{sin(klx), cos(klx)} oinarria: Fourier-en serieak

(a,b) tarteko karratu-batugarria duten funtzioen Hilbert-en bektore-espazioaren oinarri ortogonal bat bilatuko dugu hurrengo funtzioetatikabiatuz:

€

gl (x) = sin(klx) ; l =1,2,3,Lf l (x) = cos(klx) ; l = 0,1,2,3,L

non l indizeak balore arruntak har ditzakeen eta k zehaztu behar den funtzioen ortogonaltasuna baieztatu dadin:

(gl(x), f j(x))=0(gl(x),gj (x))=δlj gl (x)

2

( fl (x), fj(x))=δlj fl (x) 2

(gl(x), f j(x))=0

€

sin(klx)cos(kjx)a

b

∫ dx = 0

€

12

sin[k(l + j)x] + sin[k(l − j]x)[ ]a

b

∫ dx = 0

−12

cos[k(l+j)x]k(l+j) +cos[k(l −j)x]

k(l −j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

=0

l−j ≠0

(gl(x), f j(x))=0

€

sin(klx)cos(kjx)a

b

∫ dx = 0

€

12

sin[k(l + j)x] + sin[k(l − j)x[ ]a

b

∫ dx = 0

−12

cos[k(l+j)x]k(l+j) +cos[k(l −j)x]

k(l −j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

=0

−12

cos[k(l+j)b]−cos[k(l+j)a]k(l+j) +cos[k(l−j )b]−cos[k(l−j)a]

k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

(gl(x), fl (x))=0

€

sin(klx)cos(klx)a

b

∫ dx = 0

€

sin(2klx)2a

b

∫ dx = 0

−cos(2klx)2kl

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ a

b

=0

− cos(2klb)−cos(2kla)2kl

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =0

(gl(x),gj (x))=0 ; l ≠j

€

sin(klx)sin(kjx)a

b

∫ dx = 0

12 cos[k(l −j)x]−cos[k(l+j)x[ ]

a

b

∫ dx=0

€

12

sin[k(l − j)x]k(l − j)

− sin[k(l + j)x]k(l + j)

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥a

b

= 0

€

12

sin[k(l − j)b]− sin[k(l − j)a]k(l − j)

− sin[k(l + j)b] − sin[k(l + j)a]k(l + j)

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= 0

( fl (x), fj(x))=0 ; l ≠j

cos(klx)cos(kjx) a

b

∫ dx=0

12 cos[k(l +j)x]+cos[k(l−j)x[ ]

a

b

∫ dx=0

€

12

sin[k(l + j)x]k(l + j)

+ sin[k(l − j)x]k(l − j)

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥a

b

= 0

€

12

sin[k(l + j)b]− sin[k(l + j)a]k(l + j)

+ sin[k(l − j)b] − sin[k(l − j)a]k(l − j)

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= 0

Aurreko ortogonaltasun-baldintzak bete daitezen:

−12

cos[k(l+j)b]−cos[k(l+j)a]k(l+j) +cos[k(l−j )b]−cos[k(l−j)a]

k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

− cos(2klb)−cos(2kla)2kl

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =0

€

12

sin[k(l − j)b] − sin[k(l − j)a]k(l − j)

− sin[k(l + j)b]− sin[k(l + j)a]k(l + j)

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= 0

€

12

sin[k(l + j)b]− sin[k(l + j)a]k(l + j)

+ sin[k(l − j)b] − sin[k(l − j)a]k(l − j)

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= 0

Egiaztatu behar dena hauxe da:

€

kb = ka + 2πn ; n ∈ Ζ

Hortaz hurrengo funtzioek osatzen dute oinarri ortogonal bat:

€

gl (x) = sin( 2πb − a

lx) ; l =1,2,3,L

f l (x) = cos( 2πb − a

lx) ; l = 0,1,2,3,L

eta beraien normak hurrengo hauek dira:

