ska leszy Notatki z lekcji fizyki prowadzonych przez Pana ... · 1.2 Analityczna posta¢ wektora Ka»dy wektor mo»e by¢ przedstawiony w ukªadzie wspóªrz¦dnych jako suma tylu

Notatki z lekcji fizyki prowadzonych przez Pana mgr Marka Golkę

Klasa 1

Opracowanie: Małgorzata Śleszyńska

Tomasz Rogozik

Radom 2006

1

Wydanie I. Wydano na prawach rękopisu

Konsultacja metodycznamgr Marek Golka

Od Redakcji

Przedstawiamy notatki z lekcji fizyki zgromadzone przez nas w cza-sie zajęć szkolnych z fizyki w klasie mat-fiz-inf prowadzonych przez PanamgrMarka GolkęMarka GolkęMarka Golkę w VI Liceum Ogólnokształcącym im. Jana Kochanow-skiego w Radomiu w latach 2003-2006. Zeszyt może być przeznaczonydla profilów ogólnych oraz biologiczno-chemicznych po weryfikacji pro-gramów nauczania.Na końcu książki umieściliśmy miejsce na notatki własne ucznia,

które można poświęcić na rozwiązania zadań domowych, dzięki czemuposiadanie danego zeszytu zwolni z konieczności prowadzenia dodatko-wego, osobistego zeszytu do fizyki. W celu ułatwienia nauki fizyki wnaszej szkole, będziemy zabiegać o to, aby także inni nauczyciele fizykiZSO nr 6 honorowali ten zeszyt jako przedmiotowy. Notatki te są dosko-nałą pomocą naukową i idealnym uzupełnieniem wykładu nauczyciela.Pragniemy bardzo serdecznie podziękować Panu mgrMarkowi GolceMarkowi GolceMarkowi Golce

za konsultację metodyczną, poparcie idei stworzenia zeszytu i ogromnąpomoc w jego wydaniu.Dziekujemy także wszytkim innym życzliwym ludziom, bez których

pomocy książka ta nie mogłaby zaistnieć. Rzeczowe uwagi dotyczącezeszytów są mile widziane i będą uwzględniane w kolejnych wydaniach.

2

Spis treści

1 Wektory 51.1 Rachunek wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Analityczna postać wektora . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Kinematyka 142.1 Ruch jednostajny prostoliniowy . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Niezależność ruchów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Ruch jednostajnie zmienny . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Rzuty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Dynamika 343.1 Zasady dynamiki Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Tarcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Statyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Środek masy układu ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Zasada zachowania pędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 Dynamika ruchu jednostajnego po okręgu . . . . . . . . 473.7 Moment bezwładności bryły sztywnej . . . . . . . . . . 483.8 Dynamika w układzie nieinercjalnym . . . . . . . . . . . 533.9 Prawo ruchu obrotowego i zasady dynamiki bryły sztywnej 563.10 Ruch obrotowy - toczenie się ciał . . . . . . . . . . . . . 593.11 Zasada zachowania momentu pędu . . . . . . . . . . . . 613.12 Energia kinetyczna bryły sztywnej . . . . . . . . . . . . 64

4 Praca, moc, energia 66

5 Ruch harmoniczny 705.1 Równania ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Energia w ruchu harmonicznym . . . . . . . . . . . . . . 80

3

2

5.3 Wahadło matematyczne, stożkowe, fizyczne . . . . . . . 835.4 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego z wykorzystaniem

wahadła grawitacyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Składanie drgań harmonicznych wzajemnie do siebie pro-

stopadłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6 Drgania tłumione, drgania wymuszone . . . . . . . . . . 96

6 Ruch falowy 1006.1 Podstawowe pojęcia ruchu falowego, równanie fali . . . . 1006.2 Prędkość w ruchu falowym . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3 Prawo załamania i odbicia fali . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Interferencja fal, fala stojąca . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5 Polaryzacja fal, prawo Brewstera . . . . . . . . . . . . . 110

7 Zderzenia 1127.1 Zderzenia doskonale sprężyste . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2 Zderzenia niesprężyste, sprężyste skośne . . . . . . . . . 115

8 Termodynamika 1178.1 Wiadomości wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazu doskonałego . 1198.3 Przemiany gazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.4 Praca i I zasada termodynamiki w przemianach gazowych 1258.5 Silnik Carnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.6 Entropia jako funkcja stanu . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.7 II zasada termodynamiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.8 Pompa cieplna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.9 Silniki cieplne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.10 Budowa i zasada działania lodówki sprężarkowej . . . . 1438.11 Zmiany stanu skupienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.12 Para nasycona i nienasycona. Punkt potrójny . . . . . . 1468.13 Wilgotność powietrza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4

Rozdział 1

Wektory

1.1 Rachunek wektorowy

Wektor to uporządkowana para punktów. Przedstawia się go za po-mocą odcinka zakończonego strzałką.Cechy wektora :

• kierunek - prosta, na której leży wektor

• zwrot - określony przez grot strzałki

• wartość - długość wektora w odpowiedniej skali

Oznaczenie wektora, np.: ~FOznaczenie wartości liczbowej wektora : |~F |

Dodawanie wektorów Wektory można dodać do siebie metodą rów-noległoboku. Należy sprowadzić początki wektorów do wspólnego punk-tu poprzez przesunięcia równoległe, a następnie dodać wektory wedługschematu (1.1).Można również dodać do siebie dwa wektory, przesuwając je tak, aby

początek drugiego pokrył się z końcem pierwszego. Sumę tych wektorówotrzymamy łącząc początek pierwszego wektora z końcem drugiego znich (1.2).

|~c| =√|~a|2 + |~b|2 + 2|~a||~b| cosα

gdzie α - kąt pomiędzy wektorami

5

3

Rysunek 1.1: Dodawanie wektorów

Rysunek 1.2: Dodawanie wektorów (2)

6

Odejmowanie wektorów Aby odjąć od siebie dwa wektory, należydo pierwszego z nich dodać wektor przeciwny do drugiego (1.3).

Rysunek 1.3: Odejmowanie wektorów

W odejmowaniu, tak jak w dodawaniu, można skorzystać z drugiejmetody. Należy sprowadzić wektory do wspólnego początku i połączyćich końce. Zwrot otrzymanego wektora określa się w stronę odjemnej(1.4).

Rysunek 1.4: Odejmowanie wektorów (2)

7

4

|~c| =√|~a|2 + |~b|2 − 2|~a||~b| cosα

gdzie α - kąt pomiędzy wektorami

Mnożenie wektora przez skalar Mnożąc wektor przez skalar otrzy-mujemy nowy wektor o niezmienionym kierunku, wartości tyle razywiększej, na ile wskazuje skalar, a zwrocie dla k > 0 takim samym ik < 0 przeciwnym do początkowego zwrotu wektora.

~b = k · ~a =−→ka

|~b| = |k · ~a| = k · |~a|

Iloczyn skalarny wektorów

~a ·~b = |~a| · |~b| · cos 6 (~a,~b)

Rysunek 1.5: Iloczyn skalarny wektorów

|~a‖| = |~a| · cosα

~a ·~b = |~a‖| · |~b|

8

Iloczyn wektorowy

~a×~b = ~c

Wynikiem mnożenia wektorowego jest nowy wektor prostopadły do

Rysunek 1.6: Iloczyn wektorowy

płaszczyzny mnożonych wektorów. Jego zwrot wynika z reguły śrubyprawoskrętnej - obracamy śrubę prawoskrętną od pierwszego wektorado drugiego przez mniejszy kąt. Postępowy ruch tej śruby zgodny jestze zwrotem wektora ~c.

|~c| = |~a| · |~b| · sin 6 (~a,~b)

~b× ~a = −~c

9

5

1.2 Analityczna postać wektora

Każdy wektor może być przedstawiony w układzie współrzędnychjako suma tylu wektorów równoległych do osi układu, ilu wymiarowyjest układ. W układzie trójwymiarowym jest złożeniem trzech wekto-rów.W układzie współrzędnych istnieją wersory (~i,~j,~k), czyli wektory

jednostkowe (1.7).

Rysunek 1.7: Wersory w przestrzeni trójwymiarowej

|~i| = |~j| = |~k| = 1~i ·~i = 1 · 1 · cos 0o = 1 ~i ·~j = 1 · 1 · cos 90o = 0~j ·~j = 1 ~i · ~k = 0~k · ~k = 1 ~j · ~k = 0

~i×~i = ~j ×~j = ~k × ~k = ~0

~i×~j = ~k ~j × ~k =~i ~k ×~i = ~j~j ×~i = −~k ~k ×~j = −~i ~i× ~k = −~j

Od tej pory, w książce tej, zamiast |~a| używane będzie oznaczenie a dlawartości, o których wiadomo, że są wektorami.

