SFC Design theory 2012 6/20

Design Theory

村松充政策・メディア研究科　後期博士課程3年目X-Design Program 山中デザイン研究室

第10回　2012 6/20

Lecture Theme

CAXD -Computer Aided X-Design-

■3DCG基礎　ー3次元表現のための数学基礎■滑らかな形の科学　ー3D CAD による形状表現■自然、物理学と形■コンピューターによるX-Design　ー動きのデザイン、シミュレーション　ーアルゴリズムによる形状生成

Lecture Theme

CAXD -Computer Aided X-Design-

■3DCG基礎　ー3次元表現のための数学基礎■滑らかな形の科学　ー3D CAD による形状表現■自然、物理学と形■コンピューターによるX-Design　ー動きのデザイン、シミュレーション　ーアルゴリズムによる形状生成

Lecture 3

CADによる曲線表現CADにおいて、滑らかな曲線を描くために用いられる曲線の表現形式を学ぶ

Computer Aided Design

Bezier Curve

Adobe Illustrator等で用いられている曲線表現n次のBezier曲線は以下の式で表される(制御点は、P0, P1... Pn)


Bezier Curve

３次のベジェ曲線の式を展開すると

tでまとめると


Bezier Curve

３次のベジェ曲線をtについて整理すると


微分する(A,B,C,Dは定数とみなせる)一階微分

二階微分

Bezier Curve


Bezier Curve

３次のベジェ曲線３次のベジェ曲線は、曲線上すべての点で曲率が連続している。(G2連続である)

n次のベジェ曲線n次のベジェ曲線は、曲線上すべての点でG(n-1)連続になる。(展開するとtのn次方程式になる)


Bezier Curve

ベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？


Bezier Curve

方法１：次数を上げるベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？


Bezier Curve

次数を上げるhttp://www.openprocessing.org/sketch/64329

http://www.openprocessing.org/sketch/64329



Bezier Curve

方法２：複数の曲線で表現するベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？


Bezier Curve

方法２：複数の曲線で表現するベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？

ベジェ曲線を複数連続した場合接続部分の連続性はどうなるか？


Bezier Curve

ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-

PA0

PA1

PA2

PA3PB0

PB1

PB2

PB3

PA3 = PB0

であれば、位置連続(C0連続)(曲線は接続されている)


Bezier Curve

ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-接線連続で接続する条件Ba(1)と Bb(0) での接線(微分)が等しければ、２曲線は接線連続になる。


Bezier Curve

ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-接線連続で接続する条件


Bezier Curve

ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-接線連続で接続する条件

PA3 - PA2

PB1 - PB0

PA2からPA3へのベクトル PA0からPA1へのベクトル

ベクトルの大きさが等しい場合C0連続ベクトルの向きのみが等しい場合G0連続


Bezier Curve


ベジェ曲線の接続連続性の確認




Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続曲率連続で接続する条件Ba(1)と Bb(0) での曲率(二階微分)が等しければ、２曲線は曲率連続になる。


Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続曲率連続で接続する条件


Bezier Curve



Bezier Curve


PA3 - PA2

PB1 - PB0

PA1 - PA2

PB2 - PB1


Bezier Curve


ベジェ曲線の曲率連続性の確認




Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続

３次のベジェ曲線を接線連続性を確保したうえで曲率連続で接続しようとすると

制御点操作の自由度が低くなり自由な曲線を描くことが出来ない。


B-Spline

ベジェ曲線よりも曲線同士の接続の連続性の確保がしやすい曲線の表現方法

B-スプライン曲線


B-Spline



B-Spline

B-スプライン曲線式を展開してみましょう。m:ノットの数　6つn:次数　　　　 2次

t = [0,1,2,3,4,5]ノットベクトル


B-Spline


m:ノットの数　6つn:次数　　　　 2次t = [0,1,2,3,4,5]


B-Spline


m:ノットの数　6つn:次数　　　　 2次制御点の数　　 3つt = [0,1,2,3,4,5]


B-Spline

bi,2

bi,1

bi+1,1

bi,0

bi+1,0

bi+1,0

bi+2,0

t - ti

ti+2 - ti

ti+3 - t

ti+3 - ti+1

t - ti

ti+1 - ti

ti+2 - tti+2 - ti+1

t - ti+1

ti+2 - ti+1

ti+3 - tti+3 - ti+2

t = [0,1,2,3,4,5]ノットは1ずつ単純増加


B-Spline

bi,2

bi,1

bi+1,1

bi,0

bi+1,0

bi+1,0

bi+2,0

t - ti

2

ti+3 - t

2

t - ti

ti+2 - t

t - ti+1

ti+3 - t


B-Spline

b0,2

bi,1

bi+1,1

b0,0

b1,0

b1,0

b2,0

t

2

3 - t

2

t

2 - t

t - 1

3 - t

i=0のとき


B-Spline

b0,2

bi,1

bi+1,1

b0,0

b1,0

b1,0

b2,0

t

2

3 - t

2

t

2 - t

t - 1

3 - t

i=0 0≦t<1のとき t

2

2


B-Spline

b0,2

bi,1

bi+1,1

b0,0

b1,0

b1,0

b2,0

t

2

3 - t

2

t

2 - t

t - 1

3 - t

i=0 1≦t<2のとき

3

2-t 2 + 3t -


B-Spline

b0,2

bi,1

bi+1,1

b0,0

b1,0

b1,0

b2,0

t

2

3 - t

2

t

2 - t

t - 1

3 - t

i=0 2≦t<3のとき

t

2

2 - 6t + 9


B-Spline

i=0 のとき


B-Spline

i=0 のとき

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1


B-Spline

i=0,...,2 のとき

* *

*

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.25

0.5

0.75

1

t = [0,1,2,3,4,5]

