Signály a soustavy – X37SAS, 37SASURL: http://radio.feld.cvut.cz/courses/X37SAS/

• Vyjádření spojitých a diskrétních signálů v časovéi kmitočtové oblasti.

• Charakteristiky systémů.

• Transformace signálů - průchod signálu systémem.

• Vzorkování signálu.

• Vyjádření pásmového signálu pomocí komplexníobálky.

• Úvod do náhodných signálů.

Osnova přednášek1. Klasifikace signálů, signál ve spojitém a v diskrétním čase, časové charakteristiky2. Vzájemná energie a výkon, ortogonální signály, korelační funkce. Zvláštní případy signálů

(singulární signály)3. Rozklad signálu do ortogonálního systému funkcí, Fourierova řada spojitých a diskrétních

signálů4. Spektrum neperiodických signálů, energetické a výkonové spektrum, vztah k autokorelační

funkci5. Souvislost mezi spektry spojitých a diskrétních signálů, spektrum a Fourierova řada6. Diskrétní Fourierova transformace, rychlé algoritmy, použití pro přepočet mezi signálem

a spektrem7. Klasifikace soustav ve spojitém a diskrétním čase, lineární časově invariantní soustava,

systémová funkce8. Spektrální reprezentace lineárních časově invariantních soustav, přenosová funkce9. Vzorkování signálů, interpolace vzorků signálu, vztah mezi soustavami ve spojitém

a diskrétním čase10. Pásmové signály a jejich reprezentace, komplexní obálka, ortogonální reprezentace, obálka

a fáze11. Základní analogové modulační metody - amplitudové a úhlové modulace12. Základní digitální modulační metody, příklady modulací13. Náhodné jevy, náhodné veličiny, distribuční funkce, střední hodnota, rozptyl, kovariance14. Náhodné signály a jejich charakteristiky, stacionarita a ergodicita. Bílý šum

http://www.feld.cvut.cz/education/bk/predmety/01/44/p14429.html

Definice pojmů

• Signál:– fyzikální veličina, která je funkcí času– nosič informace

• Soustava:– prostředí, kterým se přenáší informace pomocí signálů– „Množina prvků vhodným způsobem spojených a

vzájemně na sebe působících pod vlivem vnějších a vnitřních signálů za účelem splnění požadovanéfunkce.“

Soustava

objekt převod zprávyna signál

přenossignálu

převodsignálu

uživatel

Rušení N t( )

zpráva signál signál zpráva

• přenáší informaci o stavu objektu• pokud je přítomno rušení, informace je

zkreslena

Klasifikace signálů

• Deterministické nebo stochastické• Se spojitým nebo diskrétním časem• Se spojitým nebo diskrétním intervalem hodnot• Nefinitní – finitní, nekauzální - kauzální• Energetické nebo výkonové• …

s t( ) s k( )

s t( ) s k( )

s t( ) R∈ s k( ) R∈

s t( )∈Ζ

t∈R k∈Ζ

t∈R

t k

t k

0 0

0 0

1 2 3 ...

s k( )∈Ζk∈Ζ

A

B

C

D

signály ve spojitém čase

sign

ály

se s

pojit

ým o

bore

m

signály v diskrétním čase,vzorkované signály,posloupnosti

sign

ály

s di

skré

tním

obo

rem

vzorkováníinterpolace

kvantování hodn

otho

dnot

, kva

ntov

ané

sign

ály

Časové omezení signálu

s t( )

s t( )

s t( )

t

t

t

0

0

0

∞

∞

∞

t

t t

a

a b

nekauzální, nefinitní

kauzální, nefinitní

kauzální, finitní

Základní charakteristiky signálu

( ) ( )1Av lim d2

T

ss TT

s s t s t tT→∞

−

= = ∫

( ) ( )1Av lim2 1

N

ss N k Ns s k s k

N→∞=−

= = + ∑

Střední hodnota (stejnosměrná složka):

( ) ( )( )00

1Av dT

s t s t tT

= ∫

Střední hodnota periodických signálů se s výhodou počítá z jedné periody,není třeba pracovat s limitou

( ) ( )0 0

0

1

0

1Avk N

k ks k s k

N

+ −

=

= ∑

Základní charakteristiky signálu

( ) ( ) ( ) ( )2 *d d dE p t t s t t s t s t t∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= = = ⋅∫ ∫ ∫Energie:

( ) ( ) ( ) ( )2 *p t s t s t s t= = ⋅Okamžitý výkon:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 *

*

Av Av Av

1lim d2

T

TT

P p t s t s t s t

s t s t tT→∞

−

= = =

= ∫

Střední výkon:

efs P=Efektivní hodnota:

... analogicky pro signál v diskrétním čase

Energie: ( ) ( ) ( ) ( )2 *

k k kE p k s k s k s k

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

= = = ⋅∑ ∑ ∑

Okamžitý výkon: ( ) ( ) ( ) ( )2 *p k s k s k s k= = ⋅

Střední výkon: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 *

*

Av Av Av

1lim2 1

N

N k N

P p k s k s k s k

s k s kN→∞

=−

= = =

=+ ∑

Energetické a výkonové signály

• Energetické signály– pro hodnocení velikosti používáme energii– energie je konečná, střední výkon je nulový– Pozn.: nemusí být finitní

• Výkonové signály– jejich energie je nekonečná, střední výkon nenulový

(zpravidla konečný)– pro hodnocení velikosti používáme střední výkon– nefinitní, typický příklad – signály periodické

Vzájemná energie

Energie součtového signálu s t( ) ( ) ( )1 2s t s t= +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 12 21 2

2 * *1 2 1 2 1 2

* * * *1 1 1 2 1 2 2 2

1 2 12 21

d d

d d d d

E E E E

E s t s t t s t s t s t s t t

s t s t t s t s t t s t s t t s t s t t

E E E E

∞ ∞

−∞ −∞

∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

= + = + ⋅ + =

= + + + =

= + + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

vzájemná energie

Energie součtového signálu obecně není rovna součtu energií složek.

( ) ( )* *12 21 1 2 dE E s t s t t

∞

−∞

= = ∫Vzájemná energie:

Vzájemná energie a vzájemný výkon

( ) ( )* *12 21 1 2 dE E s t s t t

∞

−∞

= = ∫Vzájemná energie:

Vzájemný (střední) výkon:

( ) ( ) ( ) ( )* * *12 21 1 2 1 2

1Av lim d2

T

TT

P P s t s t s t s t tT→∞

−

= = = ∫

Pokud s ( ) ( )1 2t s t=12 21E E E= =

12 21P P P= =

...pro signály v diskrétním čase zavedeno analogicky

( ) ( )* *12 21 1 2

kE E s k s k

∞

=−∞

= = ⋅∑Vzájemná energie:

Vzájemný (střední) výkon: ( ) ( ) ( ) ( )* * *12 21 1 2 1 2

1Av lim2 1

N

N k NP P s k s k s k s k

N→∞=−

= = = + ∑

Ortogonální signály

• Signály jsou vzájemně ortogonální, pokud (pro energetické signály) nebo (pro výkonové signály).

• Praktický význam (přibližně): ortogonální signály lze vzájemně oddělit, lze je tedy použít pro přenos nezávislých informací ve společném prostředí (sdílení kom. kanálu).

• Význam jako kriteria „podobnosti“ signálů, detekce přítomnosti hledané složky signálu.

• Interval ortogonality I

12 21 0E E= =

12 21 0P P= =

12 12,E P

( ) ( )( )

*12 1 2 d 0

I

E s t s t t= ⋅ =∫

Příklady ortogonálních signálůs t1( ) s t1( )

s t1( ) s t1( )

s t2( ) s t2( )

s t2( ) s t2( )

t

t

t

t

t

t

t

t

0 0

0 0

0 0

0 0

Korelační funkceVzájemná korelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými signály)

( ) ( ) ( )*12 1 2 dR s t s t tτ τ

∞

−∞

= +∫ ( )12 120R E=

Autokorelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými kopiemi téhož signálu)

( ) ( ) ( )* dR s t s t tτ τ∞

−∞

= +∫ ( )0R E=

Korelační funkceVzájemná korelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými signály)

