Bilangan AcakPertemuan-04 Simulasi dan

Pemodelan Sistem

Pengertian Bilangan Acak

• Bilangan acak adalah bilangan sembarang tetapitidak sembarangan.

• Bilangan acak: bilangan yang tidak dapat diprediksi

• Bilangan acak (random) banyak digunakan di dalamkriptografi

• Tidak ada komputasi yang benar-benar menghasilkanderet bilangan acak secara sempurna.

• Bilangan acak yang dihasilkan dengan rumus-rumusmatematika adalah bilangan acak semu (pseudo), karena pembangkitan bilangannya dapat diulangkembali.

Kriteria Bilangan Acak

• Bilangan acak harus mempunyai distribusiserba sama (uniform)

Beberapa bilangan acak yang diambil harusmempunyai peluang terambil sama besar.

• Masing-masing bilangan acak tidak salingtergantung atau independence

• Bilangan acak ini disimbolkan dengan U, dannilainya dari 0 sampai dengan 1, makadinyatakan dalam U(0,1).

BILANGAN ACAK (1)

Caranya membangkitkan bilangan acak :

• Melempar dadu, memutar roda roulette, ataumengocok kartu undian (zaman dahulu)

• Menggunakan seed komputer secara numerik untukmemperoleh Pseudo Random Number (zamanmodern)

BILANGAN ACAK (2)

Syarat Random Number Generator (RNG) :

• Berdistribusi Uniform (0,1) goodness of fit

• Randomness, tidak ada korelasi

• Long cycle, deretan bilangan yang dibangkitkan tidaksegera berulang

• Repeatability, dapat digunakan berulang-ulang dandiperoleh bilangan yang berbeda tiap membangkitkan

• Algoritma yang cepat dan storage tidak besar

• Konektivitas yang mudah antar software yang berbeda

Teknik Random Number Generator

• Middle Square (MS)

• Linear Congruential Generator (LCG)

MIDDLE SQUARE (MS)

• Metode ini digunakan untuk membangkitkanbilangan random sepanjang n digit.

• Untuk membangkitkan bilangan berikutnya, bilangan yang sekarang dikuadratkan, kemudian dari hasil kuadrat tersebut diambil n digit yang terletak di tengah.

• Kelemahan cara ini adalah jika mencapaibilangan 0, bilangan-bilangan berikutnya akanterus 0.

MIDDLE SQUARE (MS)

ALGORITMA :1. Diberikan 6 digit integer yang positif (Z0) 2. Kuadratkan Z0 untuk memperoleh 12 digit

integer (Ui), i=0,1,2,…3. Ambillah 6 digit Ui dari tengah sebagai 6 digits

integer positif selanjutnya (Zj), j=1,2,3,…4. Bagi Zj sehingga diperoleh bilangan kurang

dari 1 dan berdistribusi Uniform (0,1).

5. Ulangi langkah 2 dengan input dari Zj

Contoh perhitungan denganmenggunakan teknik Middle Square

LINEAR CONGRUENTIAL GENERATOR (LCG)

FORMULA :

• Panjang kerandoman m, yaitu dari 0 s/d m-1

• xn akan bernilai antara 0 s/d m-1, sehingga untukmembangkitkan bilangan random antara 0 dan 1, maka digunakan formulasi un = xn/m

• Jika c = 0 maka dinamakan sebagai Multiplicative LCG (atau MLCG)

1( ) mod n nx ax c m

a : konstanta pengali ( a < m )

c : konstanta pergeseran ( c < m )

m: konstanta modulus ( > 0 )

X0: bilangan awal ( bilangan bulat ≥ 0 , X0 < m )

Ui: bilangan acak ke i dan Ui(0,1) = Xi / m

Contoh perhitungan LCG

i Zi m a c Zi+1 Ui

0 7 16 5 3 6 0.3750

1 6 16 5 3 1 0.0625

2 1 16 5 3 8 0.5000

3 8 16 5 3 11 0.6875

4 11 16 5 3 10 0.6250

5 10 16 5 3 5 0.3125

6 5 16 5 3 12 0.7500

7 12 16 5 3 15 0.9375

8 15 16 5 3 14 0.8750

9 14 16 5 3 9 0.5625

10 9 16 5 3 0 0.0000

11 0 16 5 3 3 0.1875

12 3 16 5 3 2 0.1250

13 2 16 5 3 13 0.8125

14 13 16 5 3 4 0.2500

15 4 16 5 3 7 0.4375

16 7 16 5 3 6 0.3750

• Kita lihat pada tabel , U17 mempunyai nilaiyang sama dengan U1. Jika kita menginginkanbilangan acak dalam jumlah yang banyak, maka nilai m hendaknya sebesar 2b dengan b adalah jumlah bit pada komputer yang akandigunakan.

• LCG mempunyai periode tidak lebih besar dari m, dan pada kebanyakan kasus periodenya kurangdari itu.

• LCG mempunyai periode penuh (m–1) jikamemenuhi syarat berikut:1. c relatif prima terhadap m.

2. a – 1 dapat dibagi dengan semua faktor prima dari m

3. a – 1 adalah kelipatan 4 jika m adalah kelipatan 4

4. m > maks(a, c, x0)

5. a > 0, c > 0

Latihan Soal

1. Jika x0=5 dan xn=3xn-1 mod 150, tentukan nilaidari x1, x2, …, x10

2. Jika x0=3 dan xn=(5xn-1+7)mod 200, tentukannilai dari x1, x2, …, x10

3. Jika diketahui suatu komputer berkapasitas12 bit, dengan x0=129 dan a=67, tentukannilai dari x1, x2, …, x5. Jika diketahui Ui=xn/m, tentukan pula nilai dari U1, U2, …, U5

VARIABEL ACAK DAN FUNGSI DISTRIBUSI PROBABILITAS

• Variabel acak (random variable):variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil sebuah eksperimen. Yaitu, variabel acak merepresentasikan hasil yang tidak pasti.

• Variabel acak diskrit:variabel acak yang nilainya dapat dicacah (dihitung).Contoh:- Banyak pembeli yang memasuki sebuah toko.- Banyak televisi yang terjual pada periode tertentu.

• Variabel acak kontinu:Variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah.Contoh:- Perpanjangan pegas jika ditarik.- Berat segenggam strawberry.

• Bilangan Acak yang akan dipergunakan dalamsimulasi, harus mempunyai pola yang samadengan pola data pengamatan

• Oleh karena itu, maka dari bilangan acak yang didapat harus dibangkitkan bilangan acak yang sesuai pola distribusi