Sistemas Digitais (Bolonha)

Sistemas Digitais (Bolonha), 2007, Iouliia Skliarova


Um circuito digital combinatório possui:

- uma ou mais entradasentradas digitais;

- uma ou mais saídassaídas digitais;

- uma especificação funcionalespecificação funcional que descreve cada saída em função dos valores das entradas;

- uma especificação temporalespecificação temporal que inclui, pelo menos, o tempo máximo que o circuito vai demorar para produzir valores de saída a partir de um conjunto arbitrário de valores de entrada (válidos e estáveis) -> tempo de propagaçãotempo de propagação.

Circuito digital

x1

x2

x3

x4

x5

(gerar na saída valor ‘1’ se pelo menos 3 das 5 entradas estarão a ‘1’; caso contrário gerar ‘0’)

y1

(saída válida será gerada passados, no máximo, 2 s após a recepção de entradas válidas)


Álgebra de Boole bináriaÁlgebra de Boole binária - é um instrumento matemático que permite descrever relações funcionaisfuncionais entre as entradas e saídas de um circuito digital.

Álgebra de Boole é uma estrutura matemática baseada num conjunto {B,+, }, satisfazendo o seguinte conjunto de postulados:

1. Fecho (as operações são fechadas em B)

2. Comutatividade

3. Elementos neutros

4. Distributividade mútua

5. Complementação

6. Cardinalidade


P1P1 - fechofecho: ambas as operações são fechadas em B:

Bbb

BbbBbb

21

2121,

P2P2 - comutatividadecomutatividade

1221

122121,

bbbb

bbbbBbb

P3P3 – elementos neutroselementos neutros

bbbBbb

bbbBbb

11

00

:

:


P4P4 – distributividade mútuadistributividade mútua

P5P5 - complementaçãocomplementação

P6P6 – cardinalidadecardinalidade

3121321,,

3121321,,

321

321

bbbbbbb

bbbbbbb

Bbbb

Bbbb

0

1

bbb

bbbBbBb

b1B

b2 Bb1 b2 #B2


Se #B = 2, temos álgebra de Boole a dois valoresvalores (B={00,11}).

Operadores:Operadores:

Expressões Expressões - conjunto de variáveis e/ou constantes 0 e 1 associadas por operadores

zyx


Idempotência Idempotência bB b b = b e b + b = b

Unicidade do elemento neutroUnicidade do elemento neutro

Sejam b0a e b0b tal que b + b0a = b + b0b = b

b0a + b0b = b0a P3

b0b + b0a = b0b P3

b0a + b0b = b0b P2

=> b0a = b0b

b b = b b + b0 = b b + b b = b (b + b) = b b1 = b P3 P5 P4 P5 P3


Elemento absorvente Elemento absorvente bB b b0 = b0

b + b1 = b1

Unicidade do complementoUnicidade do complemento

Absorção Absorção x,yB x + x y = x

x (x + y) = x

x + x y = x b1 + x y = x (b1 + y) = x b1 = xP3 P4 P3

Simplificação Simplificação x,yB x +x y = x + y

x (x +y) = x y

b b0 = b b0 + b0 = b b0 + b b = b (b0 +b) = b b = b0 P3 P5 P4 P3 P5


Adjacência Adjacência x,yB x y + x y = x

(x + y) (x +y) = x

Consenso Consenso x,y,zB x y +x z + y z = x y +x z

(x + y) (x + z) (y + z) = (x + y) (x + z)

Associatividade Associatividade x,y,zB (x y) z = x (y z)

(x + y) + z = x + (y + z)

x y + x y = x (y +y) = x b1 = x P4 P5 P3

Involução Involução xB x = x

indução perfeita:


x,yB x + y =x y e x y =x +y

(x + y) (x y) = x x y +x y y = b0 P4

P5, elemento absorvente, idempotência

Generalização para n variáveis:

n

ii

n

ii xx

11

n

ii

n

ii xx

11


Todo o teorema ou identidade algébrica dedutível a partir dos postulados da álgebra de Boole conserva a validade se as operações (+) e (.) e os elementos neutros forem trocados.

Exemplos:

[ (x +y) (z + 1) ]D = (x y) + (z 0)

)0,1,,,,...,,()1,0,,,,...,,( 2121 nnD xxxFxxxF

),...,,(),...,,( 2121 nD

n xxxFxxxF

321321 )( xxxxxx


- conjunto de operadores a partir dos quais se pode representar qualquer função booleana.

{ AND, OR, NOT }{ AND, NOT }{ OR, NOT }{ NAND }{ NOR } ...

yx

yx


Para escrever uma expressão booleana apenas com operadores NANDNAND deve-se primeiro colocá-la na forma da soma de produtos e a seguir aplicar o teorema de involução e as leis de DeMorgan

Exemplos:

zyxzyxzyx )()(

Para escrever uma expressão booleana apenas com operadores NORNOR deve-se primeiro colocá-la na forma do produto de somas e a seguir aplicar o teorema de involução e as leis de DeMorgan

zxyxzxyxzxyxzyx )()()()()(


Uma função booleanafunção booleana é uma correspondência que associa um elemento do conjunto B={0,1} a cada uma das 2n combinações possíveis que as variáveis podem assumir.

Sistema digital

x1

x2

...xn

y1

y2

...ym

Existem 22mm××22nn funções booleanas diferentes que podem ser

implementadas num sistema digital com n entradas e m saídas.

Exemplos:

Para n=1, m=1: 21×21 = 4

Para n=4, m=3: 23×24 = 248= 281 474 976 710 656


Para obter a função dual de f, deve-se aplicar o princípio de dualidade a f.

)0,1,,,,...,,()1,0,,,,...,,( 2121 nnD xxxfxxxf

Uma função f é auto-dualauto-dual se f = fD =>

Exemplo:

zyzxyxzyxf ),,(

)()()(),,( zyzxyxzyxf D

)()( zyzyx

),,( zyxfzyzxyx

),...,,(),...,,( 2121 nn xxxfxxxf


-tabulartabular (tabela de verdade)-algébricaalgébrica-esquemáticaesquemática (circuitos lógicos)

Representação tabulartabular é única:

Representação algébricaalgébrica inclui frequentemente termos redundantes:

zyxzyxzyxf ),,(

zyxzyxf ),,(

=> necessidade de simplificação

y

z

x f(x,y,z)

x y z

f(x,y,z)

zyxzyxzyx

Representação esquemáticaesquemática:


yx

yx

bufferbuffer NOTNOT

ANDAND NANDNAND

OROR NORNOR

XORXOR XNORXNOR


Exprima a função y na forma mais simples recorrendo a operadores NAND.

24321 )( xxxxxy

4312243121 xxxxxxxxxxy

43124312 xxxxxxxxy

Exprima a função y na forma mais simples recorrendo a operadores NOR.

24321 )( xxxxxy

)()()()( 43221243221 xxxxxxxxxxxy

)()()()()()( 423221423221 xxxxxxxxxxxxy

)()()( 423221 xxxxxxy

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