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Liceo Scientifico Paritario “R. Bruni” Padova, loc. Ponte di Brenta, 12/12/2017

Simulazione di II prova: Fisica Classe V sez. A

Soluzione

Problemi. Risolvi uno dei due problemi:

1. Spira in un campo variabile: le derivate! Una spira conduttrice circolare di raggio r = 12,8 cm è posta in un piano perpendicola-re alle linee di un campo magnetico

!B uniforme sulla spira, ma con un modulo che

aumenta nel tempo secondo la legge B t( )= k·tα , con 1,0 s≤ t≤10 s e α> 0 . La spira è realizzata con un filo di rame ( ρ= 1,7·10−8 Ω·m ) che ha un diametro d = 0,26 mm .

i. Determina la funzione che fornisce il modulo, in funzione del tempo, della forza elettromotrice indotta nella spira. In particolare determina quale deve essere il valore dell’esponente α che porta ad avere una forza elettromotrice costante (cioè che non dipende dal tempo). Nel calcolo utilizza solo parametri simbolici e non valori numerici.

ii. Calcola quale valore di k permette di ottenere, per il particolare valore di α indi-cato in precedenza, un modulo della forza elettromotrice indotta pari a fem = 0,378 mV . Verifica esplicitamente che l’unità di misura determinata per k equivale a T s . Determina anche il valore dell’intensità della corrente indotta presente nella spira nella situazione che stai esaminando.

iii. La spira è posta su una delle linee del campo elettrico indotto !E generato dal

campo magnetico variabile. Determina il modulo E t( ) di tale campo elettrico in funzione di t per un valore generico del parametro α. Stabilisci per quale valore di α il modulo ottenuto diminuisce nel tempo con proporzionalità inversa a t .

iv. Rappresenta la situazione nel grafico ε0·E−t , assumendo k = 2,94·10−2T·s−1 2 . In-terpreta fisicamente il coefficiente angolare al grafico suddetto in t = 4,00 s .

[tratto da “Simulazioni Zanichelli”]

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Risoluzione. DATI r = 1,28·10−1 m

B t( )= k·tα , k∈! , 1,0 s≤ t≤10 s e α> 0

ρ= 1,7·10−8 Ω·m

d = 2,6·10−4 m

i. Determina la funzione che fornisce il modulo, in funzione del tempo, della forza elettromotrice indotta nella spira. In particolare determina quale deve essere il va-lore dell’esponente α che porta ad avere una forza elettromotrice costante (cioè che non dipende dal tempo). Nel calcolo utilizza solo parametri simbolici e non valori numerici.

La legge di Faraday garantisce che fem =

dφB t( )dt

. Ora, φB t( )= S·n̂ i!B t( )= πr2B t( ) (le linee

di campo sono perpendicolari alla superficie S della spira e il campo magnetico è unifor-

me). Quindi fem t( ) = πr2 dB t( )

dt= πr2k dtα

dt= πr2kα·tα−1 .

Affinché la fem sia costante nel tempo non dovrà dipendere da quest’ultimo, ovvero l’esponente di t nella relazione appena trovata dev’essere nullo; la fem è quindi costante per α= 1 : fem t( ) = πr2k .

ii. Calcola quale valore di k permette di ottenere, per il particolare valore di α indica-to in precedenza, un modulo della forza elettromotrice indotta pari a fem = 0,378 mV . Verifica esplicitamente che l’unità di misura determinata per k equivale a T s . Determina anche il valore dell’intensità della corrente indotta pre-sente nella spira nella situazione che stai esaminando.

Nel caso α= 1 il modulo del campo magnetico diventa B t( )= k·t , da cui k =

B t( )t

Ts⎡

⎣⎢⎢⎤

⎦⎥⎥.

fem t( ) = πr2k→ 3,78·10−4 = π·1,282·10−2 k→ k =

3,78π·1,282 ·10−2→ k = 7,34·10−3 T s .

Dalla seconda legge di Ohm ricavo il valore della resistenza della spira:

R = ρ

ℓs→ R = ρ

2π rπ d2 4

→ R =8ρrd2 .

Dalla prima legge di Ohm trovo quanto cercato: i t( )= fem t( ) R→ i t( )=

d2 fem t( )8ρr

→

→ i t( )= 1,5·10−3 A→ i t( )= 1,5 mA .

