SISTEMAS MATEMÁTICOS€¦ · COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA SISTEMAS MATEMÁTICOS GÊNESIS COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

FUN

SISTEMAS MATEMÁTICOS

GÊNESIS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA



GÊNESIS




GÊNESIS


JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A

ITUIUTABA – MG


Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: JOÃO CARLOS MOREIRA EDITOR: JOÃO CARLOS MOREIRA DIAGRAMAÇÃO: JOÃO CARLOS MOREIRA DISTRIBUIÇÃO: EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A. COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

https://www.escoladematematicapontal.com.br/livraria-online/




Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


RESPOSTA DO LEITOR

QUESTÃO CENTRAL O QUE É MATEMÁTICA?


Prefácio

Em geral, todos nós temos uma resposta para esta pergunta; algumas são bastante simples, outras mais complexas e formais.

Para encontrarmos uma boa resposta, mas não definitiva, é necessário entendermos a origem da matemática e o seu pleno desenvolvimento.

Determinar a origem da matemática, talvez não seja possível, mas

podemos afirmar que, os conceitos de número, grandeza e forma, estavam no centro das atenções na sua origem primitiva.

Em algumas épocas, escolas importantes de matemática,

pregavam que, “Tudo são números” ou “Tudo é geometria”. Respostas como, a ciência dos números, grandezas ou formas,

para os dias atuais, já não servem mais. Definir o que é matemática, no mundo atual, é uma tarefa tão

complexa, quanto a de caminhar nas fronteiras do conhecimento das teorias que a mesma alcançou.

Se comparamos, a matemática com uma grande árvore, podemos

afirmar que nosso conhecimento da mesma, por maior que ele seja, seria comparado ao de alguns poucos galhos desta árvore; talvez, seja essa a razão de não conseguirmos defini-la de uma forma plenamente satisfatória.

A proposta desse texto, chamado de Sistemas Matemáticos -

Gênesis, é oferecer uma resposta à nossa questão central, sabendo com toda humildade, que temos outras respostas, que obviamente poderão ser bem melhores.


Esta obra é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra,

criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Matemática e suas aplicações.

Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, janeiro de 2019.

João Carlos Moreira


Símbolos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A Dois pertence ao conjunto A.

= igual 3 = 2+1 Três é igual a dois mais um.

> maior 2 > 1 Dois é maior que 1. ∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente

ao conjunto dos naturais. ∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao

conjunto A. ∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor

de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



GÊNESIS

ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 01

2 Abordagem Intuitiva 06

2.1 Conceitos primitivos e derivados 06

2.2 Axiomas 06

2.3 Conjuntos 07

2.4 Relações 07

2.5 Operações 08

2.6 Sistemas Matemáticos 08

2.6.1 Sistemas Algébricos 10

2.6.2 Sistemas Axiomáticos 15

3 Abordagem Formal 21

Referências bibliográficas 36


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 A origem primitiva da matemática está muito ligada as origens das teorias da aritmética e da geometria, ocupando um destaque especial os conceitos de números e formas.

2 De acordo com Euclides, unidade é aquilo segundo a qual cada uma das coisas existentes é dita uma e número é a quantidade composta de unidades.

3 Existem vários registros arqueológicos dos números. Os ossos de Lebombo (c. 35.000 a.C.) e de Ishango (c. 20.000 a.C.) são os mais antigos. Além desses, temos inscrições em paus, ossos e tabletes de argila, encontrados em várias regiões. Os números podem ter sido a primeira escrita do mundo.

4 A habilidade de contar pelo homem primitivo, era praticamente intuitiva, assim como a dos outros animais. Ainda hoje, existem espécies para as quais um, dois e muitos, constituem as suas únicas grandezas numéricas.

5 Durante muito tempo, o ser humano usou números apenas

para contar coisas da natureza, daí a expressão "números

naturais" e pedras como instrumento de contagem, daí a

Euclides de Alexandria (c. 325-265 a.C) foi um matemático grego. É considerado o maior matemático da antiguidade. Dentre suas contribuições, destacamos o tratado Os Elementos. É na teoria da geometria euclidiana que encontramos o primeiro exemplo de sistema matemático.

CAPÍTULO 1 ABORDAGEM HISTÓRICA



origem da palavra cálculo (do latim calculi, que significa pedra pequena).

6 Com o desenvolvimento das civilizações, surgiu a linguagem

escrita, que possibilitou a criação de sistemas numéricos e algoritmos muito eficientes, não só para contar, mas também para medir grandezas que surgiram em vários problemas do cotidiano. Os egípcios podem ter inventado a primeira régua da história, o cúbito.

7 Foram adotados diferentes símbolos para representar os

elementos básicos dos seus sistemas numéricos. Por exemplo, os símbolos X e 10, foram utilizados pelos romanos e árabes, respectivamente, para representar o número natural dez.

8 O sistema hindu-arábico surgiu na Índia (~400 a.C.) e foi

modificado no século III pela introdução do zero. Passou a ser utilizado na Europa somente no século XIII, sendo hoje o sistema numérico mais utilizado no mundo.

9 Esse sistema, permitiu uma representação única e universal

dos números, sendo considerado por muitos, uma das maiores descobertas da matemática.

10 Podemos destacar duas vantagens desse sistema, a unicidade

da representação de seus números e uma aritmética bastante simples semelhante à de um ábaco no papel.

11 Até então, poucos tinham a habilidade com a aritmética. Essa habilidade se tornou uma profissão, a dos contadores, que existe desde a civilização suméria, uma elite que era muito bem paga. Ao longo do tempo, a aritmética foi realizada com cones de argila, pedras, bastões entalhados, nós de cordas, regiões do corpo humano, tábuas de calcular, ábacos, dentre outras formas. Podemos afirmar que, o sistema hindu-arábico democratizou a aritmética.

12 Com a crise dos fundamentos da matemática, surge no século

XIX uma abordagem formal para os números naturais, o



formalismo. Permitindo a construção formal de conjuntos numéricos importantes, tais como os inteiros, racionais, reais e complexos.

13 O desenvolvimento de sistemas numéricos, foram a "semente", para a criação de novas teorias e subáreas que compõem a matemática atual.

14 Por outro lado, o desejo do humano de observar as formas que

compõem o universo e as relações existentes entre elas, foi um grande estímulo para o desenvolvimento da geometria.

15 A teoria da geometria euclidiana, encontrada no tratado "Os Elementos", elevou a matemática ao patamar de ciência e não só a ciência da observação, mas a ciência da abstração ou matemática abstrata.

