Simetrični trofazni sistemi

Ciljevi

• Primena relacija koje simboličkom metodom povezuju linijske i fazne napone i struje (u kompleksnom domenu)

• Fazorski dijagrami napona i struja trofaznih sistema za različite vrste prijemnika

• Izračunavanje snaga trofaznih sistema vezanih u zvezdu/trougao i upoređivanje

• Asinhroni motor kao prijemnik u trofaznom sistemu

Simetrični trofazni sistemi

tUtu ff sin)( m1

3

π2sin)( m2 tUtu ff

3

4sin)( m3

tUtu ff

01

jff eUU

3

π2

2

j

ff eUU

3

π4

3

j

ff eUU

Vremenski oblici faznih napona:

Kompleksni oblici faznih napona:

Veza u zvezdu

generator

3

2

1

Uf3

+ +

+

+

Ul31

+

+

Uf2

Uf1

Ul12

Ul23

prijemnik

Z

Z

Z

If1

If3

If2

Il3

Il2

Il1

6

703

4

1331

23

4

3

2

3223

612

3

20

2112

e3ee

e3ee

e33

2sin

3

2cos0sin0cos

ee

j

ff

j

fffl

j

f

j

f

j

fffl

j

ffl

j

ffffl

UUUUUU

UUUUUU

UjjUU

UUUUU

Uf3

Uf2

-Uf2

Uf1

Ul12

30°

Ul/2

Ul/2

3

π4

3

3

π2

2

01

j

ff

j

ff

jff

eUU

eUU

eUU

612

2112

e3

30cos2

j

fl

fl

ffl

UU

UU

UUU

Fazorski dijagram faznih i linijskih napona:

Napomena: Kod veze u zvezdu, fazna razlika između faza odgovarajućeg linijskog i faznog napona je /6, a efektivna vrednost je puta veća.3

0, jeZZ

jf

jfffl eIe

Z

U

Z

UII 1

11

3

π22

22

j

ff

fl eIZ

UII

3

π43

33

j

ff

fl eIZ

UII

Z

UII f

fl

Uf1

Uf3

Uf2

If1

If2

If3

Fazorski dijagram faznih napona i struja za induktivni prijemnik:

Napomena: Kompleksne vrednosti (faze i efektivne vrednosti) faznih i linijskih struja su jednake kod veze u zvezdu.

0, jeZZ

jf

jfffl eIe

Z

U

Z

UII 1

11

3

π22

22

j

ff

fl eIZ

UII

3

π43

33

j

ff

fl eIZ

UII

Z

UII f

fl

Uf1

Uf3

Uf2

If1

If2

If3

Fazorski dijagram faznih napona i struja za kapacitivni prijemnik:

Struja nultog provodnika

generator prijemnik

3

2

1 Z

Z

Z

Uf3

+

+

+

Uf2

Uf1If1

If3

If2I0

)( 3210 fff IIII

0)( 3

4

3

20

0

jjj

f eeeII

3

4

33

2

20

1 ,,

j

ff

j

ffj

ff eIIeIIeII

Fazorsko predstavljanje struje nultog provodnika

0

)(

0

3210

I

IIII fff

3

4

3

3

2

2

01

j

ff

j

ff

jff

eII

eII

eIIIf3

If2

If1

If1+If2

I0=0

Veza u trougao

Il2

Il3

Il11

2

3Uf1

Uf2

Uf3

Z

Z

Z

1

2

3

If2

If3

If1Ul23

Ul31

Ul12

generator prijemnik

Napomena: Kompleksne vrednosti (faze i efektivne vrednosti) faznih i linijskih napona su jednake kod veze u trougao.

2

π3

233

6

π5

122

6

π

1

311

3

3

3)3

4sin()

3

4cos(0sin0cos

j

fffl

j

fffl

j

ffl

ffl

eIIII

eIIII

eIjjII

III

3

4

3

3

2

2

01

j

ff

j

ff

jff

eII

eII

eII

Veza između linijskih i faznih struja:

Il2

Il3

Il11

2

3Uf1

Uf2

Uf3

Z

Z

Z

1

2

3

If2

If3

If1

generator prijemnik

If3

If2

If1

Il1

-30°

Il/2

Il/2

-If3

Fazorski dijagram faznih i linijskih struja:

3

3

4

3

3

2

2

01

j

ff

j

ff

jff

eII

eII

eII

61

311

3

30cos2

j

fl

fl

ffl

eII

II

III

Napomena: Kod veze u trougao, fazna razlika između odgovarajućih faza linijske i fazne struje je -/6, a efektivna vrednost je puta veća.