€

(gl (x),gl (x)) = sin(klx)sin(klx)a

b

∫ dx

€

= sin2(klx)a

b

∫ dx

(gl(x),gl(x))= 1−cos(2klx)2a

b

∫ dx

€

=x2

− sin(2klx)4kl

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥a

b

€

=b − a

2

( fl (x), fl(x))= cos(klx)cos(klx)a

b

∫ dx= cos2(klx)a

b

∫ dx

( fl (x), fl(x))= 1+cos(2klx)2a

b

∫ dx

€

=x2

+ sin(2klx)4kl

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥a

b

l ≠0( f0(x), f0(x))=

a

b

∫dx =b−a =L

=b−a2

€

gl (x) = sin(2πL

lx) ; l =1,2,3,L

f l (x) = cos(2πL

lx) ; l = 0,1,2,3,L

(gl(x), f j(x))=0

(gl(x),gj (x))=δljL2

( fl (x), fj(x))=L2(1+δl0)δlj

Beraz, (a,b) tarteko karratu-integragarridun funtzioa, f(x), oinarri ortogonal honetan adieraz daiteke. Adierazpen edo garapen honi f(x)funtzioaren “Fourier-en seriea” deitzen zaio:

f (x) = αl fl(x)l=0

∞∑ + βlgl(x)l=1

∞∑

f (x) =α0 + αl cos(2πLlx)

l=1

∞∑ + βl sen(2πLlx)

l=1

∞∑ (a,b) tartearen barnean f(x) eta beraren Fourier-en seriearen garapena elkarren berdinak dira, baina (a,b) tartetik kanpo seriearen garapenak badu periodizitate-propietatea, oinarri ortogonalaren funtzioak periodikoak direlako; aitzitik f(x) ez du zertan periodikoa izan behar eta,orokorrean, (a,b) tartetik at, f(x) eta seriearen garapenak desberdinakizango dira.

€

gl (x) = sin(2πL

lx) ; l =1,2,3,L

f l (x) = cos(2πL

lx) ; l = 0,1,2,3,L

gl(x+nL) =gl(x) ; n∈Ζfl (x+nL) = fl(x) ; n∈Ζ

€

sin 2πL

(x + nL) ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= sin 2π

Lx + 2πn

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟= sin(2π

Lx); n ∈ Ζ

cos 2πL

(x + nL) ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥= cos 2π

Lx + 2πn

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟= cos(2π

Lx); n ∈ Ζ

Kalkulatu hurrengo funtzioaren (Heaviside-ren funtzioaren, alegia) Fourier-en seriea (-1,1) tartean:

h(x) = −1 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

h(x) = α l fl (x)l=0

∞∑ + βlgl(x)l=1

∞∑Hurrengo seriearen l eta l kalkulatu behar ditugu:

€

gl (x) = sin(2πL

lx) ; f l (x) = cos(2πL

lx)

Tartea (-1,1) denez:

€

L = b − a =1− (−1) = 2gl (x) = sin(πlx) ; f l (x) = cos(πlx)

€

h(x) = α l cos(πlx)l= 0

∞

∑ + β l sin(πlx)l=1

∞

∑

αn =(cos(πnx),h(x))cos(πnx) 2

αn = 1cos(πnx) 2 cos(πnx)h(x)dx

−1

1

∫ =0

αn =0 ; ∀n

€

=2 −cos(πnx)πn

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥0

1

€

=2

πn[−cos(πn) +1]

€

=2

πn[−(−1)n +1]

€

=0 , n bikoitia bada4

πn , n bakoitia bada

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

€

h(x) = α l cos(πlx)l= 0

∞

∑ + β l sin(πlx)l=1

∞

∑

€

n = (sin(πnx),h(x))sin(πnx) 2

€

n = 1sin(πnx) 2 sin(πnx)h(x)dx

−1

1

∫

€

n = 2 sin(πnx)h(x)dx0

1

∫

€

=2 sin(πnx)dx0

1

∫

€

h(x) = α l cos(πlx)l= 0

∞

∑ + β l sin(πlx)l=1

∞

∑

€

l =0 , l bikoitia bada4πl

, l bakoitia bada

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪αl =0

€

h(x) = 4π

sin(πlx)ll=1

∞

∑

€

l bakoitia

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)1357

x

f ( x ) =4

π

sen[ π ( 2 k + 1 ) x ]