10

Rysunek 1.8: Składowe wektora

~ax =~i · xA ~ay = ~j · yA ~az = ~k · zA

ax = a · cos γ ay = a · cosβ az = a · cosα

~a = ~az + ~axy

~axy = ~ax + ~ay

~a = ~ax + ~ay + ~az

~a =~ixa +~jya + ~kza~a =~ixa +~jya + ~kza~a =~ixa +~jya + ~kza

axy2 = y2A + x

2A

a2 = axy2 + z2A = x2A + y

2A + z

2A

a =√x2A + y

2A + z

2Aa =

√x2A + y

2A + z

2Aa =

√x2A + y

2A + z

2A

11

6

Przykład obliczeń: Niech ~a = [1, 2, 3]

~a = 1 ·~i+ 2 ·~j + 3 · ~k

|~a| =√1 + 4 + 9 =

√14

Obliczanie kątów, jakie wektor tworzy z osiami:

cosα =axa

cosβ =aya

cos γ =aza

Analityczna postać sumy wektorów

Niech ~a = [ax, ay, az] i ~b = [bx, by, bz]. Wtedy

~c = ~a+~b =~iax +~jay + ~kaz +~ibx +~jby + ~kbz =

= ~i(ax + bx) +~j(ay + by) + ~k(az + bz) =~icx +~jcy + ~kcz

cx = ax + bx cy = ay + by cz = az + bz

|~c| =√(ax + bx)2 + (ay + by)2 + (az + bz)2

|~c| =√c2x + c2y + c2z|~c| =

√c2x + c2y + c2z|~c| =

√c2x + c2y + c2z

Analityczna postać różnicy wektorów

Niech ~a = [ax, ay, az] i ~b = [bx, by, bz]. Wtedy

~c = ~a−~b =~iax +~jay + ~kaz −~ibx −~jby − ~kbz == ~i(ax − bx) +~j(ay − by) + ~k(az − bz) =~icx +~jcy + ~kcz

cx = ax − bx cy = ay − by cz = az − bz

|~c| =√(ax − bx)2 + (ay − by)2 + (az − bz)2

|~c| =√c2x + c2y + c2z|~c| =

√c2x + c2y + c2z|~c| =

√c2x + c2y + c2z

12

Analityczna postać iloczynu skalarnego dwóch wektorów

~a ·~b = (~iax +~jay + ~kaz) · (~ibx +~jby + ~kbz) == ~i2axbx +~iax ·~jby +~iax · ~kbz +~jay ·~ibx ++~j2ayby +~jay · ~kbz + ~kaz ·~ibx + ~kaz ·~jby + ~k2azbz =

= 1 · axbx + 0 · axby + 0 · axbz + 0 · aybx + 1 · ayby ++ 0 · aybz + 0 · azbx + 0 · azby + 1 · azbz =

= axbx + ayby + azbzaxbx + ayby + azbzaxbx + ayby + azbz

Analityczna postać iloczynu wektorowego dwóch wektorów

~a×~b = (~iax +~jay + ~kaz)× (~ibx +~jby + ~kbz) == (~i×~j)axby + (~i× ~k)axbz + (~j ×~i)aybx ++ (~j × ~k)aybz + (~k ×~i)azbx + (~k ×~j)azby =

= ~kaxby −~jaxbz − ~kaybx +~iaybz +~jazbx −~iazby == ~i(aybz − azby) +~j(azbx − axbz) + ~k(axby − aybx)~i(aybz − azby) +~j(azbx − axbz) + ~k(axby − aybx)~i(aybz − azby) +~j(azbx − axbz) + ~k(axby − aybx)

c =√(aybz − azby)2 + (azbx − axbz)2 + (axby − aybx)2c =

√(aybz − azby)2 + (azbx − axbz)2 + (axby − aybx)2c =

√(aybz − azby)2 + (azbx − axbz)2 + (axby − aybx)2

Przykłady:

~a = [1,−1,−2]~b = [−1, 2, 3]

~a ·~b = −1− 2− 6 = −9

~a×~b = ~i(−1 · 3− (−2) · 2) +~j(−2 · (−1)− 1 · 3) ++ ~k(1 · 2− (−1) · (−1)) =~i(−3 + 4) +~j(2− 3) + ~k(2− 1) =

= ~i−~j + ~k

|~a×~b| =√12 + (−1)2 + 12 =

√3

13

7

Rozdział 2

Kinematyka

2.1 Ruch jednostajny prostoliniowy

Rysunek 2.1: Wektor przesunięcia

~rA,~rB,~rt - wektory wodzące (położenia)∆~rC - przemieszczenie całkowite∆~rt - elementarny wektor przesunięcia

∆~r(t) = ~r(t)− ~rA

∆~r(t)∆t= ~Vsr

14

lim∆t→0

∆~r(t)∆t= ~Vchwilowe =

d~r

dt/qquad[~V ] =

m

s

d

dt(~r) =

d

dt(~i · dx) + d

dt(~j · dy) + d

dt(~k · dz)

~V =~iVx +~jVy + ~kVz

z drugiej strony :

V =dS

dt⇔ dS = V · dt

S =∫V dt

Jeżeli ciało porusza się ruchem prostoliniowym, to |∆~r| = S.W ruchu jednostajnym prędkość ciała jest stała - V = constDla ruchu jednostajnego prostoliniowego :

SSS =∫V dt = V ·

∫dt = V · tV · tV · t

∆~r = ~V · t

~rB − ~rA = ~V · t

~rB = ~rA + ~V · tx(t)− x(0) = Vx · ty(t)− y(0) = Vy · tz(t)− z(0) = Vz · t

x(t) = x(0) + Vx · ty(t) = y(0) + Vy · tz(t) = z(0) + Vz · t

x(t) = x(0) + Vx · tx(t) = x(0) + Vx · tx(t) = x(0) + Vx · t

15

8

ZadanieCiało 1 i ciało 2 poruszają się naprzeciw siebie ruchem jednostajnym zprędkościami odpowiednio V1 i V2. Po jakim czasie się spotkają ?

x1(t) = x01 + V1 · t

x2(t) = x02 − V2 · t

ts - czas po jakim się spotkają

x1(ts) = x2(ts)

x01 + V1 · ts = x02 − V2 · ts

ts =x02 − x01V1 + V2

xs - współrzędna miejsca spotkania

xs = x01 + V1 · ts = x02 − V2 · ts

16

2.2 Niezależność ruchów

Ruch złożony możemy rozpatrywać jako kilka ruchów prostych skła-dowych, niezależnych od siebie, z których każdy trwa tyle samo czasu.

ZadanieRzeka ma szerokość d. Łódka płynie pod kątem α do brzegu rzeki, a jejprędkość to V . Po jakim czasie tam dopłynie i jaka będzie współrzędnapunktu po drugiej stronie rzeki, jeżeli prędkość wody w rzece jest równaVr?

Zgodnie z zasadą niezależności ruchów, możemy oddzielnie rozpatrywaćruch wzdłuż osi x i wzdłuż osi y przyjętego układu współrzędnych.

~ix = (~iV cosα+~iVr) · t

x = (V cosα+ Vr) · t~jy = (~jV sinα) · t

y = V sinα · t

yCyCyC = d = V sinα · tk ⇔ tk =d

V sinαtk =

d

V sinαtk =

d

V sinα

xC = x(tk) =d(V cosα+ Vr)V sinα



17

9

ZadanieZ punktu A wyrusza łódź w kierunku równoległym do brzegów rzeki.Płynie ze stałą prędkością Vs. Ma skręcony i zablokowany ster. Przepły-nęła równolegle do przeciwnego brzegu ocierając się o niego i wylądo-wała w punkcie B, znajdującym się na tym samym brzegu co punkt A.Prędkość rzeki wynosi Vr, a jej szerokość d. Oblicz odległość punktówA i B.

Rysunek 2.2: Złożony ruch łódki

Zgodnie z zasadą niezależności ruchów rozpatrujemy dwa niezależne ru-chy. Pierwszy z nich to ruch po okręgu.

18

t =2ΠrVs

r =d

2

t =ΠdVs

Drugi ruch, to ruch jednostajny prostoliniowy wzdłuż rzeki.

SAB = Vr · t t =ΠdVs

SAB = ΠdVrVs

SAB = ΠdVrVs

SAB = ΠdVrVs

19

10

2.3 Ruch jednostajnie zmienny

W ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszenie jest stałe (ma stałąwartość, kierunek i zwrot), a prędkość zmienia się proporcjonalnie doczasu.

~a = const

~a =∆V∆t

~a =d~V

dt[~a] =

m

s2

V (t)− V (0) = a · t

V (t) = V0 + a · tVx(t) = V0x + ax · tVy(t) = V0y + ay · tVz(t) = V0z + az · t

Rysunek 2.3: Droga w ruchu jednostajnie zmiennym

V (t) · dt = dS

S =∫ t00V (t)dt =

∫ t00(V0 + at)dt =

∫ t00V0dt+

∫ t00atdt

S = V0t0 + at202

S = V0t0 + at202

S = V0t0 + at202

20

x(t)− x0 = V0t0 + at202

x(t) = x0 + V0t0 + at202

x(t) = x0 + V0t0 + at202

x(t) = x0 + V0t0 + at202

tgα(t) = V (t). W tym przypadku β > α więc przyspieszenie jest do-datnie.

Tutaj β < α więc przyspieszenie jest ujemne.Można przeanalizować wszystkie możliwe przypadki ruchów jedno-

stajnie zmiennych. Zostały one przedstawione na rysunkach (2.4), (2.5)oraz (2.6).

