SISTEMI ELASTICI A TELAIOSISTEMI ELASTICI A TELAIO

IPOTESI DI BASE DELLA MODELLAZIONE

masse concentrate in un numero finito di punti strutture con un numero finito di gradi di libertà

spesso, almeno nei sistemi elastici, la deformazione assiale delle aste è trascurabile, rispetto a quella flessionale

nella ipotesi di piccoli spostamenti e di comportamento lineare elastico del materiale, vale il principio di sovrapposizione degli effetti; pertanto, lo stato di deformazione del telaio conseguente ai carichi applicati può essere considerato come somma di una deformazione “locale” delle varie aste considerate perfettamente incastrate e di una deformazione “nodale”, costituita da traslazioni e rotazioni dei nodi.

2

2

esempio: la deformazione totale può essere vista come somma della deformazione locale (schema a) e delle deformazioni legate alle rotazioni dei nodi (schemi b e c) e alla traslazione del piano (schema d).

SISTEMI ELASTICI A TELAIOSISTEMI ELASTICI A TELAIO

La deformazione locale è facilmente determinabile in quanto ogni asta è perfettamente incastrata; così come le deformazioni legate a rotazioni e spostamenti unitari; lo studio del sistema consiste perciò nella determinazione dello stato di deformazione nodale, cioè delle rotazioni e spostamenti nodali, che risultano quindi le effettive incognite del problema.

8 97

4

1

82

5

3

6

Nelle ipotesi di cui sopra (masse concentrate a livello dei nodi, deformazione assiale trascurabile) un modello rappresentativo di telaio è, ad esempio, un modello in cui le coordinate incognite sono le 9 rotazioni dei nodi e i 3 spostamenti di piano.

Talvolta, nei telai è accettabile anche l’ipotesi di traversi infinitamente rigidi rispetto ai pilastri. In tal caso il modello si semplifica ulteriormente essendo i nodi impediti di ruotare: le coordinate incognite si riducono, nel caso dell’esempio, ai 3 spostamenti dei piani.

L’analisi dinamica di un modello siffatto viene condotta secondo le linee generali per le strutture ad n gradi di libertà.

Il sistema di equazioni differenziali assume la forma:

0

0

0

23323333

32312232312222

212112121111

kcm

kkccm

kkccm

0

0

0

3323332333

3323212332321222

221212212111

kkccm

kkkkccccm

kkkcccm

In generale lo smorzamento ha valori piuttosto piccoli, per cui se ne tiene conto in maniera approssimata.

Per quanto riguarda i termini di rigidezza, questi possono essere valutati utilizzando direttamente la definizione di rigidezza, cioè come rapporto fra il vettore forza nodale e la deformazione nodale che tale forza induce.

La matrice di rigidezza risulta quindi:

33

3322

221

0

0

kk

kkkk

kkk

k

111

k1

k2

k3

Tale matrice può essere scritta anche nella forma:

3332

232221

1211

0

0

kk

kkk

kk

kk11

k12

k13

k22

k23

k21

k33

k32

k311

1

1

In generale, per un telaio ad n piani, nel sistema di equazioni differenziali:

tQtqktqctqm

si ha:

n

tq

...2

1

vettore degli spostamenti dei piani

nm

m

m

m

......0

0......0

0...0

0...0

2

1

nnnn

nn

cc

c

c

cc

c

1,

,1

21

1211

00

......0

0......

00

nnnn

nn

kk

k

k

kk

k

1,

,1

21

1211

00

......0

0......

00

matrice delle masse

matrice di smorzamento

matrice di rigidezza

ANALISI SISMICAANALISI SISMICA

Infine, nel caso di analisi sismica della struttura a telaio piano, nel sistema:

txTmtqktqctqm G

1

...

1

1

Tsi ha:

L’analisi modale conduce alla scrittura di n equazioni disaccoppiate del tipo:

txgttt Giiiiiii 22

in cui:

n

r

irr

n

r

irr

i

um

umg

1

2)(

1

)(

La soluzione di tali equazioni permette di determinare le forze elastiche relative a ciascun piano:

n

iipp tftf

1,

tVgumtf

tVgumtf

iiii

ppip

iiiiip

,

,in cui:

fp,i(t) può essere visto come il contributo fornito da ciascun modo alla forza di piano.

