R-IV - inf.utfsm.clhallende/bajadas/RIV-numeros-aleatorios... · Simulación/2005 Héctor Allende 1 R-IV Números Aleatorios Método de Monte- Carlo Simulación/2005 Héctor Allende

Simulación/2005 Héctor Allende 1

R-IVNúmeros Aleatorios

Método de Monte- Carlo


• Elemento Central en la Simulación digital.• Definición formal controvertida.• Elemento esencial en muchas áreas del conocimiento

Ingeniería, Economía, Física, Estadística, etc.• Definición intuitiva: Una sucesión de números

aleatorios puros, se caracteriza por que no existe ninguna regla o plan que nos permita conocer sus valores.

• Los números aleatorios obtenidos a través de algoritmos recursivos se llaman pseudo-aleatorios.

Números Aleatorios


Disponer de un buen generador de números aleatorios es clave en:

• Computación Aleatorizada• Computación Evolutiva• Algoritmos Aleatorizados• Verificación de Algoritmos• Validación de Algoritmos• Criptografía• etc.

Números Aleatorios


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• La gran disponibilidad de generadores de números aleatorios en muchos entornos y compiladores puede llevarnos a pensar que para un usuario de la simulación no sería necesario estudiar estas cuestiones.

• Una lección del pasado reciente nos obliga a sacar lecciones y actuar con mucho cuidado con dichos generadores (RANDU - IBM).

• El Uso progresivo de modelos de simulación cada vez más detallados exige una mayor calidad de los generadores de números aleatorios.

Números Aleatorios


+A8

( +A8 ?<EF.& (

+ &

=+


+A8

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+A8

&)'9-A


# +A8

&;-A


# +A8

&;-A

# ( )$G


• DEF 1: Kolmogorov (1987) [Complejidad Algorítmica] Una sucesión de números es aleatoria sino puede producirse eficientemente de una manera más corta que la propia serie.

• DEF 2: L’Ecuyer (1990) [Impredicibilidad] Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables puede distinguir entre la serie y una sucesión de números verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda legal para decidir cuál es cuál.Esta definición conduce a los denominados generadores PT-perfectos usados en Criptografía.

Números Aleatorios


• DEF 3: Un Número aleatorio es una realización de una variable aleatoria que tiene asociada una ley de probabilidades F, en un espacio o modelo de Probabilidades Ω ℜ .

Obs: Una particular Ley de Probabilidad base para lageneración de números pseudo-aleatorios es:u1, u2,..., un : es la uniforme (0 ; 1) ui ~ U(0,1).

• DEF 4: Una sucesión de números aleatorios u1, u2,..., un es una sucesión de números U(0;1), si tiene las mismas propiedades estadísticas relevantes que dicha sucesión de números aleatorios.

Números Aleatorios


• DEF 5: Una sucesión de números aleatorios ui es aleatorio si h-úplas de números sucesivos no superpuestos se distribuyen aproximadamente. como una [0,1]h, con h=1,2,..,n, para n suficientemente grande.

• Obs: h=2 tenemos (ui,ui+1) , i=1,2,..n , se distribuye como una ley uniforme en [0,1]2.

• Existe una gran de métodos para generar ui ≈U(0,1) : -Uniformente distribuidas

- Independientes- E[U]= ½ ; V[U]= 1/12- Período largo

Números Aleatorios


A las propiedades estadísticas anteriores se debenagregar otras relativas a la eficiencia computacional:

• Velocidad de respuesta

• Consumo de memoria

• Portabilidad

• Parsimonia

• Reproducibilidad

• Mutabilidad

• Período

Números Aleatorios


Métodos de Generación de Números Aleatorios

1.- Método de los cuadrados medios2.- Métodos Congruenciales3.- Método de registros desfasados

[Semilla - Algoritmo - Validación]

P1 : Obtener semilla (valores iniciales)

P2 : Aplicación de Algoritmos recursivos

P3 : Validación del conjunto de datos generados (Test de Aleatoriedad)

Números Aleatorios


Consiste en que cada número de una sucesión es producido tomando los dígitos medios de un número obtenido mediante la elevación al cuadrado.

P1 : Obtener semilla (valores iniciales 445)

P2 : Aplicación de Algoritmos recursivos (elevar al cuadrado)

P3 : Validación del conjunto de datos generados

Métodos de los cuadrados Medios


Ejemplo: Consideremos la semilla 445

X X2 N°Aleatorio

445 1| 9802 | 5 0,9802

9802 96| 0792 | 04 0,0792

792 6 | 2726 | 4 0,2726

2726 ............... ...............