1)x = 0 2)x = V0 · t 3)x = −V0 · t

4)x =at2

25)x = −at

2

26)x = V0 · t+

at2

2

21

11

Rysunek 2.4: Analiza ruchu dla x(0) = 0

7)x = −V0 · t−at2

28)x = V0 · t−

at2

29)x = −V0 · t+

at2

2

Rysunek 2.5: Analiza ruchu dla x(0) = x0

1)x = x0 2)x = x0 + V0 · t 3)x = x0 − V0 · t

4)x = x0 +at2

25)x = x0 −

at2

2

6)x = x0 + V0 · t+at2

27)x = x0 − V0 · t−

at2

2

22

8)x = x0 + V0 · t−at2

29)x = x0 − V0 · t+

at2

2

Rysunek 2.6: Analiza ruchu dla x(0) = −x0

1)x = −x0 2)x = −x0 + V0 · t 3)x = −x0 − V0 · t

4)x = −x0 +at2

25)x = −x0 −

at2

2

6)x = −x0 + V0 · t+at2

27)x = −x0 − V0 · t−

at2

2

8)x = −x0 + V0 · t−at2

29)x = −x0 − V0 · t+

at2

2

23

12

ZadanieMamy dane dwa ciała. Ich parametry opisane są na rysunku. Podajrównania ruchu i określ jaka będzie największa odległość pomiędzy nimi.

x1 = x01 − V01 · t+ a1t

2

2x2 = x02 + V02 · t− a2t

2

2

∆x(t) = x2 − x1 =d︷︸︸︷

x02 − x01+Vw︷︸︸︷

(V02 − V01) ·t−

aw︷︸︸︷(a2 + a1) t2

2

∆x = d+ Vw · t−awt2

2V1 = −V01 + a1t V2 = V02 − a2td∆xdt= 0 + Vw − awtx

d∆xdt= 0

Vw = awtx ⇔ tx =Vwaw

∆xmax = d+V 2w2aw

24 25

13

2.4 Rzuty

Z: ~g = const⇔ rozważamy rzuty blisko powierzchni Ziemi

Rzut ukośny

Rysunek 2.7: Rzut ukośny

V0x = V0 cosα V0y = V0 sinα

ax = 0 ay = −g

W naszym przypadku

x0 = 0 y0 = 0

x(t) = x0 + V0 cosαt

y(t) = y0 + V0 sinαt−gt2

2

Vx(t) = V0x = V0 cosα = const

Vy(t) = V0y − gt = V0 sinα− g · t

Mamy :

t =x(t)V0 cosα

26

y(x) = y0 + (x(t)− x0) tgα−g(x(t)− x0)2

2V 20 cos2 α

Równanie toru:

y(x) = x tgα− gx2

2V 20 cos2α

By wyznaczyć wysokość ekstremalną, przyrównujemy pochodną do 0:

dy

dx= 0 = tgα− g · 2xw

2V 20 cos2 α

gxwV 20 cos2 α

=sinαcosα

2 sinα cosα = sin 2α

xw =V 20 sin 2α2g

xw =V 20 sin 2α2g

xw =V 20 sin 2α2g

ymax = y(xw) =V 20 sin

2 α

2gymax = y(xw) =

V 20 sin2 α

2gymax = y(xw) =

V 20 sin2 α

2g

Ponieważ ciało wznosi się tyle samo czasu co spada:

12tc =2xwV0x

tc =2xwV0x=2 · V

20 sin 2α2g

V0 cosα=V0 sin 2αg

· 1cosα

=2V0 sinαg

tc =2V0 sinαg

tc =2V0 sinαg

tc =2V0 sinαg

V (t)2 = V 20x + (V0y − gt)2

V (t) =√(V0 cosα)2 + (V0 sinα− gt)2V (t) =

√(V0 cosα)2 + (V0 sinα− gt)2V (t) =

√(V0 cosα)2 + (V0 sinα− gt)2

xk = Vx · tk

xkxkxk = V0 cosα ·2V0 sinαg

=V 20 sin 2αg

V 20 sin 2αg

V 20 sin 2αg

= 2xw

27

14

Rysunek 2.8: Rzut poziomy

Rzut poziomyy(t+ = H − gt

2

2x(t) = V0 · t

0 = H − gt2k

2

tk =

√2Hg

xk = V0 ·√2Hg

xk = V0 ·√2Hg

xk = V0 ·√2Hg

V (t) =√V 20 + V 2y =

√V 20 + g2t2

Vk = V (tk) =√V 20 + 2gHVk = V (tk) =

√V 20 + 2gHVk = V (tk) =

√V 20 + 2gH

Równanie toru:

y(x) = H − gx2

2V 20y(x) = H − gx

2

2V 20y(x) = H − gx

2

2V 20

28

Rzut pionowy

Rysunek 2.9: Rzut pionowy

x = x0 y(t) = y0 + v0 · t−gt2

2Vx(t) = 0 Vy(t) = V0 − gt

Wysokośc jest maksymalna gdy Vy = 0.

0 = V0 − gtx ⇔ tx =V0g

ymaxymaxymax = y(tx) = y0 +V 202g

y0 +V 202g

y0 +V 202g

tc = 2tx =2V0g

ZadaniePocisk został wystrzelony z prędkością V0 pod kątem α do podłoża.Spadł na równię pochyłą o kącie nachylenia β. Oblicz współrzędne upad-ku; początek równi jest w punkcie x0.

29

15

Rysunek 2.10: Rysunek do zadania

x(t) = V0 cosα · ty(t) = V0 sinα · t− gt

2

2

yk = xk tgα−gx2u

2V 20 cos2 α

Otrzymujemy układ równań:yk = (xk − x0) tg βyk = xk tgα− gx2u

2V 20 cos2 α

z którego po rozwiązaniu otrzymujemy xk oraz yk.

30

ZadanieKulka spada z wysokości H na równię pochyłą o kącie α, odbija sięsprężyście a następnie leci w dół równi. Oblicz miejsce upadku. Z zasady


zachowania energii :

mgH =mV 202⇔ V0 =

√2gH

Kąt padania równy jest kątowi odbicia. Przyjmujemy układ współrzęd-nych, w którym oś X równoległa jest do powierzchni równi, a punkt 0leży na równi.

V0x = V0 sinα V0y = V0 cosα

ax = g sinα

ay = g cosαx(t) = V0 sinα · t+ g sinα · t

2

2y(t) = V0 cosα · t− g cosα t

2

2

y = 0

V0 · cosαtx = g cosαt2x2

tx =2V0g

31

16

xk = x(tx) = V0 sinα2V0g+ g sinα

4V 202g2=4V 20 sinαg

=4 · 2gh · sinα

g

xk = 8H sinα

ZadanieDwa ciała wyrzucono równocześnie z dwóch różnych punktów. Jednociało zostało rzucone poziomo z prędkością początkową V0x z wieżyo wysokości h, drugie wyrzucono pionowo z prędkością V0y z miejscaodległego o x0 od podnóża wieży. Jaka powinna być prędkość V0y, abyciała zderzyły się nad ziemią?


x1 = V0x · t y1 = h−gt2

2

x2 = x0 y2 = V0y · t−gt2

2

W momencie spotkania:x1 = x2y1 = y2

V0x · t = x0 ⇒ t =x0V0x

32

h− gt2

2= V0y · t−

gt2

2

h = V0y ·x0V0x

V0y =h · V0xx0

33

17

Rozdział 3

Dynamika

3.1 Zasady dynamiki Newtona

I Zasada Dynamiki Newtona

Istnieje układ odniesienia, w którym, jeżeli na ciało nie działa żadnasiła lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynkulub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

∑ ~F = ~0~a =

∑~F

m

⇒ ~a = ~0⇒ ~V = const~V = const~V = const

II Zasada Dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało o stałej masie m działają siły nierównoważne o wypadko-wej F , to ciało porusza się ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniema, takim, że a = Fm . Kierunek i zwrot tego przyspieszenia są zgodne zkierunkiem i zwrotem siły wypadkowej.

~a =∑ ~Fm∧m = const~a =

∑ ~Fm∧m = const~a =

∑ ~Fm∧m = const

Wyprowadzenie:

~a =d~V

dt

34

d~V

dt=~F

m

~F · dt = m · d~V ∧ m · ~V = ~p

Ogólna postać II Zasady Dynamiki:

~F · dt = d~p~F · dt = d~p~F · dt = d~p

d~p = md~V + ~V dm i dla m = const dm=0

d~p = md~V

~F · dt = m · d~V~F

m= a~F

m= a~F

m= a

Ogólne równianie ruchu:

~F = m · d~V

dt+ ~Vdm

dt

Jeżeli ~a = ~0 (d~Vdt = 0) wówczas :

~F = ~V · dmdt

(sytuacja możliwa, gdy masy ciała przybywa)

Masa relatywistyczna dla dużych prędkości:

m =m0√1− V 2c2

gdzie m0 - masa spoczynkowa

35

18

III Zasada Dynamiki Newtona

Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą akcji FB, to ciało B oddziałuje naciało A taką samą co do wartości, lecz skierowaną przeciwnie siłą reakcjiFB.Siły te są równe co do wartości i skierowane przeciwnie, jednak nie

równoważą się, gdyż są przyłożone do różnych ciał.

