Seminar Ib, 2. letnik, 2. stopnja

PT simetrični hamiltonijani

Avtor:Lenart Zadnik

Mentor:Doc. Dr. Tomaž Rejec

Ljubljana, november 2014

Povzetek

V tem seminarju je opisana razširitev formulacije kvantne mehanike, v kateri so kvantno-mehanski sistemi opisani z nehermitskimi hamiltonijani. Slednji lahko v primeru PT simetričnostikljub nehermitskosti generirajo realne lastne vrednosti. Lastnosti teh hamiltonijanov so prikazanena nekaj enostavnih zgledih, kasnejši del besedila pa je posvečen predvsem aplikacijam tehhamiltonijanov tako v fundamentalni kvantni mehaniki, kot tudi v bolj konkretnih primerih,na primer v optiki. Kot primer konkretnejše uporabe je predstavljen zlom simetrije PT vprimeru sklopljenih optičnih valovnih vodnikov.

VSEBINA Nehermitski hamiltonijani

Vsebina1 Uvod 2

2 Simetrija PT in realnost spektra 2

3 Časovni razvoj 43.1 Primer hermitskega hamiltonijana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 PT simetričnost in spodnja meja časovnega razvoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Zlom PT simetrije v optiki 64.1 Sklopljena optična vodnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Zlom simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Zaključek 10

1

2 SIMETRIJA PT IN REALNOST SPEKTRA Nehermitski hamiltonijani

1 UvodOsnovni postulati kvantne mehanike predpostavljajo lastnost hermitskosti operatorjev kvantno-mehanskih opazljivk, med drugim tudi hamiltonijana, kar nam na najenostavnejši način omogočateoretični opis, konsistenten z eksperimentom. Lastnost hermitskosti namreč zagotavlja realnostlastnih vrednosti operatorja, kar ustreza realnosti v eksperimentu izmerjene količine, hkrati paomogoča ohranitev normalizacije stanja v času. Implikacija ne velja v obratni smeri. Prav zato jenamen tega kratkega besedila neformalna predstavitev alternativne formulacije kvantne mehanike, vkateri je zahteva hermitskosti hamiltonijana nadomeščena s splošnejšo zahtevo t.i. PT simetričnosti,t.j., simetrije na obrat gibanja (časa) in parnosti. Teorija PT simetričnih sistemov se je raširila vletu 1998, z objavo članka C. M. Benderja in S. Boettcherja, [1], ko je bil prvič na primerih znumerično študijo pokazan obstoj realnih lastnih vrednosti določenih nehermitskih hamiltonijanov.Ideja za to je nastala sicer že nekaj let prej, v pogovoru med D. Bessisom in J. Zinn-Justinom. Tubomo brez pretirane formalnosti pokazali, da lahko taka splošnejša postulacija kvantne mehanike vdoločenih režimih generira realne lastne vrednosti operatorja. Na nekaj konkretnih in enostavnihprimerih si bomo ogledali povezavo med prej omenjeno simetrijo in realnostjo energije, kot lastnevrednosti hamiltonijana. Sledil bo hiter pregled zanimive implikacije take razširitve fundamentalnekvantne mehanike na primeru ideje adiabatnega razvoja: nehermitski hamiltonijani omogočajoizvedbo razvoja med danim začetnim in končnim kvantnim stanjem v poljubno kratkem času. Zakonec si bomo podrobneje ogledali primer uporabe nehermitskega PT simetričnega hamiltonijana voptiki, kjer so določeni sistemi opisani s Schrödingerjevi analogno enačbo. Predstavljen bo rezultateksperimenta, kjer so vidni učinki zloma simetrije PT .

2 Simetrija PT in realnost spektraHermitskost hamiltonijana ni nujen pogoj za realnost lastnih vrednosti - energij. Oglejmo si todejstvo na konkretnem in dovolj enostavnem zgledu. Vzemimo preprost eno-razsežni harmonskioscilator, ter postavimo vrednosti mase, frekvence in Planckove konstante na m = 1/2, ω = 2,~ = 1. Potem ima Schrödingerjeva enačba v koordinatni reprezentaciji preprosto obliko

Hψn(x) = (p2 + x2)ψn(x) = − ∂2

∂x2ψn(x) + x2 ψn(x) = En ψn(x), (2.1)

kjer smo z p = −i ∂∂x

označili operator impulza, z x pa operator kraja. Spekter takega hamiltonijanaže poznamo: lastne vrednosti so En = 2n+ 1, n ∈ N ∪ {0}.

