SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA · 2018. 11. 2. · teoremu, na osnovu koje se može tvrditi da se proizvoljna matrična eksponencijalna funkcija možezapisati kao linearna kombinacija

SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Žarko ZečevićElektrotehnički fakultetUniverzitet Crne Gore

Mapa kursa

Modelovanje

2

Klasifikacija sistemaDiferencijalne jednačineFunkcija prenosa• Polovi, nule, pojačanje• Strukturni blok

dijagrami• Graf toka signalaModel u prostoru stanja• Kanonične forme• Linearizacija• Rješavanje jednačina

stanja

Kontrolabilnost i opservabilnostStabilnost sistema• Raus• NikvistPerformanse SAU-a• Stacionarno stanje• Prelazni proces• Kompleksni domenFrekvencijske karakteristike• Bodeovi dijagrami

Specifikacije sistemaKompenzatori• Pojačavač• Integralni kompenzator• Diferencijalni

kompenzator• Diferencijalno -

integralni kompenzatorPID regulatorFizičke realizacijeDiskretizacija kontinualnih regulatora

DizajnAnaliza

Predavanje 5

Ishodi učenja:Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da:

Razumiju koncepte kontrolabilnosti i opservabilnosti

Ispitaju kontrolabilnost i opservabilnost sistema koristeći različitekriterijume

Shvate koncept stabilnosti - jedne od najznačajnih osobina SAU-a

Ispitaju apsolutnu stabilnost sistema koristeći Rausov kriterijum

3

Osobine sistema: kontrolabilnost, opservabilnost i stabilnost

Kontrolabilnost sistema

Posmatrajmo LTI sistem opisan u prostoru stanja:

Drugim riječima treba da postoji u(t) takav da važi:

Posmatrajući izraz iznad, uočava se da kontrolabilnost zavisi samo odmatrica A i B. Naš zadatak je da ispitamo koji uslov treba da zadovoljematrice A i B, tako da gornja jednačina uvijek bude zadovoljena.

4

Za LTI sistem kažemo da je potpuno kontrolabilan (upravljiv) akopostoji upravljački signal u(t) takav da pomjeri sistem iz bilo kogpočetnog stanja x(t0)=x0 u željeno stanje x(t1)=x1, za neko konačnovrijeme t1-t0.

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

x Ax Bu x x

y Cx Du

1

1 1( )1 1 0

0

( ) ( ) .t

t tt e e d A Ax x x Bu

Definicija


Za izvođenje uslova kontrolabilnosti koristićemo Cayley-Hamiltonovuteoremu, na osnovu koje se može tvrditi da se proizvoljna matričnaeksponencijalna funkcija može zapisati kao linearna kombinacija njeniheksponentata do (n-1)-og stepena:

Uvrštavanjem gornjeg izraza u izraz za jednačine stanja x(t), dobija se

Posljednja jednakost se može zapisati u matričnom obliku:

5

1

1 11 0 0 1 1

0

( ) ( ) ... ( ) ( ) .t

At nne d

x x I A A Bu

10 1 1( ) ( ) ... ( ) .n

ne

A I A A

1

0

111 0

1

| | ... |...

At n

n

r

re

r

x x B AB A B

1

1

1

0 0

0

1 1

0

1 1

0

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( )

t

t

t

n n

r d

r d

r d

u

u

u


Da bi sistem preveli iz stanja x0 u stanje x1, potrebno je riješitiprethodni sistem jednačina. Odnosno, prvo treba naći vektor r, a zatimpoznavajući r1, r2,.. r2 odrediti upravljanje (upravljački signal) u(t).

Međutim, u ovom kursu nas ne interesuje pronalaženje upravljanja u(t)koje prevodi sistem iz nekog početnog u željeno stanje, već nas samozanima pod kojim uslovima to upravljanje postoji.

Prethodna jednačina ima jedinstveno rješenje jedino pod uslovom da je matrica K invertibilna.

6

1

0

111 0

1

| | ... | ....