~FAB = − ~FBA

36

3.2 Tarcie

Siła tarcia to siła, która powstaje na styku powierzchni dwóch ciałi przeciwdziała ich względnemu ruchowi. Jest ona zawsze skierowanaprzeciwnie do kierunku ich względnej prędkości.

Siła tarcia statycznego

Tarcie statyczne jest wynikiem oddziaływań zachodzących w punktachstyku powierzchni dwóch ciał pozostającyh względem siebie w spoczyn-ku , pomimo działania na jedno z nich siły, która chce je przesunąć (siłata jest równoważona przez siłę tarcia).Maksymalna wartość siły tarcia statycznego równa jest wartości siły

F , która ruszy ciało z miejsca.

Właściwości tarcia statycznego:

• Wartość maksymalna tarcia statycznego TSmax nie zależy od polapowierzchni styku

• Dla danych dwóch powierzchni, wartość TSmax jest wprost propor-cjonalna do wartości siły wzajemnego oddziaływania ciała z pod-łożem, prostopadłej do powierzchni zetknięcia. TSmax = fS · FN

• Współczynnik proporcjonalności fS nosi nazwę współczynnika tar-cia statycznego. Zależy on od rodzaju i stopnia nierówności sty-kających się powierzchni:

fS < 1

Siła tarcia kinetycznego

Siła tarcia działająca na ciało bedące w ruchu nazywana jest tarciemkinetycznym. Ma ona zawsze zwrot przeciwny do prędkości ciała.

Siła tarcia kinetycznego:

• nie zależy od prędkości ciała.

• nie zależy od wielkości powierzchni styku ciała z podłożem.

37

19

• jest proporcjonalna do siły naciku FN ciała na podłodze.

T = µ · FN

gdzie |mu nosi nazwę współczynnika tarcia.Jego wartość zależyrodzaju i stanu trących się powierzchni.

• ma wartość mniejszą od maksymalnej wartości siły tarcia statycz-nego

T < TSmax

Zadanie 1Wyznaczyć przyspieszenie a ciała znajdującego się na równi pochyłej,o kącie nachylenia α.

38

PX = P · sinα ∧ PY = P · cosα

m · ~a = m(~iaX +~jaY ) =~iPX −~iT +~jR−~jPYm~iaX =~iPX −~iTm~jaY = ~jR−~jPY ∧ aY = 0

R = PY = P cosα

T = R · µ = Pµ cosα

m · aX = PX − T

aX =P sinα− P cosα

m

aX = g(sinα− µ cosα)

Zadanie 2Wyznaczyć przyspieszenie a układu ciał dla m2 = 2m1:

N-siła naciągu niciUkład można przedstawić następująco:

~i(m1 +m2) · a =~im1g −~im2g −~iN +~iN

39

20

(m1 +m2) · a = m1g −m2g

a =m1 −m2m1 +m2

· g

dla m2 = 2m1:a = g3

40

3.3 Statyka

Ciało znajduje się w stanie statycznym, gdy:

∑ ~F = ~0 ⇒ ~a = 0∑ ~M = ~0 ⇒ ~ε = 0

~M = ~r × ~F

M = r · F · sinα

Rodzaje stanów satycznych:

• równowaga trwała (EPmin)

• równowaga nietrwała (EPmax)

• równowaga obojętna (EP = const)

Rysunek 3.1: Równowaga trwała, nietrwała i obojętna

41

21

3.4 Środek masy układu ciał

Środek masy układu dwóch ciał

Układ ciał jest statyczny zatem: ∑ ~F = ~0∑ ~M = ~0R = m1g +m2gm1g · d+m2g · (d+ r1 + r2)−R(d+ r1) = 0

m1g · d+m2g · (d+ r1 + r2) = m1g · (d+ r1) = m2g · (d+ r2)

m1r = m2rr1 = xS − x1r2 = x2 − xS

m1(xS − x1) = m2(x2 − xS)

m1xS −m1x1 = m2x2 −m2xS

xS =m1x1 +m2x2m1 +m2



42

Środek masy układu trzech ciał

xS =(m1 +m2) · xS1,2 +m3x3

m1 +m2 +m3

xS =(m1 +m2)m1x1+m2x2m1+m2

+m3x3m1 +m2 +m3

xS =m1x1 +m2x2 +m3x3m1 +m2 +m3

xS =m1x1 +m2x2 +m3x3m1 +m2 +m3

xS =m1x1 +m2x2 +m3x3m1 +m2 +m3

Środek masy układu n ciał:

xn =∑ni=1mixi∑ni=1mi

yn =∑ni=1miyi∑ni=1mi

zn =∑ni=1mizi∑ni=1mi

Wektor określający środek masy układu n ciał:

~rS =~ixs +~jyS + ~kzSrS =

√x2S + y

2s + z

2S

cosα = xsrcosβ = ySrcos γ = zSr

43

22

3.5 Zasada zachowania pędu

Pęd ciała równa się iloczynowi jego masy m i prędkości ~V .

~p = m · ~V~p = m · ~V~p = m · ~V

Załóżmy, że ciało o masie m porusza się pod wplywem stałej siły F .Wówczas uzyskuje ono stałe przyspieszenie a. Początkowa prędkość cia-ła wynosiła V1, a po czasie ∆t uzyska prędkość V2. Zatem:

a =v2 − V1∆t

∧ a = Fm

F

m=v2 − V1∆t

F∆t = mV2 −mV1F∆t = ∆pF∆t = ∆pF∆t = ∆p

Rozważmy dwa poruszające się w jedną stronę ciała: pierwsze o masiem1 i prędkości U1, drugie o masie m2 i prędkości U2. Po zderzeniu ciałate uzyskają prędkości V1 i V2.

m1~U1 + ~F2∆t = m1~V1m2~U2 + ~F1∆t = m2~V2

m1~U1 +m2~U2 + (~F1 + ~F1) = m1~+V1m2~V2~F1 = −~F2m1~U1 +m2~U2 = m1~V1 +m2~V2∑~PP =

∑~PK

∑~PP =

∑~PK

∑~PP =

∑~PK

44

Zasada zachowania pęduCałkowity pęd układu odosobnionego (czyli takiego, na który nie dzia-łają żadne siły zewnętrzne lub działanie tych sił można zaniedbać) jeststały i nie ulega zmianie podczas dowolnych procesów zachodzących wukładzie.

ZadanieZ działa, znajdującego się na poruszającej się z prędkością U kładce,wystrzelono z prędkością V pocisk o masie m. Znając kąt nachylenia αdziała do kładki oraz masę M działa z kładką, obliczyć prędkość UK , zjaką będzie się poruszać kładka po wystrzeleniu pocisku.

Pęd początkowy układu:

PPx = (M +m)U

Pęd końcowy układu:

PKx = mV cosα+MUK

Z Zasady zachowania pędu:

PP = PK

(M +m)U = mV cosα+MUK

UK =MU+m(U−V cosα)

M

45

23

Rozpatrzmy rakietę o masie M , poruszającą się z prędkością V ,wyrzucającą gazy z prędkością U .


PP =M0 · V


PK = (M0 −∆M)(V +∆V ) + ∆M(V − U)

Z Zasady zachowania pędu:

M0V =M0V +M0∆V −∆MV −∆M∆V −∆MU

∆M∆V → 0M0∆V = ∆MU

∆V =∆MUM0

Przechodząc do granicy i uwzględniając fakt, że ubytek masy rakietypowoduje jej wzrost prędkości:

dV = −U dMM∫ V (M)

V0dV = −U

∫ MM0

dM

M

V (M)− V0 = U · lnM0M

Wzór Ciołkowskiego:Wzór Ciołkowskiego:Wzór Ciołkowskiego:

V (M) = V0 + U · lnM0M

V (M) = V0 + U · lnM0M

V (M) = V0 + U · lnM0M

46

3.6 Dynamika ruchu jednostajnego po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu to ruch, w którym wartośc prędkościnie ulega zmianie, a jego torem jest okrąg.

Wielkości opisujące ruch jednostajny po okręgu:~r - wektor położenia~V - wektor prędkościϕ - zakreślony kąt ( ABr )T - okres obiegu (czas jedmego okrążenia)f - częstotliwość ( ilość obrotów w jednostce czasu)ω - prędkość kątowa (omega)

|~r1| = |~r2| = |~r|

|~V1| = |~V2| = |~V |

~a =dV

dt

~a =∆V∆t=~V2 − ~V1∆t

=~V2 + (−~V1)∆t

47

24

∆ABO ∼ ∆BCD|AB|r=∆VV

|AB| = V ·∆tV ·∆tr=∆VV⇒ ∆V∆t=V 2

r

~ar = −V 2

r2· ~r

~F = m · ~a~Fr = −m ·

v2

r2· ~r

Siła dośrodkowa:Siła dośrodkowa:Siła dośrodkowa:

Fr =mV 2

rFr =

mV 2

rFr =

mV 2

r

3.7 Moment bezwładności bryły sztywnej

Bryła sztywna to ciało, w którym odległość dwóch, dowolnie wybra-nych punktów, nie ulega zmianie pomimo działających na ciało sił.