Napravimo sedaj na enačbi (2.1) preprosto transformacijo koordinate, x 7→ x + i c, kjer je xrealna pozicija, c pa neka v splošnem kompleksna konstanta. Enostavno je videti, da enačba obtransformaciji postane

Hψn(x+ i c) = − ∂2

∂x2ψn(x+ i c) + (x2 + 2 i c x− c2)ψn(x+ i c) = En ψn(x+ i c). (2.2)

Pišimo φn(x) = ψn(x+ i c) in preuredimo enačbo (2.2) v takole obliko:(− ∂2

∂x2+ x2 + 2 i c x

)φn(x) = (En + c2)φn(x). (2.3)

2

2 SIMETRIJA PT IN REALNOST SPEKTRA Nehermitski hamiltonijani

Diferencialni operator na levi lahko proglasimo za hamiltonijan, ki pa tokrat ni hermitski. Kljubtemu je očitno, da v primeru povsem realne konstante c, spekter tega operatorja ostane realen innavzdol omejen. Slednja lastnost omogoča obstoj osnovnega stanja. Z realnostjo spektra je, kotsmo že omenili, omogočena konsistentnost fundamentalne kvantne mehanike z eksperimentom. Vslednjem je izmerjena energija realna. V okviru te obravnave se torej zadovoljimo z zadostitvijofundamentalnemu postulatu kvantne mehanike. S problemi absorbcije in vzbujanja fundamentalnihkvantnih sistemov se tu ne bomo ukvarjali.

Poleg teh trivialno opazljivih lastnosti, ima operator v enačbi (2.3) še eno pomembno lastnost,ki si jo je enostavno pogledati na še konkretnejšem zgledu. Postavimo c = 1/2. Pri tem dobi enačba(2.3) obliko

(p2 + x2 + i x)φn(x) = (2n+5

4)φn(x). (2.4)

Enostavno se je prepričati, da je zgornji hamiltonijan simetričen na kompozitum obrata gibanjaT : (i, x, p) 7→ (−i, x,−p) in operatorja parnosti P : (i, x, p) 7→ (i,−x,−p). Tu smo se izog-nili formalizmu in podali ta dva operatorja na najenostavnejši in za nas še uporaben način: kottransformacijski predpis na trojici (i, x, p), ki nastopa v hamiltonijanu.

Imamo torej operator PT : (i, x, p) 7→ (−i,−x, p) za katerega velja [H,PT ] = 0, hamiltonijan jenanj očitno invarianten. V resnici je ravno ta lastnost robustnosti transformiranega hamiltonijanana obrat gibanja in prostora tista, ki ohrani realnost lastnih vrednosti, torej energij sistema. Izzgoraj zapisane komutacije namreč sledi obstoj skupne baze za H in PT . Iz delovanja operatorjaPT na trojici (i, x, p) sledi (PT )2 = id in (PT )α (PT )−1 = α∗ za α ∈ C, kar ima za posledicodejstvo, da je lastna vrednost tega operatorja kvečjemu čista faza, ki pa na samo fiziko opazljivknima vpliva. Brez izgube splošnosti lahko fazo zapakiramo v novo definirana lastna stanja, φn, zakatera potem velja PT φn = φn in Hφn = Enφn

1. Iz vseh naštetih lastnosti imamo

En φn = H φn = H PT φn = PT H φn = PT En φn = E∗nPT φn = E∗n φn, ∀φn, (2.5)

torej so lastne vrednosti nehermitskega PT simetričnega hamiltonijana res realne.Tipično je hamiltonijan v (2.4) le primerek iz družine PT -simetričnih hamiltonijanov, parametrizirane

z nekim realnim nenegativnim parametrom ν,

H(ν) = p2 + x2 + (i x)ν , ν ≥ 0. (2.6)

Izkaže se, da je moč s pomočjo operatorjev P in T konstruirati nedefiniten notranji produkt naprostoru stanj H takole: naj bosta f, g ∈ H. Potem je

(f, g) =

∫ ∞−∞

(PT f)(x) g(x) dx. (2.7)

Iz predpisa za PT je jasno delovanje na stanja: (PT f)(x) = f ∗(−x). Od tod je v primeru realnelihe funkcije f ∈ H takoj vidna nedefinitnost, saj je omogočena negativna norma stanja.

