Embed Size (px)
Citation preview
Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System)
Dr. Wuryansari Muharini K., M.Si.
Pemodelan Matematika
Program Studi Matematika
Universitas Brawijaya
Situasi Real
l
0
L
m
1 2
0y
0v
Bagaimana gerakan massa
setiap saat?
Bagaimana simpangan gerak
massa terhadap posisi
setimbang?
Masalah
dipertajam
-
0
+ Arah
POSITIF
Situasi 1
l
0
L
m
1
Situasi 1:
• Posisi setimbang
• massa diam
• tidak ada gaya yang
bekerja pada massa
01
n
i
iF
Gaya yang bekerja:
1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔
2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘𝐿
021
2
1
kLmgFFFi
i
L
mgk
k disebut konstanta pegas atau KONSTANTA HOOKE
MODEL MATEMATIKA
Interpretasi untuk konstanta pegas:
1. Apa satuan untuk k?
2. Semakin besar m semakin besar k
3. Semakin panjang L semakin kecil k
4. Konstanta pegas menyatakan apa?
-
0
+ Arah
POSITIF
Situasi 2
0y
l
0
L
m
1 2
?)(ty
0v
Situasi 2:
• Posisi berubah-ubah
• Massa bergerak (dinamis)
• Hukum Newton 2: jumlah
gaya yang bekerja pada massa
sama dengan massa dikalikan
dengan percepatan gerak
massa
ASUMSI
O Pegas di bumi
O Massa pegas diabaikan
O Gerak pegas lurus vertikal
O Pegas berada di ruang hampa
udara
Variabel dan parameter
O t = waktu
O 𝑦 𝑡 = simpangan massa terhadap posisi setimbang
O 𝑚 = massa beban
O l = panjang pegas
O L = jarak memanjangnya pegas karena diberi beban
O 𝑘 = konstanta pegas
O 𝑔 = percepatan gravitasi bumi
maFn
i
i 1
Gaya yang bekerja:
1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔
2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘(𝐿 + 𝑦)
mayLkmgFFFi
i
)(21
2
1ymkykLmg
0 kLmg 0 kyym
Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen
MODEL MATEMATIKA
SOLUSI?
00
2
0
)0(,)0(
00
vyyy
yyym
ky
Initial Value Problem (Masalah Nilai Awal)
0
0
0
2
02
0
0
)arctan(
),cos()(
ky
mv
m
k
k
mvyA
tAty
SOLUSI MODEL
Contoh
cm/dt 1)0(
cm 2)0(
cm 2
gram 10
v
y
L
m
0226.0
02.0
14.22
N/m 9.4
0
A
L
mgk
Interpretasi
O Bagaimana simpangan massa setiap
saat?
O Bagaimana amplitudo simpangan?
O Bagaimana periode dan frekuensi
gerakan massa?
O Apakah massa beban berpengaruh?
O Apakah gerakan massa pada akhirnya
nanti akan berhenti?
O Apakah hal ini sesuai dengan
kenyataan?
ASUMSI
O Pegas di bumi √
O Massa pegas diabaikan √
O Gerak pegas lurus vertikal √
O Pegas TIDAK berada di ruang
hampa udara
MODIFIKASI
-
0
+ Arah
POSITIF
Situasi 2
0y
L
m
1 2
?)(ty0v
hambatan
Gaya yang bekerja:
1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔
2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘 𝐿 + 𝑦
3. Gaya hambat media: 𝐹3 = 𝑟𝑦′
mayryLkmgFi
i
)(3
1
ymyrkykLmg
0 kLmg 0 kyyrym
Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen
MODIFIKASI MODEL
00 )0(,)0(
0
vyyy
kyyrym
SOLUSI MODEL
Persamaan Karakteristik:
m
mkrr
krm
2
4
0
2
2,1
2
mkr 42
mkr 42
mkr 42
Lanjutan Solusi Model
Kasus 1: OVER DAMPED (Redam lebih)
mkr 42
2
0
2
22
2,1
22
222
4
m
r
m
r
m
k
m
r
m
r
m
mkrr
022
02222
2
0
2
2
2
2
0
2
1
m
r
m
r
m
r
m
r
m
r
m
r
Solusi: tt
eCeCty 21
21)(
0)(lim
tyt
Interpretasi: pegas akan segera berhenti
Lanjutan Solusi Model
Kasus 2: CRITICAL DAMPED (Redam kritis)
mkr 42
02
21
m
r
Solusi: t
etCCty 1)()( 21
0)(lim
tyt
Interpretasi: pegas akan berhenti
Lanjutan Solusi Model
Kasus 3: UNDER DAMPED (Redam lemah)
mkr 42
im
ri
m
r
m
r
m
ki
m
r
m
rmkir
2
2
0
22
2,1
22
222
4
Solusi: )sincos()( 21 tCtCety t
0)(lim
tyt
Interpretasi: pegas akan berosilasi namun
pada akhirnya berhenti
Modifikasi model lagi Bagaimana bila diberikan gaya luar
secara periodik, misalnya sebesar
?)cos( 10 tf
00
10
)0(,)0(
)cos(
vyyy
tfkyyrym
Model matematika berubah menjadi PDB
linear orde dua NON HOMOGEN
Jika 𝑟 ≠ 0
SOLUSI: )( ph yyty
0)(lim
tyht
sehingga )()(lim tyty pt
Solusi transien / steady state
SOLUSI:
0
022
1
2
0
001
01
12
1
2
0
00201
,)(
.asalkan
),cos()(
)sin()cos(
)(
vC
m
fyC
tm
ftCtC
yyty ph
Jika 𝑟 = 0
00
10
)0(,)0(
)cos(
vyyy
tfkyym
Bagaimana bila 𝜔1 ≈ 𝜔0?
Misalkan 0,0 00 vy
ttm
f
ttm
f
tm
ft
m
fty
2sin
2sin
)(
2
)]cos()[cos()(
)cos()(
)cos()(
)(
0101
2
1
2
0
0
012
1
2
0
0
12
1
2
0
002
1
2
0
0
CONTOH
5.21,1,14.22 100 f
Amplitudo termodulasi
Bagaimana bila 𝜔1 = 𝜔0?
Misalkan 0,0 00 vy
)sin(2
)(
0)0(
0)0(
),sin(2
)sin()cos()(
0
0
0
02
1
0
0
00201
ttm
fty
Cy
Cy
ttm
ftCtCty
RESONANSI