Moment bezwładności III jest to suma momentów bezwładności punktówmaterialnych bryły względem osi obrotu.

Ip.m. = mr2

gdzie r - odległość od osi obrotu

I =∑∆mi · r2i

Definicja:Definicja:Definicja:

I =∫ m0dm · r2I =

∫ m0dm · r2I =

∫ m0dm · r2

48

Twierdzenie SteineraJeżeli oś obrotu przesuniemy rownolegle na odległość d, to momentbezwładności względem nowej osi obrotu wynosi:

IA = I0 +md2IA = I0 +md2IA = I0 +md2

gdzie I0 - moment bezwładności względem początkowej osi obrotu

Wartości momentów bezwładności dla niektórych brył sztywnych:

Iwalca =12mr2

Ikuli =25mr2

49

25

Ipreta =112ml2

I = kmr2I = kmr2I = kmr2

Twierdzenie o trzech osiach

∆IOX = ∆miy2i∆IOY = ∆mix2i∆IOZ = ∆mir2ir2i = x

2i + y

2i

∆IOX +∆IOY = ∆mi · (x2i + y2i ) = ∆mir2i = ∆IOZ∑∆IOX +

∑∆IOY =

∑∆IOZ

IOX + IOY = IOZIOX + IOY = IOZIOX + IOY = IOZ

50

ZadanieWyznaczyć moment bezwładności I0 pręta o masie m i długości l.

I0 = k ·m · l2

Moment bezwładności połówki pręta względem osi O1:

I1 = k ·m

2· ( l2)2 =

K ·m · 2

8

Korzystając ze wzoru Steinera wyznaczamy moment bezwładnościpołówki pręta względem osi O:

IO2 =K ·m · l2

8+m

2· ( l4)2 =

K ·m · l2

8+m · l2

32

IO = 2 · IO2

kml2 = (Kml2

8+ml2

32) · 2

k =k

4+116

34k =116

k =112

IO =ml2

12

51

26

ZadanieWyznaczyć moment bezwładności I0.

I0 = kma2

d =13· a√32

Ponieważ każdy z małych trójkątów ma masę m4 , to moment bez-władności pojedynczej figury wynosi k · m4 · (

a2 )2.

Korzystając ze wzoru Steinera, moment bezwładności trójkątów na-rożnych względem punktu O wynosi:

km

4· (a2)2 +m

4· d2

Zatem:

I0 = k ·m

4· (a2)2 + 3 · (km

4· a2

2+m

4· d2)

kma2 =kma2

16+3kma2

16+9ma2

36 · 4

k =k

4+116

k =112

I0 =ma2

12

52

3.8 Dynamika w układzie nieinercjalnym

W układzie nieinercjalnym siły działające na ciało równoważą się.∑~F = ~0

Układ inercjalny

R = mg

53

27

T = rµ

a =T

m= gµ

Układ nieinercjalny

W układzie nieinercjalnym na ciało działa dodatkowo siła bezwładności:

~Fb = −m~a

Fb = ma

R = mg

T = Rµ

Fb = TFb = TFb = T

ma = mgµ

a = gµ

54

Zadanie

Dane: g, T, αSzukane: l

Fb = m4Π2

T 2· r

Układ nieinercjalny zatem∑F = 0

Fb −RX = 0RY −mg = 0Fb = RXmg = RY

RYRX= tgα =

mgT 2

mg4Π2r

r = l sinα

l =gT 2 cosα4Π2

55

28

3.9 Prawo ruchu obrotowego i zasady dynamikibryły sztywnej

S - sprężystość

FiII = S

Fi⊥ ·∆t = ∆pi

Prawo ruchu postepowego bryły sztywnej

~F ·∆t = ∆~p~F ·∆t = ∆~p~F ·∆t = ∆~p

Fi⊥ ·∆t = ∆mi ·∆Vi ∧ V = ω · rFi⊥ ·∆t = ∆mi · ri ·∆ωFi⊥ ·∆t · ri = ∆mi · r2i ·∆ω~M = ~F × ~rn∑i=1

(∆M ·∆t) =n∑i=1

∆Ii ·∆ω

∆t · ~MC = ∆~ω · ICI · ~ω = ~b

56

Prawo ruchu obrotowego bryły sztywnej

~M ·∆t = ∆~b~M ·∆t = ∆~b~M ·∆t = ∆~b

gdzie ~b - wektor momentu pędu ( kręt)

∆~b = ~MC ·∆t∆~b = J ·∆~ω

⇒ ~MC ·∆t = I ·∆~ω ⇒

∆~ω∆t=~MCI

∆~ω∆t= ε

II Zasada Dynamiki dla bryły sztywnej

~ε =~MCI

~ε =~MCI

~ε =~MCI

gdzie ε - przyspieszenie kątowe

Zadanie

Znając masy klocków m1,m2, moment bezwładności bloczka I orazjego promień r, obliczyć przyspieszenie kątowe ε.

57

29

Korzystając z Zasad Dynamiki otrzymujemy następujące zależności:m2g −N1 = m2a−m1g +N2 = m1aN1r −N2r = I0εa = εr

(m2g −m2εr)r − (m1εr +m1g)r = I0ε

ε(I0 +m2r2 +m1r2) = m2gr −m1gr

ε =gr(m2 −m1)r2(m1 +m2) + I0

58

3.10 Ruch obrotowy - toczenie się ciał

chwilowa oś obrotu ciała przechodzi przez punkt A.

V0 = ω · r

VC = ω · 2r

VG = ω · (2r + l)

względem podłoża VA = 0.

VA = VB

IA = I0 +mr2

Na toczenie sie ciała składają się dwa ruchy: obrotowy i postępowy.

59

30

ZadanieOblicz prędkość ciała w punktach: A,K,L,M,N zaznaczonych na ry-sunku.

Chwilowa oś obrotu przechodzi przez punkt A.

VA = 0

VL = ω · (R+ r)

60

VK = ω · (R− r)

VM = ω · x = ω ·√R2 + r2 = VN

3.11 Zasada zachowania momentu pędu

Jeżeli na układ ciał, mogących obracać się względem wspólnej osi ob-rotu, nie działa żaden zewnętrzny moment siły, to moment pędu układujest zachowany.

~MZ = ~0

~M1 = − ~M2~M1∆t = ∆~b1~M2∆t = ∆~b2

( ~M1 + ~M2)∆t = ∆~b1 +∆~b2 ⇒ ∆~b1 +∆~b2 = 0

∆~b1 = −∆~b2~b1k −~b1p = −~b2k +~b2p~b1p +~b2p = ~b1k +~b2k∑~bp =

∑~bk

∑~bp =

∑~bk

∑~bp =

∑~bk

61

31

ZadanieO ile zmieni sie prędkość kątowa ∆ω jeśli masam przemieści się z punkuA, do punku O- przez który przechodzi oś obrotu? Moment bezwładno-ści pręta wynosi I0, prędkość kątowa przed przemieszzceniem się masym wynosi ω1.

Początkowy moment pędu układu:

bp = (I0 +mR2) · ω1

Końcowy moment pędu układu:

bk = I0 · ω2

Z zasady zachowania momentu pędu:

bp = bk

(I0 +mR2) · ω1 = I0 · ω2

ω2 =I0 +mR2

I0ω1

∆ω = ω1(I0 +mR2

I0− 1)

62

ZadanieNa obracajacej się z prędkością kątową ω1 okrągłej platformie stoi czło-wiek i trzyma w ręce (odchylonej od pionu o kąt ϕ) obracającą sięz prędkością kątową ω2 parasolkę. Zakładając, że ~MZ = ~0, wyznaczyćprędkość kątową ωX w momencie, gdy człowiek przeniesie parasolkę nadgłowę.(Momenty bezwładności człowieka i parasolki I1, I2 są znane).

Początkowy moment pędu układu (względem osi OY):

bY P = I1ω1 + I2ω2 cosϕ

Końcowy moment pędu układu:

bY K = (I1 + I2)ωX

Z zasady zachowania momentu pędu:

bp = bk

I1ω1 + I2ω2 cosϕ = (I1 + I2)ωX

ωX =I1ω1 + I2ω2 cosϕI1 + I2

63

32

3.12 Energia kinetyczna bryły sztywnej

Energia kinetyczna bryły sztywnej równa się sumie energii kinetycz-nej ruchu obrotowego bryły względem środka masy i energii kinetycznejruchu postępowego środka masy.