2 k + 1k = 0

∞

∑

€

f (x) = 4π

sin[π (2l +1)x]2l +1l= 0

∞

∑

{exp(iklx)} oinarria:

Euler-en formula kontutan hartuz:

€

ixe = cos(x) + isin(x)

sinuen eta cosinuen oinarri ortogonalaren elementuak esponentzial konplexuen funtzioez idatz daitezke:

€

cos(klx) = 12

iklxe + −iklxe( )

sin(klx) = 12i

iklxe − −iklxe( )

Hori ez ezik, egiaztatu daitekeen bezala, esponentzial konplexu hauek betetzen dute ortogonaltasunaren baldintza:

iklxe , ikjxe( ) =0 ; l ≠j

Beraz, benetan:

k= 2πb−a

⇒ iklxe , ikjxe( )=0 ; l≠ j

iklxe , ikjxe( ) = [ iklxe ]*

a

b

∫ ikjxe dx

iklxe , ikjxe( ) = −iklxea

b

∫ ikjxe dx = −ik(l−j)xea

b

∫ dx=−ik(l−j )xe

−ik(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

Bestaldetik, esponentzial konplexu baten eta bere buruaren artekobiderkaketa, hau da, bere normaren karratua hurrengo hau da:

iklxe , ikjxe( ) =Lδlj ; k=2πL

Beraz, esponentzial konplexuen multzo hau {exp(iknx)}, nonk=2π/(b-a) den eta n zenbaki osoa den, da (a,b) tarteko karratu batugarrien funtzioen Hilbert-en espazio bektorialaren oinarri ortogonalbat da :

iklxe , iklxe( ) = [ iklxe ]*

a

b

∫ iklxe dx

iklxe , iklxe( ) = −iklxea

b

∫ iklxe dx =a

b

∫dx =b−a =L

Ondorioz,(a,b) tartean karratu bateragarria duen funtzio bat, f(x), oinarri ortogonal honekiko garatu daiteke :

f (x) = all=−∞

∞∑ iklxe

Kontutan hartu behar da, oraingo honetan, garapenaren eskalareak, hau da, al eskalareak, orokorrean zenbaki konplexuak izango direla.

(a,b) tartearen barnean f(x) eta beraren garapena esponentzialen bidezelkarren berdinak dira, baina (a,b) tartetik kanpo seriearen garapenak badu periodizitate-propietatea, oinarri ortogonalaren funtzioak periodikoak direlako; aitzitik f(x) ez du zertan periodikoa izan behar eta,orokorrean, (a,b) tartetik at, f(x) eta seriearen garapenak desberdinakizango dira.

f(x) funtzio bati dagozkion garapenaren al eskalareak kalkulatu nahi baditugu, hurrengo erara egin dezakegu ortogonaltasuna baliatuz :

f (x) = all=−∞

∞∑ iklxe

( ikjxe , f(x))=( ikjxe , all=−∞

∞∑ iklxe ) = all=−∞

∞∑ ( ikjxe , iklxe )

( ikjxe , f(x))= all=−∞

∞∑ δljL =ajL

aj = 1L

( ikjxe , f (x))

f(x) funtzioa erreala bada ondorengo hau egiaztatzen da:

( f (x), ikjxe ) = f(x)* ikjxe dxa

b

∫ = f (x) ikjxe dxa

b

∫

( ikjxe , f(x))= ikjx[e ]* f(x)dxa

b

∫ = −ikjxe f (x)dxa

b

∫

aj = 1L

( ikjxe , f (x))

aj = 1L

−ikjxe f (x)dxa

b

∫

= ikjxe f(x)dxa

b

∫ = ik(−j )x[e ]* f(x)dxa

b

∫=( −ikjxe , f(x))

Beraz, f(x) funtzioa erreala baldin bada:

( f (x), ikjxe ) =( −ikjxe , f (x))

bestaldetik, funtzio ororako:

( f (x), ikjxe ) = ( ikjxe , f (x))[ ]*

=a−jL

= aj L[ ]*

Ondorioz, f(x) funtzioa erreala bada, hurrengo hau betetzen da:

aj* =a−j

Aurrekoaz baliatuz, ikus dezagun nola aurki dezakegun esponentzial konplexuen oinarri ortogonalaren eta Fourier-en seriearen (hau da, sinuen eta kosinuen oinarri ortogonalaren) koefizienteen arteko erlazioa funtzio erreal baterako:

f (x) = all=−∞

∞∑ iklxe =a0 + (a−l−iklxe +al iklxe )

l=1

∞∑f(x) funtzioa erreala bada: a−l =al

*

f (x) =a0 + [al* iklxe( )* +al iklxe ]

l=1

∞∑f (x) =a0 + 2Re[al iklxe ]

l=1

∞∑

al koefizienteak hurrengo erara idazten baditugu:

al =aliθle

f (x) =a0 + 2Re[al iklxe ]l=1

∞∑ =a0 + 2Re[al i(klx+θ l )e ]l=1

∞∑

f (x) =a0 + 2all=1

∞∑ cos(klx+θl )

€

f (x) = a0 + 2 all=1

∞

∑ [cos(klx)cos(θ l ) − sin(klx)sin(θ l )]

€

f (x) = α 0 + [α ll=1

∞

∑ cos(klx) + β l sin(klx)]

f(x) funtzio errealaren Fourier-en seriearekin alderatuz:

hurrengo erlazioak erdiesten dira:

€

0 = a0

α l = 2 al cos(θ l )

β l = −2 al sin(θ l )

⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪l ≠ 0

edo baliokideak direnak:

a0 =α0

al =12 αl

2 +βl2 iarctg−βlαle

f x( ) =x−12 ; x∈(0,1)

€

oinarri ortogonala ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ i2πjxe{ } ; j ∈ Ζ

f x( ) = aj i2πjxej=−∞

∞∑ → al = −i2πlxe f(x)dx0

1

∫al = −i2πlxe (x−1

2)dx0

1

∫ = −i2πlxe x dx0

1

∫ −12

−i2πlxe dx0

1

∫

al = −i2πlxe x dx0

1

∫ = ix2πl

−i2πlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

1− i

2πl−i2πlxe dx

0

1

∫ = i2πl

u=x ; du=dx

dv= −i2πlxe dx ; v=−i2πlxe

−i2πl =i −i2πlxe2πl l ≠ 0

l =0 → a0 = (x−12)dx

0

1

∫ =0

f (x) = i2πj

i2πjxe0≠j=−∞

∞∑ =2 Re i2πj

i2πjxe⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0

∞∑

€

f (x) = −1π

sin(2πjx)jj>0

∞

∑€

=−1π

sin(2πjx)jj>0

∞

∑

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx))

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3+sin(8πx)/4)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3+sin(8πx)/4+sin(10πx)/5 )

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3+sin(8πx)/4+sin(10πx)/5 +sin(12πx)/6)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3+sin(8πx)/4+sin(10πx)/5 +sin(12πx)/6+sin(14πx)/7)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3+sin(8πx)/4+sin(10πx)/5 +sin(12πx)/6+sin(14πx)/7+sin(16πx)/8)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3+sin(8πx)/4+sin(10πx)/5 +sin(12πx)/6+sin(14πx)/7+sin(16πx)/8+sin(18πx)/9)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sin(2πx)+sin(4πx)/2+sin(6πx)/3+sin(8πx)/4+sin(10πx)/5 +sin(12πx)/6+sin(14πx)/7+sin(16πx)/8+sin(18πx)/9+sin(20πx)/10)

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

Kalkulatu (-1,1) tartean hurrengo funtzioen Fourier-en serieak:

f (x) =x

f (x) = xe

f (x) =δ(x)

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

€

oinarri ortogonala ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j ∈ Ζ

H x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe H(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe H(x)dx

−1

1

∫ =12

−iπlxe dx0

1

∫ =12

1−iπl

−iπlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

1

al =12iπl

−iπle −1[ ]

€

=i

2πlcos(πl) − isin(πl) −1[ ]= i

2πl cos(πl)−1[ ]

