S eries de F ourier. Las Series de trigonométricas de Fourier, o simplemente series de Fourier fueron desarrolladas por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en Paris). La idea que subyace en las series de Fourier es la descomposición de una señal periódica en términos de señales periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son múltiplos de la señal original. La idea de descomposición es un proceso fundamental en el área científica en general: la descomposición permite el análisis de las propiedades y la síntesis de los objetos o fenómenos.

A continuación se proponen dos graficas las cuales serán analizadas mediante las series de Fourier, con el fin de visualizar el comportamiento de las cargas forzadas periódicas: P(t)

Inicialmente se tiene que:

P (t )=a0+∑n=1

∞

an cosΩn t+¿∑n=1

∞

bn sinΩnt ¿

Donde sus respectivas constantes se expresan como:

a0=2T p

∫0

T p

p ( t )dt

an=2T p

∫0

T p

p( t)cosΩn t dt

bn=2T p

∫0

T p

p( t)sinΩnt dt

Dado el caso de una señal periódica compuesto por infinitos armónicos se encuentran se puede entender como el comportamiento de ondas

cuadradas (onda compuesta exclusivamente por armónicos impares cuya amplitud es inversamente proporcional al número de armónico).

De esta manera mediante el desarrollo de la gráfica dada se podrá denotar como dicha onda está compuesta exclusivamente por armónicos impares cuya amplitud es inversamente proporcional al número de armónico.

De tal manera que se procede a hallar las constantes de la serie y así mismo aplicar las relaciones al gráfico, sabiendo que:

T p=2πΩ

; Ωn=2 πnTp

;Ωn=Ωn

- Para a0 :

a0=2T p

∫0

T p

p (t )dt= 2T p [∫0

Tp2

−P0dt+∫Tp2

Tp

P0dt ] a0=

2T p [−P0 Tp2 +P0Tp−Po

Tp2 ]

P(t)

t

-Po

❑❑

Po

Tp

0≤ t ≤Tp2

=−Po

Tp2≤ t ≤Tp=Po

a0=0

- Para an :

an=2T p

∫0

T p

p( t)cosΩn t dt = an=2T p [∫0

Tp2

−P0 cosΩnt dt+∫Tp2

T p

P0cosΩnt dt ] an=

2T p [−P0 senΩn tΩn

¿0Tp /2+

P0 senΩn t

Ωn¿Tp /2Tp ]

Reemplazando términos..

an=Ponπ

[−sinnπ+sin 2nπ−sin nπ ] ; finalmente:

an=Ponπ

[sin2nπ−2sinnπ ]

De tal manera que se desea evaluar “n”, cuyo valor para cierto número de términos se muestra en la tabla que está en unidades de radianes y asumiendo a P0 como una carga unitaria.

paraan :Cuandon=1 , Po=1 , Tp=2 π

n

1 0,31830989 -2,E-16 1,E-16 -1,E-162 0,15915494 -5,E-16 -2,E-16 -4,E-173 0,1061033 -7,E-16 4,E-16 -1,E-164 0,07957747 -1,E-15 -5,E-16 -4,E-175 0,06366198 -1,E-15 6,E-16 -1,E-166 0,05305165 -1,E-15 -7,E-16 -4,E-177 0,04547284 -2,E-15 9,E-16 -1,E-168 0,03978874 -2,E-15 -1,E-15 -4,E-179 0,03536777 -2,E-15 1,E-15 -1,E-16

10 0,03183099 -2,E-15 -1,E-15 -4,E-17

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- Para bn :

bn=2T p

∫0

T p

p( t)sinΩnt dt = bn=2T p [∫0

Tp2

−P0 sinΩn t dt+∫Tp2

T p

P0 sinΩn t dt ] bn=

2T p [ P0 cosΩntΩn

¿0Tp /2+

P0 cosΩnt

Ωn¿Tp /2Tp ]

Reemplazando términos..

bn=Ponπ

¿ ; finalmente:

bn=Ponπ

[2cos nπ−1−cos2nπ ]

De tal manera que se desea evaluar “n”, cuyo valor para cierto número de términos se muestra en la tabla que está en unidades de radianes y asumiendo a P0 como una carga unitaria.

P ( x )=−4×10−16Ponπ

cos(Ωnt )

Se puede observar que los términos pares para esta constante son iguales a cero de tal manera que se realiza el cálculo con veinte términos impares y se procede a graficar como se muestra.

Cuando para bn :n=1 , Po=1 , Tp=2π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ω t)

n

1 0,31830989 -2 1 -1,273239542 0,15915494 2 1 03 0,1061033 -2 1 -0,424413184 0,07957747 2 1 05 0,06366198 -2 1 -0,254647917 0,04547284 -2 1 -0,181891369 0,03536777 -2 1 -0,14147106

11 0,02893726 -2 1 -0,1157490513 0,02448538 -2 1 -0,097941515 0,02122066 -2 1 -0,0848826417 0,01872411 -2 1 -0,0748964419 0,01675315 -2 1 -0,0670126121 0,01515761 -2 1 -0,0606304523 0,01383956 -2 1 -0,0553582425 0,0127324 -2 1 -0,0509295827 0,01178926 -2 1 -0,0471570229 0,0109762 -2 1 -0,0439048131 0,01026806 -2 1 -0,0410722433 0,00964575 -2 1 -0,0385830235 0,00909457 -2 1 -0,0363782737 0,00860297 -2 1 -0,0344118839 0,00816179 -2 1 -0,03264717

܋ܗܛ2

Cuando para bn :n=2 , Po=1 , Tp=2 π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−−4 Po3 π

sen(3Ωt)