Métodos de los Cuadrados Medios


n+1 = (a n + b) mod m ;

Los parámetros del algoritmo se llaman

- a multiplicador

- b sesgo

- m módulo

- o semilla (valor inicial)

=

Generadores Congruenciales


Obs: 1.- Cuando b=0 el generador se denomina Generador congruencial multiplicativo.

2.- Cuando b≠0 el generador se denomina Generador congruencial mixto.

3.- A pesar de la simplicidad una adecuadaelección de los parámetros de “a, b y m”, permite obtener de manera eficiente una larga e impredecible sucesión de números como para considerarse “aleatoria”.



Parámetrosa b m xo6 0 13 17 0 13 105 0 13 57 0 11 56 0 11 3

Caso Salidas1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 1 6 102 5 9 11 12 6 3 8 4 2 1 7 10 5 93 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8 1 5 12 84 2 3 10 4 6 9 8 1 7 5 2 3 10 45 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 4

5

Caso1234



Algunas observaciones de las salidas de los generadores congruenciales:

i) Un generador congruencial tiene ciclos

iI) La longitud del ciclo depende de la selección de los parámetros (ver caso 1) y 3) )

iii) Dentro de selecciones de parámetros que conducen a la misma longitud, algunas salidas parecen más aleatorias que otras.

iv) La representación de pares (i, i+1) sugiere que estos se disponen en un número finito de hiperplanos.



Los resultados teóricos que veremos a continuación facilitan la elección de los parámetros de “a y b” su demostración puede verse en el texto clásico

D. Knuth (1981):

“The Art of Computer Programming”. Ed. A. Wesley Vol N°2



Proposición 2.1

Un generador congruencial tiene su período máximo si y sólo si:

i) m.c.d (b, m) = 1 (primos relativos)

ii) a = 1 mod p ; para cada factor primo p de m.

iii) a = 1 mod 4 ; si 4 divide a m.

Puesto que b esta asociado en la práctica con el efecto de traslación, inicialmente asumiremos ( b=0), es decir partiremos estudiando los generador congruencial multiplicativos.



Dem: Donald Knuth Vol 2 (1981)

Obs: 1) Lo anterior sugiere elegir “m” lo más grande posible, para asegurarnos un período largo (posibles elecciones de m son; m=231 -1, m=216 +1)

2) Sea p el período de la secuencia de números aleatorios, si p=m el generador se llama de período completo.

3) Si m es un número primo entonces el máximoperíodo se obtiene ssi a =1



Proposición 2.2 Sea un generador multiplicativo (b=0) [Xn+1 = a Xn mod m] tiene período p=(m-1), sólo si “p” es primo. El periodo divide a (m-1) y es (m-1) si y sólo si “a”es una raíz primitiva de m-1, es decir a(m-1)/p ≠ 1 mod m, para todos los factores primos p de (m-1).

Proposición 2.3

Si a es un raíz primitiva de m, ak mod m, lo es siempre que k y m-1 sean primos relativos.

Equivalentemente

Si a es una raíz primitiva de m, ak mod m lo es siempre que ; mcd(k,m-1)=1



Dem: B. Ripley (1987) “Stochastic Simulation”Ed. JohnWiley. pp 47Obs: 1) En general los generadores congruenciales son de la forma

n+1 = g (n, n-1,.... ,n-k ,...) mod m

g (x) = a ng (x) = a n + bg (x) = a n

2 + b n + c

Usando g (x) = (a1 n-1 + a2 n-2 + ... + ar n-r), se obtieneun generador de Fibonacci retardado. La teoría de estos generadores se puede ver en Marsaglia (1985)]



2) Una buena elección de “m”, permite obtener un generador eficiente (ciclo máximo). Pero aún se debe estudiar con más detalle la elección de a y b, pues se tienen muchos grados de libertad.

3) Un buen generador congruencial debe ser:

i) De máximo período

ii) Su salida debe parecer aleatoria

iii) Poder implementar de forma eficiente en aritmética de 32 bits.



Un algoritmo de muy fácil implementación del tipo congruencial es m = 231-1

a = 75 (raíz primitiva de m)

Xn = 75 Xn-1 mod (231-1)

un =

Dicho generador se encuentra en las bibliotecas IMSL y NAG

−



La rutina RANDU, que IBM proporcionaba para sus equipos consideraba un modelo congruencialmultiplicativo con m = 231 ; a = 65539 ; b = 0

Xn = 65539 Xn-1 mod (231)

un =

¡ Este generador proporciona tripletas consecutivas de números que caen en 15 planos ! Lo que sugiere cierta previsiblidad en su salida (Mal Generador)



Barsaglia (1968) demostró que sucesiones consecutivas no superpuestas de n números aleatorios obtenidos de generadores multiplicativos caen en, a lo sumo [n! m] 1/n

hiperplanos paralelos.

