SISTEMAS DE COORDENADAS

Electricidad y Magnetismo - Grupo

21.1

Curso 2010/2011

Sistemas de Coordenadas 1

J.L. Fernndez JambrinaEyM 1a-1

Tema 1: Introduccin

Concepto de campo

Repaso de lgebra vectorial

Sistemas de coordenadas

Cartesiano

Curvilneas generalizadas: cilndrico y esfrico.

Operadores vectoriales.

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Derivada temporal

Combinacin de operadores: Laplaciana

Expresiones con operadores

Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.


Sistemas de coordenadas

Hacen falta para describir los puntos del espacio.

El ms simple es el cartesiano:

Al decir que un punto P tiene coordenadasx0, y0, z0 se quiere decir que est contenidoen los planos:

Los vectores unitarios llevan la direccin y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente.

Los vectores unitarios se ordenan deforma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero:

Sistema dextrgiro o a derechas

000 zzyyxx ===

dx

rd

x

rx

x

rr

=

=lim

0

zyx =

z z= 0

y y= 0

X

Z

Y

$x

$y

$z

P

x x= 0


21.1

Curso 2010/2011



Sistema cartesiano (2)

rr

r rr l+

rl

O

El vector de posicin del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto:

Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector:

Si el desplazamiento es de magnitud muy pequea (infinitesimal) se puede representar por:

Puesto que una curva est definida por dos ecuaciones,

los tres diferenciales se pueden reducir a uno.

La longitud del desplazamiento infinitesimal ser:

zzyyxxr ++=r

222 dzdydxldldlddl ++===rrr

zzyyxxl ++=r

zdzydyxdxld ++=r


Sistemas cartesiano, cilndrico y esfrico

z z= 0

y y= 0

X

Z

Y

$x

$y

$z

P

x x= 0

X

P

Y

z

Z $z$

$

$z

$r$

$

X

Y

Z

r

Cartesiano Cilndrico Esfrico

( )zyx ,, ( )z,, ( ),,r


21.1

Curso 2010/2011



Coordenadas curvilneas generalizadas ortogonales

En general, cualquier trada de familias de superficies puede servir para definir un sistema de coordenadas:

Estas ecuaciones permiten el paso de cartesianas al nuevo sistema.

Despejando x, y y z se realiza el pasoinverso.

( ) ( ) ( ) 332211 ,,,,,, uzyxUuzyxUuzyxU ===

u1=cte

u2 =cte

u3 =cte

P

1

2

3 La trada (u1,u2,u3) son las

coordenadas del punto:

Cualquier trada debe definir un nico punto.

Cualquier punto debe estar definido por una nica trada.

Se admiten excepciones.

El vector de posicin se puede obtener a partir de cartesianas: zzyyxxr ++=

r


Curvilneas (2)

En general las coordenadas no son distancias:

Un incremento infinitesimal de una coordenada y el desplazamiento correspondiente se relacionan a travs de un factor de escala:

La expresin central permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.

Si las superficies son ortogonales el sistema ser curvilneo y ortogonal.

Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:

iiiiii

ii

uduhlduhu

r

u

r1 ==

rrr

213132321

133221

000

uuuuuuuuu

uuuuuu

===

===

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

333222111

duhduhduhdl

uduhuduhuduhld

++=

++=r


21.1

Curso 2010/2011



Curvilneas (3)

Propiedad interesante:

Es evidente que:

es decir, todos los coeficientes de transformacin de los vectores unitarios de un sistema de coordenadas ortogonal en otro tambin ortogonal se repiten en la transformacin inversa en posicin traspuesta.

Se puede definir una matriz de rotacin [R] que es ortogonal (su inversa es su traspuesta).

[ ] [ ]

[ ] [ ]TRR

RRu

u

u

z

y

x

z

y

x

u

u

u

=

=

=

1

3

2

11

3

2

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 332211

332211

332211

3333

2222

1111

uzuuzuuzuz

uyuuyuuyuy

uxuuxuuxux

zzuyyuxxuu

zzuyyuxxuu

zzuyyuxxuu

++=

++=

++=

++=

++=

++=


Tambin se puede calcular el diferencial de volumen:

En cartesianas:

En curvilneas generalizadas ortogonales:A pesar del aspecto del dibujo,al ser las dimensiones muypequeas, los lados sonson rectos y ortogonales.