P0 P1 P2


B-Spline

制御点3点の2次B-splineをプログラムで確認http://www.openprocessing.org/sketch/64341




B-Spline

制御点を増やしてみる

m:ノットの数　7つn:次数　　　　 2次制御点の数　　 4つt = [0,1,2,3,4,5,6]


B-Spline

i=0,...,3 のとき t = [0,1,2,3,4,5,6]

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6

0.25

0.5

0.75

1

P0 P1 P2 P3


B-Spline

制御点4点の2次B-splineをプログラムで確認http://www.openprocessing.org/sketch/64342




Bezier

ちなみに、2次のベジェ曲線は

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

P0

P1

P2

P3

P4


Cubic B-Spline

3次のB-スプライン曲線を考えてみる


Cubic B-Splinebi,2

bi,1

bi+1,1

bi,0

bi+1,0

bi+1,0

bi+2,0

t - ti

ti+2 - ti

ti+3 - tti+3 - ti+1

t - ti

ti+1 - ti

ti+2 - tti+2 - ti+1

t - ti+1

ti+2 - ti+1

ti+3 - tti+3 - ti+2

t - ti

ti+3 - t

ti+4 - tti+4 - ti+1

bi+1,2

bi+1,1

bi+2,1

bi+1,0

bi+2,0

bi+2,0

bi+3,0

t - ti+1

ti+3 - ti+1

ti+4 - tti+4 - ti+2

t - ti

ti+2 - ti

ti+3 - tti+3 - ti+2

t - ti+2

ti+3 - ti+2

ti+4 - tti+4 - ti+3

bi,3


i=0 のときCubic B-Spline


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.25

0.5

0.75

1

Cubic B-Spline


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

0.25

0.5

0.75

1

P0 P1 P2 P3

t = [0,1,2,3,4,5,6,7]Cubic B-Spline

0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8

0.25

0.5

0.75

1


P0 P1 P2 P3

t = [0,1,2,3,4,5,6,7,8]

P4

Cubic B-Spline

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

0.25

0.5

0.75

1


Cubic Bezier

P0

P1 P2

P3

P4 P5

P6


B-Spline

n次(n=1～6)のB-Splineをプログラムで確認http://www.openprocessing.org/sketch/64344




B-Spline

n次のB-splineは、セグメントの接続点(ノット)でCn-1連続性を持つ

3次以上のB-splineを用いれば、曲率連続の自由曲線を描くことが出来る


B-Spline

しかし、B-splineは制御点を通らないため扱いにくい端点を指定出来た方がCADにおいて扱いやすい


B-Spline

非一様Bスプライン曲線

ノットベクトルを非一様に増加する値にし、ノットを多重化させる事で制御点から始まる曲線や制御点を通る曲線、制御点で折れる線等の指定を可能にした曲線の表現形式


B-Spline

非一様Bスプライン曲線

n次のB-Splineの場合、n+1個ノットを重ねればセグメントの端点を制御点に一致させることが出来る

2次の場合、t=[0,0,0,1,2,3,4,5,5,5]など。3次の場合、t=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]など。


B-Spline

n次(n=1～6)の始点と終点にノットを重ねた非一様なB-Splineをプログラムで確認http://www.openprocessing.org/sketch/64345




B-Spline

CADソフトウェア上で曲線の連続性を確認


B-Spline

両端を多重ノットにした１セグメントのBスプライン曲線とベジェ曲線の比較http://www.openprocessing.org/sketch/64347




B-Spline

両端を多重ノットにした１セグメントのBスプライン曲線は、同じ次数のベジェ曲線と等しい

ex) ノットベクトル＝[0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]の３次B-Splineは、3次Bezier曲線と等しい


B-Spline

多重ノットにした端点は最初の制御点と一致するが、その点において他のB-Spline曲線と接続しても連続性は保証されない。(Bezierと同様)

連続性を保って接続したい場合は注意が必要


NURBS

非一様有理Bスプライン曲線(NURBS)


NURBS


各制御点に重みを与えて、制御点毎に影響の強さを変える→１制御点レベルでの細かい調整が可能になる


NURBS


* *

*


NURBS


有理曲線ではないベジェ曲線、B-Splineでは厳密な円弧を描画することが出来ない

円弧等の円錐曲線を数学的に正しく描画するために有理曲線が使われる


NURBS

NURBSをプログラムで確認http://www.openprocessing.org/sketch/64350



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