Algunas cotas de casos representativos

n=3 n=5 n=7 n=9 n=10

m = 216 73 23 16 14 13

m = 232 2953 220 80 48 41

Es decir, en un computador con palabras de 32 bits, menos de 41 hiperplanos contendrán las 10-úplas



En teoría puede conseguirse que un buen generador con m = 232 produzca 357.913.941 puntos independientes en un cubo de dimensión 3, siendo el mínimo número de hiperplanos que contiene estos puntos 108, en contraste con los 2953.

Para la famosa rutina RANDU de IBM,

Xn = 65539 Xn mod (231)

las tripletas consecutivas de números caen en 15 planos.



Se basa en Generadores lineales recursivos múltiples

El estudio de este generador se asocia al Polinomio característico.

sobre un

álgebra finita Fm, con m elementos. [Niederreiter 1992]

=

= =

−

−−= −

Generadores de Registros Desfasados


[Niederreiter 1992]

Cuando el polinomio es primitivo el período es (mk-1). Debido a la complejidad del análisis para m grande, habitualmente se elige un m pequeño, generalmente 2 obteniendo generadores de bits de la forma

donde ak = 1 ^ ai ∈ 0, 1

= =

−



La adición módulo 2 es equivalente al XOR (ó exclusivo)

0 XOR 0 = 0 0 XOR 1 = 1

1 XOR 1 = 0 1 XOR 0 = 1

Esto nos permite implementar registros de desplazamiento

Un generador propuesto Tausworthe (1985)

( )

<

≠=

=+=−−

−−−−



En este caso los primeros q bits deben ser especificados, esto es análogo a la semilla de los generadores congruenciales.Este tipo de generador depende del largo de la palabra

Ejemplo: h = 3 ; q = 5 ; b1 = b2 = b3 = b4 = b5 = 1

b6 = (b3 + b1) mod 2 = 2 mod 2 = 0b7 = (b4 + b2) mod 2 = 2 mod 2 = 0b8 = (b5 + b3) mod 2 = 2 mod 2 = 0b9 = (b6 + b4) mod 2 = 1 mod 2 = 1b10 = (b7 + b5) mod 2 = 1 mod 2 = 1...b42 = (b39 + b37) mod 2 = 2 mod 2 = 0



Transformar la sucesión bi en un número aleatorio (0,1)

Consideremos bi

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1......... b41 b42......... 1 0

=

Conversión del Generador Binario


Consideremos = 4

y1 = b123 + b222 + b321 + b420 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15

u1 =

y2 = b523 + b622 + b721 + b820 = 8 + 0 + 0 + 0 = 8

u2 =

y3 = b923 + b1022 + b1121 + b1220 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

u3 = .... y así sucesivamente

=

=

=

==

Conversión del Generador Binario


Dada la estructura reticular de los generadores lineales, algunos autores sugirieron utilizar generadores no lineales. (Ver Niederreiter (1992))

• Usar un generador con función de transición lineal, produciendo una transformación no lineal del estado en su salida.

•Usar un generador con función de transición no lineal.

Generadores no Lineales


Una forma de incrementar el periodo e intentar evitar regularidades que muestren los generadores lineales es combinar (mezclar) diferentes generadores para obtener generadores híbridos de mejor calidad que los generadores originales.

Muchas de las combinaciones propuestas son heurísticas y algunas con resultados bastantes pobres.

Por ejemplo sean e dos sucesiones aleatorias, una sucesión combinada sería :

i = i i

donde “ ” es alguna operación binaria

=

=

Combinación de Generadores

∇

∇


• Generadores Paralelos de números aleatorios.

• Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ]

•Generadores de Fibonacci retardados

•[ Sincronización; reproductibilidad; gasto transición ]

•Generadores Comerciales: IMSL Generador congruencial multiplicativo m = 231 - 1 a = 16807; 397204094; 950706376

http://www.stat.cmu.edu/

Otros Generadores


Finalmente la fase de validación se basa en ciertas propiedades estadísticas que deben cumplirse a la salida de los generadores de n°aleatorios .

Los Test empíricos que veremos a continuación son genéricos y pueden usarse en la evaluación de generadores de n° aleatorios, en generadores de variables aleatorias y en la modelación de entradas de modelos de simulación.

La mayoría de los Test se encuentran disponibles en paquetes estadísticos comerciales. SAS, Statistica, etc.