∆EK =∆mV 2

2

EKC =∑ ∆mV 2

2=∑ ∆m2ω2r2 =

ω2

2

n∑i=1

∆mir2i =ω2

2I

EK = Iω2

2EK = I

ω2

2EK = I

ω2

2

I = I0 +md2

EKEKEK =(I0 +md2)ω2

2=I0ω2

2+md2ω2

2=I0ω2

2+mV 2

2=I0ω2

2+mV 2

2=I0ω2

2+mV 2

2

Zadanie

Dane: m1,m2, g,H, I0, R, r

64

Szukane: ω

V1 = ωRV2 = ωr

H

R· r = h

Energia początkowa układu:

EP = m1gH +m2gH

Energia końcowa układu:

EK =I0ω2

2+m1V

21

2+m2V

22

2+m2g(H + h)

Z Zasady zachowania energii:

EP = EK

m1gH +m2gH =I0ω2

2+m1V

21

2+m2V

22

2+m2g(H + h)

I0ω2

2= m1gH +m2gH −

m1V21 +m2V

22

2−m2g(H +

Hr

R)

ω =

√√√√2 · (m1gH −m2 gHrR − m1V 21 +m2V 222 )I0

65

33

Rozdział 4

Praca, moc, energia

W - pracaW - pracaW - praca

∆W = ~F ·∆~r∆W = ~F ·∆~r∆W = ~F ·∆~r

Jednostka pracy:

[W ] = N ·m = J

∆W = F · r · cos r

∆W > 0 dla α ∈ 〈0o; 90o) ∪ (270o; 360o〉∆W < 0 dla α ∈ (90o; 270o)∆W = 0 dla α ∈ 90o, 270o

WC =n∑i=1

Fi ·∆ri · cosαi

WC =n∑i=1

Fi ·∆riII

Dla F = const :

W = F∑∆r cosα

66

Wi = mg∆ri cosαi

Wi = mg∆riII

WC = mgn∑i=1

∆riII

W = mgh

Dla α = const:

W = cosα ·n∑i=1

Fi ·∆ri

W =n∑i=1

Fi ·∆riII ∨ W =n∑i=1

FiII ·∆ri

67

34

ZadanieWyznaczyć pracę wykonaną na odcinku x1 → x2

F1 = kx1

F2 = kx2

w =F1 + F22(x2 − x1) =

k(x22 − x21)2

Moc

PSr =∆W∆t

PSr =∆W∆t

PSr =∆W∆t

[P ] =J

s=W

EnergiaEnergia potencjalna cięzkości jest równa pracy, jaką trzeba wykonać,aby podnieść ciało na pewną wysokość względem wybranego poziomuodniesienia.

EP c = mghEP c = mghEP c = mgh

gdzie h - wysokość na jakij ciało się znajduje

EK =mV 2

2EK =

mV 2

2EK =

mV 2

2gdzie V - prędkość z jaką ciało się porusza

68

Zasada zachowania energiiJeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, to całkowita energia układujest stała.

ZadanieZ wysokości h puszczamy z pewną prędkością VX kulkę o masie m. Wie-dząc, że odbije się ona od ziemi na wysokość 32h, wyznaczyć prędkość,z jaką kulka została puszczona.

Energia początkowa kulki:

Epocz =mV 2

2+mgh

Energia końcowa kulki:

Ekonc = mg32h

Z zasady zachowania energii:

Epocz = Ekonc

mV 2

2+mgh = Ekonc

V 2 = gh

V =√gh

69

35

Rozdział 5

Ruch harmoniczny

5.1 Równania ruchu harmonicznego

Ruchem harmonicznym nazywamy taki ruch, który jest wywołanyprzez siłę F = −kx, gdzie x ∈ 〈−A;A〉 (A - amplituda).

F = m · a

70

a = dVdtV = dxdt

⇒ a = d

dt· dxdt=d2x

dt2

d2x

dt2·m = −kx

Główne równanie różniczkowe ruchu harmonicznego

d2x

dt2+k

m· x = 0

d2x

dt2+k

m· x = 0d2x

dt2+k

m· x = 0

x(t) = A sin

√ kmt+ ϕ0

∧ ω =

√k

m

x(t) = A sin (ωt+ ϕ0)x(t) = A sin (ωt+ ϕ0)x(t) = A sin (ωt+ ϕ0)

V =dx

dt=d

dt

A sin√ kmt+ ϕ0

V = A

√k

m· cos

√ kmt+ ϕ0

V = Ak

mcos

√ kmt+ ϕ0

V = Aω cos (ωt+ ϕ0)V = Aω cos (ωt+ ϕ0)V = Aω cos (ωt+ ϕ0)

a =dV

dt=d2x

dt2

a = −A

√k

m·

√k

m· sin

√ kmt+ ϕ0

71

36

a = −A km

sin√ kmt+ ϕ0

a = −Aω2 sin(ωt+ ϕ0)a = −Aω2 sin(ωt+ ϕ0)a = −Aω2 sin(ωt+ ϕ0)

a = −ω2xa = −ω2xa = −ω2x

a = −ω2xa = Fm

⇒ F = −mω2x

F = −mAω2sin(ωt+ ϕ0)F = −mAω2sin(ωt+ ϕ0)F = −mAω2sin(ωt+ ϕ0)

ω =

√km

ω = 2ΠT⇒ T = 2Π

√m

kT = 2Π

√m

kT = 2Π

√m

k

F = −k · x

F = −k ·A sin

√ kmt+ ϕ0

F0 = k ·A

72

F = −F0 · sin

√ kmt+ ϕ0

F = −F0 · sin(ωt+ ϕ0)F = −F0 · sin(ωt+ ϕ0)F = −F0 · sin(ωt+ ϕ0)

Faza ruchu:

α(t) =

√k

mt+ ϕ0

gdzie ϕ0− - faza poczatkowa

α(0) = ϕ0

x(0) = A · sinϕ0

Zastępcze współczynniki spręzystości dla układów sprężyno-wych

73

37

k1 · x1 = m · g ⇒ x1 = mgk1k2 · x2 = m · g ⇒ x2 = mgk2

xc = x1 + x2

gdzie xc - wydłużenie całkowite

xc · kz = mg

gdzie kz - zastępczy współczynnik sprężystości

kz =mg

xc

kz =mg

mgk1+ mgk2

kz =1

1k1+ 1k2

kz =1

1k1+ 1k2

kz =1

1k1+ 1k2

F1 + F2 = mg

F1 = k1x ∧ F2 = k2x

mg = kzx

k1x+ k2x = kzx

kz = k1 + k2kz = k1 + k2kz = k1 + k2

74

Zadanie 1Wyznaczyć okres wahań masy m.

k1x1 = mgk2x2 + k3x2 = mgkz(x1 + x2) = mg

x1 =mg

k1∧ x2 =

mg

k1 + k2

kz =mg

mg( 1k1 +1

k2+k3)

kz =1

1k1+ 1k2+k3

T = 2Π√m

kz

masę sprężynek zaniedbujemy

T = 2Π

√m(1k1+

1k2 + k3

)

75

38

Zadanie 2Wyznaczyć okres drgań rozkołysanej wody w naczyniu (dane: l, h0, g).

Założenie: powierzchnia kołyszącej się wody jest płaska.

Obliczymy zmianę położenia środka masy wody, wywołaną drganiami:Położenie środka masy trójkąta prostokątnego:

Podczas maksymalnego wychylenia woda znajduje się w takim położe-niu zględem położenia równowagi, jakby woda z obszaruA przemieściłasię na obszar B.

76

Środek masy wody z obszaru A przemieścił się w górę:

∆y = 2 · 13p =23· 12(a− b) = 1

3(a− b)

oraz w lewo:

∆x = 2 · 23q =43q =43l

Także część wody, która nie zmieniła swojego położenia wpływa nazmianę położenia środka masy całej wody.Przesuwa się on proporcjo-nalnie do tego, jaka część wody uległa przemieszczeniu.Stosunek mas równa się stosunkowi pól:

∆xc =c

mc∆x =

S

Sc∆x

∆y =m

mc∆y =

S

Sc∆y

S =12la− b2=a− b4l

Sc = 2la+ b2= (a+ b)l

S

Sc=(a− b)l4(a+ b)l

=a− b4(a+ b)

∆xc =a− b4(a+ b)

· 43l =

a− b3(a+ b)

l

∆yc =a− b4(a+ b)

· 13(a− b) = (a− b)

2

12(a+ b)

77

39

Energia potencjalna wody zwiększyła się:

∆Ep = mg∆yc

∆Ep = mg(a− b)2

12(a+ b)∧ a− b = 3(a+ b)

l∆xc

∆Ep =mg

12· 9(a+ b)

2

l2(a+ b)∆x2c =

34mg(a+ b)l2

∆X − c2

a+ b = 2h0

∆Ep =34mg

l22h0∆x2c =

12m3gh0l2∆x2c

Zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej ma taką samą postać, jakenergia potencjalna drgań harmonicznych:

Ep =12mω2∆x2

gdzie∆x - przemieszczenie położenia równowagiPo porównaniu obu wzorów otrzymujemy:

ω2 =3gh0l2⇒ ω =

√3gh0

T =2Πω

T =2Πl√3gh0

Zadanie 3Wyprowadzić wzór na częstotliwość drgań struny.