( ) ( ) ( )*12 1 2 dR s t s t tτ τ

∞

−∞

= +∫ ( ) ( ) ( )*12 1 2AvR s t s tτ τ = +

( ) ( ) ( )*12 1 2

kR m s k m s k

∞

=−∞

= + ⋅∑ ( ) ( ) ( )*12 1 2AvR m s k m s k = +

Autokorelační funkce (vzájemná energie nebo výkon mezi vzájemněposunutými kopiemi téhož signálu)

( ) ( ) ( )* dR s t s t tτ τ∞

−∞

= +∫ ( ) ( ) ( )*AvR s t s tτ τ = +

( ) ( ) ( )*

kR m s k m s k

∞

=−∞

= + ⋅∑ ( ) ( ) ( )*AvR m s k m s k = +

Význam korelační funkce• Nalezení společné složky ve dvou signálech

• Určení zpoždění kopie signálu oproti předloze (synchronizace)

• Korelační příjem signálu• Nalezení periodické složky v signálu

s t1( )

s t2( )

τ

R ( )12 τ

0 τa

τa

Jednotkový skok

( )

0; 01 ; 021; 0

t

t t

t

η

<= =

>

( )0

0; 01; 0

tt

tη

≤= >

( )1

0; 01; 0

tt

tη

<= ≥

( ) 0; 01; 0

kk

kη

<= ≥

t

k

t t0

0

0 0

η( )t

η( )k

η0( )t η1( )t1

1

1 1

Obdélníkový impuls

( )

10;2

1 1 1 1rect ;2 2 2 2

11;2

t

t t t t

t

η η

> = + − − = =

<

t0

rect( )t1

-½ ½

Diracův impuls

• „Derivace“ jednotkového skoku• Má jednotkovou plochu, nulovou šířku,

„nekonečnou“ amplitudu• Platí vzorkovací vlastnost (podmínkou je spojitost

signálu s(t0) v bodě t0

δ(t)

t0

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )0 0

00

0 0

0 0

; ,0 ; ,

d0 ;

1 0 ;

b

a

a bt

a b

bt

a

s t t t tt t t

s t t t ts t t t

s t t t

δηη

∈

∉⋅ − = ⋅ = ⋅ − =

∫

Diracův impuls

( ) ( ) 2d 0E g t t tη

∞

−∞

= − →∫

t

t

0

0

∆/2−∆/2

g t( )1

ddg t

t

∆

1/∆

Jednoduchý speciální případ g(t) - rampa

Namísto jednotkového skoku derivujeme spojitou funkci g(t), kteráse k jednotkovému skoku limitně blíží (energie rozdílu je nulová)

Derivací rampy je obdélníkový impuls o jednotkové ploše, limitním přechodem ∆→0 obdržíme δ(t)

(lze zvolit i libovolnou jinou spojitou aproximaci jednotkového skoku g(t))

Vzorkovací vlastnost Diracova impulsu

C s t= ( )0

0 t0 t

δ( )ts t( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )0

0 0 0

01; pokud ,

0 0

d d d

; pokud ,

b b b

a a a

a b

t t t

t t t

t t t

a b

s ts t t t t C t t t C t t t

s t t t t

δ δ δ

∈

⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =

= ∈

∫ ∫ ∫

Jednotkový impuls

Obdoba Diracova impulsu pro signály v diskrétním čase

( ) ( ) ( ) 0 0 ; pokud , ,b

as k k k s k k a bδ⋅ − = ∈∑ …

( ) 1; 00; jinde

kkδ

==

δ( )k

k0 1 2 3-1-2

1

Vzorkovací vlastnost

Vzorkovací funkce

Sa

sin ;

;t

tt

t

ta f

a f=

≠

=

RS||

T||

0

1 0

sinc Sat ta f a f=

sinc Sat ta f a f= π

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

1

( )

( )

( )

-

2

-

Sa d analyticky neřešitelný

Sa d

Sa d

t t

t t

t t

π

π

∞

∞

∞

∞

=

=

∫

∫

∫

(častější definice)

(používá matlab)

Periodický signál( ) ( )0 ; ,s t s t m T t R m Z= + ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( )0 ; ,s k s k m N k Z m Z= + ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈

s t( ) s k( )

t k0 0

T0 N0

• T0>0, N0>0 – perioda• nejmenší perioda• Součet, rozdíl, součin, podíl periodických signálů se shodnou periodou je

opět periodický signál.• Integrál přes celistvý počet period signálu nezávisí na volbě počátku

integračního intervalu.

