Simulación de Montecarlo 2(1)

METODOSCUANTITATIVOSPARALOSNEGOCIOS 2009

Compilacin: Ybnias El Grijalva Yauri

CAPITU

LO8.INTR

ODUCC

ION

ALMTODO

DESIMULACIN

MONTE

CARLO

232

CAPITULO8.INTRODUCCIONALMTODODESIMULACINMONTECARLO

ObjetivosdelCaptulo

IntroducirlosconceptoseideasclavedelasimulacinMonteCarlo. Introducirse en las capacidades que ofrece Excel en los campos de modelado y

simulacin. ConoceralgunasaplicacionesdelasimulacinMonteCarlo.

8.0IntroduccinBajoelnombredeMtodoMonteCarlooSimulacinMonteCarloseagrupanunaseriedeprocedimientosqueanalizandistribucionesdevariablesaleatoriasusandosimulacindenmerosaleatorios.El Mtodo de Monte Carlo da solucin a una gran variedad de problemas matemticoshaciendo experimentos con muestreos estadsticos en una computadora. El mtodo esaplicableacualquiertipodeproblema,yaseaestocsticoodeterminstico.Generalmenteenestadstica losmodelos aleatorios seusanpara simular fenmenosqueposeenalgncomponentealeatorio.PeroenelmtodoMonteCarlo,porotrolado,elobjetodelainvestigacineselobjetoensmismo,unsucesoaleatorioopseudoaleatorioseusaparaestudiarelmodelo.AveceslaaplicacindelmtodoMonteCarloseusaparaanalizarproblemasquenotienenuncomponentealeatorioexplcito;enestoscasosunparmetrodeterministadelproblemaseexpresacomounadistribucinaleatoriaysesimuladichadistribucin.UnejemploseraelfamosoproblemadelasAgujasdeBufn.La simulacin de Monte Carlo tambin fue creada para resolver integrales que no sepueden resolver por mtodos analticos, para solucionar estas integrales se usaronnmeros aleatorios. Posteriormente se utiliz para cualquier esquema que empleenmeros aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidadconocidas,elcualesusadopararesolverciertosproblemasestocsticosydeterminsticos,dondeeltiemponojuegaunpapelimportante.LasimulacindeMonteCarloesunatcnicaquecombinaconceptosestadsticos(muestreoaleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar nmeros pseudoaleatoriosyautomatizarclculos.



8.1Iniciosde

lMtod

ode

Mon

teCarlo

233

8.1IniciosdelMtododeMonteCarloElmtodo fue llamado as por el principado deMnaco por ser ``la capital del juego deazar'',altomarunaruletacomoungeneradorsimpledenmerosaleatorios.ElnombreyeldesarrollosistemticodelosmtodosdeMonteCarlodatanaproximadamentede1944conel desarrollo de la computadora. Sin embargo hay varias instancias (aisladas y nodesarrolladas)enmuchasocasionesanterioresa1944.El uso real de los mtodos de Monte Carlo como una herramienta de investigacin,provienedeltrabajodelabombaatmicadurantelaSegundaGuerraMundial.Estetrabajoinvolucraba la simulacin directa de problemas probabilsticos de hidrodinmicaconcernientesaladifusindeneutronesaleatoriosenmaterialdefusin.An en la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislao Ulamrefinaronestacuriosa``Ruletarusa''ylosmtodos``dedivisin''.Sinembargo,eldesarrollosistemticodeestasideastuvoqueesperareltrabajodeHarrisyHermanKahnen1948.Aproximadamente en el mismo ao, Fermi, Metropolos y Ulam obtuvieron estimadoresparalosvalorescaractersticosdelaecuacindeSchrdingerparalacapturadeneutronesanivelnuclear.Alrededor de 1970, los desarrollos tericos en complejidad computacional comienzan aproveer mayor precisin y relacin para el empleo del mtodo Monte Carlo. La teoraidentifica una clase de problemas para los cuales el tiempo necesario para evaluar lasolucin exacta al problema crece con la clase, al menos exponencialmente con M. Lacuestin a ser resuelta era si MC pudiese o no estimar la solucin al problema de tipointratableconunaadecuacinestadsticaacotadaaunacomplejidadtemporalpolinomialenM.Karp(1985)muestraestapropiedadparaestimarenunaredplanamultiterminalconarcosfallidosaleatorios.Dyer(1989)utilizaMCparaestimarelvolumendeunconvexbodyenelespacioEuclidianoMdimensional.Broder(1986),JerrumySinclair(1988)establecenlapropiedadparaestimarlapersistenciadeunamatrizoenformaequivalente,elnmerodematchingperfectosenungrafobipartito.LosorgenesdeestatcnicaestnligadosaltrabajodesarrolladoporStanUlamyJohnVonNeumann a finales de los 40 en el laboratorio de Los Alamos, cuando investigaban elmovimientoaleatoriodelosneutrones.Enaosposteriores,lasimulacindeMonteCarlose ha venido aplicando a una infinidad de mbitos como alternativa a los modelosmatemticos exactos o incluso comonicomedio de estimar soluciones para problemascomplejos.As,enlaactualidadesposibleencontrarmodelosquehacenusodesimulacinMCen lasreas informtica, empresarial, econmica, industrial e incluso social.Enotraspalabras,lasimulacindeMonteCarloestpresenteentodosaquellosmbitosenlosqueel comportamiento aleatorio o probabilstico desempea un papel fundamental precisamente,elnombredeMonteCarloprovienedelafamosaciudaddeMnaco,dondeabundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el comportamientoaleatorioconformantodounestilodevida.