At n

n

r

re

r

x x B AB A B Kr

1 111 0 1 0

t te e A Ax x Kr r K x x


Drugim riječima, sistem je potpuno kontrolabilan ako važi sljedeće:

Ako je rank(K) = n – p, onda da sistem ima n-p kontrolabilnih stanja.Preostalih p stanja nije kontrolabilno, što znači da na njih ne možemodirektno ili indirektno da utičemo ulaznim signalom ili su ona linearnakombinacija preostalih n-p kontrolabinih stanja. U drugom slučajusistem je premodelovan, odnosno usvojen je veći broj promjenljivihstanja nego što je potrebno. Ukoliko sistem nije potpuno kontrolabilan,tada se nekontrolabilne promjenljive stanja mogu identifikovati naosnovu simulacionog blok dijagrama.

Iako se u ovom kursu nećemo baviti dizajnom regulatora u vremenskomdomenu, treba naglasiti da je kontrolabilnost sistema od krucijalnevažnosti za mnoge upravljačke probleme, koji se upravo rješavajuprojektovanjem u vremenskom domenu.

7

1( ) rank | | ... | ,nrank n K B AB A B

det( ) 0.K

Determinanta matrice kontrolabilnosti je jednaka:

što znači da je sistem potpunokontrolabilan.

Primjer 1 - kontrolabilnost sistema

Ispitati kontrolabilnost sistema zadatog u prostoru stanja matricama:

8

5 1 2, , 1 2 .

2 0 5

A B C

2 15

det( ) det | det 97,5 11

K B AB

A=[-5 -1;3 1];

B=[2;5];

K=[B A*B]

K =

2 -15

5 11

det(K)

Posmatrajući kvazi-analogni dijagram sa slike uočava se daizmeđu stanja x1, x2 i ulaza postoji direktna veza, što značida je sistem kontrolabilan.

Napomena: veza između stanja može biti i indirektna.Odnosno, ulaz može da upravlja stanjem x2 preko stanja x1.

1/s

1/s

5

3

2

5

u(t)

2

y(t)

-

-

1x

2x

1x

2x


što znači da sistem nije potpunokontrolabilan.



9

5 1 2, , 1 2 .

0 1 0

A B C

2 10

det( ) det | det 0.0 0

K B AB

Rang matrice K je jednak 1, što znači da sistem ima jednoupravljivo i jedno neupravljivo stanje. Sa kvazi-analognogblok dijagrama se vidi da stanje x2 nije upravljivo jer nemavezu sa ulazom, niti sa stanjem x1.

A=[-5 -1;0 1];

B=[2;0];

K=[B A*B]

det(K)

rank(K)

ans =

1

1/s

1/s

5

2

u(t)

2

y(t)

-

-

1x

2x

1x

2x



što znači da sistem nije potpunokontrolabilan.


10

5 0 2, , 1 2 .

0 5 10

A B C

2 10

det( ) det | det 0.10 50

K B AB

Posmatrajući kvazi-analogni dijagram vidi se da ulaz utičena obje promjenljiive stanja, međutim one nijesu linearnonezavisne. U svakom trenutku važi x2=5x1, što znači da nepostoji ulaz koji sistem može prevesti u bilo koje željenostanje. Dakle, ovaj sistem je dovoljno modelovati jednompromjenljivom stanja.

A=[-5 0;0 -5];

B=[2;4];

K=[B A*B]

det(K)

rank(K)

ans =

1

1/s

1/s

5

2

10

u(t)

2

y(t)

-

-

5

1x1x

2x 2x


Da li su električni sistemi sa slike kontrolabilni?

Za električno kolo na slici lijevo, stanje x nije kontrolabilno. Most se nalazi uravnoteži, te je napon (x) uvijek jednak nuli, bez obzira na promjene ulaznognapona. Kolo na slici desno takođe nije potpuno kontrolabilno. Stanja x1 i x2 suuvijek jednaka, jer su vrijednosti otpornika i kondenzatora jednake. Oba kola bibila kontrolabilna da bar jedan otpornik/kondenzator ima drugu vrijednost.

11

+

1 1

1 1

E+ -

x

+

1F

1 1

E

+

-1x

1F+

- 2x

Opservabilnost sistema

Neka je LTI sistem u prostoru stanja zadat jednačinama:

Drugim riječima, postavlja se pitanje pod kojim uslovima možemoodrediti x(0), ako mjerimo izlazni signal u trenucima t1, t2,... tn?