Curvilneas (4)

dy

dz

dxX

Z

YdzdydxdV =

u2

u1

u3h2du2

h3du3

h1du1

321321 dududuhhhdV =


21.1

Curso 2010/2011



Sistema de coordenadas Cilndricas

Las superficies coordenadas del sistema son:

Cilindros de eje z y radio .

Semiplanos que contienen al eje z y forman un ngulo con el semiplano xz que se toma como referencia.

Planos z = cte.

Las coordenadas del sistema sern ternas de valores , , z.

Para describir unvocamente todos los puntos del espacio las coordenadas debern variar en los mrgenes: 0 < , 0 < 2pi, - < z < +.

zz =

x

yarctg=

22 yx +=

Existe una ambigedad:

Los puntos del eje z quedan definidos por su z y =0: puede ser cualquiera. Relaciones inversas:

X

P

Y

z

Z $z$

$

zzyx === sencos


Cilndricas (2)Vectores unitarios y factores de escala

De momento el vector de posicin es:

Trabajando un poco:

zzy

y

x

x

r sencos ++=321321

r

( )

zzz

rhz

z

rz

yxh

rrhyx

r

yxh

rrhyx

r

z1:

cossencossen:

sencos1sencos:

====

+====+=

+====+=

rr

rrr

rrr

=

z

y

x

z

100

0cossen

0sencos

=

zz

y

x

100

0cossen

0sencos

11 === zhhh


21.1

Curso 2010/2011



Cilndricas (3)Vector de posicin y diferenciales

Vector de posicin:

La dependencia con est implcita dentro de :

Diferencial de longitud (vector):

Diferencial de longitud (escalar):

Diferencial de volumen:

( ) ( ) zzyyxx

r

cossensen

sencoscos +++=44 344 2132144 344 21321

r zzr +=

r

zdzddld ++= r

2222 dzdddl ++=

dzdddV =

$ ( ) ( ) zzzr ,, += r


Sistema de coordenadas Esfricas

Las superficies coordenadas del sistema son:

Esferas de radio r:

Conos cuya generatriz forma unngulo con el eje z positivo:

Semiplanos limitados por el eje zque forman un ngulo con eleje z:

Para describir unvocamente todoslos puntos del espacio las coordenadas debern variar en los mrgenes: 0 r < , 0pi, 0 < 2pi

z

yx 22arctg

+=

x

yarctg=

222 zyxr ++=

Existen dos ambigedades:

Los puntos del eje z quedan definidos por su r y =0 =0 =0 =0 pipipipi, puede ser cualquiera.

El origen queda definido por r=0, con independencia de los valores de y .

Relaciones inversas: cossensencossen rzryrx ===

$z

$r$

$

X

Y

Z

r


21.1

Curso 2010/2011



zz

ry

y

rx

x

rr cossensencossen 3214342143421

r ++=

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) yxrhyxrrzyxrhzyxr

r

zyxrhzyxr

rr r

cossensencossensen:

sensencoscossensencoscos:

cossencossen1cossencossen:

+==+=

+==+=

++==++=

r

r

r

=

z

y

xr

0cossen

sensencoscoscos

cossensencossen

=

0sencos

cossencossensen

sencoscoscossen

r

z

y

x

sen1 rhrhhr ===

Esfricas (2)Vectores unitarios y factores de escala

De momento el vector de posicin es:

Trabajando un poco:


Esfricas (3)Vector de posicin y diferenciales

Vector de posicin:

La dependencia con y est implcita dentro de

Diferencial de longitud (vector):

Diferencial de longitud (escalar):

Diferencial de volumen:

rrr =r

sen drrdrdrld ++=r

ddrdrdV sen2=

( )[ ]44444 344444 21

r

r

zysenxsenrr

coscos ++=

222222 sen drdrdrdl ++=

$r


21.1

Curso 2010/2011



Cilndricas - Esfricas

Es posible relacionar directamente entre s cilndricas y esfricas:

Relacin entre coordenadas:

Relacin entre vectores unitarios:

r zz

r z r

= + = =

= = =

2 2arctg

sen cos

$

$

$

sen cos

cos sen

$

$

$

r

z

=

0

0

0 1 0

$

$

$

sen cos

cos sen

$

$

$

z

r

=

0

0 0 1

0

$z

$r

$

$

$

X

Y

Z

r

z

Documents

SISTEMAS DE COORDENADAS