16 A geometria euclidiana foi considerada universal e

incontestável durante muitos anos, uma bíblia da matemática.

17 Em paralelo e de forma independente da matemática, a lógica também ganha status de ciência com Aristóteles (384 - 322 a.C), a chamada lógica aristotélica ou lógica clássica, que usava a linguagem comum e suas regras gramaticais usuais.

18 No século XVII, G.W. Leibniz (1646-1716) introduz o uso da

álgebra simbólica formal na lógica, dando início a criação da chamada lógica matemática, com o objetivo de possibilitar o uso da mesma em todos os campos do conhecimento.

19 No século XIX, dentre vários matemáticos, destacamos George Boole (1815-1864) que estabelece em 1854 as chamadas leis do

pensamento, unificando as duas leis de Aristóteles (lei da não-contradição e a lei do terceiro excluído) e os dois princípios de Leibniz (o princípio de razão suficiente e o princípio da identidade dos indiscerníveis). Dessa forma, Boole constrói as bases da lógica matemática, iniciada por Leibniz.

20 A lógica matemática se tornou tão importante, que o filósofo



Bertrand Russel (1872-1970) considerou a mesma como o início da matemática pura.

21 Destacamos duas correntes importantes da filosofia da matemática, o intuicionismo e o formalismo.

22 O intuicionismo, fundado por Luitzen Egbertus Jan Brouwer

(1881-1966), vincula a existência de um objeto matemática qualquer à possibilidade de sua gênese pela intuição humana, é a ciência das construções mentais intuitivamente convincentes.

23 Os objetos de pesquisa em matemática intuicionista são, antes de mais nada, objetos matemáticos com a possibilidade de sua construção, como por exemplo, os números naturais ou racionais e conjuntos finitos de objetos construtivos.

24 Na construção da matemática intuicionista, uma proposição será considerada verdadeira somente se for possível prová-la, sendo que esta prova deve estar relacionada com alguma construção mental intuitivamente convincente. Assim, uma afirmação do tipo (∃𝑥)(𝑥 + 1 = 0) apenas pode ser provada pela construção de um objeto matemático 𝑥 para o qual a proposição 𝑥 + 1 = 0 possa ser provada.

25 O formalismo, teve início na geometria euclidiana e depois

ganhou força com a crise dos fundamentos da matemática. Teve como objetivo inicial, formalizar os métodos já desenvolvidos na matemática puramente intuitiva, utilizando-se de axiomas e procedimentos lógicos. Destacamos David Hilbert (1862-1943) e Paul Isaac Bernays (1888-1977), ambos contribuíram para o desenvolvimento da análise matemática formal.

26 No século XX, destacamos a metamatemática introduzida por David Hilbert (1862-1943) em 1922, que basicamente era uma “teoria da prova” e fez parte do seu programa para estabelecer a consistência da aritmética. A mesma foi transformada por Alfred Tarski (1901-1983) ao introduzir métodos semânticos,



dando origem a teoria dos modelos.

27 Os sistemas formais, em particular as linguagens científicas formais, tiveram um estudo mais aprofundado através dos métodos semânticos que Tarski introduziu.

28 As obras de Nicolas Bourbaki (Nicolas Bourbaki é o pseudônimo de um grupo de matemáticos, principalmente franceses que nasceu em 1935), Alfred Tarski (1901-1983) e seus discípulos impulsionaram o desenvolvimento da teoria das estruturas matemáticas e da teoria dos modelos.

29 Atualmente a teoria dos modelos é uma das teorias da lógica

matemática mais desenvolvidas e estuda uma classe de estruturas matemáticas, que serve de modelo para quase toda a matemática.

Um sistema matemático é uma classe de estruturas matemáticas, inspirada na teoria dos modelos, que servirá de modelo para o desenvolvimento de todas as teorias desenvolvidas nas coleções da Escola de Matemática. Todas as teorias serão desenvolvidas, dentro do possível, abordando ambas as correntes do intuicionismo e do formalismo.




2.1 Conceitos primitivos e derivados

2.2 Axiomas

Definição 2. Uma proposição é uma sentença ou oração declarativa em uma determinada linguagem, não importando como tenha sido feita a construção sintática dessa sentença e sim o seu real significado (semântica) e a possibilidade de atribuirmos um único valor lógico (verdadeiro ou falso) para a mesma.

Cantor, G.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) foi um matemático russo. Dentre suas contribuições, destacamos a construção da teoria clássica dos conjuntos e o estudo da representação de funções reais por séries trigonométricas.

CAPÍTULO 2 ABORDAGEM INTUITIVA

Definição 1. Conceito primitivo é aquele que em geral não é definido e é apresentado no início das teorias e o conceito

derivado é aquele que deriva de outros conceitos.

NOTA. A palavra conceito, tem origem na palavra conceptu do latim, que significa coisa concebida da mente; através da intuição ou de um pensamento abstrato.

https://pt.wikipedia.org/wiki/1845




https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico




2.3 Conjuntos

2.4 Relações

Definição 3. Um axioma é uma proposição supostamente verdadeira e aceita sem demonstração. A palavra axioma deriva de axios, que no grego significa válido e é sinônimo de princípio ou pressuposto primitivo. Um axioma pode definir algum conceito primitivo ou alguma propriedade que caracteriza esse conceito.

Definição 5. O produto cartesiano de dois conjuntos é o conjunto dos pares ordenados dos elementos desses conjuntos. Um par ordenado de dois conjuntos, pode ser entendido, como um conjunto que contém um certo elemento, de um dos dois conjuntos e um conjunto que contém esse elemento e outro elemento do outro conjunto. Podemos estender a definição para uma família de conjuntos.

Definição 4. Um conjunto, de acordo com Cantor (1845-1918), é qualquer coleção de objetos de um todo, definidos e separados através de nossa intuição ou nosso pensamento, não importando a natureza nem a ordem desses objetos no conjunto. Esses objetos são chamados de elementos do conjunto.

NOTA. O nascimento da teoria dos conjuntos, pode ser considerado 7 de dezembro de 1873, a data da carta de Cantor a Dedekind informando-o da sua descoberta de que o infinito dos reais era diferente dos naturais. No início do desenvolvimento da teoria dos conjuntos (1873-1897), Cantor utilizou apenas a intuição e não foi explicitado nenhum axioma. Na teoria dos sistemas matemáticos, um conjunto será chamado de sistema.



2.5 Operações

2.6 Sistemas Matemáticos

Definição 6. Uma relação 𝜔-ária sobre 𝐸, onde 𝜔 é um número cardinal, é qualquer subconjunto do produto cartesiano 𝐸𝜔.