8.2Simulacin:

Mtod

oMon

teCarlo

234

Son muchos los autores que han apostado por utilizar hojas de clculo para realizarsimulacin MC. La potencia de las hojas de clculo reside en su universalidad, en sufacilidaddeuso,ensucapacidadpararecalcularvaloresy,sobretodo,enlasposibilidadesqueofrececonrespectoalanlisisdeescenarios(whatifanalysis).Lasltimasversionesde Excel incorporan, adems, un lenguaje de programacin propio, el Visual Basic forApplications,conelcualesposiblecrearautnticasaplicacionesdesimulacindestinadasalusuario final.EnelmercadoexistendehechovarioscomplementosdeExcel (AddIns)especficamentediseadospararealizarsimulacinMC,siendolosmsconocidos:@Risk,CrystallBall,Insight.xla,SimTools.xla,etc..

8.2Simulacin:MtodoMonteCarloSimulacin: es el proceso de disear y desarrollar un modelo computarizado de unsistemaoprocesoyconducirexperimentosconestemodeloconelpropsitodeentenderelcomportamientodelsistemaoevaluarvariasestrategiasconlascualessepuedeoperarelsistema.

Modelo de simulacin: conjunto de hiptesis acerca del funcionamiento delsistemaexpresadocomorelacionesmatemticasy/olgicasentreloselementosdelsistema.

Procesodesimulacin:ejecucindelmodeloatravsdeltiempoenunordenador

paragenerarmuestrasrepresentativasdelcomportamiento.

8.2.1Mtodosdesimulacin

SimulacinestadsticaoMonteCarlo:Estbasadaenelmuestreosistemticodevariablesaleatorias.

Simulacin continua: Los estados del sistema cambian continuamente su valor.

Estassimulacionessemodelangeneralmenteconecuacionesdiferenciales.

Simulacinporeventosdiscretos:Sedefineelmodelocuyocomportamientovaraen instantesdel tiempodados.Losmomentosen losqueseproducen loscambiossonlosqueseidentificancomoloseventosdelsistemaosimulacin.

Simulacinporautmatascelulares: Se aplica a casos complejos, en los que se

dividealcomportamientodelsistemaensubsistemasmspequeosdenominadasclulas. El resultado de la simulacin est dado por la interaccin de las diversasclulas.

8.2.2Etapasdelprocesodesimulacin

Definicin,descripcindelproblema.Plan.



8.3Algoritm

os

235

Formulacindelmodelo. Programacin. VerificacinyValidacindelmodelo. Diseodeexperimentosyplandecorridas. Anlisisderesultados

8.2.3Diagramadeflujodelmodelodesimulacin

8.3AlgoritmosElalgoritmodeSimulacinMonteCarloCrudooPuroestfundamentadoenlageneracinde nmeros aleatorios por elmtodo de Transformacin Inversa, el cual se basa en lasdistribucionesacumuladasdefrecuencias:

Determinarla/sVariableAleatoriaysusdistribucionesacumuladas(F) Iterartantasvecescomomuestrasnecesitamos

o Generarunnmeroaleatorioo Uniforme(0,1).o DeterminarelvalordelaV.A.paraelnmeroaleatoriogeneradodeacuerdo

alasclasesquetengamos. Calcularmedia,desviacinestndarerroryrealizarelhistograma. Analizarresultadosparadistintostamaosdemuestra.