€

=0 ; l bikoitia bada−iπl

; l bakoitia bada

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ l ≠ 0

Kalkulatu Heaviside-ren funtzioaren Fourier-en seriea:

al =12

−iπlxe H(x)dx−1

1

∫

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

€

oinarri ortogonala ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j ∈ Ζ

H x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑

0-iπ0x =1

2 dx0

1

∫ =12

€

al =0 ; l bikoitia bada

−iπl

; l bakoitia bada

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪a0 =1

2 ;

=12 + −i

πjiπjxe

0≠j=−∞

∞∑j bakoitia

Kalkulatu Heaviside-ren funtzioaren Fourier-seriea:

=12 + 2Re −i

πjiπjxe

⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0

∑j bakoitia

=12 + −i

πjiπjxe

0≠j=−∞

∞∑j bakoitia

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

€

oinarri ortogonala ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j ∈ Ζ

H x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑

€

H x( ) = 12

+ 2π

Re−i cos(πjx) + isin(πjx)( )

j

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

j>0∑

j bakoitia

€

H x( ) = 12

+ 2π

sin(πjx)jj>0

∑j bakoitia

Kalkulatu Heaviside-ren funtzioaren Fourier-seriea:

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

f x( ) =x ; x∈(−1,1)

€

oinarri ortogonala ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j ∈ Ζ

f x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe f(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe xdx

−1

1

∫ u=x ; du=dx

dv= −iπlxe dx ; v=−iπlxe

−iπl =i −iπlxeπl l ≠ 0

€

al = 12

−iπlxe x dx−1

1

∫ = 12

ixπl

−iπlxe ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

−1

1

− 12

iπl

−iπlxe dx−1

1

∫

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ = iπl

cos(πl) = iπl

(−1)l

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ =12

iπl

−iπle + iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ =12

iπl

−iπle + iπle( )+ 1(πl)2

−iπle − iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

€

al = 12

−iπlxe x dx−1

1

∫ = 12

iπl

− iπle + iπle( ) ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥+ 1

21

(πl)2−iπlxe

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

−1

1

€

al = 12

−iπlxe x dx−1

1

∫ = 12

iπl

−iπle + iπle( ) ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ − 1

2i

πl−iπlxe dx

−1

1

∫

f x( ) =x= aj iπjxej=−∞

∞∑aj = i

πl(−1)j

= i(−1)jπj

iπjxej=−∞

∞∑

x= 2Re i(−1)jπj

iπjxe⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0

∞∑

€

= 2 (−1) j +1

πjsin(πjx)

j>0∑

€

x = 2π

(−1) j +1

jsin(πjx)

j>0∑

f(x)δ(x−xo)dx−1

1

∫ = f(xo)

xo ∈ (−1,1)

⎫ ⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

Kalkulatu (x)-en Fourier-en seriea:

€

oinarri ortogonala ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j ∈ Ζ

δ x( )= aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe δ(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe δ(x)dx

−1

1

∫ =12

δ x( )=12

iπjxej=−∞

∞∑ =12 +1

2 iπjxe + iπjxej>0∑

j<0∑⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =1

2 +12 −iπjxe + iπjxe

j>0∑

j>0∑⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =1

2 +12 ( −iπjxe + iπjxe

j>0∑ )δ x( )=1

2 + cos(πjx)j>0∑=12 + cos(πjx)

j>0∑

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

Δ x( ) =iπ2

iπjxje

j=−∞

∞∑

δ(x) =12 + cos(πjx)

j>0∑

=iπ2 j iπjxe

0≠j=−∞

∞∑=−π jsen(πjx)j>0∑=π

2 2Re j i iπjxe[ ]j>0∑

f(x)Δ(x−a)dx−1

1

∫ =−f' (a)

a∈ (−1,1)

⎫ ⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

Kalkulatu (x)-en Fourier-en seriea:

€

oinarri ortogonala ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j ∈ Ζ

Δ x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe Δ(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe Δ(x)dx

−1

1

∫ =iπl2

€

=−π j sin(πjx)j>0∑Δ x( )