Z uvedbo novega operatorja C, katerega lastna vrednost pripadajoča lastnemu stanju φn jepredznak notranjega produkta (φn, φn) in ki ustreza operatorju konjugacije naboja, lahko notranji

1Stanja φn so stanja iz skupne baze, ki smo jih prilagodili tako, da ustrezata tema dvema relacijama.

3

3 ČASOVNI RAZVOJ Nehermitski hamiltonijani

produkt dopolnimo do definitnega skalarnega produkta 〈−,−〉 : H×H → C, s predpisom

〈f, g〉 =

∫ ∞−∞

(CPT f)(x) g(x) dx. (2.8)

Definitnost je sedaj enostavno preveriti. Naj bo tako razvoj poljubnega stanja po nedefinitno-ortonormiranih2 lastnih stanjih ψ =

∑n cnφn. Poračunajmo normo v novem skalarnem produktu,

(2.8).

〈ψ, ψ〉 =∑n

∑m

cnc∗msgn(φn, φn) (φn, φm) =

∑n

∑m

cnc∗m(sgn(φn, φn))2δnm

=∑n

|cn|2 ≥ 0 (2.9)

Simbol sgn tu označuje predznak. Upoštevali smo še, da za nedefiniten notranji produkt (2.7) velja(f, g)∗ = (g, f), kar je enostavno preverljivo, če upoštevamo delovanje PT in v integralu v predpisu(2.7) menjamo predznak spremenljivke.

S tem je omogočena matematično konsistentna formulacija kvantne mehanike. Izkaže se, da vlimiti ν → 0, ko hamiltonijan (2.6) postane hermitski, ta alternativna formulacija v resnici sovpadaz do sedaj uveljavljeno, ki smo je vajeni tudi mi. Pokazati se da, da operatorja C, P v tej limitisovpadata in imamo CPT = P2T = T . Delovanje tega operatorja na stanja pa je običajno kom-pleksno konjugiranje. [2]

Operatorji, s katerimi konstruiramo nov skalarni produkt, so v resnici odvisni od lastnih stanjhamiltonijana, saj so uvedeni na tak način, da je omogočena definitnost skalarnega produkta. Takoje na primer operator C podan z predznaki nedefinitnih norm lastnih stanj operatorjev H in PT .V tem smislu govorimo o dinamičnosti skalarnega produkta. Odvisen je od hamiltonijana oziromanjegovih lastnih stanj. To ima za posledico zanimivo lastnost PT simetričnih sistemov, ki omogočaprehode med stanji v poljubno kratkem času. Norma porojena iz skalarnega produkta (2.8) namrečomogoča neko vrsto bližnjice med kvantnimi stanji. Zaradi tako spremenjene metrike faznega pros-tora je moč med nekim začetnim in končnim stanjem sistema preiti v časovnem intervalu, kateregadolžina ni nujno navzdol omejena. [3] O tem bomo več povedali v naslednjem razdelku.

3 Časovni razvojV tem razdelku bo na primeru razvoja med ortogonalnima stanjema predstavljena uporabna razlikamed hermitskimi in nehermitskimi PT simetričnimi hamiltonijani. Ta razlika je posledica metrik,ki jih na prostoru stanj (načeloma Hilbertovem prostoru) inducira hamiltonijan. Videli bomo, dase da z nehermitskim PT simetričnim hamiltonijanom bistveno bolje manipulirati s časom razvojamed stanjema, kot pa s hermitskim.

3.1 Primer hermitskega hamiltonijana

Vzemimo za Hilbertov prostor kar C2 in izberimo v njem dve ortogonalni bazni stanji |i〉 = (1, 0)in |f〉 = (0, 1). Poiskati želimo tak hamiltonijan s končno in točno določeno razliko med lastnima

2 S tem je mišljen sistem {φn}n∈N, za katerega velja (φn, φm) = sgn(φn, φn)δnm.

4

3 ČASOVNI RAZVOJ Nehermitski hamiltonijani

vrednostima, ∆ = ε2− ε1, ki nas bo kar najhitreje pripeljal od stanja |i〉, do stanja |f〉. V splošnemlahko hermitski hamiltonijan H : C2 → C2 parametriziramo z realnimi števili r, a, b, φ takole:

H(r, a, b, φ) =

[a re−iφ

reiφ b

](3.1)

Za razliko ∆ = ε2 − ε1, med lastnima vrednostima hamiltonijana, velja ∆ =√

(a− b)2 + 4 r2. Tusmo označili z indeksom 2 večjo izmed lastnih vrednosti. Matriko (3.1) lahko zapišemo tudi kot

H(r, a, b, φ) =1

2[(a+ b)1 + ∆σ · n], (3.2)

kjer smo z σ označili trojico Paulijevih matrik, z n pa enotski vektor 2∆

(r cosφ, r sinφ, a−b2

). Sedajuporabimo enačbo za rotacije v spinskem prostoru,

exp(iφ

2(n · σ)) = cos

φ

21 + i(n · σ) sin

φ

2

in imamo

e−i tH = e−it2

(a+b)e−it∆2σ·n = e−i

t2

(a+b)(cos(t∆

2)1− i sin(

t∆

2) (σ · n)). (3.3)

Zvezo (3.3) sedaj uporabimo v relaciji, ki opisuje časovni razvoj med stanjema |i〉 in |f〉, t.j.,|f〉 = e−i tH |i〉. Izrazimo lahko

t =2

∆arcsin(

∆

2 r). (3.4)

Ker je arcsin strogo naraščajoča na kompaktu, t.j., omejenem in zaprtem intervalu, bo doseglaminimum pri maksimalnem r. Slednji je dosežen v primeru a = b in je tedaj enak 1

2∆. Minimalni

čas razvoja med ortogonalnima stanjema v primeru hermitskega hamiltonijana je torej

tmin =π

∆. (3.5)

Izkaže se, da je tudi za poljubni različni stanji |i〉, |f〉, čas razvoja med njima navzdol ome-jen, če le je razlika med največjo in najmanjšo lastno vrednostjo hamiltonijana, ki generira razvojkonstantna in končna.

3.2 PT simetričnost in spodnja meja časovnega razvoja

Sedaj bomo analogno analizo opravili za nehermitski PT simetričen hamiltonijan oblike

H(r, a, φ) =

[re−iφ aa reiφ

](3.6)

Da gre res za PT simetričen hamiltonijan, se je enostavno prepričati, če uporabimo za P Pauli-jevo matriko σx in za T kompleksno konjugacijo. Za razliko lastnih vrednosti sedaj velja ∆ =2√a2 − r2 sin2 φ. Samo če velja a2 ≥ r2 sin2 φ, sta lastni vrednosti in njuna razlika realni.

5

4 ZLOM PT SIMETRIJE V OPTIKI Nehermitski hamiltonijani

Podobno kot prej lahko hamiltonijan izrazimo s pomočjo Paulijevih matrik v obliki

H(r, a, φ) = r cosφ1 +1

2∆σ · n, (3.7)

kjer je sedaj n = 2∆

(a, 0,−i r sinφ). Operator časovnega razvoja ima sedaj obliko

e−i tH = e−i t r cosφ(cos(t∆

2)1− i sin(

t∆

2) (σ · n)). (3.8)

Ker smo se omejili na realne lastne vrednosti hamiltonijana, t.j., ker zahtevamo 1 ≥ r2

a2 sin2 φ,lahko uvedemo parameter γ z definicijo sin γ := r

asinφ. Energijsko razliko lahko prepišemo kot

∆ = 2 a cos γ, od koder je jasno, da je cos γ ≥ 0, torej γ ∈ [−π2, π

2]. Zveza |f〉 = e−i tH |i〉 da sedaj

cos(∆ t

2+ γ) = 0, (3.9)

od koder sledi

t =1

∆(π − 2 γ). (3.10)

Izberemo lahko γ = π2in imamo tmin = 0. Spodnja meja je sedaj ničelna.

Izbira parametra γ pomeni ustrezno izbiro parametrov, ki določijo hamiltonijan. Ker je en-ergijska razlika končna, bo limita γ → π

2zahtevala a = ∆

2 cos γ→ ∞. PT simetrični hamiltonijan

lahko torej z večanjem matričnih elementov zmanipuliramo tako, da je prehod med stanjema |i〉,|f〉 poljubno kratek. S tem spremenimo bazna stanja hamiltonijana in kot smo videli v drugemrazdelku tudi metriko prostora stanj. Skalarni produkt je namreč definiran s pomočjo operatorjaCPT , ki je podan na baznih stanjih. Različna izbira baze bo imela za posledico različno definicijooperatorja CPT in s tem različno definicijo skalarnega produkta na prostoru stanj.

