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Sinais e Sistemas Série de Fourier
Renato Dourado Maia
Universidade Estadual de Montes Claros
Engenharia de Sistemas
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembremos da resposta de um sistema LTI dis-
creto a uma exponencial complexa:
[ ] , , [ ] n j j nx n é um número complexo z e xz z n e
Assim:
[ ] ( ) ny n H z zTomando ( ) [ ] k
k
z zH h k
[ ] [ ] ( )n nk k
kk k
kk
x n a y n a Hz z z 14/04/2014 2/25
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k
k k k
zy n h k x n k h k h kz z
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Quando um sinal discreto é periódico?
Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante positiva N, tal que:
[ ] [ ], x n x n N n
O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – N0 .
00
2 [ ] é a frequência fundamental de x n em radianos
N
14/04/2014 3/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Lembrando do conjunto de harmônicas para o ca-
so discreto: (2 )
[ ] , 0, 1, 2,...jk n
k
Nn e k
( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]j k nN N Njk n n
k kNjn e e e n
HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!!
14/04/2014 4/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Analogamente ao caso contínuo:
0
0[ ] , jk n
kk N
x n a e é um sinal periódico com período N
Representação em Série de Fourier para um sinal discreto periódico: Forma Exponencial
O somatório é feito num intervalo de “tamanho” N em função de haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de 0 até N-1,
de 3 até N+2, e assim sucessivamente.
k k Na a periodicidade
14/04/2014 5/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) DTFS de um Sinal Discreto Periódico
0
0
0
[ ]
1[ ]
jk n
kk N
jk n
kn N
x n a e
a xN
n e
Equação de Síntese
Equação de Análise
k
a coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais
Quantificam a contribuição de cada uma das N harmônicas.
14/04/2014 6/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo
0
[ ] ( )x n sen n
0 0
0
1 1[ ] ( )
2 2j n j nx n sen n e e
j j Relação de Euler:
1
1
12
12
0, k
aj
aj
a para os demais coeficientes considerados no somatório
Para sinais discretos periódicos reais: ∗ −=k ka a14/04/2014 7/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS)
Exercício 1:
1 3[ ] 1
12 8x n sen n
Aplicando-se a Relação de Euler:
3 38 8
81
2
03 38 8
81
2
1 12 2 2
1
1 12 2 2
0, 11 12
j jj j
j
j jj
j
k
e e ea e
je
a
e ea e
je
a k
14/04/2014 8/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 1
0 5 10 15 20 250
1
2x[n]=x=1+sin(πn/12 + 3π/8)
x[n]
n
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.5
1
|ak|
k
-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5
0
0.5
∠(a
k)
k
14/04/2014 9/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 1
14/04/2014 10/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 2
14/04/2014 11/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 2
0
0
3 13
2 1
3 33 3
63
1 1[ ] [ ]
6 6
1 2 2 1 26 6 6 6 3 21 26 3 3
jk njk n
kn n
jk jkjk jk
k
k
N
a x n e x n e
e ea e e
a cos k
14/04/2014 12/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exercício 2
14/04/2014 13/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da DTFS As propriedades da DTFS são similares às da FS,
e estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do livro Signals and Systems).
As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da DTFS de um sinal, evitando a realização de contas desneces-sárias.
Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-senta comentários interessantes.
14/04/2014 14/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Série de Fourier e Sistemas LTI Lembrando da resposta de sistemas LTI a expo-
nenciais complexas:
( ) , ( ) ( )s tstx t e é um número complexs y t H eso
[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z
Contínuo:
Discreto:
( ) ( ) ( ) ( )s jH h e d H j h e ds
( ) [ ] ( ) [ ]k j j k
k k
zH h zk H e h k e
Resposta em Frequência, se s e z são conside-rados comple-
xos puros.
14/04/2014 15/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Série de Fourier e Sistemas LTI
0 0 0
0( ) ( ) ( )jk t jk t jk t
k k kk k k
x t a e y t a H jk e b e
0 0 0 0[ ] y[ ] ( )jk n jk n jk n jk n
k k kk N k N k N
x n a e n a H e e b e
Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da
convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para permitir a análise com sinais aperiódicos – Transformada de Fourier.
(.) -
. !
H modifica as amplitudes e fases das exponeciais com
plexas da entrada E já sabemos que a frequência não muda
14/04/2014 16/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo – Parte 1
11( ) ( )
tRCh t e u t
RC
Resposta ao Impulso?
Determinar a resposta em frequência.
14/04/2014 17/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo
1
0
1
0
1( ) ( )
11 1
1 1
jRCj
jRC
H j h e d e dRC
RCeRC
j jRC RC
2 2 2
1 1 11 ( )
1 1 1 1
jRC H j j
j
Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo
e fase... 14/04/2014 18/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2
Para RC = 0.1, determinar a saída do circuito pa-
ra o sinal de entrada apresentado a seguir:
0 0 00
2 2 sen( ) 1sinc sinc( ) 1, , 2
4k
T T Tua k u T
T T u T
14/04/2014 19/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2
0 0 0
0( ) ( ) ( )jk t jk t jk t
k k kk k k
x t a e y t a H jk e b e
0 00 0 00 0
0 0
2 ( )( ) ( ) ( )jk t jk t
kk k
T sen k Ty t a H jk e H jk e
T k T
00
1 1( ) ( )
1 1
RC RCH j H jk
j RC jk RC
14/04/2014 20/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) Exemplo – Parte 2
00
1 1( ) ( )
1 1
RC RCH j H jk
j RC jk RC
00,1 , 2RC
10( 2 )
2 10H j k
j k
0( 2)210
( )2 10k
sen kTy t
j k T k
14/04/2014 21/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Boa Notícia!
VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS...
14/04/2014 22/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Exercícios Exercício 3.19 – Signals and Systems
Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RL mostrado a seguir:
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para .
( ) j tx t e ( ) cos( )x t t
14/04/2014 23/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Exercícios Exercício 3.20 – Signals and Systems
Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RLC mostrado a seguir:
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. Considerando , determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para .
( ) j tx t e ( ) sen( )x t t
14/04/2014 24/25
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Exercícios Exercício 3.14 – Signals and Systems
Quando o trem de impulsos
é a entrada de um sistema LTI com resposta em
frequência , a saída é: Determine os valores de para k = 0, 1, 2 e 3.
[ ] [ 4 ]k
x n n k
( )jH e
5[ ] .
2 4y n cos n
2
( )jk
H e
14/04/2014 25/25