Upload
eddy-xavier-cajo-salas
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ing. ANGEL, AYALA HERRERATELECOMUNICACIONES
SERIE DE FOURIER
FITTSeries de Fourier
FITT
FITTLa primera serie de Fourier de la historiaEuler 1744 escribe en una carta a un amigo:Es cierto?
Observemos que en t = 0 hay problemas /2 = 0 La clave est en el concepto de funcin peridica.
FITT
octubre 2009FITTFunciones PeridicasUna funcin peridica f(t) cumple que para todo valor de t: f(t) = f(t + T).Al valor mnimo, mayor que cero, de la constante T que cumplelo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la funcin.Observa que:f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...
Cuestin: Es f(t) = cte. una funcin peridica?
FITT
octubre 2009FITT
FITT
octubre 2009FITT
FITT
FITTEs la suma de dos funciones peridicas una funcin peridica?Depende. Consideremos la funcin:
f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).
Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n.Es decir, que cumplan:
T = m/ (2p w1) = n/ (2p w2)
FITT
octubre 2009FITT
FITT
FITTVolvamos al resultado de Euler:Cmo lo alcanz?
FITT
FITTIntegrando trmino a trmino:Particularizamos t para encontrar C:
FITT
FITT
FITT
FITT(1) La funcin de Euler es peridica de periodo T = 2.
(2) La serie es una funcin impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2, la serie aproxima a Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximacin no es buena en "los extremos"...
FITT
FITTJoseph FourierEn diciembre de 1807 Joseph Fourier present un sorprendente artculo a la Academia de Ciencias en Pars. En l afirmaba que cualquier funcin puede escribirse en forma de serie trigonomtrica semejante al ejemplo de Euler.
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
FITT
octubre 2009FITT
Algunas funciones peridicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonomtrica de Fourier
Donde se denomina frecuencia fundamental.Serie trigonomtrica de Fourier
FITT
FITTCmo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una funcin peridica f(t), cmo se obtiene su serie de Fourier?
Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
FITT
FITTOrtogonalidadSe dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:
FITT
octubre 2009FITT
FITT
octubre 2009FITT
FITT
FITTCmo calcular los coeficientes de la serie?
FITT
octubre 2009FITT
FITT
octubre 2009FITT
FITT
octubre 2009FITT
FITT
octubre 2009FITT
FITT
octubre 2009FITT
FITT