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iii. La spira è posta su una delle linee del campo elettrico indotto

!E generato dal

campo magnetico variabile. Determina il modulo E t( ) di tale campo elettrico in funzione di t per un valore generico del parametro α. Stabilisci per quale valore di α il modulo ottenuto diminuisce nel tempo con proporzionalità inversa a t .

Considero l’equazione di Faraday-Neumann-Lenz:

!Ei iΔ

!sii∑ =−

ΔφB t( )Δt

→

→ 2π r ·E t( )= π r 2 kαtα−1→ E t( )=

rkα2

· 1t1−α .

Affinché il modulo del campo elettrico sia inversamente proporzionale a t = t1 2 deve ac-cadere che 1−α= 1 2→α= 1 2 .

In questo caso ottengo E t( )=

rk4 t

.

iv. Rappresenta la situazione nel grafico ε0·E−t , assumendo k = 2,94·10−2T·s−1 2 . In-terpreta fisicamente il coefficiente angolare al grafico suddetto in t = 4,00 s .

Con il valore di k indicato trovo che E t( )= 9,41·10−4·t−1 2 , quindi ε0·E t( )= 8,33·10−15·t−1 2 . Il suo grafico, nell’intervallo di tempo dato è il seguente:

Il coefficiente angolare di una retta tangente al suddetto grafico è m =

dε0·E t( )dt

= ε0dE t( )

dt,

la cui unità di misura è

Fm

. Vm·s

=C

m2s=

Am2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥, ovvero la densità di intensità di corrente elet-

trica.

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2. Fulmini e CIG. Un fulmine si scarica lungo il parafulmine di un edificio. L’impulso di corrente elettrica

i t( ) che attraversa il parafulmine genera un campo magnetico variabile nel tempo.

i. Illustra i fenomeni che hanno luogo nel telaio metallico di una finestra dell’edificio la quale giace su un piano passante per il parafulmine.

Considera la finestra quadrata di lato L rappresentata in figura. Supponi che il campo magnetico sia uniforme nell’area del telaio e sia uguale alla media armonica

B = B1·B2 dei moduli di !B1 e

!B2 che il campo magnetico ha nei lati rispettivamente

più vicino e più lontano rispetto al parafulmine.

ii. Dimostra che la fem indotta nel telaio durante l’intervallo di tempo Δt in cui la corrente i t( ) di scarica raggiunge da 0 il suo valore massimo è

fem =

µ0L2

2π a a + L( )·Δi t( )Δt

.

iii. Calcola la fem indotta nel caso in cui L = 1,20 m , a = 8,2 m e la corrente della

scarica raggiunge i 100 kA in 1 µs .

Una linea ad alta tensione può essere schematizzata come un circuito chiuso, formato dai cavi di trasmissione, dai trasformatori e dal suolo.

iv. Le tempeste solari emettono nello spazio enormi quantità di protoni ed elettroni. Quando queste particelle cariche raggiungono la Terra, provocano nell’atmosfera correnti elettriche molto intense che variano rapidamente nel tempo. I fenomeni magnetici connessi possono provocare un pericoloso aumen-to di corrente (detto GIC geomagnetically induced current) sulle linee di trasmis-sione elettrica ad alta tensione. Una linea ad alta tensione può essere schematiz-zata come un circuito chiuso, formato dai cavi di trasmissione, dai trasformatori e dal suolo. Spiega l’origine di una GIC. [tratto da “Simulazioni Zanichelli”]

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Risoluzione.

i. Illustra i fenomeni che hanno luogo nel telaio metallico di una finestra dell’edificio la quale giace su un piano passante per il parafulmine.

Poiché l’intensità della corrente del fulmine è variabile e scorre in un filo rettilineo, in ac-cordo con quanto trovato da Oester verrà generato un campo magnetico variabile le cui li-nee di campo giacciono su piani perpendicolari al filo. La finestra, approssimabile a una spira, giace quindi in una zona dove il campo magnetico è variabile. La Legge di Faraday-Neumann-Lenz garantisce quindi la presenza di un’intensità di corrente indotta che circo-lerà nel telaio metallico della finestra (ed è per questo motivo che a norma di legge vanno messe a terra).

ii. Dimostra che la fem indotta nel telaio durante l’intervallo di tempo Δt in cui la

corrente i t( ) di scarica raggiunge da 0 il suo valore massimo è

fem =

µ0L2

2π a a + L( )·Δi t( )Δt

.