OtraopcinparatrabajarconMonteCarlo,cuandolavariablealeatorianoesdirectamenteelresultadodelasimulacinotenemosrelacionesentrevariableseslasiguiente:

Lasprialgoritm

EjemplTenemquerem

DisearelEspecificarIncluirposMuestrearCalcular eregistrareRepetirelpObtenerlaCalcularmAnalizarlo

incipalescamoson:

Elsistema(fdp)GeneradorimportanteEstableceradoptarlasDefinir Scosimular.EstimacinqueunacoTcnicasdParalelizactrabajarco

lo

os la sigumosverque

METOD

modelolgrdistribucisiblesdepevaloresde

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r de nmeeparaevitarlmitesyrsvariablesoring: Cua

n Error: Coorridaseavdereduccicin y veconvariospr

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0

0

0

DOSCUAN

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on que errvlida?ndevariantorizacin:rocesadore

tribucin donelprome

0

.1

.2

.3

.4

42

0.1

NTITATIV

cisinrobabilidadntrevariablesaleatoridelo segn

unamuestruenciasdel

rencuenta

or1oms

orios: comoroduzcaco

muestreopa

alor aleato

ror trabajam

nza.: En aplicaesparalelos

de probabediodelad

45 48

0.2

0.4

Demanda

VOSPARA

dparalasvables.ias.n los valor

aestadsticresultadod

apara la im

funciones

o se generorrelacinearalasfdp:

rio tiene o

mos, cuant

aciones consparareali

ilidades pdemandaen

51 54

0.2

0.1

a

ALOSNE

Compilac

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2009

Grijalva Yaur

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robabilidad

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se estudia

aleatoria y

ri

8.3Algoritm

os

236

y

l

d

s

n

a

a

a

y



8.3Algoritm

os

237

Utilizandoladistribucinacumulada(F(x)eslaprobabilidadquelavariablealeatoriatomevaloresmenoresoigualesax)podemosdeterminarcualeselvalorobtenidodeunidadescuandosegeneraunnmeroaleatorioapartirdeunadistribucincontinuauniforme.EstemtododegeneracindevariablealeatoriasellamaTransformacinInversa.

Unidades FrecuenciaFrecuenciaAcumulada

42 0.1 0.1

45 0.2 0.3

48 0.4 0.7

51 0.2 0.9

54 0.1 1

Generandolosvaloresaleatoriosvamosavercomoseobtieneelvalordelademandaparacada da, interesndonos en este caso como es el orden de aparicin de los valores. Sebusca el nmero aleatorio generado en la tabla de probabilidades acumuladas, una vezencontrado(sinoeselvalorexacto,stedebesemenorqueeldelafilaseleccionadaperomayorqueeldelafilaanterior),deesafilatomadacomosolucinsetomaelvalordelasunidades(CuandotrabajamosenExceldebemostomarellmiteinferiordelintervaloparabuscaenlasacumuladas,parapoderemplearlafuncinBUSCARV(),para42sera0,para43 0,100001 y as sucesivamente). Ejemplo: Supongamos que el nmero aleatoriogeneradosea0,52, aquvalordeunidadescorresponde?Nos fijamosen la columnadefrecuencias acumuladas, ese valor exacto no aparece, el siguiente mayor es 0,70 ycorrespondea48unidades.

Sepuedeapreciarmejorenelgrfico,trazandounarectadesdeelejedelafrecuenciahastaque interseca con la lnea de la funcin acumulada, luego se baja a la coordenada deunidadesyseobtieneelvalorcorrespondiente;enestecaso48.Cuandotrabajamosconvariablesdiscretaslafuncinacumuladatieneunintervaloosaltopara cada variable (para casos prcticos hay que definir los intervalos y luego con unafuncindebsquedahallarelvalor).Parafuncionescontinuassepuedehallarlainversadelafuncinacumulada.

0.1

0.2

0.4

0.20.10.1

0.3

0.7

0.91

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

42 45 48 51 54

DemandaFrecuenciaFrecuenciaAcumulada



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

238

Deesta forma logramosapartirde ladistribucindedensidadcalcular losvaloresde lavariablealeatoriadada.

