒ limn→∞

an =1

3 3√2

2

an =(2n + 3

√n)(1− 4n + n2)

6n3 − 3n2 + 7


Examample

Example


an =3√n + 5

√n + 3

11− 2 5√n + 3 3

√2n

=⇒ limn→∞

an =1

3 3√2

2

an =(2n + 3

√n)(1− 4n + n2)

6n3 − 3n2 + 7=⇒ lim

n→∞

an =1

3


Examample

Example


an =3√n + 5

√n + 3

11− 2 5√n + 3 3

√2n

=⇒ limn→∞

an =1

3 3√2

2

an =(2n + 3

√n)(1− 4n + n2)

6n3 − 3n2 + 7=⇒ lim

n→∞

an =1

3

3

an =4n2 + 6n − 3√n3 + 8n − 2


Examample

Example


an =3√n + 5

√n + 3

11− 2 5√n + 3 3

√2n

=⇒ limn→∞

an =1

3 3√2

2

an =(2n + 3

√n)(1− 4n + n2)

6n3 − 3n2 + 7=⇒ lim

n→∞

an =1

3

3

an =4n2 + 6n − 3√n3 + 8n − 2

=⇒ limn→∞

an = หาคาไมได


Theorem

Theoremถา limn→∞ an หาคาได โดยท lim

n→∞

an = A แลว

limn→∞

(an)k =

(

limn→∞

an

)k

= Ak


Example

Example


{

√

8n2 − 4n

2n2 + 3n

}

∞

n=1


Example

Example


{

√

8n2 − 4n

2n2 + 3n

}

∞

n=1

2.{

(

2n + 3√n

2√n − 3n

)2}

∞

n=1


Example

Example


{

√

8n2 − 4n

2n2 + 3n

}

∞

n=1

2.{

(

2n + 3√n

2√n − 3n

)2}

∞

n=1

3.{

sinnπ

n + 1

}

∞

n=1


Example

Example


{

cos2nπ

3n + 1

}

∞

n=1


Example

Example


{

cos2nπ

3n + 1

}

∞

n=1

5.

5

2n

n + 3

∞

n=1


Example

Example


e

n

2n + 1

∞

n=1


Example

Example


e

n

2n + 1

∞

n=1

7.{

log

(

10− 1

5n

)}

∞

n=1


Example

Example


e

n

2n + 1

∞

n=1

7.{

log

(

10− 1

5n

)}

∞

n=1

8.{

log2n + 1

2n + 7

}

∞

n=1


Theorem

Theoremถา a1, a2, a3, . . . , an, . . . เปนลำดบสลบ (osciltates sequence) แลวจะไดวา

1 limn→∞

|an| = 0 แลว limn→∞

an = 0

2 limn→∞

|an| 6= 0 แลว an เปนลำดบลออก


Example

Example


{

(−1)n(2n − 1)

3n + 8

}

∞

n=1


Example

Example


{

(−1)n(2n − 1)

3n + 8

}

∞

n=1

2.{

(−1)n+1(2n − 5)

3n2 + 7

}∞

n=1


Example

Example


{

(−1)n(2n − 1)

3n + 8

}

∞

n=1

2.{

(−1)n+1(2n − 5)

3n2 + 7

}∞

n=1

3.{

(−1)n−1(√n + 3)

5n + 1

}∞

n=1


Theorem

Theoremกำหนดให an = f (n) + g(n) เปนนพจนของ n

1 ถา limn→∞

f (n) = ∞ และ limn→∞

g(n) = A แลว limn→∞

an = ∞


Theorem


1 ถา limn→∞



an = ∞

2 ถา limn→∞


g(n) = ∞ แลว limn→∞

an = ∞


Theorem


1 ถา limn→∞



an = ∞

2 ถา limn→∞



an = ∞

3 ถา limn→∞

f (n) = −∞ และ limn→∞

g(n) = −∞ แลว limn→∞

an = −∞


Theorem


1 ถา limn→∞



an = ∞

2 ถา limn→∞



an = ∞

3 ถา limn→∞

f (n) = −∞ และ limn→∞


an = −∞

4 ถา limn→∞



an ไมแนนอน


Example

Example


3n+1 + sinnπ

23n

∞

n=1


Example

Example


3n+1 + sinnπ

23n

∞

n=1

2.{√

3n +6n2

3n + 2

}∞

n=1


Example

Example


{

4n −√n}

∞

n=1


Example

Example


{

4n −√n}

∞

n=1

4.{√

n −√n + 1

}

∞

n=1


ลมตของลำดบเลขคณต

พจารณาan = a1 + (n − 1)d

จะไดวาlim

n→∞

an = limn→∞

a1 + limn→∞

(n − 1)d

ดงนน

limn→∞

an =

a1 เมอ d = 0

±∞ เมอ d 6= 0


ลมตของลำดบเรขาคณต

พจารณาan = a1r

n−1

จะไดวาlim

n→∞

an =(

limn→∞

a1

)(

limn→∞

rn−1

)

ดงนน

limn→∞

an =

0 เมอ |r | < 1

a1 เมอ r = 1

±∞ เมอ |r | > 1 6= 0


The Squeezing Theorem for Sequence

TheoremLet {an}, {bn}, and cn be sequences such that

an ≤ bn ≤ cn for all value of n

If the sequences {an} and {cn} have a common limit L as n → +∞, then{bn} also has the limit L as n → +∞



TheoremLet {an}, {bn}, and cn be sequences such that

an ≤ bn ≤ cn for all value of n

If the sequences {an} and {cn} have a common limit L as n → +∞, then{bn} also has the limit L as n → +∞

Example{

n!

nn

}

∞

n=1



Example(Excercise Set 10.1, 41, p638)

limn→+∞

sin2 n

n




limn→+∞

sin2 n

n


limn→+∞

(

1 + n

2n

)n


Excercise

Example(Excercise Set 10.1, 38, p638) Consider the sequencea1 =

√6

a2 =√

6 +√6

a3 =

√

6 +√

6 +√6

a4 =

√

6 +

√

6 +√

6 +√6

...(a) Find a recursion formula for an+1

(b) Assuming that the sequence converges, find the limit.


Excercise

Excercise

(Excercise Set 10.1, 49, p639) If we accept the fact that the sequence{

n

n+1

}+∞

n=1converges to the limit L = 1, then for every ǫ > 0 there exists an integer Nsuch that

|an − L| =∣

∣

∣

∣

n

n + 1− 1

∣

∣

∣

∣

< ǫ

when n ≥ N. In each part, find the smallest value of N for the given valueof ǫ.(a) ǫ = 0.25

(b) ǫ = 0.1

(c) ǫ = 0.001


Documents

SEQUENCE - MWITt2010117/PDF/Sequence.pdfและเร ยกลำด บ ท ม โดเมนเปนเซตของจำนวนเต มบวกวาลำด บอน