Definição 7. Uma operação 𝜔 -ária sobre 𝐸 é uma função do produto cartesiano 𝐸𝜔 sobre o conjunto 𝐸.

Definição 9. Um sistema matemático, denotado por 𝑺 =(𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨), é uma classe de estruturas matemáticas composta de

um conjunto não vazio 𝐸, uma família 𝑹 = (𝑟𝑗)𝑗∈𝐽

de relações 𝜔𝑗-

ária sobre 𝐸, uma família 𝑶 = (𝑜𝑘)𝑘∈𝐾 de operações (𝜔𝑘)-ária sobre 𝐸 e uma família 𝑨 = (𝐴𝒍)𝒍∈𝑳 de axiomas.

Definição 8. Estrutura matemática, é um objeto matemático que unifica conceitos da matemática e é utilizado como ponto de partida para o desenvolvimento de uma teoria. Nessa teoria, esses conceitos podem ser considerados como primitivos.

Nota. Euclides partiu de alguns axiomas e conceitos e criou a teoria da Geometria Euclidiana.



Nota. O conjunto 𝐸 de um sistema matemático 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨) é chamado de sistema (conjunto universo ou conjunto fundamental) e os seus objetos de elementos de 𝑺. Os objetos 𝐸, 𝑹, 𝑶 e 𝑨 são chamados de pressupostos primitivos de 𝑺. O par

({𝜔𝑗: 𝑗 ∈ 𝐽}, {𝜔𝑘: 𝑘 ∈ 𝐾}) e 𝛼 = card(𝑬), são chamados de tipo e

ordem de 𝑺, respectivamente.

Comentário. A medida em que novos conceitos forem definidos em 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨), quando possível e necessário, os mesmos podem passar a ser consideradas como conceitos primitivos de 𝑺.

Definição 10. Um sistema matemático 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨) é classificado como abstrato quando os elementos de 𝑺 são objetos indefinidos. Caso contrário, quando os elementos do sistema matemático 𝑺 são definidos, o mesmo é classificado como concreto.

Comentário. Em geral, os sistemas concretos são casos especiais de um sistema abstrato. Existem alguns sistemas concretos cujos elementos do sistema matemático 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨) são definidos a partir das propriedades contidas em 𝑨.

Exemplo 1. 𝑺 = (ℕ, {+,∙ }, {=, <}, Axiomas de Peano), é um sistema matemático do tipo ({2}, {2}), ordem ℵ0.

Exemplo 2. 𝑺 = (ℝ, {+, −,∙}, {=, <}, Axiomas de Peano), é um

sistema matemático do tipo ({2}, {2}), ordem card(ℝ) = 2ℵ0.



2.6.1 Sistemas Algébricos

Definição 10. Um sistema matemático 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨), onde 𝑨 =∅, é chamado de sistema algébrico ou estrutura algébrica.

Notação. 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶)

Nota. Os sistemas algébricos tiveram uma grande repercussão na década de 1950 e a sua teoria se desenvolveu na interface da álgebra e a lógica matemática.

Exemplo 1. O sistema algébrico 𝑺 = (ℕ, {+,∙}, {=, >}) é conhecido como sistema numérico dos naturais.

Definição 11. Um sistema algébrico 𝑺 = (𝐸, 𝑹, ∅, ∅), é chamado de

sistema relacional e será denotado por 𝑺 = (𝐸, 𝑹).

Exemplo 2. O sistema algébrico 𝑺 = (ℤ, {=, >}) é um sistema relacional.

Al-Khwarizmi

Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c.780 - c.850) foi um matemático persa. Dentre suas contribuições destacamos o livro “Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala”, que comumente é chamado de al-Jabr, origem da palavra álgebra.







https://pt.wikipedia.org/wiki/Livro_da_Restaura%C3%A7%C3%A3o_e_do_Balanceamento

https://pt.wikipedia.org/wiki/Livro_da_Restaura%C3%A7%C3%A3o_e_do_Balanceamento



Definição 12. Um sistema algébrico 𝑺 = (𝐸, ∅, 𝑶, ∅), é chamado de

álgebra universal ou simplesmente álgebra. Notação. 𝑺 = (E, 𝐎)

Definição 14. Um magma 𝑺 = (E, {φ}) é chamado de semigrupo se φ é associativa.

Definição 15. Um semigrupo 𝑺 = (E, {φ}) é chamado de monoide se existe elemento neutro e φ ∈ E para φ.

Definição 13. Uma álgebra 𝑺 = (E, {φ}), onde φ é operação binária sobre E é chamada de magma.

Exemplo 3. O sistema algébrico 𝑺 = (ℝ, {+,∙}) é uma álgebra.

Exemplo 5. O magma 𝑺 = (ℕ, {∙}) é um semigrupo.

Exemplo 6. A álgebra 𝑺 = (ℕ, {∙}) é um monoide, mas 𝑺 =(ℕ, {+}) não é um monoide.

Comentário. Um sistema algébrico 𝑺 = (𝐸, ∅, ∅, ∅), pode ser visto como o próprio conjunto E.

Exemplo 4. A álgebra 𝑺 = (ℕ, {+}) é um magma.



Definição 17. Dado um grupo 𝑺 = (E, {φ}), diremos que (A, {φ}) será um subgrupo de 𝐄 se A ⊂ E e 𝑺 = (A, {φ}) for um grupo.

Definição 16. Um monoide 𝑺 = (E, {φ}) é chamado de grupo se existe elemento simétrico em E, para φ. Se além disso, φ for comutativa diremos que o grupo é Abeliano ou comutativo.

Definição 18. Dado um grupo 𝑺 = (E, {φ}) e os subconjuntos 𝐴 e 𝐵 de E, existe um único conjunto chamado de produto de 𝐴 e 𝐵 com relação à operação φ, denotado por 𝐴𝐵 e definido por

AB = {∅, se A = ∅ ou B = ∅ {φ(x, y)| x ∈ A e y ∈ B}, se A ≠ ∅ ou B ≠ ∅

.

Exemplo 7. A álgebra 𝑺 = (ℤ, {+}) é um grupo comutativo, mas 𝑺 = (ℤ, {∙}) não é um grupo.

Exemplo 8. A álgebra 𝑺 = (ℤ, {+}) é um subgrupo do grupo comutativo (ℚ, {+}).

Exemplo 9. Dados o grupo 𝑺 = (ℝ, {+}) e os subconjuntos 𝐴 ={1,2} e 𝐵 = {−1,3}, temos que

AB = {x + y)| x ∈ A e y ∈ B} = {0,1,4,5}.