NmerodeSimulacin

Nmerosaleatorios

ValordelaDemanda

1 0.92 54

2 0.71 51

3 0.85 51

... ... ...

n 0.46 48En la siguiente tabla, vemos como amedida que aumenta el numero de simulaciones, elvalorsimuladoseacercaalvalororiginaldelamediaydesviacinestndar,ademsdeladisminucindelerrortpico.

Cantidaddesimulaciones Media Desvo Error

10 48.6 3.41 1.08

100 48.12 3.16 0.32

1000 47.87 3.28 0.1

10000 47.87 3.3 0.03

8.4QueslaSimulacindeMonteCarlo?LasimulacindeMonteCarloesunatcnicacuantitativaquehaceusode laestadsticaylosordenadoresparaimitar,mediantemodelosmatemticos,elcomportamientoaleatoriodesistemasrealesnodinmicos(porlogeneral,cuandosetratadesistemascuyoestadovacambiandoconelpasodel tiempo,serecurrebiena lasimulacindeeventosdiscretosobienalasimulacindesistemascontinuos).LaclavedelasimulacinMCconsisteencrearunmodelomatemticodelsistema,procesoo actividad que se quiere analizar, identificando aquellas variables (inputs del modelo)cuyocomportamientoaleatoriodeterminaelcomportamientoglobaldelsistema.Unavezidentificados dichos inputs o variables aleatorias, se lleva a cabo un experimentoconsistente en (1) generar con ayuda del ordenador muestras aleatorias (valoresconcretos) para dichos inputs, y (2) analizar el comportamiento del sistema ante losvalores generados. Tras repetir n veces este experimento, dispondremos de nobservaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual nos ser de utilidad paraentender el funcionamiento del mismo obviamente, nuestro anlisis ser tanto msprecisocuantomayorseaelnmerondeexperimentosquellevemosacabo.Veamosunejemplosencillo:



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

239

En la imagen inferior se muestra un anlisis histrico de 200 das sobre el nmero deconsultasdiariasrealizadasaunsistemadeinformacinempresarial(EIS)residenteenunservidor central. La tabla incluye el nmero de consultas diarias (0 a 5) junto con lasfrecuenciasabsolutas(nmerodedasqueseproducen0,1,...,5consultas),lasfrecuenciasrelativas(10/200=0,05,...),ylasfrecuenciasrelativasacumuladas.

Podemos interpretar la frecuencia relativa como laprobabilidaddequeocurrael sucesoasociado,enestecaso,laprobabilidaddeundeterminadonmerodeconsultas(as,p.e.,laprobabilidaddequeseden3consultasenundaserade0,30),porloquelatablaanteriornosproporcionaladistribucindeprobabilidadasociadaaunavariablealeatoriadiscreta(la variable aleatoria es el nmero de consultas al EIS, que slo puede tomar valoresenterosentre0y5).Supongamosquequeremosconocerelnmeroesperado(omedio)deconsultasporda.Larespuestaaestapreguntaesfcilsirecurrimosalateoradelaprobabilidad.DenotandoporXalavariablealeatoriaquerepresentaelnmerodiariodeconsultasalEIS,sabemosque:

EX xPX x

0 0.05 1 0.10 5 0.15 2.95

Porotraparte,tambinpodemosusarsimulacindeMonteCarloparaestimarelnmeroesperadode consultasdiarias (eneste caso sehapodidoobtener el valor exactousandoteoradeprobabilidad,peroellonosiempreserfactible).Veamoscmo:Cuando se conozca la distribucin de probabilidad asociada a una variable aleatoriadiscreta,serposibleusarlacolumnadefrecuenciasrelativasacumuladasparaobtenerlosllamados intervalos de nmeros aleatorios asociados a cada suceso. En este caso, losintervalosobtenidosson:

[0.00,0.05)paraelsuceso0 [0.05,0.15)paraelsuceso1 [0.15,0.35)paraelsuceso2



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

240

[0.35,0.65)paraelsuceso3 [0.65,0.85)paraelsuceso4 [0.85,1.00)paraelsuceso5

El grfico siguiente nos muestra cada una de las probabilidades sobre el nmero deconsultas. En l, se aprecia claramente la relacin existente entre probabilidad de cadasucesoyelreaquesteocupa.