Validación de Generadores Congruenciales


1) Test

Este es un test de Bondad de Ajuste. Es poco potente, por lo que permite justificar el rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso apoyo en la aceptación.

Dada una muestra 1, 2, ..., n de una Fx() desconocida. Se desea contrastar.

Ho : Fx() = Fo() v/s H1 : Fx() ≠ Fo()

χ

Validación de Nos Aleatorios


Efectuando una partición del soporte de X en k subconjuntos 1, 2, ..., k :

fi : frecuencia absoluta del subconjunto i-ésimo (i)

ei: número de observaciones esperadas en i bajo Ho

φ≠∧=

( )

−

=

−=

χχ ~asint



Obs: 1) Este Test considera aleatoridad de Fo = U(0,1)

2) Este Test también permite contrastar la uniformidad S-dimensional de

1 = (u1, u2, ..., us); 2 = (us+1, us+2, ..., u2s); ... n = (u(n-1)s+1, ..., uns)

en Fo = [0,1]s [Distribución uniforme en el hipercubo]



2) Test de Kolmogorov - Smirnov (Test K-S)Sea Fo una función de distribución continua y sea Fn la función de distribución empírica de la muestra.

Bajo Ho: Fx(x) = Fo(x) se espera que Fn se aproxime a Fo

Dn = Sup | Fn(x) - Fo(x) |

La distribución exacta de Dn está tabulada para valores n ≤ 40 y distintos niveles de significación α.Para muestras grandes se utiliza la distribución asintótica de Dn dada por

x ∈ R

∞→

∞

=

−−−−==≤



Obs: En el caso particular de aleatoridad se considera

X(1) < X(2) < .... < X(n)

estadísticos de orden Fo(X(i)) = X(i) ^ Fn (X(i)) = /

Dn = ≤≤

−−−

Test de Kolmogorov - Smirnov


! ) ***8<'$*" !) ( *

& ! ( 1 ' * H & ( ! *+1'3 ! ( !,#*


0& 6 **8<'$ I* 4 ( *


Otros Test son:

• Test de Rachas

• Test Serial

• Test de Permutaciones

• Test de Poker

• Test de Dependencia

• Test de longitud de rachas

• etc



./.

./ & '' &*

8 / !0 4 & / 4 & / AJA5! ()& 2' . ' ' *


.#- 51&

$*A3 &(&9* *

;*E *%*. G*# () &(

?*0

:*J &

>*# '


.#- #

K && , 2 A5

K ) @ )

K & & //

K / & 4 / & & &.

5 4 & 4 & (! !( / . ! 4


Idea : Es la aproximación a la solución de un problema por medio del muestreo de un proceso al azar.

Esto no ayuda mucho lo que es el Método de Monte Carlopero podemos familiarizarnos por la vía de ejemplos:

Caso 1

x

y

=

π

≤+∧ℜ∈=

Método de Monte Carlo


Caso 2:

Sea g(x) una función y supongamos que deseamos conocer

Problema determinista

Sea u ~ (0,1) y sea x = uEntonces

E[g(u)] =

siendo

=

θ

( ) === −



Luego

E[g(u)] =

Entonces transformamos la estimación de por el cálculo E[g(u)] por la vía de la ley de los grandes números.

=

θ

θ

∞→=

θ !

∞→→>− "" εθ



Es decir podemos resolver un problema determinístico por medio del cálculo del valor esperado de una muestra grande.Algoritmo Valores iniciales, S1=0 ; S2 = 0

1.- Generar ui ((0,1))2.- Calcular g(ui)3.- Calcular4.- Repetir el cálculo k-veces

5.- Calcular ;

6.- Calcular el !

±=

∧θθ

S1 = S1 + g(ui)S2 = S2 + [g(ui)]2

=∧θ

!

−−⋅=

!



Caso 3 : Para

Sea

Entonces

donde

Luego podemos estimar mediante el cálculo de E[h(y)]

≤≤= θ

−=

−−=

=

−⋅−+=

!

θ

θ

−+⋅−=



Caso 4 :

θ puede ser calculado mediante

donde 1, 2, ..., n sucesiones v.a.i.i.d. (0,1)

=

θ

=

∧=

θ

! =∧θ



Caso 5 : Para

Sea

Entonces

Luego siendo

∞

=

θ

−=+

−=+

=

≤≤−

=

θ

!

−=

=θ



#$%&$

1.- Construir RGN, tipo congruencial Mixto y un RGN, regristro defasado. Verificar a lo menos 3 test de Aleatoriedad

2.- Derive un método aproximado para resolver este problema de integración, vía Simulación de Monte Carlo yproponga un Algoritmo

∞

∞−

= θ

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