Sinais e Sistemas - UFSM...Sinais e Sistemas Unidade 5 – Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng

Sinais e SistemasUnidade 5 –

Representação em domínio da

frequência para sinais contínuos:Transformada de Laplace

Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]

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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

•

Introdução•

Definição da Transformada de Laplace

•

Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo

•

Função de Transferência•

Conceito de pólos e zeros

•

Estabilidade de sistemas

•

Sistemas com atraso de transporte•

Análise da resposta transitória

•

Análise da resposta em regime permanente

•

Resposta em frequência e Diagrama de Bode

Conteúdo da unidade

Aulas

01 e 02

Aula 03

Aula 04

Aulas

05 e

06

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Aula 03

•

Função de Transferência–

Definição

–

Procedimento de obtenção–

Integral de convolução

–

Resposta impulsional•

Conceito de pólos e zeros–

Definição

•

Estabilidade de sistemas–

Estabilidade absoluta

–

Estabilidade relativa–

Análise no plano complexo

–

Critério de estabilidade de Routh

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Função de transferência

•

Aplicável–

Sistemas representados por equações diferenciais LTI

–

Sistemas relaxados

Condições iniciais nulas

•

Enunciado–

Relação entre as Transfomadas

de Laplace

do sinal de saída

(função

resposta) e do sinal de entrada

(função excitação)

Definição

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•

Seja o sistema representado pela equação diferencial LTI

•

Função de Transferência


Condições iniciais 0

SaídaEntradaL

G sL

1

0 1 11

0 1 1

n n

n nm m

m m

a y a y a y a y

b x b x b x b x n m

10 1 1

10 1 1

m mm m

n nn n

Y s b s b s b s bG s

X s a s a s a s a

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•

Comentários–

Modelo matemático

do sistema

•

Método operacional para representar a equação diferencial relacionando a saída à

entrada

–

Representa uma propriedade intrínseca do sistema•

Independe da natureza da excitação

(amplitude ou tipo)

–

Não fornece informações sobre a estrutura física (interna) do sistema–

Pode ser obtida experimentalmente•

Introduz‐se sinais de entrada conhecidos e mede‐se os sinais de saída

•

Faz‐se a relação entre os sinais de saída e entrada


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1)

Escrever a equação diferencial do sistema (LTI)2)

Aplicar a Transformada de Laplace

à

equação diferencial

–

Considerar todas as condições iniciais nulas

3)

Obter a relação entre as Transformadas de Laplace

do sinal de saída e do sinal de entrada

•

Exercício–

Obter a função de transferência sistema representado pela seguinte

equação diferencial LTI

Procedimento de obtenção

15 3 2 42

y y y y x x

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•

Seja a seguinte função de transferência

–

A multiplicação

de funções em s

equivale à

convolução

em t–

Logo a Transformada Inversa de Laplace

da equação anterior é

Integral de convolução

Y sG s Y s G s X s

X s

0 0

t t

y t x τ g t τ dτ g τ x t τ dτ

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•

Considerando que a entrada x(t)

seja um impulso unitário–

A Transformada de Laplace

de um impulso unitário é

igual a 1

–

Logo a Transformada Inversa de Laplace

da equação anterior fornece a resposta do sistema ao impulso unitário aplicado

–

Resposta impulsional do sistema

–

OBS:

A função de transferência

e a resposta impulsional

de um sistema LTI contêm a mesma informação acerca da dinâmica do sistema

Resposta impulsional

Y s G s X s Y s G s

1L G s g t

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•

Se G(s) tender ao infinito quando s

tender a –p

e se

possuir valor finito, não‐nulo, então s =

–p

é dito pólo de ordem n

•

Pontos ordinários

Pontos no plano s

onde G(s) é

analítica–

Atendem as condições de Cauchy‐Riemann

•

Pontos singulares

Pontos no plano s

onde G(s) ou suas derivadas tendem ao infinito (pólos)

Definição de pólo

1 2 3 para , , ,n

s pG s s p n

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•

Os pontos nos quais a função G(s) se anula são chamados de zeros da função de transferência

•

Exercício1) Calcular os pólos e os zeros da seguinte função de transferência

2) Determine G(s) para s

tendendo ao infinito•

Conceito de zeros no infinito

Definição de zero

2

2 101 5 15s s

G ss s s s

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•

Sistema LTI estável–

A saída retorna à seu ao estado de equilíbrio quando o sistema é

submetido a uma condição inicial

•

Sistema LTI criticamente estável–

A saída apresenta oscilações que se conservam indefinidamente

•

Sistema LTI instável–

A saída apresenta valores que divergem sem limite do seu estado de

equilíbrio quando o sistema é

submetido a uma condição inicial

Estabilidade absoluta

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•

Localização da parte real dos pólos

da função de transferência

–

Pólos sem

parte complexa Comportamento monotônico–

Pólos com

parte complexa Comportamento oscilatório amortecido

Análise no plano complexo

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•

Exercício–

Esboce a localização dos pólos

e dos zeros

da seguinte função de

transferência no plano complexo e diga se o sistema é estável ou instável

–

Símbolos:•

O zeros

•

X pólos

2

4 26 13

8 72 65s s

G ss s s

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•

Informa a localização das raízes de uma equação polinomial sem a necessidade de resolvê‐la

•

Procedimento1)

Escrever o polinômio do denominador da forma

2)

Condição necessária à

estabilidade: todos os elementos do polinômio com sinal positivo. Esta não é uma condição suficiente!

Critério de Routh

10 1 1

n nn na s a s a s a

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3)

Se todos os coeficientes forem positivos, rearranjá‐los conforme o seguinte padrão:

1 2 0 3 1 4 0 51 2

1 1, ,

a a a a a a a ab b

a a

0 2 4 61

1 3 5 72

1 2 3 43

1 2 3 44

1 2 3 4

21 2

11

01

n

n

n

n

n

s a a a a

s a a a a

s b b b b

s c c c c

s d d d d

s e e

s f

s g

1 3 1 2 1 5 1 31 2

1 1, ,

b a a b b a a bc c

b b

1 3 1 31 2 1 21 2

1 1, ,

c b b cc b b cd d

c c

•

Repetir processo até

que a n‐ésima

linha tenha sido completada

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4)

Critério de Routh•

O número de raízes no semiplano

direito

(instáveis) é igual ao

número de mudanças de sinal

dos coeficientes da primeira coluna

0 2 4 61

1 3 5 72

1 2 3 43

1 2 3 44

1 2 3 4

21 2

11

01

n

n

n

n

n

s a a a a

s a a a a

s b b b b

s c c c c

s d d d d

s e e

s f

s g

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•

Exercício–

Determinar K

para que o sistema representado por G(s) seja estável

•

Primeiramente, verificar o sinal dos coeficientes do polinômio do denominador

•

Se necessário (todos positivos), aplicar o critério de Routh

–

Resposta:

211 2

G ss s s s K

14 09

K

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[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª

ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ Hall, 2000.

[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.

Bibliografia

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