Sprememba metrike z manipulacijo hamiltonijana ustvari neke vrste bližnjico med stanjema |i〉in |f〉, ki se jo da v analogiji z splošno teorijo relativnosti interpretirati kot črvino v faznem prostoru.Procesi v kvantnih komunikacijskih sistemih, pa tudi v kvantnem računanju, velikokrat temeljijo natransformacijah med raznimi kvantnimi stanji. Zato bi lahko v primeru eksperimentalne realizacijekvantnih PT sistemov taka manipulacija omogočala razvoj izjemno hitre kvantne komunikacije inizboljšanje algoritmov v morebitnih kvantnih računalnikih. [3]

4 Zlom PT simetrije v optikiDoločeni optični sistemi se podrejajo enačbam, ki so podobne Schrödingerjevi v kvantni mehaniki.Eden izmed takih sistemov, ki ga bomo s stališča naše tematike tu obravnavali, je propagacijaoptičnega žarka v kompleksnem potencialu. Ker je te sisteme moč obravnavati eksperimentalno, toponuja možnost preizkusa in apliciranja teorije PT -simetričnih hamiltonijanov. Vzemimo najprejsplošno Schrödingerjevo enačbo oblike H = p2 +V (x) in si oglejmo zahtevo PT -simetrije. Kinetičnidel je sam po sebi simetričen, potencial pa mora zadostovati pogoju V (x) = V ∗(−x).

V optičnih analogih Schrödingerjeve enačbe igra vlogo potenciala lomni količnik. Naj bo vsplošnem to kompleksna krajevno odvisna količina, n(x) = nR(x) + i nI(x). Lomni količnik je v

6

4 ZLOM PT SIMETRIJE V OPTIKI Nehermitski hamiltonijani

najenostavnejši obliki definiran kot razmerje hitrosti valovanja v vakuumu in snovi, n = c0c

= λ0

λ.

Od tod lahko hitro ugotovimo pomen realnega in imaginarnega dela količnika. V amplitudi ravnegavala, ki se širi vzdolž osi, imenujmo jo os z, nastopa propagacijski faktor eikz. Valovno številolahko izrazimo kot k = 2π

λ= 2π n

λ0, za n pa vstavimo kompleksni lomni količnik. Tako opazimo,

da imaginarni del povzroči eksponentno odvisnost od razdalje, glede na predznak torej izgubo alipridobitev amplitude, realni del pa ima vlogo standardnega lomnega količnika. V splošnem jezato realni del lomnega količnika imenovan porazdelitev lomnega količnika, imaginarni del pa profilabsorbcije in vzbujanja. Slednji je povezan z absorbcijo v propagacijskem mediju ali z dodajanjemenergije valovanju. Iz vezi n(x) = n∗(−x), ki jo na optičnem potencialu zahteva PT -simetričnostsledi, da je realni del lomnega količnika soda, imaginarni del pa liha funkcija koordinate.

4.1 Sklopljena optična vodnika

Enostaven primer sistema iz optike, opisanega z analogom Schrödingerjeve enačbe je sistem dvehsklopljenih optičnih vodnikov, izmed katerih je v enem imaginarni del lomnega količnika pozitiven,v drugem pa negativen. Valovanje v prvem vodniku torej pridobiva energijo, v drugem pa potekaabsorbcija v mediju. Izpolnjena je zgoraj omenjena lihost profila absorbcije in vzbujanja. Izkaže se,da je dinamika takega optičnega sistema opisana z sistemom dveh sklopljenih diferencialnih enačb,

idE1

dz− i γ

2E1 + κE2 = 0,

idE2

dz+ i

γ

2E2 + κE1 = 0,

kjer sta E1 in E2 amplitudi električne poljske jakosti v posameznih vodnikih, κ sklopitvena kon-stanta, γ pa efektivni koeficient profila absorbcije in vzbujanja. [5] Slednji je v enačbah nasprotnopredznačen, kar je ravno posledica zahteve o lihosti imaginarnega dela lomnega količnika. [6] Taksistem se da enostavno zapisati v matrični obliki na naslednji način:[

i γ2−κ

−κ −i γ2

]·[E1

E2

]= i

d

dz

[E1

E2

]. (4.1)

Predstavljamo si lahko delovanje nekega PT -simetričnega hamiltonijana na stanje, katerega verjet-nostni amplitudi sta ravno poljski jakosti v posameznih optičnih vodnikih. PT simetričnost lahkopreverimo enostavno, če vzamemo za T operator kompleksnega konjugiranja, za operator P pamatrično reprezentacijo ( 0 1

1 0 ). Slednja v spinskem sistemu predstavlja obrat spina, za lastna stanjapa ima ravno antisimetrično in simetrično superpozicijo, kar za operator parnosti mora veljati.