Estosignificaque,algenerarunnmeropseudoaleatorioconelordenador(provenientedeunadistribucinuniformeentre0y1),estaremosllevandoacabounexperimentocuyoresultado, obtenido de forma aleatoria y segn la distribucin de probabilidad anterior,estarasociadoaunsuceso.Asporejemplo,sielordenadornosproporcionaelnmeropseudoaleatorio0,2567,podremossuponerqueeseda sehanproducido2 consultasalEIS.AsignamospueslafuncinALEATORIOaunacasilla(laG1enelcasodelaimagen):

Seleccionando laceldayarrastrandoconelratndesdeelborde inferiorderechode lamismapodemosobtenerunlistadocompletodenmerospseudoaleatorios:Acontinuacin,podemosusarlafuncinSIdeExcelparaasignarunsucesoacadaunodelos nmeros pseudo aleatorios generados (como veremos, otra forma de hacer estaasignacinserusandolafuncinBUSCARV):

0.05

0.10 0.20 0.30 0.20 0.15

0% 20% 40% 60% 80% 100%

NmerodeConsultasEIS

0 1 2 3 4 5



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

241

Repitiendoelprocesodeseleccionaryarrastrarobtendremosalgosimilara:

Finalmente,usandolafuncinPROMEDIOserposiblecalcularlamediadelosvaloresdelacolumnaH:

Enestecaso,hemosobtenidounvalorestimadoquecorrespondeexactamenteconelvalorrealanteriormentecalculadovaladefinicintericadelamedia.Sinembargo,debidoalacomponentealeatoriaintrnsecaalmodelo,normalmenteobtendremosvalorescercanosal valor real, siendo dichos valores diferentes unos de otros (cada simulacinproporcionar sus propios resultados). Se puede comprobar este hecho pulsandorepetidamentesobrelafuncinF9(cadavezquesepulsadichatecla,Excelgeneranuevosvaloresaleatoriosy,portanto,nuevosvaloresparalacolumnaHylacasillaI1).Si en lugar de usar una muestra aleatoria formada por 100 observaciones hubisemosusadouna formadapor10, los valoresqueobtendramos al pulsar repetidamenteF9noseran estimaciones tan buenas al valor real. Por el contrario, es de esperar que sihubisemos usado 1.000 (o mejor an 10.000) observaciones, los valores queobtendramosenlacasillaI1estarantodosmuycercanosalvalorreal.



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

242

8.4.1SimulacinMCconVariablesDiscretasVeamos un ejemplo algo ms complejo del uso de Excel para construir modelos desimulacinMCcuandolasvariablesaleatoriasseandiscretas:Supongamosquetrabajamosenungranalmacninformtico,yquenospidenconsejoparadecidir sobre el nmerode licenciasdeundeterminado sistemaoperativoque convieneadquirir las licencias se suministrarn con los ordenadores que se vendan durante elprximo trimestre, y es lgico pensar que en pocos meses habr un nuevo sistemaoperativoenelmercadodecaractersticassuperiores.Cadalicenciadesistemaoperativolecuestaalalmacnuntotalde75dlares,mientrasqueelprecioalquelavendeesde100dlares.Cuandosalgaalmercadolanuevaversindelsistemaoperativo,elalmacnpodrdevolveraldistribuidorlaslicenciassobrantes,obteniendoacambiountotaldel25dlaresporcadauna.Basndoseenlosdatoshistricosdelosltimosmeses,losresponsablesdelalmacnhansidocapacesdedeterminarlasiguientedistribucindeprobabilidadesporloquealasventasdelicenciasdelnuevosistemaoperativoserefiere:

Construimosnuestromodelousandolasfrmulasquesemuestranenlafigurainferior.EnlacasillaH2usaremos la funcinALEATORIOparagenerarelvalorpseudoaleatorioquedeterminar el suceso resultante; en la celda I2 usamos la funcin BUSCARV paradeterminarelsucesocorrespondienteasociadoalvalorpseudoaleatorioobtenidonotarqueusamostambinlafuncinMIN,yaqueenningncasopodremosvendermslicenciasquelasdisponibles.Elrestodefrmulassonbastanteclaras:

En la imagen anterior se muestra cmo construir el modelo con una observacin(iteracin).Afindegenerarnuevasobservaciones,deberemosseleccionarelrangoH2:N2y"arrastrar"haciaabajo(tantascasillascomoiteracionesdeseemosrealizar):



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

243

Finalmente,esposibleestimarelvaloresperadode lavariablealeatoriaqueproporcionalos beneficios sin ms que hallar la media de las 100 observaciones que acabamos derealizar. Asimismo, usaremos las funciones DESVEST e INTERVALO.CONFIANZA parahallar, respectivamente, la desviacin estndar de lamuestra obtenida y el intervalo deconfianza(aunniveldel95%)paraelvaloresperado:

Laaparienciafinaldenuestromodeloser:



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

244

A partir del modelo anterior es posible tambin realizar whatif anlisis (anlisis deescenariosopreguntasdeltipoqupasarasicambiamostalocualinput?).Paraelloessuficientecon ircambiando losvaloresde lasceldasC11:C14(inputsdelmodeloenesteejemplo).Asimismo,podemosampliarfcilmenteelnmerodeiteraciones(observacionesmuestrales)sinmsquerepetirlosprocesosdeseleccionaryarrastrar.Enelcasoactual,hemosoptadoportomar1.000iteracionesparacadaunadelosposiblesinputsasociadosalacantidaddepedido(estosposiblesinputsson:100,150,200,250,y300).Siserealizaseelexperimento,seobtendranunosresultadossimilaresa losquesemuestranacontinuacin(yaque1.000esunnmeroyabastanteconsiderableparaesteejemplo):

Resultadosparan=1000iteraciones

NLicencias Benef.Medio Desv.Est. Intervaloconfianza95%

100 2500 0 2500 2500

150 2569 1743 0 3750

200 2079 3250 2500 5000

250 333 4154 5000 6250

300 1868 4555 7500 7500

Apartirdelosresultados,parececlaroqueladecisinptimaeshacerunpedidode150unidades,yaqueconelloseconsigueelbeneficiomximo.

8.4.2GeneracindeNmerosAleatoriosProvenientesdeOtrasDistribucionesLas ltimas versiones de Excel incorporan un AddIn llamado Anlisis de datos. Estecomplementoproporcionanuevas funcionalidadesestadsticasa lahojadeclculo.Entreellas,nosinteresadestacarladeGeneracindenmerosaleatorios:

8

6

4

2

0

2

4

6

8

100 150 200 250 300

Milesde

dlares

N deLicenciasAdquiridas

BeneficioEsperado



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

245

Con esta opcin, es posible generar fcilmente observaciones provenientes de diversasdistribuciones de variable discreta (Bernoulli, Binomial, Poisson, Frecuencia relativa, yDiscreta)odevariablecontinua(UniformeyNormal).IndependientementedelcomplementoAnlisisdedatos,esposibleusarunresultadomuyconocidodelateoraestadstica,llamadomtododelatransformadainversa,paraderivarlas frmulas que permiten obtener valores pseudoaleatorios provenientes dedistribucionescomolaWeibullolaLognormal.Enlatablasiguientesemuestranalgunasfrmulasque,implementadasenceldasdeExcel,nospermitenobtenervalorespseudoaleatoriosdealgunasdelasdistribucionescontinuasmsusadas:

Distribucin Parmetros FormulaExcelExponencial Media=b =LN(ALEATORIO())*bWeibull Escala=bForma=a =b*(LN(ALEATORIO())^(1/a)Normal Media=

Desv.Estandar= =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),,)Lognormal MediadeLn(X)=

Desv.EstandardeLn(X)= =DISTR.LOG.INV(ALEATORIO(),,)Uniformeentreayb Extremoinferior=a

Extremosuperior=b =a+(ba)*ALEATORIO()Aadir, finalmente, que es relativamente sencillo implementar funciones VBA que,haciendousodelmtododelatransformadainversaodeotrosmtodossimilares,permitalageneracindevaloresprovenientesdecasicualquierdistribucinterica.

