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apontamentos explicativos
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7/21/2019 Series Fourier
http://slidepdf.com/reader/full/series-fourier-56d9a34e30c2a 1/3
Universidade Federal de SergipeA Série de Fourier
Jardim Rosa Elze, 49.100 − 000, São Cristóvão SE, Brasil
Por: José Anselmo da Silva Santos
Introdução
Uma questão importante em Física é saber quando podemos expressar uma função f : R −→ R na forma
f (x) = A0 +∞n=1
An cos
nπx
L + Bn sin
nπx
L
(1)
toda vez que podermos expressar uma função na forma (1) é de se esperar que An e Bn estejam intemimamente ligados a f , acredite, estão sim, desde de que a soma em (1)
(i) seja uniformemente convergente;
(ii) f (x) seja contínua(portanto pode ser integravel);
(iii) f (x) seja periódica de periodo 2L
é fácil ver que
A0 = 1
2L
L
−L
f (x)dx; An = 1
2L
L
−L
f (x)cos nπx
L dx; Bn =
1
2L
L
−L
f (x)sin nπx
L dx (2)
ah, antes que eu mim esqueça, se f for complexa também podemos expressa-la como soma de senos e cossenos, como abaixo
f (z) = C 0 +∞n=1
C ne−i
nπ
L z (3)
C 0 = 1
2L
L
−L
f (z)dz; C n = 1
2L
L
−L
f (z)e−inπ
L zdz (4)
7/21/2019 Series Fourier
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Exemplo Ilustrativo
Expressar f (x) = x2 em série de Fourier com periodo L = π
2.
podemos obeter os coeficientes de Fourier diretamente de (2) ou por integração direta em (1).
(i) Usando os coeficientes em (2).
A0 = 1
2π
2
π2
−π
2
x2dx = 1
π · π3
12 =
π2
12
An = 1
2π
2
π2
−π
2
x2 cos nπx
π
2
dx = 1
π
π2
−π
2
x2 cos2nxdx = 1
π · π
2n2 cos nπ =
(−1)n
2n2
Bn = 1
2π
2
π2
−π
2
x2 sin nπx
π
2
dx = 1
π
π2
−π
2
x2 sin2nxdx = 0
(5)
finalmente,
x2
≈
π 2
12 +
∞
n=1
(−1)n
2n2 cos
nπx
L
(ii) Usando integração diretamente (1), a propria expressão.
x2 = A0 +∞n=1
An cos
nπx
L + Bn sin
nπx
L
O desafio é obter os coeficientes por integração em−π
2, π2
(a) Para obter o coeficiente A0 devemos fazer a integração em x2 diretamente π
2
−π
2
x2dx
=
π3
12
=
π2
−π
2
A0dx +∞
n=1An
π2
−π
2
cos nπx
L dx
=0
+∞
n=1Bn
π2
−π
2
sin nπx
L dx
=0
= A0
π2
−π
2
dx = πA0 ⇒ A0 = π2
12
(b) Para obter o coeficiente An devemos fazer a integração em x2 cos mπ
L x diretamente
π2
−π
2
x2 cos mπ
L xdx
=
π(−1)n
2n2
=
π2
−π
2
A0 cos mπx
L dx
=0
+∞n=1
An
π2
−π
2
cos nπx
L cos
mπx
L dx
=
0 se m = nπ
2 se m = n
só há No p/ m=n
+∞n=1
Bn
π2
−π
2
sin nπx
L cos
mπx
L dx
=0
= π
2An ⇒ An =
(−1)2
n2
7/21/2019 Series Fourier
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(c) Para obter o coeficiente Bn devemos fazer a integração em x2 sin mπ
L x diretamente
π2
−π
2
x2 sin mπ
L xdx
=0
=
π2
−π
2
A0 sin mπx
L dx
=0
+∞n=1
An
π2
−π
2
cos nπx
L sin
mπx
L dx
=0
+∞n=1
Bn
π2
−π
2
sin nπx
L sin
mπx
L dx
=
0 se m = nπ
2 se m = n
só há No p/ m=n
= π
2Bn ⇒ Bn = 0
finalmente temos o resultado obtido anteriormente
x2 ≈ π 2
12 +
∞n=1
(−1)n
2n2 cos
nπx
L