Per la Legge di Biot-Savat si ha che B1 =

µ0i t( )2πa

e B1 =

µ0i t( )2π a + L( )

. Il campo magnetico me-

dio sarà B = B1·B2 → B =

µ0i t( )2π a a + L( )

.

Per la Legge di Faraday ottengo la relazione cercata: fem =

ΔφB t( )Δt

→ fem =L2ΔB t( )Δt

→

→ fem =

µ0L2

2π a a + L( )·Δi t( )Δt

.

iii. Calcola la fem indotta nel caso in cui L = 1,20 m , a = 8,2 m e la corrente della scarica raggiunge i 100 kA in 1 µs .

IMAX = 1,00·105 A , Δt = 1·10−6 s . Quindi fem =

2·10−71,22

8,2·9,4· 105

10−6 → fem = 3·103 V = 3 kV .

iv. Le tempeste solari emettono nello spazio enormi quantità di protoni ed elettroni. Quando queste particelle cariche raggiungono la Terra, provocano nell’atmosfera correnti elettriche molto intense che variano rapidamente nel tempo. I fenomeni magnetici connessi possono provocare un pericoloso aumento di corrente (detto GIC geomagnetically induced current) sulle linee di trasmissione elettrica ad alta tensione. Una linea ad alta tensione può essere schematizzata come un circuito

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chiuso, formato dai cavi di trasmissione, dai trasformatori e dal suolo. Spiega l’origine di una GIC.

L’origine di una GIC risiede nel fenomeno dell’induzione elettromagnetica. Poiché una li-nea di alta tensione può essere considerata alla stregua di una spira, su di essa saranno presenti correnti indotte tanto alte quanto rapida sarà la variazione di queste correnti elet-triche che si generano nell’atmosfera: questo è assicurato dalla relazione dimostrata nel punto ii.

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Questionario. Risolvi due dei quattro quesiti:

1. Giuseppe lavora con un circuito costituito da un generatore di forza elettromotrice sinusoidale di ampiezza fem = 20,0 V , collegato a una resistenza incognita R e a un altro elemento circuitale in serie che può essere una resistenza r o un’induttanza L o una capacità C. Per individuare il secondo elemento circuitale, Giuseppe decide di variare la pulsa-zione ω e rileva il valore massimo di corrente i0 ω( ) . In sostanza, ottiene la seguente tabella:

ω rad s⎡⎣ ⎤⎦ i0 ω( ) A⎡⎣ ⎤⎦

ω1 = 2,00·106 2,00

ω2 = 4,00·106 1,50 Riconosci l’elemento circuitale incognito e determina il suo valore e quello della re-sistenza R. [tratto da “Simulazioni Zanichelli”]

Risposta. All’aumentare della pulsazione, e quindi della frequenza, il valore massimo dell’intensità di corrente diminuisce. Se l’elemento circuitale fosse una resistenza, al variare della pulsazione non ci dovrebbe essere nessuna variazione del valore massimo dell’intensità di corrente, quindi escludo r. Rimane quindi da considerare un elemento reattivo. Considero il circuito elementare equivalente costituito da un’impedenza Z = R2 + X2 . Poiché fem0 = Z ·i0→

→ fem0 = i0 R2 + X2 → i0 = fem0 R2 + X2 , la diminuzione del valore massimo dell’intensità corrisponde a un aumento della reattanza. Il dispositivo reattivo che aumen-ta la reattanza all’aumentare della pulsazione è l’induttanza: X = XL = ωL . Quindi:

fem0 = i0 ω1( ) R2 +ω12L2

fem0 = i0 ω2( ) R2 +ω22L2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

∼20 = 2 R2 + 4·1012 L2

20 = 1,5 R2 +16·1012 L2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

∼ III

100 = R2 + 4·1012 L2

16009

= R2 +16·1012 L2

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

∼

∼ III− I

100 = R2 + 4·1012 L2

7009

= 12·1012 L2

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

∼R2 = 100−4·1012 L2

7009

= 12·1012 L2

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

∼R =

20 159

L =5 21

9·10−6

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

∼R = 8,61 ΩL = 2,55·10−6 H⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪.