Definição 19. Uma álgebra 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é chamada de sistema numérico se:

i) φ e ψ são operações binárias associativas; ii) φ e ψ são operações binárias comutativas; e iii) uma das operações é distributiva com relação à

outra. Neste caso, um elemento desse sistema x ∈ E é chamado de número.

Exemplo 10. Dados o grupo 𝑺 = (ℝ∗, {∙}) e os subconjuntos 𝐴 ={1,2} e 𝐵 = {−1,3}, temos que

AB = {x ∙ y)| x ∈ A e y ∈ B} = {−2, −1,3,6}.

Exemplo 11. A álgebra 𝑺 = (ℕ, {+,∙}) é um sistema numérico, chamado de sistema numérico dos naturais.

Exemplo 12. A álgebra 𝑺 = (ℤ, {+,∙}) é um sistema numérico, chamado de sistema numérico dos inteiros.

Exemplo 13. A álgebra 𝑺 = (ℚ, {+,∙}) é um sistema numérico, chamado de sistema numérico dos racionais.

Exemplo 14. A álgebra 𝑺 = (ℝ, {+,∙}) é um sistema numérico, chamado de sistema numérico dos reais.

Exemplo 15. A álgebra 𝑺 = (ℂ, {+,∙}) é um sistema numérico, chamado de sistema numérico dos complexos.



Definição 23. Um anel comutativo com unidade 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é chamado de anel de integridade ou domínio se vale a lei do anulamento do produto; isto é:

(∀ x)(∀y) ((ψ(x, y) = e φ) → ( x = e φ) ∨ (y = e φ)).

Definição 21. Um anel 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é um anel com unidade se existe elemento neutro e ψ ∈ E, com relação à ψ. Neste caso, tal

elemento neutro é chamado unidade do anel.

Definição 20. Uma álgebra 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é chamada de anel se:

i) (E, φ) é um grupo Abeliano; ii) (E, ψ) é um semigrupo; e iii) ψ é distributiva com relação à φ.

Se além disso, ψ for comutativa, (E, {φ, ψ}) é dito um anel comutativo.

Exemplo 16. A álgebra 𝑺 = (ℤ, {+,∙}) é um anel comutativo.

Exemplo 17. O anel 𝑺 = (ℚ, {+,∙}) é um anel comutativo com unidade.

Exemplo 18. O anel 𝑺 = (ℝ, {+,∙}) é um anel de integridade.



2.6.2 Sistemas Axiomáticos

Definição 22. Um anel comutativo com unidade 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é chamado de corpo se todo elemento não nulo do anel admite elemento inverso; isto é:

(∀ x)(∃ y) ((x ≠ e φ) ∧ (ψ(x, y) = e ψ = ψ(y, x))).

Notação. y é chamado de elemento inverso de x em E e é denotado por x−1.

Exemplo 19. O anel 𝑺 = (ℝ, {+,∙}) é um corpo.

Definição 23. Um sistema matemático 𝑺 = (𝐸, ∅, ∅, 𝑨), composta de um conjunto não vazio e um conjunto de axiomas, é chamado de sistema axiomático.

Euclides

Euclides (~325 - 265 a.C.) foi um matemático de Alexandria, Egito. Dentre suas contribuições, destacamos a coleção os Elementos, escrita no século III a.C., que deu origem a geometria euclidiana e que perdurou por mais de 2000 anos.

Nota. O uso de axiomas teve sua origem nas obras dos antigos matemáticos gregos, ganhando destaque no século III a.C., com a coleção “Elementos” de Euclides. Essa coleção, continha teorias que foram desenvolvidas a partir dos seguintes axiomas:



Axioma I. Podemos traçar uma reta ligando dois pontos quaisquer.

Axioma II. Podemos prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.

Axioma III. Podemos descrever um círculo a partir de quaisquer centro e raio dados.

Axioma IV. Todos os ângulos retos são iguais (congruentes).

Axioma V. Se uma reta, interceptar outras duas retas e formar ângulos internos e do mesmo lado, cuja soma seja menor que dois ângulos retos, então estas duas retas, se continuadas do lado onde estão os ângulos internos, irão se encontrar em algum ponto.

Muitos matemáticos, acreditaram ser possível provar o Axioma V. Das tentativas de se prová-lo, surgiram algumas equivalências:

1) Dada uma reta e um ponto fora desta reta, podemos traçar uma única reta paralela à reta dada.

2) A soma dos ângulos internos de um triângulo, é sempre igual a dois ângulos retos.

3) Dados três pontos não colineares, existe uma circunferência passando por eles.

4) Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

5) Todo ângulo, inscrito em um semicírculo, é sempre reto.

6) Por duas retas paralelas quaisquer, é sempre possível traçar uma reta perpendicular em comum.



Exemplo 31. A estrutura matemática 𝑺 = (E, A), onde A ={Axioma da extensão, Axioma esquema da compreensão} define a estrutura matemática que deu origem a teoria clássica dos conjuntos.

Definição 1. Um paradoxo (antinomia ou aporium) consiste na obtenção, através da derivação formal de um sistema formal, da fórmula (𝑃 ∧ ¬𝑃) (lê-se: 𝑃 e não 𝑃) ou da fórmula (𝑃 ⟷ ¬𝑃) (lê-se: 𝑃 se e somente se, não 𝑃 ), onde 𝑃 é uma proposição verdadeira.

Algumas geometrias não-euclidianas, por exemplo, as geometrias projetiva, elíptica e a hiperbólica, surgiram da negação do Axioma V.

A teoria clássica dos conjuntos, foi desenvolvida, tendo como pressupostos fundamentais, os seguintes axiomas:

• Axioma de extensionalidade. Dois conjuntos são iguais, se e somente se, possuem os mesmos elementos.

• Axioma da separação. Toda propriedade determina um conjunto.

• Axioma da escolha. Dada uma coleção de conjuntos não vazios, dois a dois disjuntos, existe um conjunto que contém exatamente um elemento de cada conjunto da coleção dada.



Comentário. Da definição clássica de conjunto surgiram alguns paradoxos, dentre os quais destacamos:

• Paradoxo de Cantor (1895). Se existe um conjunto 𝑥 que é o conjunto de todos os conjuntos então existe o conjunto das partes de 𝑥, denotado por 𝒫(𝑥), tal que |𝒫(𝑥)| > |𝑥|. Daí 𝑥 não seria o conjunto de todos os conjuntos.

• Paradoxo de Burali-Forti (1897). O conjunto bem ordenado 𝑥 de todos os ordinais tem um ordinal maior que todos elementos de 𝑥.