8.4.3SimulacinMCconVariablesContinuasComohemoscomentado,esposibleusarlasfrmulasanterioresparagenerar,apartirdelafuncin ALEATORIO(), valores pseudoaleatorios provenientes de otras distribuciones



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

246

continuas.Enlaspginassiguientes,veremosdosejemplosdemodelosquehacenusodeladistribucinnormal(ladistribucinestadsticamsimportanteyutilizada):Ejemplo:TiempodeconsultasaservidoresenparaleloSupongamos que desde un ordenador cliente se realiza consultas SQL a bases de datossituadas en dos servidores distintos. Nuestro objetivo ser estimar el tiempo esperado(tiempo medio) que deberemos esperar para recibir la respuesta de ambos servidores.Dada lacomplejidadde laconsultaquequeremosrealizar,ybasndonosenexperienciasanteriores, se calcula que el tiempo necesario para que cada uno de los servidoresrespondaalamismasigueunadistribucinnormalconlosparmetros(mediaydesviacinestndar,enminutos)queseindicanacontinuacin:

Pediremos a Excel que genere valores pseudoaleatorios provenientes de dichasdistribuciones.Asimismo,usaremos la funcinMAXparaobtenerel tiempode respuesta(que ser elmximode los tiemposde respuesta de cada servidor), y la funcinSI paradeterminarquservidorhasidoelmsrpidoenresponder:

Usaremos tambin las funciones CONTAR y CONTAR.SI para contar el nmero deiteracionesyelnmerodevecesqueunservidoresmsrpidoqueelotro:

Finalmente, las funciones PROMEDIO, DESVEST, e INTERVALO.CONFIANZA nos servirnpara obtener, respectivamente, el tiempo muestral medio (esperado) de respuesta, ladesviacin estndar de la muestra (observaciones que generaremos), y un intervalo deconfianza,aunniveldel95%,paraeltiempomedio(esteintervalonospermitirsabersinuestraestimacinesbuenaosi,porelcontrario,necesitaremosmsiteraciones).



8.4Q

uesla

Sim

ulacinde

Mon

teCarlo?

247

Una vez introducidas las frmulas anteriores, bastar con seleccionar y arrastrarhaciaabajoel rangodeceldasG3:J3, con loquesegenerarnnuevas iteraciones.En la imagensiguiente semuestra el resultadoobtenido al generar2.077 iteraciones.Observarque eltiempomedio estimado de respuesta es de 22,98minutos, y podemos asegurar, con unniveldeconfianzadel95%,quedichotiempomedioestarentre22,88y23,08minutos.

Finalmente,seobservatambinqueelservidor1harespondidomsrpidoqueelservidor2enel68%delasiteraciones.Ejemplo:InversininicialyflujodecajaConsideremosahoraunnuevoproblema:supongamosquedisponemosdeuncapitalinicialde250dlaresquedeseamosinvertirenunapequeaempresa.Supondremostambinquelosflujosdecajatanto losdeentradacomolosdesalidasonaleatorios,siguiendostosunadistribucinnormal.

Paraelprimermes,elvaloresperadodelflujodeentradaesde500Euros,mientrasqueelvalor esperado para el flujo de salida es de 400 Euros. En meses posteriores, el valoresperado ser el valor obtenido para en el mes anterior. Por su parte, las desviacionesestndarvaldrn,entodosloscasos,un25%delvalormedio(esperado)asociado.Enbasealoanterior,podemosconstruirunmodelocomosemuestraenlassiguientesimgenes:



8.5Actividades

parael

Aprendizaje.

248

Seleccionandoy arrastrandohaciaabajoelrangoG3:O3,hemosobtenido lossiguientesresultadospara5.859iteraciones:

Observamos que el valor esperado para el capital final es de unos 543 dlares, y quepodemosafirmar, conunniveldeconfianzadel95%,quedichovalorestarentre527y558dlares.

8.5ActividadesparaelAprendizaje.

Luegodevisitarestasdireccionesdepginasweb,elaborarunresumeny/odesarrollarlosejerciciospropuestosparaeltemacorrespondiente:



8.5Actividades

parael

Aprendizaje.

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UnaAplicacindelMtododeMonteCarloenelAnlisisdeRiesgodeProyectos:Suautomatizacinatravsdeunaplanilladeclculo.http://www.abcbolsa.com/montecarlo_excel_cyta1.htm

ElmtododeMonteCarlo: http://www.monografias.com/trabajos12/carlo/carlo.shtml

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CtedradeMtodosCuantitativosparalosNegocios.http://www.unsa.edu.ar/mcneco/mcn_tps.html

ProgramacinMatemticahttp://www.uv.es/~sala/programacion.htm

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Simulación de Montecarlo 2(1)