Hitro lahko poiščemo lastne vektorje in vrednosti matrike v (4.1). Za lastne vrednosti imamoenačbo λ2 + γ2

4= κ2, od koder sledi

λ± = ±κ√

1−( γ

2κ

)2

. (4.2)

Takoj opazimo, da γ2κ

= 1 predstavlja kritično točko, nad katero postanejo lastne vrednosti imag-inarne. Posebej lahko opredelimo posamezne režime. Za γ

2κ< 1 lahko postavimo γ

2κ= sin θ > 0,

θ ∈ [0, π/2). Tedaj za lastni vrednosti dobimo λ± = ±κ cos θ, za ustrezna nenormalizirana lastnavektorja pa se da hitro poračunati: |1, 2〉± = (1,∓e∓i θ). V kritični točki γ

2κ= 1 je λ± = 0, še vedno

7

4 ZLOM PT SIMETRIJE V OPTIKI Nehermitski hamiltonijani

pa lahko ta količnik zapišemo kot sinus kota θ, ki pa ima tokrat vrednost π/2. Še vedno velja istiračun, kot v primeru γ

2κ< 1, torej za ustrezna lastna vektorja dobimo |1, 2〉± = (1, i). Do vključno

kritične točke, sta amplitudi v obeh vodnikih po velikosti enaki: |E1| = |E2|. Nad kritično točkopišimo γ

2κ= chθ, od koder sledi λ± = ± iκ shθ. Hitro lahko ugotovimo, da sta lastna vektorja oblike

|1, 2〉± = (1, i e∓θ). Opazimo, da amplitudi v obeh vodnikih po velikosti nista več enaki.

4.2 Zlom simetrije

Hamiltonijan se pri prehodu nad kritično točko ne spremeni, ostane PT -simetričen. Enako pane velja za lastna stanja. Stanja pod kritično točko lahko zaradi enakosti absolutnih vrednostiamplitud E1 in E2 preoblikujemo do PT -simetričnih, saj lahko izpostavimo ustrezno fazo in natonanjo pozabimo. S primerom bodimo konkretnejši. Delujmo na stanje (1, eiθ) pod kritično točko zoperatorjem PT .

PT (

[1eiθ

]) =

[0 11 0

]·[

1e−iθ

]= e−iθ

[1eiθ

]. (4.3)

Do faze natančno smo torej spet prišli do prvotnega stanja. Pravimo, da je to stanje PT -simetrično.Ker pa nad kritično točko amplitudi po velikosti nista enaki, faze nikakor ne moremo izpostaviti nanačin, da bi spet prepoznali prvotno stanje. Govorimo o zlomu simetrije. Dokaz realnosti lastnihvrednosti, (2.5), v resnici uporablja lastnost PT simetrije stanj, zato nad kritično točko ne veljaveč. Prehod preko točke γ

2κ= 1 je torej fazni prehod in ta točka je ustrezno privzeta za kritično

točko. Tak fazni prehod se da opazovati z eksperimentom, čigar postavitev je predstavljena na sliki1.

Slika 1: Shema eksperimenta. Laserski žarek (Ar+, 514.5 nm) vpada v enega izmed dveh vodnikov zdesne. Valovni vodniki so vdelani v litijev niobat dopiran z železovimi ioni. Selektivno prepustni slojdovoljuje vstop žarka za optično vzbujanje le v enega izmed vodnikov. Tako imamo vzbujanje le venem vodniku. V drugem vodniku poteka absorbcija, ki je posledica optičnega vzbujanja elektronoviz Fe2+ centrov dopiranega litijevega niobata v prevodni pas (pri čemer valovanje izgublja energijo).Posledično je profil absorbcije in vzbujanja (nI(x)) liha funkcija. Porazdelitev lomnega količnika(nR(x)) je soda, za kar poskrbijo primesi titana. S pomočjo senzorja CCD se na izhodu beležijopodatki o porazdelitvi faze in jakosti valovanja. [5]

8

4 ZLOM PT SIMETRIJE V OPTIKI Nehermitski hamiltonijani

Slika 2: Slika na levi prikazuje imaginarni in realni del lomnega količnika v prerezu vodnikov, slikana desni pa rezultat eksperimenta pri različnih začetnih stanjih. Od zgoraj navzdol vodoravnazaporedja slik predstavljajo standardni hermitski sistem, nehermitski PT -simetričen sistem podkritično točko in isti sistem nad kritično točko.