78

gdziel - długość strunyF0 - siła napięcia strunyPrzyjmujemy, że l i F0 nie ulegają zmianie ( dla x l).Z podobieństwa trójkątów ABC i DEF :12F

F0' x12 l⇒ F ' 4F0

x

l

Siłą kierująca posiada tą samą wartość co siła F i przeciwny zwrot.Struna będzie wykonywała drgania harmoniczne, gdyż siła jest propor-cjonalna do wychylenia i ma przeciwny zwrot niż wychylenie.Równanie ruchu:

ma = −4F0x

l

a = ω2x

Zatem:

ω2 =4F0ml

Liniowa gęstość struny: % = ml

ω = 2Πf

4Π2f2 =4F0%l2

f =1Πl

√F0%

Wynik ten jest jednak przybliżony, gdyż struna nie przyjmuje kształ-tu trójkąta, a przyspieszenie nie jest jendakowe dla każdego elementustruny.Po dokładnej analizie:

f =12l

√F0%

dla kolejncych harmonicznych:

fn =n

2l

√F0%

79

40

5.2 Energia w ruchu harmonicznym

Fharmoniczna = −kx

Fzewnetrzna = kx

dW = FZ(x) · dx

W =∫ x0FZ(x) · dx

W =∫ x0kx · dx = k

∫ x0·dx

W = kx2

2W = k

x2

2W = k

x2

2

EPpocz = 0⇒WZ = Ekonc

EPkonc =kx2

2EPkonc =

kx2

2EPkonc =

kx2

2∧ x ∈ 〈−A; +A〉

80

EPmax = EC =kA2

2EPmax = EC =

kA2

2EPmax = EC =

kA2

2

EK = EC − EP

EC =kA2

2

EK =kA2

2− kx

2

2

EK =kA2

2− kA

2 sin2 (ωt)2

EK =kA2

2(1− sin2 (ωt))

EK =kA2

2cos2 (ωt)

EK =ω2mA2

2cos2 (ωt) ∧ V = Aω cos (ωt)

EK =mV 2

2EK =

mV 2

2EK =

mV 2

2

81

41

ZadanieOblicz okres drgań T klocka przedstawionego na rysunku.

k1A2

2=mefV

20

2

gdzie mef - masa efektywna

mef = m0 +I0r2

ω =

√k

m∧ ω =

2ΠT

T = 2Π√mefk1

T = 2Π

√m0 + I0r2k1

82

5.3 Wahadło matematyczne, stożkowe, fizycz-ne

Wahadło matematyczneWhadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej inierozciągliwej nici, wykonujący wahania w płaszczyźnie pionowej.

Założenie: α→ 0.

FZ = F · sinα ' F · α

α = −xl

FZ = −F xlFZ = md

2xdt2

⇒ md

2x

dt2= −F x

l

d2x

dt2+F

mlx = 0

Równanie ruchu harmonicznego:

d2x

dt2+ ω2x = 0

83

42

F

ml= ω2 =

4Π2

T 2

T = 2Π

√ml

F∧ F = mg

Okres wahań wahadła matematycznego:

T = 2Π

√l

gT = 2Π

√l

gT = 2Π

√l

g

Wahadło stożkoweWahadło stożkowe to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nie-rozciągliwej nici, wykonujący wahania w płaszczyźnie poziomej .

84


Ny = mg

Nx = m4Π2

T 2· c

Z podobieństwa trójkątów AEO i OBE:

NxNy=

x√l2 = x2

gT 2

4Π2x=

√l2 − x2x

T = 2Π

√√l2 − x2g

∧ x l

Okres wahań wahadła stożkowego:

T = 2Π

√l

gT = 2Π

√l

gT = 2Π

√l

g

85

43

Wahadło fizyczneWahadło fizyczne to bryła sztywna wykonująca wahania pod wpływemwłasnej siły ciężkości mg, względem nieruchomej osi poziomej O zwanejosią wahań wahadła, nie przechodzącej przez jej środek ciężkości.


~M = ~d× ~F

M = d · F · sinα

|M | ' d · F · α

M = −d · F · α

ε =M

IA

ω =d2α

dt2

d2α

dt2= −d · F · α

IA

86

d2α

dt2+d · F · αIA

= 0

Korzystając z równania ruchu harmonicznego:

d · FIA= ω2

d · FIA=4Π2

T 2

T = 2Π

√IAmdg

Okres wahań wahadła fizycznego:

T = 2Π

√I0 +md2

mdgT = 2Π

√I0 +md2

mdgT = 2Π

√I0 +md2

mdg

Długość zredukowana wahadła fizycznego:Jest to długość wahadła matematycznego, które posiada taki sam okreswahań jak wahadło fizyczne.

T = 2Π

√lzredg= 2Π

√I

mdg

lzred =I

mdlzred =

I

mdlzred =

I

md

Drgania izochroniczneSą to drgania, których częstości i okresy nie zależą od amplitudy. Przy-kład drgań izochroniczmncyh stanowią drgania wahadła fizycznego, ma-tematycznego i stożkowego przy małych kątach wychyleń (α→ 0).

87

44

ZadanieWyznaczyć okres wahań wahadła w układzie poruszającym się ruchemzmiennym z przyspieszeniem a (długośc l jest znana).

F =√(ma)2 + (mg)2 = m

√a2 + g2

T = 2Π

√lNm

gdzie N - naprężenie nici w położeniu równowagi

F = N

T = 2Π

√l√a2 + g2

88

5.4 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego zwykorzystaniem wahadła grawitacyjnego

T = 2Π

√I0 +md21 + INmcgd

gdzie:

I0 =25mr2

d1 = l + r

IN =mnl

2

3

mc = mn +m

89

45

d =mn · l2 +m(l + r)mn +m

T = 2π

√√√√√ 25mr2 +m(l + r)2 + 13mnl2mcg ·

mn· l2+m(l+r)mn+m

⇒ g[mn,m, l, r, T ]

Z tego równania, znając wartościmn,m, l, r, T , możemy wyznaczyć war-tośc przyspieszenia ziemskiego g.

90

5.5 Składanie drgań harmonicznych wzajemniedo siebie prostopadłych

Fx = −k1 · x

Fy = −k2 · y

m · d2xdt2 + k1x = 0m · d

2ydt2 + k2y = 0

d2xdt2 +

k1mx = 0

d2ydt2 +

k2m y = 0 x = A1 sin (

√k1m t+ ϕ1)

y = A2 sin (√k2m t+ ϕ2)

x = A1 sinω1ty = A2 sin (ω2t+ ϕ)

91

46

Krzywe (figury) LissajousSą to zamknięte tory punktu A wykonującego jednocześnie drgania har-moniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.

Przykładowe figury Lissajousx = A1 sinωty = A2 sin (ωt)

x

y=A1A2⇒ y = xA2

A1

tgα =A2A1

92

x = A1 sin (ωt) ∧ y = A2 cos (ωt)

x2

A21= sin2(ωt) ∧ y2

A22= cos2(ωt)

x2

A21+y2

A22= 1 − ELIPSA

gdy A1 = A2 wówczas powstaje OKRĄG o promieniu A:

x2 + y2 = A2

93

47

x = A sin(ωt+ 180o)y = A sin(2ωt)

94

x = A sinωty = A sin 34ωt

95

48

5.6 Drgania tłumione, drgania wymuszone

Drgania tłumionegdzie η - współczynnik lepkości dynamicznejSiła Stokesa:

F0 = 6ΠηhV

F0 = r · V ∧ r = 6Πηh

dla niewielkich prędkości V .

m · a = −kx− rV

96

md2x

dt2+ rdx

dt+ kx = 0

Równanie różniczkowe drgań tłumionych:

d2x

dt2+r

m

dx

dt+k

mx = 0

d2x

dt2+r

m

dx

dt+k

mx = 0

d2x

dt2+r

m

dx

dt+k

mx = 0

Rozwiązanie rónania:

x = A0 · e−r2m t sin(ωt+ ϕ0) ∧ e ' 2, 718

ω =√ω20 − (

r

2m)2 ∧ ω0

r

2m

AnAn+1

=A0e− r2m t

A0e− r2m t+T

= er2mT

δ = lnAnAn+1

=r

2mT

gdzie δ - logarytmiczny dekryment tłumienia

β =r

2m

gdzie β - współczynnik tłumienia

δ = β · Tδ = β · Tδ = β · T

97

49

Drgania wymuszone

ma = −kx− rV + Fz(Ω)

gdzie Ω - regulowana częstotliwość generatora

md2x

dt2+ kx+ rV = F0sin(Ωt)

d2x

dt2+r

m

dx

dt+k

mx =F0msin(Ωt)

Równanie różniczkowe drgań wymuszonych:

d2x

dt2+ 2βdx

dt+ ω20x = a0 sin(Ωt)

d2x

dt2+ 2βdx


d2x

dt2+ 2βdx


Rozwiązanie równania:

x = A sin(Ωt+ ϕ0)

Częstotliwość drgań ciała jest równa częstotliwości zmian siły wymu-szającej drgania.

98

A = f(Ω, F0, ω)

Ωrez =√ω20 − 2β2

gdy:

• β = 0⇒ Ωrez = ω0 ⇒ A→∞

• 2β2 > ω20 ⇒ nie ma rezonansu

99

50

Rozdział 6

Ruch falowy

6.1 Podstawowe pojęcia ruchu falowego, rów-nanie fali

Podstawowe pojęcia ruchu falowego:Fale dzielimy na podłużne i poprzeczne:

• W falach poprzecznych drgania odbywają się w kierunku prosto-padłym do kierunku rozchodzenia się fali.