• Paradoxo de Russel (1902). Se existe um conjunto 𝑥 que é o conjunto de todos os conjuntos e que não contém ele mesmo como elemento (isto é, 𝑥 ={𝑦: 𝑦 ∉ 𝑦}), então 𝑥 ∈ 𝑥 ⟷ 𝑥 ∉ 𝑥.

O paradoxo de Russel decorre do axioma esquema da

compreensão (∃𝑦)(∀𝑥)(x ∈ y ↔ φ(x)), tomando φ(x) =

𝑥 ∉ 𝑥 e x = y. Assim, teremos que (∃𝑦)(y ∈ y ↔ 𝑦 ∉ 𝑦 ). Esses paradoxos deram origem ao que foi chamado de “crise dos fundamentos da matemática” do século XX. A busca por soluções para esses problemas deu origem a várias teorias axiomáticas dos conjuntos, dentre as quais destacamos:

• Sistema Zermelo-Fraenkel (ZF)

• Sistema Neumann-Godel-Bernays (NGB)

• Sistema Kelley-Morse (KM).

O surgimento de sistemas axiomáticos e o estudo da natureza do infinito constituíram uma das maiores conquistas intelectuais do século XX.

Em todo sistema axiomático de conjuntos, teremos duas questões fundamentais:

1. Dados dois conjuntos 𝑥 e 𝑦, dizer quando 𝑥 = 𝑦? 2. Classificar os conjuntos em tipos, com a finalidade

de viabilizar a criação de novos conjuntos.



Axioma esquema da separação

Linguagem usual: Se um conjunto qualquer existe e conseguimos descrever alguns elementos desse conjunto através de uma propriedade, então existe um subconjunto deste conjunto que contêm esses elementos.

Linguagem formal: (∀𝑧)(∃𝑦)(∀𝑥)((x ∈ y) ↔ (x ∈ z) ∧ (φ(x))).

Axioma de extensionalidade

Linguagem usual: Dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos.

Linguagem formal: (∀𝑥)(∀𝑦)((𝑥 = 𝑦) ⇔ (∀𝑧)(z ∈ x ↔ z ∈ y)).

Comentário. O primeiro sistema axiomático apresentado e com a finalidade de evitar os paradoxos da teoria intuitiva dos conjuntos, foi devido a Ersnt Zermelo (1871-1953), em 1908 ele publica um artigo intitulado “Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos” e ficou conhecido como sistema Z (ou

ZC). Os axiomas desse sistema são:

Axioma do par não ordenado Linguagem usual: Existe um conjunto que contêm dois elementos.

Linguagem formal: (∃𝑦)(∀𝑥) (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 = 𝑎) ∨ (𝑥 = 𝑏)))

Comentário. Esse conjunto é denotado por {a, b} e é chamado de par não ordenado. Pelo Axioma da extensão temos que {a, a} ={a}.



Nota. Segue do axioma de par ordenado

(x, y) = (z, w) ⟷ x = z e y = w,

chamada de propriedade característica dos pares ordenados.

Axioma da reunião

Linguagem usual: Para toda família (𝑧𝜆)𝜆∈𝐼 de conjuntos, existirá um conjunto que contém entre seus elementos os elementos que pertence a pelo menos um conjunto dessa família.

Linguagem formal: (∃y)(∀x) (x ∈ y ↔ (∃𝜆)((𝜆 ∈ I) ∧ (x ∈ 𝑧𝜆)))

Comentário. Esse axioma garante a existência de subconjuntos de um conjunto 𝕌, em particular os conjuntos

∅ = {x: x ≠ x} e 𝕌 = {x: x = x}

cujas existências são garantidas por (∃𝑦)(∀𝑥)(x ∈ y ↔ ((x ∈ 𝕌) ∧ (x ≠ x)) e (∃𝑦)(∀𝑥)(x ∈ y ↔ (x ∈ 𝕌) ∧ (x = x)),

respectivamente.



Historicamente, a matemática pode ser dividida em retórica, sincopada e simbólica.

Na matemática retórica, praticada por exemplo pelas civilizações babilônicas e egípcias, a linguagem natural era utilizada para enunciar e resolver problemas do cotidiano e a verdade dos resultados era comprovada pela experiência. Aos poucos, alguns símbolos foram introduzidos. Diophantus (~200 - ~284), matemático grego, em seu livro Arithmetica, utilizou a palavra aritmos, como um número desconhecido (incógnita) e alguns símbolos para representar quantidades e operações, contribuindo com a transição entre a matemática retórica e a sincopada. No fim do século XVI, o matemático francês François Viète (1540-1603), introduz letras do alfabeto para representar os coeficientes (consoantes) e as variáveis (vogais) em equações polinomiais e logo depois, G. W. Leibnitz (1646-1716 e G. Boole (1815-1864), introduziram uma linguagem simbólica formal na matemática. As notações simbólicas literais, bem como a teoria dos conjuntos e a lógica, foram de fundamental importância para

CAPÍTULO 3 ABORDAGEM FORMAL

Hilbert, D.

David Hilbert (1862-1943) foi um matemático alemão. Dentre suas contribuições, destacamos o programa de formalização da matemática.









Definição 2. Uma sequência de símbolos da assinatura, denotado por 𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛, é chamada de expressão da linguagem 𝐿(𝑺). Para a formação das expressões da 𝐿(𝑺), são necessários

um conjunto de regras de sintaxe. Do ponto de vista semântico, uma expressão poderá ser uma variável, um termo ou uma fórmula. O número 𝑛 de ocorrências de símbolos na expressão 𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 é chamado de comprimento da expressão e geralmente é denotado por |𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛|. Por convenção, uma expressão sem símbolos terá comprimento zero.

Comentário. As regras de sintaxe de um sistema lógico, possibilitam a correta obtenção das expressões da linguagem. O real significado das expressões da linguagem 𝐿(𝑺), a semântica, vai depender do sistema matemático 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨) a ser estudado. Portanto, podemos ter expressões formais com a mesma sintaxe, mas semântica diferente.

Comentário. A especificação de uma linguagem 𝐿(𝑺) em um sistema matemático 𝑺, ocorre quando determinamos sua assinatura; isto é, um conjunto ∑(𝑺) de símbolos.

Definição 1. Um sistema formal ou lógico para um sistema matemático 𝑺 = (𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨), consiste em um sistema de pensamento abstrato bem definido em 𝑺, composto de uma linguagem, denotada por 𝐿(𝑺), bem como o seu estudo sintático e semântico.

o surgimento das linguagens formais e a sua utilização no desenvolvimento das teorias da matemática.