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2. Una sbarra conduttrice di lunghezza L = 75 cm si muove con velocità !v su un bina-

rio conduttore immerso in un campo magnetico uniforme e costante di 0,85 T co-me indicato in figura. La sbarra ha resistenza R = 7,7 Ω mentre il binario ha resi-stenza trascurabile.

Il grafico riporta l’andamento dell’intensità di corrente registrata dall’amperometro A.

Determina la relazione tra l’intensità di corrente i e il modulo della velocità v. Spie-ga come puoi individuare gli intervalli di tempo in cui la sbarra rispettivamente si muove con velocità maggiore, decelera, è in quiete. Stabilisci il valore massimo del-la velocità della sbarra. [tratto da “Simulazioni Zanichelli”]

Risposta. La sbarra, in un intervallo di tempo Δt , compie uno spostamento Δs = vΔt . La superficie del circuito quindi è variata di una quantità pari a ΔS = LΔs = LvΔt . Nel circuito quindi

sarà presente una corrente indotta i =

1RΔφB

Δt→ i =

BRΔSΔt→ i =

BLvR

. Noto che i∝ v .

Guardando il grafico e considerata la relazione appena trovata, se la corrente è costante anche la velocità sarà costante. Quindi gli intervalli di tempo nei quali la sbarra sarà in quiete corrispondono agli intervalli di tempo nei quali la corrente è costante. Nei tratti nei quali l’intensità di corrente varia, anche la velocità varia; in particolare, poi-ché la corrente quando varia diminuisce, in quegli stessi intervalli di tempo la sbarra dece-lererà. Poiché v è direttamente proporzionale a i, il valore massimo della velocità si ha quando

l’intensità di corrente è massima, ovvero vMAX =

RiMAX

BL→

vMAX =

7,7·1,28,5·10−1( )· 7,5·10−1( )

→

→ vMAX =

123285→ vMAX = 14 m s .

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3. Un alternatore contiene una bobina formata da N = 2000 spire , ciascuna di area

S = 9,00·10−2 m2 . La bobina ruota alla frequenza di 50,0 Hz in un campo magnetico uniforme di intensità B = 0,410 T . L’alternatore è collegato al circuito primario di un trasformatore, che contiene N1 = 100 spire , e l’intero circuito ha un’impedenza di 683 Ω . Il circuito secondario dello stesso trasformatore è composto da

N2 = 732 spire . Calcola i valori efficaci della forza elettromotrice e della corrente elettrica in uscita dal trasformatore. [tratto da “Simulazioni Zanichelli”]

Risposta. L’alternatore eroga una fem t( )= fem0 cos ωt( )→ fem t( )= 2πνNBScos ωt( ), quindi

femeff =

fem0

2→ femeff = 2πνNBS→ femeff = 1,64·104 V = 16,4 kV . Poiché l’impedenza di

questo circuito (alternatore e primario del trasformatore) è di 683 Ω , l’intensità di corrente che attraverserà il primario avrà un valore efficace pari a ieff = femeff Z → ieff = 24,0 A .

Considerando il trasformatore ideale, ho che

femeff

N1

=fe ′meff

N2

→ fe ′meff =N2

N1

femeff →

→ fe ′meff = 1,20·105 V = 120 kV e femeff ·ieff = fe ′meff · ′ieff → ′ieff =

femeff

fe ′meff

·ieff → ′ieff = 3,29 A .

4. Definisci che cos’è un’onda polarizzata linearmente e spiega come si può ottenerla. Un fascio di luce polarizzato linearmente attraversa un polarizzatore il cui asse di trasmissione forma un angolo di 28° con la direzione di polarizzazione del fascio. L’intensità del fascio incidente è I0 = 95 W m2 . Il polarizzatore ha area A = 18 cm2 . Calcola la potenza luminosa incidente sul polarizzatore. Calcola l’intensità I del fa-scio di luce che emerge dal polarizzatore. [tratto da “Simulazioni Zanichelli”]

Risposta. Per la prima parte si rimanda al libro di testo. La potenza del fascio che incide il polarizzatore è P0 = I0·A→ P0 = 95·1,8·10−3 = 1,7·10−1 W . L’intensità luminosa che emerge dal polarizzatore ubbidisce alla Legge di Malus, ovvero

I = I0 cos2 ϑ→ I = 95cos2 28° = 74 W m2 .

_________________________ NOTE:

i. È ammesso l’uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 15 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 10 p.ti.