Izlazni signal iz sistema u trenutku t je jednak:

12

Za LTI sistem kažemo da je potpuno opservabilan (osmotriv) ukoliko jena osnovu mjerenja izlaznog vektora y(t) u nekom konačnom intervalut1-t0 moguće rekonstruisati vektor početnih stanja x0.

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

x Ax Bu x x

y Cx Du

( )0

0

( ) ( ) ( ).t

t ty t e e d u t A AC x C Bu D

Definicija


Izlazni signal iz sistema u trenutku t je jednak:

Ako se gornja jednačina zapiše za n trenutka vremena, dobija se sljedeći sistem jednačina:

13

( )0

0

( ) ( ) ( ).t

t ty t e e d u t A AC x C Bu D

1

1 1

2

2 2

( )1 0 1

0

( )2 0 2

0

( )0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

...

( ) ( ) ( )n

n n

t

t t

t

t t

t

t tn n

y t e e d u t

y t e e d u t

y t e e d u t

A A

A A

A A

C x C Bu D

C x C Bu D

C x C Bu D


Ako se lijeva strana svake jednačine označi sa odgovarajućim qi, amatrična eksponencijalna funkcija sa desne strane razvije u polinomkoristeći Cayley-Hamiltonovu teoremu, može se zapisati sljedeće:

14

1

1 1

2

2 2

( )1 1 0

0

( )2 2 0

0

( )0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

...

( ) ( ) ( )n

n n

t

t t

t

t t

t

t tn n

y t e d u t e

y t e d u t e

y t e d u t e

A A

A A

A A

C Bu D C x

C Bu D C x

C Bu D C x

1 0 1 1 1 1 1

2 0 2 1 2 1 2

-10 1 1

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )(0)

...... ... ... ... ...

( ) ( ) ... ( )

N

N

nn n n n n

q t t t

q t t t

q t t t

C

CAx

CA

1 10

x O Λ q

OΛ


Nas trenutno ne zanima način pronalaženja vektora x0, već samo po pod kojima je to moguće odraditi. Jednačina

ima jedinstveno rješenje jedino pod uslovom da je matrica Oinvertabilna. Drugim riječima, sistem je potpuno opservabilan ako važisljedeće:

Ako je rank(O) = n – p, onda sistem ima n-p opservabilnih stanja.Preostalih p stanja nije opservabilno, što znači ona nemaju direktnu iliindirektnu vezu sa izlazom ili su ona linearna kombinacija preostalih n-popservabilnih stanja.

15

1

( ) ( ) | | ... | ,NT T T T T Trank rank rank n

O O C A C A C

det( ) 0.O

1 10

x O Λ q

Ispitati opservabilnost sistema zadatog u prostoru stanja matricama:

Determinanta matrice opservabilnosti je jednaka:

što znači da je sistem potpunoopservabilan.

Primjer 1 - opservabilnost sistema

16

5 1 2, , 1 2 .

2 0 5

A B C

1 2det( ) det | det 1,

1 1T T

O O A C

A=[-5 -1;3 1];

C=[1 2];

O=[C' A'*C']

O =

1 1

2 1

det(O)

Posmatrajući kvazi-analogni dijagram sa slike uočava se daizmeđu stanja x1, x2 i izlaza postoji direktna veza, što značida je sistem opservabilan.

Napomena: veza između stanja može biti i indirektna.Odnosno, stanje x2 može biti povezano na izlaz preko stanjax1, i obrnuto.

1/s

1/s

5

3

2

5

u(t)

2

y(t)

-

-

1x

2x

1x

2x


što znači da sistem nije potpunoopservabilan.


Da li je sistem zadat u prostoru stanja matricama A, B i C opservabilan?

17

0 0det( ) det | det 0.

1 1T T T

O C A C

1/s

1/s

5

2

u(t)

2

y(t)

-

-

1x

2x2x

1x

5 1 2, , 0 2

0 1 1

A B C

A=[-5 -1;0 1];

C=[0 1];

O=[C' A'*C']

det(O)

rank(O)

ans =

1

Rang matrice O je jednak 1, što znači da sistem ima jedno opservabilno i jedno neopservabilo stanje. Sa dijagrama se vidi da stanje x1 nije opservabilno.