Assinatura de 𝐿1(𝑺)

1. Símbolos constantes: (𝑐𝑖)𝑖∈𝐼 família de símbolos 𝑐𝑖 que representam cada elemento de 𝐸.

2. Relações: ∈ (símbolo da relação unária chamada de incidência ou pertinência), = (símbolo da relação

binária chamada de igualdade), (𝑟𝑗)𝑗∈𝐽

família de

símbolos 𝑟𝑗 para as relações 𝑛𝑗-ária de 𝑹.

3. Operações: (𝑜𝑘)𝑘∈𝐾 família de símbolos 𝑜𝑘 para as operações 𝑛𝑘-ária de 𝑶.

Definição 5. Um sistema lógico de primeira ordem para 𝑺 =(𝐸, 𝑹, 𝑶, 𝑨) é um sistema lógico, composto de uma linguagem de primeira ordem, denotada por 𝐿1(𝑺) e regras de sintaxe.

Definição 3. Se ∑(𝑺) e ∑ ´(𝑺) são assinaturas das linguagens 𝐿(𝑺)

e 𝐿´(𝑺) e ∑(𝑺) ⊂ ∑ ´(𝑺), dizemos que 𝐿(𝑺) é uma restrição de

𝐿´(𝑺) ou que 𝐿´(𝑺) é uma extensão de 𝐿(𝑺).

Definição 4. A cardinalidade de uma linguagem 𝐿(𝑺) é definida por card(𝐿) = 𝑚𝑎𝑥{card(∑(𝑺)), ℵ0 }.

Comentário. Esses três primeiros itens, determinam o que chamamos de assinatura da linguagem 𝐿1(𝑺).

Comentário. O sistema lógico de primeira ordem permitirá desenvolver praticamente todas as teorias de sistemas matemáticos.



Definição 6. Um termo de 𝐿1(𝑺) é uma expressão usada para denotar os objetos de 𝑺 . Os termos elementares de uma linguagem são suas constantes (𝑐𝑖)𝑖∈𝐼 , que denotam os elementos do sistema 𝐸.

Comentário. Uma regra de sintaxe importante do sistema lógico de primeira ordem é que 𝑜𝑘𝑥1 … 𝑥𝑛 é um termo e se 𝑡1, … , 𝑡𝑛 são termos então 𝑜𝑘𝑡1 … 𝑡𝑛 também será um termo, onde (𝑜𝑘)𝑘∈𝐾 é família de símbolos 𝑜𝑘 de operações 𝑛𝑘-ária de 𝐿1(𝑺).

Outros símbolos de 𝐿1(𝑺) 4. Variáveis: são expressas por letras minúsculas dos

alfabetos grego {𝛼, 𝛽, . . . , 𝜔} e latino {𝑎, 𝑏, . . . , 𝑧 }, com ou sem índices e representam, de forma abstrata, um elemento do sistema 𝐸.

5. Quantificadores lógicos: são expressos por ∀ (universal), ∃ e ∃! (existenciais) e quantifica os objetos.

6. Operadores lógicos: são expressos por∧ (conjunção), ∨ (disjunção inclusiva), ∨ (disjunção exclusiva), ¬ (negação), → (condicional) e ↔ (bi condicional).

7. Operador descrição 𝚤, que significa “um objeto tal que ...”.

8. Parênteses: ( ), funciona como uma pontuação na separação entre termos e fórmulas.

9. O símbolo ⇔: que pode significar que “o lado esquerdo é uma notação para o lado direito” ou, em alguns casos, o operador bi condicional.

Exemplo 1. As expressões 1, 2 + 𝑥1 e 2 + 3 − 5 são termos de uma linguagem.



Algumas representações de fórmulas • (∀𝑥)𝑃(𝑥)

• (∃𝑥)𝑃(𝑥)

• (∃! 𝑥)𝑃(𝑥)

• (∀𝑥)(∃𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦)

Definição 8. As variáveis de uma fórmula, podem ser dependentes (que seguem algum quantificador) ou independentes (que não seguem nenhum quantificador). As variáveis independentes são também chamadas de parâmetros

ou variáveis livres.

Definição 7. Uma fórmula atômica da 𝐿1(𝑺) é uma expressão do tipo 𝑟𝑖𝑡1 … 𝑡𝑛, denotada por 𝑟𝑖(𝑡1, … , 𝑡𝑛), onde 𝑟𝑖 é uma relação (incluindo as relações ∈ e =) e 𝑡1, … , 𝑡𝑛 são termos da linguagem. O agrupamento de duas ou mais fórmulas atômicas, obtidas através dos operadores lógicos e regras de sintaxe, determinam as fórmulas moleculares.

Definição 9. Uma fórmula sem parâmetros, 𝐹(𝑥1, … , 𝑥𝑛) é também chamada de fórmula fechada ou proposição.

Convenções. Algumas convenções de notações serão adotadas: i) 𝑜𝑘(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ⇔ 𝑜𝑘𝑥1 … 𝑥𝑛 ii) 𝑟𝑗(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ⇔ 𝑟𝑗𝑥1 … 𝑥𝑛

iii) 𝑥 = 𝑦 ⇔ = 𝑥𝑦

Comentário. Os axiomas de 𝑺 devem ser fórmulas fechadas da 𝐿1(𝑺).



Exemplo 5. A expressão (∀𝑧)((z = 1) ∨ (z = 2)) é uma fórmula

molecular de uma linguagem formal.

Definição 10. Uma regra de derivação (ou de inferência) é a condição necessária para que uma fórmula, chamada de conclusão (tese), possa ser derivada (ou inferida) através de um sistema lógico, de certas outras fórmulas, chamadas de premissas (ou hipóteses).

Exemplo 3. Se x e y são termos, então as expressões, ¬(𝑥 = 𝑦) e ¬(𝑥 ∈ 𝑦), são exemplos de fórmulas atômicas. Neste caso,

(𝑥 ≠ 𝑦) ⇔ ¬(𝑥 = 𝑦) e

(𝑥 ∉ 𝑦) ⇔ ¬(𝑥 ∈ 𝑦).

Exemplo 2. A expressão “Qualquer que seja um objeto, ele é igual a ele mesmo”, pode ser expressa em linguagem formal pela fórmula ∀x(x = x). O comprimento dessa expressão é 7.

Exemplo 4. A expressão (∀𝑧)(z = 1) é uma fórmula atômica de uma linguagem formal.