Attraverso i metodi statici, per ciascun istante t, si può poi valutare qualsiasi forza risultante.Per esempio, il taglio alla base in un generico telaio ad N piani (numero dei gradi di libertà n = numero dei piani N) è dato dalla somma delle forze ai piani, cioè:

tVM

Lumtftft ii

i

iTp

TN

pp 11

10

Poiché per questo caso si ha , risulta: 1muL T

umL TT 1

1T

e la precedente può essere scritta:

tV

M

LLt ii

i

iT 0

N

iii

i

i tVM

Lt

1

2

0

La quantità ha le dimensioni di una massa e viene chiamata massa modale

efficace relativa al modo i-esimo, perché può essere interpretata come la quota parte della massa totale che risponde al terremoto secondo il modo i-esimo, (questa interpretazione è valida a rigore solo per strutture con masse concentrate lungo un asse verticale).

Quindi il contributo di ciascun modo al taglio alla base può essere visto come la reazione della massa modale efficace alla accelerazione modale efficace del terreno .

i

i

M

L2

tVii

Per semplificare l'analisi della risposta al terremoto, può essere lecito tenere conto solo dei primi Z modi di vibrare (Z<N), che sono quelli che danno il maggior contributo alla vibrazione totale e che di solito sono anche quelli meno smorzati.

Per giudicare se l'approssimazione introdotta tenendo conto di un numero limitato di modi è accettabile, di solito si confronta il contributo al taglio alla base fornito dai modi considerati, rispetto al taglio che si otterrebbe considerando tutti i modi.

Se si considerano solo i primi Z modi di vibrare, tale valore è pari al rapporto della somma delle masse modali efficaci relative agli Z modi considerati rispetto alla stessa somma estesa a tutti gli N modi:

N

n n

nZ

n n

n

ML

ML

1

2

1

2

Si dimostra che, per strutture con masse concentrate lungo un asse verticale, la somma di tutte le masse modali efficaci è uguale alla massa totale:

T

N

n n

n MM

L

1

2

Infatti, per tali strutture la massa totale è data da: 11 mM TT

Considerato che un qualunque vettore di spostamenti di un sistema può essere espresso come somma degli autovettori moltiplicati ciascuno per una certa ampiezza, anche uno spostamento unitario può essere espresso come somma di componenti modali; ovvero, il vettore unitario può essere scritto in termini di coordinate modali:

tutq

u1

1

1=

(1)u

u1(1)

(1)u2

x 1 +

u(2)

(2)u1

u2(2)

x 2 x 1 +

q

q1

=

u(1)

(1)u1

q2(1)

u2

u(2)

u1(2)

x 2

(2)u2 1

(*)

(**)

Per determinare le ampiezze modali n che soddisfano la (**), si

premoltiplicano entrambi i membri della (**) per : mu Tn

nT

n Lmu 1ma:

e per le condizioni di ortogonalità: nnT

n Mumu

Sostituendo, si ha: L Mn n n

Sostituendo quest'ultima nelle equaz. (**) e (*):

n

n

M

Lu1

N

n n

n

n

nTn

n

nTTT M

L

M

LL

M

LummM

1

2

111

umumu Tn

Tn 1

Perciò si può scrivere:

T

Z

n n

n

N

n n

n

Z

n n

n

M

M

L

M

L

M

L

1

2

1

2

1

2 Utilizzando tale espressione, si può quindi valutare la quota del taglio totale che si prende in conto quando si limiti l’analisi ai primi Z modi di vibrare.

ANALISI MODALE CON SPETTRO DI RISPOSTAANALISI MODALE CON SPETTRO DI RISPOSTA

Per l’esempio considerato, l’analisi modale con spettro di risposta porta ai seguenti risultati.

• in termini di coordinate generalizzate: 333max,3

222max,2

111max,1

,

,

,

TSg

TSg

TSg

a

a

a

• in termini di accelerazioni: 2333

)3(3

2

222)2(

3

2

111)1(

3max,3

2

333)3(

2

2

222)2(

2

2

111)1(

2max,2

2

333)3(

1

2

222)2(

1

2

111)1(

1max,1

,,,

,,,

,,,

TSguTSguTSguq

TSguTSguTSguq

TSguTSguTSguq

aaa

aaa

aaa

• in termini di forze di piano:

• in termini di taglio alla base:

max,33max,3

max,22max,2

max,11max,1

qmf

qmf

qmf

2

333

23

2

222

22

2

111

21

max,0 ,,,

TS

M

LTS

M

LTS

M

LY aaa

ANALISI STATICA LINEAREANALISI STATICA LINEARE

In condizioni molto particolari, l'analisi sismica di una struttura intelaiata può essere condotta senza effettuare l'analisi dinamica, ma semplicemente effettuando una analisi statica con forze orizzontali applicate ai piani.