Ispitati opservabilnost sistema zadatog u prostoru stanja matricama:


što znači da sistem nije potpunoopservabilan.


18

5 0 2, , 1 2 .

0 5 10

A B C

1 5det( ) det | det 0.

2 10T T T

O C A C

Posmatrajući kvazi-analogni blok dijagram uočava se da suobje promjenljive stanja direktno povezane na izlaz,međutim one nijesu linearno nezavisne. U svakom trenutkuvaži x2=5x1. Dakle, ovaj sistem je dovoljno modelovatijednom promjenljovom stanja.

A=[-5 0;0 -5];

C=[1 2];

O=[C' A'*C']

det(O)

rank(O)

ans =

1

1/s

1/s

5

2

10

u(t)

2

y(t)

-

-

5

1x1x

2x 2x


Da li su električni sistemi sa slike opservabilni, ako kao izlaz posmatramo napon na kondenzatoru?

Za električno kolo na slici lijevo, jedino je stanje x2 opservabilno. Njega svakakodirektno mjerimo, jer je izlaz jednak naponu. Stanje x1 nije opservabilno, jerizlaz (u ovom slučaju x2) zavisi samo od ulaza, tj. od struje I, ali ne i od x1. Sadruge strane, kod elektičnog kola na slici desno oba stanja su opservabilna, jer seoba utiču na izlaz koji se mjeri. Opservabilnost se naravno može ispitati ianalitički formiranjem modela u prostoru stanja i pronalaženjem determinantematrice opservabilnosti.

19

1 1F+

- 2x

+

E

1H

1x

11 1F+

- 2xI

1H

1x

1

Kontrolabilnost i opservabilnost

O kontrolabilnosti i opservabilnosti se može zaključiti i u s-domenu.Neka je sistem zadat u prostoru stanja matricama (A, B, C, D).Funkcija prenosa sistema:

Na primjer, posmatrajmo sistem zadat funkcijom prenosa:

Ovaj sistem nije potpuno kontrolabilan ili nije poptuno opservabilan.Tek kad bi imali šemu fizičke realizacije mogli bi ispravno zaključiti kojuod pomenutih osobina dati sistem ne posjeduje.

20

1( ) ( ) .G s s C I A B D

Ukoliko prilikom računanja funkcije prenosa dođe do skraćivanja nula ipolova, to znači da sistem nije potpuno kontrolabilan ili opservabilan.

Definicija

1( ) .

( 1)( 2)

sG s

s s

Stabilnost LTI sistema

Stabilnost je najvažnija osobina kojom treba da budu okarakterisanisistemi automatskog upravljanja. Iako intuitivno možemo shvatiti štaznači pojam stabilnosti, potrebna nam je matematička definicija naosnovu koje ćemo moći klasifikovati sisteme na stabilne i nestabilne.

Poznato je da se odziv sistema sastoji od dvije komponente – prirodnog iprinudnog odziva. U skladu sa tim, postoje dvije definicije stabilnosti.Prema prvoj definiciji sistem je stabilan ukoliko njegov prirodni odzivkonvergira ka nuli (unutrašnja stabilnost sistema), dok je prema drugojdefiniciji sistem stabilan ukoliko je njegov odziv na bilo koji ograničeniulazni signal takođe ograničen (Bounded Input Bounded Output, BIBOstabilnost):

Kod LTI sistema obje definicije vode do istih uslova za stabilnost, tećemo u cilju definisanja tih uslova poći od BIBO definicije stabilnosti.