Z

ZZ

1

2

3

Trofazni prijemnik je vezan u zvezdu i uključen na mrežu trofaznog simetričnog direktnog sistema linijskih napona efektivnih vrednosti Ul = 380 V. Pod ovim okolnostima je kompleksna impedansa jedne faze prijemnika: Z = (6+j8) .a) Odrediti kompleksne struje faza prijemnika If 1, If 2 i If 3

b) Odrediti aktivnu, reaktivnu i kompleksnu snagu trofaznog prijemnika.

a) V380lU

A)18,2062,8(A94,21

A)62,278,21(A94,21

A)55,1716,13(A94,21

13,2933

43

3

13,1733

22

2

13,53)0(11

jeeZ

U

Z

UI

jeeZ

U

Z

UI

jeeZ

U

Z

UI

jj

fff

jj

fff

jjfff

V39,2193

lf

UU

13,5310 jj eeZZ

VA)115528664(VA144403 jeeIUS jjff

b)

jf

jfff

ffff eZ

U

eZ

U

Z

U

Z

UUIUS

22

*

2*1

1*

111

jfff eIUS 1

321 fff SSS

W8664cos3 ff IUP

rVA11552sin3 ff IUQ

aktivna snaga:

reaktivna snaga:

kompleksna snaga:

Trofazni sistem vezan u trougao napaja prijemnik takođe vezan u trougao. Poznate su vrednosti efektivne vrednost linijskog napona i impedanse prijemnika po fazi:

4

π

10j

eZ

V380lU

a) Odrediti sve tri kompleksne linijske strujeb) Izračunati snagu koju prijemnik trošic) Nacrtati fazorski dijagram faznih napona i struja

Z Z

Z

1

2

3

If1If3

If2

Il1

Il2

Il3

a)

V380

V380

01

j

ff

lf

eUU

UU

A)71,3684,9(A38

A)84,971,36(A38

A)87,2687,26(A38

12

193

2

23

12

113

2

12

411

jeeII

jeeII

jeZ

UI

jj

ff

jj

ff

jff

A82,65

A82,65

A82,65A)58,6303,17(

4

73

2

23

12

133

2

12

12

5

311

jj

ll

jj

ll

j

ffl

eeII

eeII

ejIII

b) A38fI

kVA)6,306,30(

sin3cos3

jS

IUjIUS ffff

c) fazorski dijagram45

Uf1

Uf2

Uf3

If1

If2

If3

φ

φ

φ

Pretežno kapacitivan trofazni prijemnik vezan u trougao čije su impedanse faza jednake priključen je na simetričan trofazni sistem linijskih napona efektivne vrednosti Ul = 220 V. Impedanse pojedinih faza prijemnika i faktor snage prijemnika pod ovim okolnostima su: Z = 12 i cos = 0,85.a) Odrediti aktivnu i reaktivnu snagu ovog trofaznog prijemnika.b) Odrediti vrednost kapacitivnosti i otpornosti po fazi prijemnika.c) Nacrtati fazorski dijagram faznih napona i struja.

A33,18

V220

Z

UI

UU

ff

lfa)

kVAr4,6sin3

53,0cos1sin

kW28,10cos3

2

ff

ff

IUQ

IUP

sin1

cos

1

ZC

ZRC

jReZZ jb)

mF5,0sin2

1

2,10

ZfC

R

Uf1

Uf2

Uf3

If1

If2

If3 φφ

φ

c)

79,3185,0arccos

Pretežno kapacitivan trofazni prijemnik vezan u zvezdu čije su impedanse faza jednake priključen je na simetričan trofazni sistem linijskih napona efektivne vrednosti Ul = 380 V. Impedanse pojedinih faza prijemnika i faktor snage prijemnika pod ovim okolnostima su: Z = 12 i cos = 0,85.a) Odrediti aktivnu i reaktivnu snagu ovog trofaznog prijemnika.b) Odrediti vrednost kapacitivnosti i otpornosti po fazi prijemnika.c) Nacrtati fazorski dijagram faznih napona i struja.