Supponiamo di considerare solo la prima forma modale e che questa sia lineare con l'altezza (ciò è abbastanza ben approssimato per edifici a telai molto regolari in pianta ed in altezza); allora:

1

h

u

hu

h

hn

i

i

ii

n

G

ii

iinGnG

iii

xhm

hmhx

hmhmhm

hmhmhmhx

um

umumumtt

2233

222

211

3322113

1

2

3322111

211

Le forze di piano valgono:

a

ii

iin S

hm

hmh

2max,1

aii

iiia

ii

iin

n

iii S

hm

hmhS

hm

hmh

h

hux

22max,1max,

a

ii

iia

ii

iin

n

a

ii

iia

ii

iin

n

a

ii

iia

ii

iin

n

Shm

hmhmS

hm

hmh

h

hmf

Shm

hmhmS

hm

hmh

h

hmf

Shm

hmhmS

hm

hmh

h

hmf

23321

3max,3

22221

2max,2

21121

1max,1

max,1

133max,3

max,11

22max,2

max,11

11max,1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

umf

umf

umf

a

jj

jjiii S

hm

hmhmf 2max,

ANALISI STATICA SECONDO LA NORMATIVAANALISI STATICA SECONDO LA NORMATIVA

In particolari condizioni, l'analisi sismica può essere condotta per via statica applicando ad ogni piano dell'edificio forze orizzontali valutate attraverso le seguenti formule:

jjiihi WzWzFF

Fi è la forza da applicare al piano i-esimoWi e Wj sono i pesi delle masse ai piani i e j rispettivamentezi e zj sono le altezze dei piani i e j rispetto alle fondazioniSd(T1) è l'ordinata dello spettro di progettoT1 può essere valutato in modo approssimatoW è il peso complessivo della costruzione è un coefficiente che tiene conto del numero dei piani e del periodo proprio

gWTSF dh 1

In definitiva, tali espressioni risultano simili alle espressioni trovate e, rispetto a queste ultime, forniscono valori più elevati per le forze di piano:

1TS

Wz

W

g

WzF d

jj

iii

L'analisi statica costituisce uno strumento molto efficace per effettuare un predimensionamento della struttura e per il controllo dei risultati forniti dall'analisi eseguita con i codici di calcolo.

• La struttura tridimensionale può essere scomposta in telai piani.

• Per ciascun telaio piano viene effettuata l'analisi dei carichi verticali secondo il criterio delle zone di competenza.

• In base ai pesi di piano calcolati, si valutano le forze sismiche di piano.

• La somma delle forze di piano fornisce il taglio totale alla base.

• Con procedimenti approssimati, si possono stimare le sollecitazioni sforzo normale, taglio e momento flettente negli elementi strutturali (travi e pilastri) e le forze trasmesse alle fondazioni.

a

jj

jjiii S

hm

hmhmf 2max,

Metodi approssimati per carichi verticaliMetodi approssimati per carichi verticali

Per i carichi verticali, i telai possono essere considerati a nodi fissi.

Ogni trave può essere analizzata come trave continua, incastrata o semi-incastrata ai pilastri di riva e appoggiata a quelli interni.

I pilastri, salvo quelli di riva, possono essere considerati soggetti solo a sforzo normale.

PREDIMENSIONAMENTO DELLE STRUTTUREPREDIMENSIONAMENTO DELLE STRUTTURE

Metodi approssimati per azioni orizzontaliMetodi approssimati per azioni orizzontali

Si valutano le forze di piano secondo l'analisi statica; la ripartizione fra i telai può essere fatta secondo le aree di competenza.

Si può pensare che le travi abbiano rigidezza molto maggiore rispetto alla rigidezza laterale dei pilastri.

Perciò le travi rimangono rettilinee e la deformata del telaio è del tipo taglio.

Per ciascun telaio si valuta il taglio a ciascun piano.

FN

F i

F1

T

Il taglio a ciascun piano si ripartisce fra i pilastri proporzionalmente alle rigidezze flessionali.

i

nn J

JTT

Il diagramma del momento flettente su ciascun pilastro sarà antisimmetrico perché la deformata è antisimmetrica.

T n*h/2

T1 T i Tn

FN

F i

Sempre in via approssimata, si possono calcolare i tagli alle basi dei pilastri, utili per verificare l'output del calcolo automatico.