21

( ) | ( ) | ( )( ) | ( ) | .t u t M N t y t N


Odziv LTI sistema čiji je impulsni odziv g(t) je jednak:

Prema BIBO definiciji treba da bude zadovoljeno sljedeće:

gdje je N neki cijeli broj. Koristeći nejednakost trougla, važi sljedeće:

Kako je ulazni signal u(t) po definiciji BIBO stabilnosti ograničen, to jest manji od M, dalje možemo zapisati:

22

0

| ( ) | ( ) ( ) ,y t g u t d N

0 0

| ( ) | ( ) ( ) | ( ) || ( ) | .y t g u t d g u t d

0 0 0

| ( ) | ( ) ( ) | ( ) || ( ) | | ( ) | .y t g u t d g u t d M g d

0

( ) ( ) ( ) .y t g u t d


Da bi prethodni izraz bio ograničen, odnosno da bi sistem bio stabilan,impulsni odziv treba da bude apsolutno integrabilan:

Kod LTI sistema prethodni uslov se može dodatno pojednostaviti:

Stabilnost sistema se može dovesti u vezu sa položajem polova funkcijeprenosa sistema u s-ravni:

Polovi funkcije prenosa mogu biti: čisto realni, čisto imaginarni ikompleksni, pri čemu posebno treba posmatrati pol koji leži ukoordinatnom početku. Svi polovi mogu biti jednostruki ili višestruki.

23

11 1 0

11 1 0

...( ) .

...

m mm mn n

n

b s b s b s bG s

s a s a s a

lim ( ) .tg t

0

| ( ) | .g t dt


Funkcija prenosa ima određen broj svih vrsta polova, te se možerastaviti na parcijalne razlomke:

Impulsni odziv sistema je jednak inverznoj Laplasovoj transformacijifunkcije prenosa, odnosno njenih parcijalnih razlomaka. Da bi sistem biostabilan impulsni odziv svakog sabirka mora biti apsolutno integrabilan.

U nastavku će biti prezentovani impulsni odzivi različitih funkcijaprenosa prvog i drugog reda, u cilju donošenja generalnog zaključka otome kako stabilnost sistema zavisi od položaja polova u kompleksnojravni.

24

11 1 0

11 1 0

2 2 2 2 2 2

...( )

...

( ) ( ) [( ) )]i i i

m mm mn n

n

i i i ia b c d

M N Pi

b s b s b s bG s

s a s a s a

A B C s D D

s s s s


25

Vrsta pola G(s) g(t)

Realan i prost, s 1

s

te

Realan i višestruk, s

1

( )ks

1k tt e


26


Čisto kompleksan i prost, s j

2 2

1

s

1sin( )t

Čisto kompleksan i

višestruk, s j 2 2

1

( )ks

1

sin( )kt

t

Komplekan i prost, s j

2 2

1

( )s

1e sin( )at t


27


Kompleksan i višestruk, s j

2 2

1

( )k

s

1

sin( )kt

t

U koordinatom početku i

prost, s=0

1

s

( )h t

U koordinatom početku i

višestruk, s=0

1ks

11

( 1)!kt

k


Na osnovu definicije stabilnosti u vremenskom domenu i prethodnoizloženih karakterstičnih impulsnih odziva u zavisnosti od polovasistema, može se dati sljedeća definicija:

28

Potreban i dovoljan uslov da kontinualni LTI sistem bude stabilan jesteda svi njegovi polovi leže u lijevoj poluravni s ravni, odnosno da realnidjelovi svih njegovih polova budu negativni. Ukoliko sistem ima konačanbroj jednostrukih polova koji leže na imaginarnoj osi, tada se za sistemkaže da je na granici stabilnosti. Konačno, ako sistem ima bar jedan polkoji leži u desnoj poluravni s-ravni ili bar jedan višestruki pol koji ležina imaginarnoj osi, onda se za njega može reći da je nestabilan.

Impulsni odziv stabilnih LTI sistema konvergira ka nuli, dok impulsniodziv nestabilnih sistema teži ka beskonačnosti. Sistemi koji se nalaze nagranici stabilnosti imaju impulsni odziv koji konvergira ka nekojkonačnoj vrijednosti ili koji ociluje.

Definicija

Rausov kriterijum stabilnosti

Dakle, da bi ispitali stabilnost sistema potrebno je riješiti karakterističnujednačinu sistema:

Ukoliko svi polovi sistema imaju negativan realni dio, onda možemozaključiti da je sistem stabilan. Rausov kriterijum stabilnosti omogućavaispitivanje stabilnosti sistema bez rješavanja karakteristične jednačine.Na osnovu koeficijenata karakteristične jednačine formira se Rausovatabela. Prva kolona iz Rausove tabele se zove Rausova kolona i naosnovu nje se zaključuje o stabilnosti sistema.