Oglejmo si posledico zloma simetrije, ki jo lahko opazujemo z zgornjim eksperimentom. Poljubnostanje našega sklopljenega sistema lahko razvijemo po lastnih stanjih, krajevna odvisnost pa je tuanalogna časovni odvisnosti v kvantni mehaniki, kar sledi iz primerjave sistema (4.1) z delovanjemhamiltonijana. Torej imamo naslednji razvoj stanja sklopljenih vodnikov:

|ψ, z〉 = a |1, 2〉+ e−iλ+z + b |1, 2〉− e−iλ−z. (4.5)

Nad faznim prehodom sta lastni vrednosti imaginarni in nasprotno predznačeni. Tako bo v (4.5)prvi člen z razdaljo eksponentno naraščal, drugi pa padal. Pri velikih z imamo nad kritično točkotorej stanje, ki je oblike |ψ, z〉 = (1, i e−θ) e(κ sh θ) z. Iz primerjave absolutnih vrednosti amplitudpri zelo velikih θ ugotovimo |E1| � |E2| kar pomeni, da efektivno preživi le amplituda v prvemvodniku. Še bolj presenetljivo je, da je to neodvisno od začetnega pogoja torej od tega, v katerivodnik valovanje sploh pošljemo. Začetna pogoja |ψ, 0〉 = (1, 0) in |ψ, 0〉 = (0, 1) oba ohranitaceloten razvoj (4.3) po lastnih vektorjih. Drugi člen v obeh primerih z razdaljo zamre, prvi paostane. Zgornja relacija med amplitudama pa velja ravno v prvem členu.

Desna slika 2 prikazuje zgoraj opisano dogajanje v eksperimentalni realizaciji sistema. V her-mitskem sistemu (zgornja slika), je opazna neke vrste simetrija v porazdelitvi amplitude valovanjaglede na začetni pogoj v ravnini prečno na vodnika. Te simetrije v nehermitskem primeru ni več:kot vidimo na srednji sliki, pride do faznega zamika v porazdelitvah amplitud. Spodnja slika 2 kažezgoraj opisani pojav zamrtja valovanja v drugem vodniku, neodvisno od začetnega pogoja. Ne gledena to v kateri vodnik pošljemo valovanje, slednje zamre v drugem vodniku, ohrani pa se v prvem.

Slika 3, zgoraj, prikazuje numerični izračun časovne odvisnosti odziva sistema na vpadni žarek,ob spreminjanju koeficienta γ

2κ. Leva stran prikazuje situacijo, ko pošljemo vpadni žarek v prvi

vodnik, desna pa, ko ga pošljemo v drugi vodnik. Z rdečo navpično črto je označen trenutek, koprestopimo kritično točko. Tudi tu opazimo, da je neodvisno od vpada žarka intenziteta (označenaz I1,2) po prehodu veliko večja v prvem vodniku. Če žarek vpade v drugi vodnik, se sicer raz-lika intenzitet nekoliko zmanjša, še vedno pa prevladuje tista v prvem vodniku. V eksperimentu,

9

5 ZAKLJUČEK Nehermitski hamiltonijani

Slika 3: Zgornji sliki kažeta numerični izračun odziva sistema na prehod preko kritične točke. Leva(desna) slika prikazuje odziv ob vstopu v prvi (drugi) vodnik. Spodnji sliki kažeta odziv žarkaposlanega hkrati v oba vodnika v primeru, ko vzbujamo le enega izmed vodnikov naenkrat. Jakostivzbujevalnega žarka sta različni, od koder izvira kvalitativna razlika diagramov.

katerega rezultat je na spodnjih dveh slikah, opazujemo intenziteto po hkratnem vpadu žarkov voba vodnika. Izkaže se, da je očitna razlika v času, po katerem pride do zamrtja žarka v enem izmedvodnikov, posledica različnih jakosti optičnega vzbujanja.