( ) ( )0 0

0; ,

m N X m N

k k Xs k s k X m

⋅ + ⋅

= =

= ∀ ∈ ∈∑ ∑ Z Z( ) ( )0 0

0

d d ; ,mT X mT

X

s t t s t t X m+

= ∀ ∈ ∈∫ ∫ R Z

Periodický signál• Vždy signál výkonový• Střední hodnotu lze počítat přes periodu (nebo celistvý počet period)

→týká se operátoru Av[ ] a výrazů využívajících Av[ ] (P, R(τ), ...)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0

0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0 0 0

0 0

0

1 1Av lim d lim d2 2 2

1 1 1lim d lim d lim d2 2 2 2 2 2

1lim d2 2

mTT

T mT mT

mT mT mT

m m mmT mT mT

mT

mmT

s t s t t s t tT mT

s t t s t t s t tmT mT mT

s t tmT

ν

ν

ν

ν

ν

ν ν ν

ν

+

→∞ →∞− − −

− +

→∞ →∞ →∞− − −

→ →

→∞−

= = = +

= + + =+ + +

= =+

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ( ) ( )( )

0

0 00 0

1 1lim d d2

mT

mmT T

s t t s t tmT T→∞

−

=∫ ∫

( ) ( )0 0

0

1

0

1Avk N

k ks k s k

N

+ −

=

= ∑( ) ( )( )00

1Av dT

s t s t tT

= ∫

Periodický signál

( ) ( )0 0

0

1

0

1Avk N

k ks k s k

N

+ −

=

= ∑

( ) ( )0 0

0

12 2

0

1Avk N

k kP s k s k

N

+ −

=

= = ∑

( ) ( ) ( )0 0

0

1*

12 1 20

1Rk N

k km s k m s k

N

+ −

=

= + ⋅∑

( ) ( )( )00

1Av dT

s t s t tT

= ∫

( ) ( )( )0

2 2

0

1Av dT

P s t s t tT

= = ∫

( ) ( ) ( )( )0

*12 1 2

0

1R dT

s t s t tT

τ τ= + ⋅∫

Harmonický signál• Reálný harmonický signál

• Komplexní harmonický signál

• Spojitý čas:– Speciální případ periodického signálu– Kmitočet f [Hz]– Perioda T0= 1/f [s]– Úhlový kmitočet ω = 2π f [rad/s]

• Diskrétní čas:– Nemusí být periodický– Kmitočet F [-] (nebo [1/vzorek])– Perioda N0 = 1/F [-] (nebo [vzorek])– Úhlový kmitočet Ω = 2π F [rad] (nebo [rad/vzorek])

( ) ( )coss t A tω θ= ⋅ + ( ) ( )coss k A k θ= ⋅ Ω +

( ) ( ) ( ) ( )cos sinj ts t Ae A t jA tω θ ω θ ω θ+= = + + +

( ) ( ) ( ) ( )cos sinj ks k Ae A k jA kθ θ θΩ += = Ω + + Ω +

Harmonický signál• Předpokládáme ω ≠ 0• Stejnosměrná složka je nulová• Výkon a autokorelační funkce reálného harm. signálu

• Výkon a autokorelační funkce komplexního harm. signálu

( )( )2

2Av cos

2AP A tω θ = + =

( ) ( )2 22 2

1

Av Avj t j tP Ae A e Aω θ ω θ+ +

= = ⋅ =

( ) ( )2

R cos2A tτ ω=

( ) 2R j tA e ωτ =

Autokorelační funkce nezávisí na fázi signálu

Harmonický signál - vzájemný vztah reálného a komplexního signálu

( ) ( ) ( )( )cos2

j t j tAA t e eω θ ω θω θ + − −+ = +ω

-ω

Re( ( ))s t

Re(

())s

t

Im( ( ))s t

θ−θ

A/2

A

0

0t

Harmonický signál - vzájemný vztah reálného a komplexního signálu

( ) ( ) ( )( )cos2

j t j tAA t e eω θ ω θω θ + − −+ = +ω

-ω

Re( ( ))s t

Re(

())s

t

Im( ( ))s t

θ−θ

A/2

A

0

0t

A

( ) ( )( )cos Re j tA t Ae ω θω θ ++ =