• (∀𝑥)𝑃(𝑥, 𝑦)

• (∀𝑥)𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)

• (∃𝑥)𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)

• (∃! 𝑥)𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)

• (∀𝑥)(∀𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦) ∧ 𝑄(𝑥, 𝑦)

• (∀𝑥)(∃! 𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦) ∧ 𝑄(𝑥, 𝑦)



Comentário. Na derivação de fórmulas moleculares devemos obedecer às seguintes regras de derivação:

1. Se 𝑥 e 𝑦 são variáveis, então (𝑥 ∈ 𝑦) e (𝑥 = 𝑦) são fórmulas.

2. Se 𝑃 e 𝑄 são fórmulas e 𝑥 é uma variável, então (𝑃 ↔ 𝑄), (𝑃 → 𝑄), (𝑃 ∧ 𝑄), (𝑃 ∨ 𝑄), (𝑃 ∨ 𝑄), ¬𝑃 , ∀𝑥𝑃 e ∃𝑥𝑃 são fórmulas, 𝚤𝑥𝑃 e a variável 𝑥 são termos (objetos).

Definição 11. A negação é um operador unário, que a cada fórmula 𝑃 associa a fórmula (¬𝑃), lê-se: (não 𝑃) e terá um valor lógico verdadeiro (V ou 0) ou falso (F ou 1) que dependerá dos valores lógicos de 𝑃 e 𝑄. Notação. (¬𝑃) ou (~𝑃) ou (�̅�) ou (−𝑃) ou (𝑃′).

Exemplo 7. 𝒫(𝑦) ⇔ (𝚤𝑥)(∀𝑧)(z ∈ x ↔ z ∈ y), é um termo que representa o conjunto das partes de um conjunto.

Exemplo 8. ∅ ⇔ (𝚤𝑦)(∀𝑥)(x ∉ y), é um termo que representa o conjunto vazio.

Exemplo 9. {𝑥: 𝑃(𝑥)} ⇔ (𝚤𝑦)(∀𝑥)(x ∈ y ↔ 𝑃(𝑥)), é um termo que

representa o conjunto de objetos x que satisfaz a fórmula 𝑃(𝑥).

Exemplo 10. {𝑧: (z = x) ∨ (z = y)} ⇔ {𝑥, 𝑦}, é o termo que representa um par não ordenado.



𝑷 ¬𝑷 V F

F V

Fig.6 Tabela verdade da negação

𝑷 𝑸 𝑷 ∧ 𝑸 V V V

V F F

F V F

F F F

Fig.1 Tabela verdade da conjunção

Definição 12. A conjunção é um operador binário, que a cada par ordenado de fórmulas (𝑃, 𝑄) associa a fórmula (𝑃 ∧ 𝑄), lê-se 𝑃 e 𝑄 e terá um valor lógico verdadeiro (V ou 0) ou falso (F ou 1) que dependerá dos valores lógicos de 𝑃 e 𝑄. Notação. (𝑃 ∧ 𝑄) ou (𝑃&𝑄) ou (𝑃&&𝑄)ou (𝑃 ∩ 𝑄) ou (𝑃 ∙ 𝑄) ou (𝑃𝑄).

Exemplo 46. A fórmula (1 ∈ ℕ) ∧ (1 > 0) é verdadeira.

Exemplo 47. A fórmula (1 ∈ ℕ) ∧ (1 < 0) é falsa.

Exemplo 48. A fórmula (1 ∉ ℕ) ∧ (1 > 0) é falsa.

Exemplo 66. A fórmula ¬(1 ∈ ℕ) é falsa.

Exemplo 66. A fórmula ¬(1 < 0) é verdadeira.



𝑷 𝑸 𝑷 ∨ 𝑸 V V V

V F V

F V V

F F F

Fig.2 Tabela verdade da disjunção inclusiva

Definição 13. A disjunção inclusiva é um operador binário, que a cada par ordenado de fórmulas (𝑃, 𝑄) associa a fórmula (𝑃 ∨𝑄), lê-se 𝑃 ou 𝑄 (podendo ser ambas) e terá um valor lógico verdadeiro (V ou 0) ou falso (F ou 1) que dependerá dos valores lógicos de 𝑃 e 𝑄. Notação. (𝑃 ∨ 𝑄) ou (𝑃‖𝑄) ou (𝑃 ∪ 𝑄).

Definição 14. A disjunção exclusiva é um operador binário, que a cada par ordenado de fórmulas (𝑃, 𝑄) associa a fórmula

(𝑃 ∨ 𝑄), lê-se ou 𝑃 ou 𝑄 (não podendo ser ambas) e terá um valor

lógico verdadeiro (V ou 0) ou falso (F ou 1) que dependerá dos valores lógicos de 𝑃 e 𝑄.

Exemplo 49. A fórmula (1 ∉ ℕ) ∧ (1 < 0) é falsa.

Exemplo 51. A fórmula (1 ∈ ℕ) ∨ (1 < 0) é verdadeira.

Exemplo 52. A fórmula (1 ∉ ℕ) ∨ (1 > 0) é verdadeira.

Exemplo 53. A fórmula (1 ∉ ℕ) ∨ (1 < 0) é falsa.

Exemplo 50. A fórmula (1 ∈ ℕ) ∨ (1 > 0) é verdadeira.



𝑷 𝑸 𝑷 ∨ 𝑸

V V F

V F V

F V V

F F F

Fig.3 Tabela verdade da disjunção exclusiva

Definição 15. O condicional é um operador binário, que a cada

par ordenado de fórmulas (𝑃, 𝑄) associa a fórmula (𝑃 → 𝑄 ⇔

¬(𝑃 ∧ ¬𝑄)), lê-se: Se 𝑃 então 𝑄 ou 𝑃 implica 𝑄 ou 𝑃 somente

se 𝑄 e terá um valor lógico verdadeiro (V ou 0) ou falso (F ou 1) que dependerá dos valores lógicos de 𝑃 e 𝑄. As fórmulas 𝑃 e 𝑄 são chamadas de premissa (hipótese) e consequência (tese) da fórmula (𝑃 → 𝑄), respectivamente. Podemos também dizer que 𝑃 é suficiente para 𝑄 ou 𝑄 é necessário para 𝑃. Notação. (𝑃 → 𝑄) ou (𝑃 ⇒ 𝑄) ou (𝑃 ⊃ 𝑄)

Exemplo 55. A fórmula (1 ∈ ℕ) ∨ (1 < 0) é verdadeira.

Exemplo 56. A fórmula (1 ∉ ℕ) ∨ (1 > 0) é verdadeira.

Exemplo 57. A fórmula (1 ∉ ℕ) ∨ (1 < 0) é falsa.