Cuando para bn :n=3 , Po=1 , Tp=2 π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−−4 Po3π

sen (3Ωt )−−4 Po5π

sen (5Ωt )

Cuando para bn :n=4 , Po=1 , Tp=2 π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−−4 Po3π

sen (3Ωt )−−4 Po5π

sen (5Ωt )−−4 Po5π

sen (5Ω t )

Cuando para bn :n=5 , Po=1 , Tp=2 π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−4 Po3π

sen (3Ωt )−4 Po5π

sen (5Ω t )−4 Po7 π

sen (7Ω t )−4 Po9 π

sen (9Ω t )

Cuando para bn :n=6 ,Po=1, Tp=2π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−4 Po3π

sen (3Ωt )−4 Po5π

sen (5Ω t )−4 Po7 π

sen (7Ω t )−4 Po9 π

sen (9Ω t )−4 Po11π

sen (11Ω t )

Cuando para bn :n=7 ,Po=1 , Tp=2π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−4 Po3π

sen (3Ωt )−4 Po5π

sen (5Ω t )−4 Po7 π

sen (7Ω t )−4 Po9 π

sen (9Ω t )−4 Po11π

sen (11Ω t )−4 Po13 π

sen (13Ω t )

Cuando para bn :n=8 ,Po=1 , Tp=2π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−4 Po3π

sen (3Ωt )−4 Po5π

sen (5Ω t )−4 Po7 π

sen (7Ω t )−4 Po9 π

sen (9Ω t )−4 Po11π

sen (11Ω t )−4 Po13 π

sen (13Ω t )− 4 Po15 π

sen (15Ωt )

Cuando para bn :n=9 ,Po=1 , Tp=2π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−4 Po3π

sen (3Ωt )−4 Po5π

sen (5Ω t )−4 Po7 π

sen (7Ω t )−4 Po9 π

sen (9Ω t )−4 Po11π

sen (11Ω t )−4 Po13 π

sen (13Ω t )− 4 Po15 π

sen (15Ωt )−4 Po17π

sen (17Ωt )

Cuando para bn :n=10 , Po=1 , Tp=2 π:

P ( x )=−4 Poπ

sen (Ωnt )−4 Po3π

sen (3Ωt )−4 Po5π

sen (5Ω t )−4 Po7 π

sen (7Ω t )−4 Po9 π

sen (9Ω t )−4 Po11π

sen (11Ω t )−4 Po13 π

sen (13Ω t )− 4 Po15 π

sen (15Ωt )−4 Po17π

sen (17Ωt )

-4 Po19π

sen (19Ω t )

El siguiente análisis se trabaja con la gráfica que se muestra:

Para este caso se trabaja el procedimiento igualmente que en el anterior para hallar las constantes de la serie y así mismo aplicando las relaciones al gráfico:

T p=2πΩ

; Ωn=2 πnTp

;Ωn=Ωn

- Para a0 : a0=0

- Para an :

an=2T p

∫0

T p

p( t)cosΩn t dt = an=2T p [∫0

Tp2

P0 cosΩn t dt+∫Tp2

T p

−P0cosΩnt dt ] an=

2T p [ P0 senΩn tΩn

¿0Tp /2−

P0 senΩnt

Ωn¿Tp /2Tp ]

Reemplazando términos..

an=Ponπ

[sinnπ−sin 2nπ+sinnπ ] ; finalmente:

an=Ponπ

[2sinnπ−sin 2nπ ]

paraan :Cuandon=1 , Po=1 , Tp=2 π

- Para bn :

P ( x )=−2×10−16Ponπ

cos(Ωnt )

bn=2T p

∫0

T p

p( t)sinΩnt dt = bn=2T p [∫0

Tp2

P0 sinΩn t dt+∫Tp2

T p

−P0 sinΩn t dt ] bn=

2T p [−P0 cosΩntΩn

¿0Tp /2+

P0 cosΩnt

Ωn¿Tp /2Tp ]

Reemplazando términos..

bn=Ponπ

¿ ; finalmente:

bn=Ponπ

[cos2nπ−1−2cos nπ ]

De tal manera que se desea evaluar “n”, cuyo valor para cierto número de términos se muestra en la tabla que está en unidades de radianes y asumiendo a P0 como una carga unitaria.

n

1 0,31830989 1 -2 0,636619772 0,15915494 1 2 -0,318309893 0,1061033 1 -2 0,212206594 0,07957747 1 2 -0,159154945 0,06366198 1 -2 0,127323956 0,05305165 1 2 -0,10610337 0,04547284 1 -2 0,090945688 0,03978874 1 2 -0,079577479 0,03536777 1 -2 0,07073553

10 0,03183099 1 2 -0,0636619811 0,02893726 1 -2 0,0578745212 0,02652582 1 2 -0,0530516513 0,02448538 1 -2 0,0489707514 0,02273642 1 2 -0,0454728415 0,02122066 1 -2 0,0424413216 0,01989437 1 2 -0,0397887417 0,01872411 1 -2 0,0374482218 0,01768388 1 2 -0,0353677719 0,01675315 1 -2 0,033506320 0,01591549 1 2 -0,03183099

�܋ܗܛ2

Cuando para bn :n=1 , Po=1 , Tp=2π:

P ( x )=2 Poπsen (Ω t)

Cuando para bn :n=2 , Po=1 , Tp=2 π:

P ( x )=2 Poπsen (Ωt )− Po

πs en(2Ω t)

Cuando para bn :n=3 , Po=1 , Tp=2 π:

P ( x )=2 Poπsen (Ωt )− Po

πs en (2Ωt )+ 2Po

3πsen (3Ωt )