29

Dovoljan uslov stabilnosti sistema je da su svi koeficijenti u Rausovojkoloni istog znaka. Broj nestabilnih polova jednak je broju promjenaznaka u Rausovoj koloni. Ukoliko su neki koeficijenti u Rausovoj kolonijedanki nuli, pri čemu su svi ostali istog znaka, onda se može zaključitida se sistem nalazi na granici stabilnosti.

11 1 0( ) ... 0.n n

n nf s a s a s a s a

Definicija

Rausova tabela se formira na sljedeći način. Naprije se popunjavaju prva i druga vrsta Rausove tabele i to na osnovu koeficijenata karakteristične jednačine. Ostale vrste se računaju na osnovu formula datih ispod.

Rausov kriterijum stabilnosti

sn an an-2 an-4 …

sn-1 an-1 an-3 an-5 …

sn-2 b1 b2 b3 …

sn-3 c1 c2 c3 …

… … … … …

30

1 2 3 1 4 51 2

1 1

1 3 1 2 1 5 1 31 2

1 1

, ,

, ,

n n n n n n n n

n n

n n n n

a a a a a a a ab b

a ab a a b b a a b

c cb b

Rausova kolona

11 1 0( ) ... 0.n n

n nf s a s a s a s a

Ispitati stabilnost sistema čija je karakteristična jednačina:

Rausova tabela je data ispod.

Primjer - Rausov kriterijum stabilnosti

s4 1 4 2

s3 4 7 0

s2 9/4 2 0

s1 15/9 0 0

s0 2 0 0

31

Rausova kolona

4 3 2( ) 4 4 7 2.f s s s s s

Sistem je stabilan jer nema promjenaznaka u Rausovoj koloni.

1

1 4 4 4 1 7 9

4 7 4 4b

2

1 2 4 2 1 02

4 0 4b

1

4 7 9 / 4 7 4 3 15

9 / 4 3 9 / 4 9c

1

9 / 4 22

15 / 9 0d

Ispitati stabilnost sistema čija je karakteristična jednačina:

Rausova tabela je data ispod.

Primjer - Rausov kriterijum stabilnosti

s4 1 4 2

s3 7 4 0

s2 24/7 2 0

s1 -1/12 0 0

s0 2 0 0

32

Rausovakolona

4 3 2( ) 7 4 4 2.f s s s s s

Sistem je nestabilan i ima dvanestabilna pola, jer postoje dvijepromjene znaka u Rausovoj koloni.

1

1 4 7 4 1 4 24

7 4 7 7b

2

4 2 4 2 4 02

4 0 4b

1

7 4 24 / 7 4 7 2 1

24 / 7 2 24 / 7 12c

1

24 / 7 22

1/12 0d

Stabilnost sistema

Na kraju se kratko osvrnimo na sisteme automatskog upravljanja, čija je osnovna upravljačka petlja prikazana na slici ispod.

Važno je napomenuti da proces ili objekat upravljanja u otvorenoj sprezimože biti stabilan (na primjer DC motor) ili nestabilan (na primjermodel dobijen linearizacijom u okolini stacionarne tačke). Zatvaranjempovratne sprege po izlazu stabilni sistemi mogu da postanu nestabilni, aliisto tako nestabilni sistemi mogu da se ustabile. Stoga parametreregulatora prije svega treba podesiti tako da spregnuti sistem budestabilan, a u nastavku kursa se će biti pokazano da se regulatorom mogupoboljšati još neke karakteristike sistema.

33

ProcesAktuatorRegulatorua(t)

Referentni signal

e(t)

Upravljački signal

u(t)

Izlaznisignal

y(t)

Izlaz aktuatora

Poremećajd(t)

Senzor

Signalgreške

-

n(t)

Šum

r(t)

Documents

SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA · 2018. 11. 2. · teoremu, na osnovu koje se može tvrditi da se proizvoljna matrična eksponencijalna funkcija možezapisati kao linearna kombinacija