A28,18

V39,2193

Z

UI

UU

ff

lf

kVAr38,6sin3

53,0cos1sin

kW22,10cos3

2

ff

ff

IUQ

IUP

sin1

cos

1

ZC

ZRC

jReZZ j

mF5,0sin2

1

2,10

ZfC

R

a) b)

c)

79,3185,0arccos

Uf1

Uf2

Uf3

If1

If2

If3 φφ

φ

Pretežno induktivni trofazni prijemnik čije su impedanse faza jednake priključen je na simetrični trofazni sistem linijskih napona efektivnih vrednosti: Ul = 380 V. Impedanse pojedinih faza prijemnika i faktor snage prijemnika pod ovim okolnostima su: Z = 11 i cos = 0,8.Odrediti aktivnu i reaktivnu snagu ovog trofaznog prijemnika ako je prijemnik:a) vezan u zvezdub) vezan u trougao

V39,2193

lf

UU

A94,19Z

UI f

f

6,0cos1sin 2

a) veza u zvezdu

sin3cos33 * ffffff IUjIUIUS

kVA)87,75,10( jS

b) veza u trougao

V380 lf UU

A55,34Z

UI f

f

sin3cos33 * ffffff IUjIUIUS

kVA)63,235,31( jS

Napomena: Kompleksna prividna snaga koju prima prijemnik je tri puta veća kada je prijemnik vezan u trougao.

Trofazni asinhroni motor vezan u trougao razvija na svojoj osovini mehaničku snagu Pm =5 kW. Linijski napon mreže je Ul = 380 V, učestanost 50 Hz, a faktor snage motora jednak je cos = 0,85. Odrediti:a)Stepen iskorišćenja motora ako je efektivna vrednost linijske struje Il = 12 A.b)Vrednost induktivnosti i otpornosti po fazi motora.c)Nacrtati fazorski dijagram napona i struja.

a)

kW7,6cos3 ff IUP

%6,74m P

P

A93,63

V380

lf

lf

II

UU b)

sin

cos

83,54

ZL

ZR

LjReZZ

I

UZ

j

f

f

mH5,92sin

53,0cos1sin

61,46

2

f

ZL

R

79,3185,0arccos

c)

Uf1

Uf2

Uf3

If1

If2

If3

φ

φ

φ

Trofazni asinhroni motor vezan u zvezdu razvija na svojoj osovini mehaničku snagu Pm = 2 kW. Linijski napon mreže je Ul = 380 V, učestanost 50 Hz, a stepen iskorišćenja je = 0,85. Odrediti:a)Faktor snage motora ako je efektivna vrednost linijske struje Il = 12 A.b)Vrednost induktivnosti i otpornosti po fazi motora.c)Nacrtati fazorski dijagram faznih napona i struja.

a)

A12

V39,2193

lf

lf

II

UU

3,03

coscos3

cos3

mmm

ffff

ff

IU

P

IU

P

P

P

IUP

b)

LjReZZ

I

UZ

j

f

f

28,18

mH28,55sin

95,0cos1sin

48,5

2

f

ZL

R

54,723,0arccosc)

Uf1

Uf2

Uf3

If1

If2

If3

φ

φ

φ

Dodatni zadaci:

Tri identične impedanse vezane u

zvezdu i tri identične impedanse takođe vezane u zvezdu priključene su na isti trofazni sistem linijskih napona . Izračunati ukupnu snagu koju obe impedanse troše.

Z1

0Z1

Z1

32

1

Z2

0Z2

Z2

Il1 Il11

Il12

301 10 jeZ

152Z

V250lU

V34,1443

lf

UU

A62,9

A43,14

22

11

Z

UI

Z

UI

ff

ff

22222

11111

sin3cos3

sin3cos3

ffff

ffff

IUjIUS

IUjIUS

kVA)1,36,9(

kVA2,4

kVA)1,34,5(

21

2

1

jSSS

S

jS

3

Z1

2

1

Z1 Z1

Z2

Z2 Z2

If11

If12

Tri identične impedanse vezane u trougao i tri identične impedanse takođe vezane u trougao priključene su paralelno na trofazni sistem linijskih napona Ul = 208 V. Izračunati ukupnu snagu koju ove impedanse troše.

452 5 jeZ

301 12 jeZ

A6,41

A33,17

22

11

Z

UI

Z

UI

UU

ff

ff

lf

22222

11111

sin3cos3

sin3cos3

ffff

ffff

IUjIUS

IUjIUS

kVA)8,238,27(

kVA)4,184,18(

kVA)4,54,9(

21

2

1

jSSS

jS

jS