Contoh‐contohContoh‐contoh

SistemWaktu Kontinyu1 C t h Si t R k i RC1. Contoh Sistem, Rangkaian RC

Gambar Rangkaian RC

Rangkaian RC dapat dilihat sebagai suatu sistem waktukontinyu single‐input single‐outputkontinyu single input single output. Input x(t) sebanding dengan arus i(t) yang selanjutnyamengalir ke sambungan paralel dan output y(t) sebandingdengan tegangan vc(t) pada kapasitor.

Hukum arus Kirchoff

bentuk persamaan diferensial linear seperti berikut:

jawaban dari penyelesaian persamaan diatas:jawaban dari penyelesaian persamaan diatas:

Gambar Respon step rangkaian RC untuk C=R=1Gambar Respon step rangkaian RC untuk C R 1

2. Contoh Sistem, Gerakan Mobil

Pertimbangkan sebuah mobil pada permukaan horizontal, seperti yang diberikan pada Gambar berikut :

0 y(t)Gambar Sistem gerakan mobil

Contoh Sistem, Gerakan MobilOutput y(t) adalah posisi mobil pada waktu t relatif terhadapsuatu titik referensi.I t (t) k dib ik d bil d t tInput x(t)merupakan gaya yang diberikan pada mobil pada saat t.

Gambar Respon step pada mobil dengan M=1 dan kf =0.1

SistemWaktu DiskritPenggambaran sistem waktu disktrit berkaitan dengan pengambilan sampel pada waktu‐waktu tertentu dari sistem yang bi d t i f[ ]biasanya dengan penggunaan notasi f[n].

Gambar Diagram blok sistem waktu diskrit

Contoh : Sistem Pembayaran Pinjaman uang di Bank• Suatu sistem pembayaran pada pinjaman uang di bank dapatdimodelkan sebagai sebuah sistem waktu diskrit dengan carasebagai berikut:sebagai berikut: 

Dengan n = 0,1,2,…, input x[n] adalah sebagai besarnyapembayaran per bulan yang dilakukan untuk bulan ke‐n.Output y[n] adalah kondisi balans pinjaman setelah bulan ke nOutput y[n] adalah kondisi balans pinjaman setelah bulan ke‐n.Indek n menandai bulan, input x[n], dan output y[n] merupakanfungsi sinyal waktu diskrit yang merupakan fungsi dari parameter n Kondisi awal y[0] ditetapkan sebagai besarnya pinjaman yangn. Kondisi awal y[0] ditetapkan sebagai besarnya pinjaman yang diberikan oleh bank.Biasanya, pembayaran pinjaman x[n] adalah konstan, dalam hal ini [ ] d 1 2 3 d k k t tx[n] = c, dengan n = 1,2,3,… dan c merupakan konstanta.Dalam contoh ini, x[n] diberi kebebasan sebagai nilai yang bervariasi dari bulan ke bulan.

Pembayaran pinjaman dapat digambarkan sebagai persamaanPembayaran pinjaman dapat digambarkan sebagai persamaandiferensial seperti berikut :

I adalah interest rate tahunan dalam bentuk desimalSebagai contoh, jika interest rate tahunan 10%, I akan sebandingg , j , gdengan 0,1.Terminologi (I/12)y[n‐1] dalam persamaan di atasadalah interest pada pinjaman dalam bulan ke npada pinjaman dalam bulan ke‐n.Persamaan ini merupakan persamaan diferensial linear orde 1.

Sifat‐Sifat Dasar SistemContoh KausalitasPertimbangkan sebuah sistem waktu kontinyu yang memilikiPertimbangkan sebuah sistem waktu kontinyu yang memilikihubungan input/output sebagai berikut:

Coba anda klasifikasi, apakah sistem ini kausal?

Penyelesaian:ySistem ini non kausal jika nilai output y(t) pada suatu waktu t tergantung pada input di waktu x(t+1).Non kausalitas dapat juga dilihat dengan mempertimbangkanNon kausalitas dapat juga dilihat dengan mempertimbangkanrespon sistem untuk input detik ke suatu pulsa 1‐detik sepertiditunjukkan pada Gambar a di bawah.

i h b ( ) ( ) d dilih b hDari hubungan y(t) = x(t+1) dapat dilihat bahwa output yang dihasilkan dari pulsa input seperti pada Gambar b di bawah.Sinyal output muncul sebelum sinyal input diberikan, sehinggay p y p ggdalam hal ini sistem dapat dikatagorikan sebagai sistem non‐kausal.Sistem dengan hubungan input/output y(t) = x(t+1) disebutSistem dengan hubungan input/output y(t) = x(t+1) disebutsebagai ideal predictor. Sebagian besar ahli fisika berargumen bahwa di dunia ini tidak ada prediktor yang ideal.

Gambar Input/output pada sistem non‐kausal

Contoh 2. 

Pertimbangkan sistem yang memiliki hubungan input dan output seperti berikut:

Apakah sistem ini merupakan sistem kausal?

Penyelesaian:Sistem ini dapat dikatagorikan sebagai sistem kausal jikaoutputnya pada waktu t hanya tergantung pada nilai input saatwaktu t‐1.

Jika pulsa pada Gambar c diberikan ke sistem ini, pulsa output akan dapat dihasilkan seperti pada Gambar dakan dapat dihasilkan seperti pada Gambar d.

Fakta menunjukkan bahwa delay sistem sebesar 1 detik untukFakta menunjukkan bahwa delay sistem sebesar 1 detik untukseluruh input merupakan kesepakatan nilai delay yang ideal (ideal time delay) untuk analisa sistem.Ad j l h t k ik t k b kitk d l ktAda sejumlah teknik untuk membangkitkan delay waktu.Sebagai contoh, delay waktu diantara record dan head playback pada tape recorder dapat digunakan untuk membangkitkan delay waktu pada beberapa mili detik.

c) Input d) Outputc) Input

Gambar Input/output pada sistem kausal

Contoh LinearitasPertimbangkan sebuah rangkaian dengan diode ideal seperti yang ditunjukkanpada Gambar e berikut ini. Dalam hal ini outup y(t) merupakan tegangan yang melintasi resistor dengan resistansi R2.Di d id l k k i h b i k k ik ( )Diode ideal merupakan suatu rangkaian hubung singkat ketika tegangan x(t) adalah bernilai positif, dan merupakan rangkaian terbuka jika tegangan x(t) bernilai negatif. 

Apakah rangkaian ini merupakan sistem linear?

Gambar e. Rangkaian resistif dengan diode ideal

(1)

( )

Jika input unit‐step dikalikan dengan bilangan skalar –1, maka inputnya adalah –u(t), dengan persamaan (1) respon yang dihasilkan

(2)

p y ( ), g p ( ) p y gadalah nol untuk semua t > 0.Tetapi ini tidak sebanding dengan –1 kali respon u(t) yang diberikandengan persamaan (2).g p ( )Kondisi ini bukan bersifat homogen, dan tidaklah linear.Sehingga kita dapat pula menyatakan kalau sistem ini tidak additive.

Soal :Soal :Berikan penjelasan anda tentang sistem yang dibentuk dari rangkaian pada Gambar berikut ini.g p

Apakah sistem memenuhi 3 sifat berikut; kausalitas, linearitas, dan time invariant?dan time invariant?

Gambar Rangkaian untuk soal latihan