Exemplo 54. A fórmula (1 ∈ ℕ) ∨ (1 > 0) é falsa.

Notação. (𝑃 ∨ 𝑄).



𝑷 𝑸 𝑷 → 𝑸 V V V

V F F

F V V

F F V

Fig.4 Tabela verdade do condicional

𝑷 𝑸 𝑷 → 𝑸 𝑸 → 𝑷 𝑷 ↔ 𝑸 V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Fig.5 Tabela verdade do bi condicional

Definição 16. O bi condicional é um operador binário, que a cada par ordenado de fórmulas (𝑃, 𝑄) associa a fórmula (𝑃 ↔ 𝑄), lê-se: (P se e somente se, Q), que significa (𝑃 → 𝑄) ∧ (𝑄 → 𝑃), lê-se: (P implica Q) e (Q implica P) e terá um valor lógico verdadeiro (V ou 0) ou falso (F ou 1) que dependerá dos valores lógicos de 𝑃 e 𝑄. Notação. (𝑃 ↔ 𝑄) ou (𝑃 ⇔ 𝑄). Notação. (𝑃 ↔ 𝑄) ou (𝑃 ⇔ 𝑄).

Exemplo 59. A fórmula (1 ∈ ℕ) → (1 < 0) é falsa.

Exemplo 60. A fórmula (1 ∉ ℕ) → (1 > 0) é verdadeira.

Exemplo 61. A fórmula (1 ∉ ℕ) → (1 < 0) é verdadeira.

Exemplo 58. A fórmula (1 ∈ ℕ) → (1 > 0) é verdadeira.



Definição 18. Um teorema em uma estrutura matemática 𝑺, consiste da proposição obtida no último passo de uma derivação formal ⊢𝑭, utilizando os axiomas de uma estrutura matemática 𝑺 e regras de derivação de um sistema formal.

Comentário. Quando um teorema é obtido em uma estrutura matemática 𝑺, o mesmo poderá ser considerado como axioma de 𝑺 para obtenção de novos teoremas.

Exemplo 63. A fórmula (1 ∈ ℕ) ↔ (1 < 0) é falsa.

Exemplo 64. A fórmula (1 ∉ ℕ) ↔ (1 > 0) é falsa.

Exemplo 65. A fórmula (1 ∉ ℕ) ↔ (1 < 0) é verdadeira.

Exemplo 62. A fórmula (1 ∈ ℕ) ↔ (1 > 0) é verdadeira.

Definição 17. Uma derivação formal em um sistema matemático 𝑺, denotada por ⊢𝑭, consiste de um agrupamento de uma sequência finita de proposições verdadeiras, denotada por 𝑃1 → 𝑃2 → ⋯ → 𝑃𝑛, onde cada proposição 𝑃𝑖 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, da derivação formal é obtida pelo passo 𝑃𝑖−1 → 𝑃𝑖 , utilizando os objetos do sistema matemático 𝑺 e as regras de derivação de um sistema lógico.

Definição 19. Uma conjectura em uma estrutura matemática 𝑺, é uma proposição com algum grau de confiança de que a mesma seja verdadeira.



Definição 20. Um corolário de uma estrutura 𝑆, consiste em uma proposição verdadeira obtida de uma derivação formal ⊢𝑭 , utilizando um teorema de 𝑆.

Definição 21. Um escólio de uma estrutura 𝑆, consiste em uma proposição verdadeira obtida de uma derivação formal ⊢𝑭 , utilizando um corolário de 𝑆.

Definição 22. Um lema de uma estrutura 𝑆, consiste em uma proposição verdadeira obtida de uma derivação formal ⊢𝑭 , utilizando resultados já demonstrados de 𝑆 e que será utilizado para obter um teorema, corolário ou escólio.

Comentário. O estudo de axiomas, teoremas, corolários, escólios e lemas em uma estrutura matemática 𝑺, através de um sistema formal, vistos como proposições é chamado de estudo sintático em 𝑺; o estudo do significado dessas proposições é chamado de estudo semântico em 𝑺. Durante o estudo sintático, não podemos obter um teorema, decorrente da contradição de algum axioma de 𝑺, isto é, a derivação formal deve ser consistente. Nenhum axioma de 𝑺 poderá ser obtido como resultado de derivações formais usando os demais axiomas de 𝑺; isto é, a derivação deve ser indecidível.

Um axioma de 𝑺 não pode contradizer os demais axiomas de 𝑺, isto é, a derivação deve ser não contraditória.

Definição 23. Um predicado é uma função 𝑃, onde seus valores 𝑃(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), são sentenças sobre 𝑛-uplas. Se 𝑛 = 1, o predi-cado é chamado de propriedade; se 𝑛 > 1, o predicado é cha-mado de relação. Proposições, podem ser consideradas como um predicado, quando 𝑛 = 0.



Definição 24. Uma lei ou tautologia de uma estrutura matemática 𝑆, é uma fórmula que se torna válida, sob qualquer interpretação lógica das variáveis dos predicados que nela aparecem.

Exemplo 19. A fórmula

((∀𝑎 ∈ ℝ)(∀𝑏 ∈ ℝ)(∀𝑐 ∈ ℝ)) (( 𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0) ∧

((P(a, b, c) =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎) ∨ (P(a, b, c) =

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎))),

é uma lei do sistema matemático dos reais que determina as soluções reais para a equação polinomial 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Comentário. A arte de se obter leis a partir de uma estrutura matemática 𝑆 e algumas informações (premissas ou hipóteses), remonta o silogismo da lógica clássica que teve sua origem com Aristóteles.

Definição 25. Os cálculos realizados através de uma derivação formal usada para a obtenção de leis a partir de uma estrutura matemática 𝑆 com predicados é chamado de cálculo de

predicados.

Definição 26. A reunião de conceitos primitivos e derivados, leis, conjecturas, teoremas, corolários, escólios, lemas, paradoxos (lógico e semântico) e demais possíveis resultados decorrentes dos objetos de uma estrutura matemática 𝑺, obtidos através de um sistema formal, é chamada de teoria formal de 𝑺 e neste caso 𝑺 é chamado de modelo matemático para essa teoria.



O que é matemática? Matemática é uma ciência, que a partir de estruturas matemáticas, desenvolve e aplica teorias intuitivas e formais na resolução de problemas do mundo real ou imaginário.



Referências Bibliográficas

[1] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991.

[2] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.

[3] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.

[4] WOODBURRY, G..Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA


5

FUN


GÊNESIS

Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

Documents

SISTEMAS MATEMÁTICOS€¦ · COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA SISTEMAS MATEMÁTICOS GÊNESIS COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas