SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

1. EQUAÇÕES LINEARES

Uma equação linear com n incógnitas (letras) é uma equação da forma:

onde, cada número real chama-se coeficiente. são as incógnitas, e o número real é denominado termo independente.

Exemplos de equações lineares:a) b) c)

Note que, numa equação linear todos os expoentes das incógnitas são sempre iguais a 1, conseqüentemente, uma equação linear não apresenta incógnita no denominador, nem no expoente e nem no radicando (isto é, na raiz).

2. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

Seja a equação linear com duas incógnitas , os pares ordenados(ou duplas) de números reais ; são algumas das soluções dessa equação.Uma solução de uma equação linear é um conjunto de números que colocados simultaneamente no lugar das incógnitas, torna a sentença matemática verdadeira, isto é, o primeiro membro (

) igual ao segundo ( ). Generalizando, uma solução da equação

é uma n-upla(dupla, tripla, quádrupla, etc) tal que :

Se numa equação linear o termo independente é igual a zero, dizemos que a equação linear é homogênea e, caso contrário, não homogênea. A equação linear é um exemplo de equação linear homogênea.

3. SISTEMAS LINEARES

Um sistema linear é aquele formado por m equações lineares com n incógnitas da forma:

Uma solução desse sistema é uma n-upla que satisfaz todas as equações do sistema ao mesmo tempo.Exemplo:

1

Exemplos de equações não lineares:a) b)

c)

4. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS TERMOS INDEPENDENTES

Já vimos que uma equação linear é homogênea se o termo independente for nulo.Um sistema linear em que todas as equações são homogêneas, isto é, todos os termos independentes são nulos é denominado sistema homogêneo, no caso em que pelos menos um dos termos independentes é não nulo, ele é dito não homogêneo.

Exemplos:

Sistema linear homogêneo Sistema linear não homogêneo

5. NOTAÇÃO MATRICIAL

Todo sistema linear pode ser colocado na forma matricial:

Exemplo:

Solução: S =

Para escrever um sistema na forma habitual basta multiplicar as matrizes e igualar as expressões obtidas aos termos independentes.

Quando se usa a notação matricial de um sistema linear as soluções são apresentadas na forma de matriz coluna.EXERCÍCIOS

01. Escrever os sistemas na forma matricial:

a) b)

2

Esse sistema linear tem 3 equações e 3 incógnitas. Uma das soluções desse sistema é a tripla , pois satisfaz as três equações simultaneamente. Verifique!

Matriz dos coeficientes das incógnitas

Matriz das incógnitas Matriz dos T. indep.

02. Escreva na forma habitual o sistema linear

10. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

(1º Método) REGRA DE CRAMER

Todo sistema em que o número de equações é igual ao número de incógnitas (como no exemplo abaixo) e o determinante principal é diferente de zero ( ) é denominado NORMAL.

A Regra de Cramer só pode ser utilizada para resolver sistemas normais

Procedimentos:

(1º passo) Calcular o determinante principal, formado pelos coeficientes das incógnitas: ;

(2º passo) Calcular que é obtido substituindo em , a coluna que tem os coeficientes de pelos termos independentes correspondentes;

(3º passo) Calcular que é obtido substituindo em , a coluna que tem os coeficientes de pelos termos independentes correspondentes;

(4º passo) Calcular que é obtido substituindo em , a coluna que tem os coeficientes de pelos termos independentes correspondentes. E assim por diante;

(5º passo) Aplicamos as seguintes fórmulas para calcularmos o valor de cada incógnita:

, , , etc., onde a tripla é a solução do sistema.

Exemplo:Resolver o sistema pela regra de Cramer:

1º) Cálculo de

2º} Cálculo de

3º) Cálculo de

4º) Cálculo de

3

5º) Cálculo do valor das incógnitas:

, , . Solução: S=

Verificação:

11. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES

Um sistema linear pode ser POSSÍVEL ou IMPOSSÍVEL.Dizemos que um sistema linear é:

POSSÍVEL ou COMPATÍVEL se tem pelo menos uma solução.

IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL (SI) se não possui solução.

Se o sistema tem uma única solução dizemos que ele é POSSÍVEL E DETERMINADO ou COMPATÍVEL E DETERMINADO (SPD);

Se o sistema tem mais de uma solução dizemos que ele é POSSÍVEL E INDETERMINADO ou COMPATÍVEL E INDETERMINADO (SPI)

12. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR NORMAL (NÚMERO DE EQUAÇÕES IGUAL AO NÚMERO DE INCÓGNITAS)

Discutir um sistema é dizer se ele é possível (determinado ou indeterminado) ou impossível.

Se SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (Tem uma única solução)

Se e SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO (mais de uma solução)

Se e etc. SISTEMA IMPOSSÍVEL (Basta que um deles seja diferente de zero). Não há solução.

Note que todo sistema homogêneo é Possível: uma das suas soluções é a n–upla chamada solução trivial. Daí basta analisar se ele é determinado ou indeterminado.

Portanto, ao resolvermos um sistema pela regra de Cramer é possível que paremos no 2º passo, caso e . Neste caso o sistema será impossível.

Exemplo:

Discutir e, se possível resolver o sistema:

4

O sistema pode ser possível indeterminado ou impossível. Vejamos

O sistema é IMPOSSÍVEL, pois e . Não apresenta solução.

EXERCÍCIOS

03. Discutir e, se possível, resolver os sistemas:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

04. Verifique para quais valores de k(kR) o sistema é:

a) Compatível e determinado.b) Compatível e indeterminadoc) Incompatível

05. Determine p, de modo que o sistema seja impossível.

06. Determine m, para que o sistema seja possível e determinado.

R E S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S

3) a) SPD: (4, 2, - 7); b) SPD: (1, 4, - 2); c) SI; d) SPD: (1, 2, 3); e) SPD: (0, 0, 0); f) SPI: Resposta pessoal; g) SPD: (1, 2); h) SPD: (-1, 3); i) SI

4) a) k 4; b) para que o sistema seja SPI; c) k = 4

5

5)

6) m - 1

6