Zgoraj opisan eksperiment je le ena izmed možnosti aplikacije nehermitskih hamiltonijanov voptiki. Enostavno se da razširiti implementacijo takih sistemov tako, da pride do nastanka t.i. PTsolitonov, dvojnega loma ali pa nesimetrične propagacije, kjer se svetloba v eno smer širi drugačekot v drugo. Poleg teh zanimivih eksperimentov obstajajo tudi pojavi anomalnega transporta indiskretnega uklona v bližini kritične točke na optični PT -simetrični mreži. [5]

5 ZaključekV tem kratkem besedilu smo napravili pregled bistvenih lastnosti in možnosti, ki jih ponuja teorijenehermitskih PT -simetričnih sistemov. S stališča aplikativne fizike je predvsem zanimiva uporabate teorije v optiki, kjer že obstajajo eksperimentalne konstrukcije, ki potrjujejo teoretične napovedi.V optiki razvoj sistemov z lastnostjo PT -simetrije omogoča realizacijo zanimivih pojavov v optičnihvodnikih, predvsem pri faznem prehodu, ko pride do zloma prej omenjene simetrije. Poleg uporabev optiki, bi v prihodnosti teorija nehermitskih sistemov bistveno izboljšala morebitne procese kvant-nega računalništva, če bi se le izkazalo, da je njeno implementacijo realno pričakovati. Pojavili sose namreč že dvomi v možnost take alternative standardni formulaciji kvantne mehanike. ČlanekYi-Chan Lee-ja, Min-Hsiu Hsieh-a. S. T. Flammie in Ray-Kuang Lee-ja, [7] tako na primer argumen-tira nefundamentalnost oziroma nepotrebnost te teorije na podlagi kršitve načela ne-signaliziranja,

10

LITERATURA Nehermitski hamiltonijani

posebne teorije relativnosti. Če se ta argumentacija izkaže za neoporečno, bi sicer to lahko pome-nilo konec nadalnjih razprav o rekonstruirani formulaciji osnovne kvantne mehanike, ne pa tudinepotrebnosti do sedaj opravljenih raziskav v tej smeri. Kot smo namreč videli, predvsem v optikiobstaja veliko sistemov, ki so efektivno opisani z orodjem, ki ga je razvilo skoraj dve desetletji staroraziskovanje teorije PT -simetričnih sistemov. Poleg že omenjenih bi tu brez podrobnosti omenili šenekaj možnosti aplikativne uporabe teh sistemov: predlagana so bile že enosmerna optična vezja,enosmeren nevidni medij ter prostorska optična stikala. Vsi omenjeni sistemi so v resnici klasičniin le efektivno opisani z nehermitskimi PT -simetričnimi hamiltonijani. [7]

Literatura[1] C. M. Bender, S. Boettcher. Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having PT Sum-

metry. Phys. Rev. Lett. 80, 5243 (1998).

[2] C. M. Bender, D. C. Brody, H. F. Jones. Complex Extension of Quantum Mechanics. Phys.Rev. Lett. 89, 270401 (2002).

[3] C. M. Bender, D. C. Brody, H. F. Jones, B. K. Meister. Faster than Hermitian QuantumMechanics. Phys. Rev. Lett. 98, 040403 (2007).

[4] B. T. Torosov, G. D. Valle, S. Longhi. Non-Hermitian shortcut to adiabaticity. Phys. Rev. Lett.A 87, 052502 (2013).

[5] C. E. Rüter, K. G. Makris, R. El-Ganainy, D. N. Christodoulides, M. Segev, D. Kip. Observationof parity-time symmetry in optics. Nature Physics, 6, 192 - 195 (2010).

[6] R. El-Ganainy, K. G. Makris, D. N. Christodoulides, Z. H. Musslimani. Theory of coupledoptical PT -symmetric structures. Opt. Lett. 32, 2632-2634 (2007).

[7] Y. C. Lee, M. H. Hsieh, S. T. Flammia, R. K. Lee. Local PT Symmetry Violates the No-Signaling Principle. Phys. Rev. Lett. 112, 130404 (2014).

[8] M- Znojil. PT -symmetric harmonic oscillators. Phys.Lett. A259 220 - 223 (1999).

11