• W falach podłużnych kierunek drgań jest zgodny z kierunkiemrozchodzenia się fali.

Długością fali λDługością fali λDługością fali λ nazywamy odległość między punktami, które w tej sa-mej chwili czasu różnią się fazą o 2Π.

Powierzchnią falowąPowierzchnią falowąPowierzchnią falową nazywamy zbiór punktów, posiadających w danejchwili tą samą fazę.

Prędkością fazową faliPrędkością fazową faliPrędkością fazową fali nazywamy prędkość rozchodzenia się fali.

Dyfrakcją faliDyfrakcją faliDyfrakcją fali nazywamy ugięcie się fali (na przeszkodzie).

Interferencją faliInterferencją faliInterferencją fali nazywamy zjawisko nakładania się fal.

100

Fale spójneFale spójneFale spójne to fale, posiadające jednakową amplitudę i identyczne czę-stotliwości drgań. Są one wysyłane ze źródła koherentnegoźródła koherentnegoźródła koherentnego.

Równanie fali:

y = A sin(ωt)

y1 = A sin(ωt− ϕ0)

y2 = A sin(ωt− 2ϕ0)

yn = A sin(ωt− nϕ0)

nϕ0 ∼ nx0ϕ ∼ x

ϕ = kx

y = A sin(ωt− kx)y = A sin(ωt− kx)y = A sin(ωt− kx)

gdzie (ωt− kx) = ϕ - faza fali

101

51

Fale

y(x1) = y(x2)

y(x1 = A sin(ωt− kx1)

y(x2) = A sin(ωt− kx2)

(ωt− kx1)− (ωt− kx2) = 2Π

k(x2 − x1) = 2Π ∧ x2 − x1 = λ

kλ = 2Π ∧ ω =2ΠT

y = A sin(2ΠTt− 2Π

λx

)

Równanie fali poprzecznej:

y = A sin[2Π(t

T− xλ

)]y = A sin

[2Π(t

T− xλ

)]y = A sin

[2Π(t

T− xλ

)]gdzie: 2Π( tT −

xλ) = ϕ0 = const - faza fali y - wychylenie cząstki z

położenia równowagi

102

Równanie fali podłużnej:

εx = ε0x sin 2Π(t

T− xλ

)εx = ε0x sin 2Π

(t

T− xλ

)εx = ε0x sin 2Π

(t

T− xλ

)gdzie εx - odchylenie z położenia równowagi w kierunku x.

6.2 Prędkość w ruchu falowym

Vy =δyδt

Vy =δ

δt

[A sin

(2ΠtT− 2Πxλ

)]Vy = A

2ΠT· cos 2Π

(t

T− xλ

)Vy = A

2ΠT· cos 2Π

(t

T− xλ

)Vy = A

2ΠT· cos 2Π

(t

T− xλ

)gdzie A2ΠT - największa wartość prędkości

a =δV

δt=δ2y

δt2= −A ·

(2ΠT

)2· sin 2Π

(t

T− xλ

)

a = −4Π2

T 2A · sin 2Π

(t

T− xλ

)a = −4Π

2

T 2A · sin 2Π

(t

T− xλ

)a = −4Π

2

T 2A · sin 2Π

(t

T− xλ

)δy

δx= −A2Π

λcos 2Π

(t

T− xλ

)

δ2y

δx2= +/−A ·

(2Πλ

)2· sin 2Π

(t

T− xλ

)δ2yδt2

δ2yδx2

=λ2

T 2∧ λ = V · T

δ2y

δt2= V 2 · δ

2y

δx2

Postać ogólna równania fali:

δ2y

δt2− V 2 δ

2y

δx2= 0

δ2y

δt2− V 2 δ

2y

δx2= 0

δ2y

δt2− V 2 δ

2y

δx2= 0

103

52

6.3 Prawo załamania i odbicia fali

Prawo załamania fali (II Prawo Snelliusa)Kąt padania fali jest związany z kątem załamania następującą zależno-ścią:

sinαsinβ

=V1V2

sinαsinβ

=V1V2

sinαsinβ

=V1V2

i leżą one w tej samej płaszczyźnie.

Dowód falowy

Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem nowejfali.

punkty B i D są to punkty o tych samych fazach, stanowiące czołonowej fali.

|BC| = λ1

|AD| = λ2λ1

|AB|= sinα

104

λ2

|AB|= sinβ

λ1λ2=sinαsinβ

=V1T

V2T

sinαV1=sinβV2= const



Dowód na zasadzie najkrótszego czasu (Fermata):

t =

√x2 + h21V1

+

√(l − x)2 + h22V2

Aby czas był najkrótszy, to dtdx = 0.

dt

dx=

2x

V12√x2 + h21

+2(l − x)(−1)

V22√(l − x)2 + h22

V2

x

V1√x2 + h21

=(l − x)

V2√(l − x)2 + h22

V2

105

53

sinαV1=sinβV2

sinαsinβ

=V1V2

sinαsinβ

=V1V2

sinαsinβ

=V1V2

Prawo odbicia fali (I Prawo Snelliusa)Kąt padania fali jest równy kątowi odbicia i leży w tej samej płaszczyź-nie.

α = βα = βα = β

Dowód na zasadzie najkrótszego czasu (Fermata):

t =

√h2 + x2 +

√h2 + (l − x)2V

Aby czas był najkrótszy, to dtdx = 0.

dt

dx=1V(2x

2√h2 + x2

+2(l − x)(−1)2√h2 + (l − x)2

)

x√h2 + x2

=l − x√

h2 + (l − x)2

sinα = sinβ

α = βα = βα = β

106

6.4 Interferencja fal, fala stojąca

Interferencja fal

Źródła Z1 i Z2 są źródłami koherentnymi.

y1 = A sin 2Π(t

T− x1λ)

y2 = A sin 2Π(t

T− x2λ)

Z Zasady Superpozycji:

y = y1 + y2

y = 2A sinΠ(t

T− x1λ+t

T− x2λ) cosΠ(

t

T− x1λ− tT+x2λ)

x1 + x22= x

gdzie x - x średnie

x2 − x1 = ∆x

y = 2A cos(Π∆xλ) · sin 2Π( t

T− xλ)

107

54

Interferujące ze sobą dwie fale spójne dają nową falę o równaniu:

y = B(∆x) sin 2Π(t

T− xλ)y = B(∆x) sin 2Π(

t

T− xλ)y = B(∆x) sin 2Π(

t

T− xλ)

gdzie B(∆x) = 2A cos(Π∆xλ ) - nowa amplituda fali

W zależności od ∆x możemy zaobserwować:

• wzmocnienie fali:Bmax = 2A gdy cos Π∆xλ = +/− 1Π∆xλ = kΠ

∆x = kλ∆x = kλ∆x = kλ

• wygaszenie fali:Bmin = 0 gdy cos Π∆xλ = 0Π∆xλ =

Π2 + kΠ

∆x = λ2 (2k + 1)∆x = λ2 (2k + 1)∆x = λ2 (2k + 1)

Fala stojącaFala stojąca powstaje poprzez interferencję fal spójnych, biegnących wprzeciwne strony. Fale spójne, biegnące w przeciwne stron, można uzy-skać poprzez odbicie. Fala, odbijając się od ośrodka bardziej sprężystegoniż ten, w którym się rozchodzi, zmienia przy odbiciu fazę na przeciwną.

y1 = A sin 2Π(t

T− xλ)

y2 = A sin 2Π(t

T+x

λ)

y = y1 + y2

108

y = 2A sinΠ(t

T− xλ+t

T+x

λ) cosΠ(

t

T− xλ− tT− xλ)

y = 2A cos(2Πxλ) sin(2Π

t

T)

Równanie fali stojącej:

y = B(x) sin(ωt)y = B(x) sin(ωt)y = B(x) sin(ωt)

Drgania fali stojącej danego punktu są więc drganiami harmonicznymi,a co za tym idzie energia tych drgań jest stała.

• B(x) = 0cos 2Πxλ = 02Πxλ = kΠ+

Π2

x = λ2 (12 + k) - węzłyx = λ2 (12 + k) - węzłyx = λ2 (12 + k) - węzły

xw = λ4 ,34λ,

54λ...

• B(x) = 2Acos 2Πxλ = +/− 12Πxλ = kΠ

x = λ2 · k - strzałkix = λ2 · k - strzałkix = λ2 · k - strzałki

xs = 0, λ2 , λ,32λ...

109

55

6.5 Polaryzacja fal, prawo Brewstera

Falą niespolaryzowanąFalą niespolaryzowanąFalą niespolaryzowaną nazywamy falę, w której drgania występują wewszytkich możliwych płaszczyznach, prostopadłych do kierunku rozcho-dzenia się fali.

Falą spolaryzowaną liniowoFalą spolaryzowaną liniowoFalą spolaryzowaną liniowo nazywamy falę, w której drgania wystepująw tylko jednej płaszczyźnie.

PolaryzatorPolaryzatorPolaryzator to urządzenie, przekształcające falę niespolaryzowaną w fa-lę spolaryzowaną.

Ponieważ nie można spolaryzować fali podłużnej, zjawisko to pozwalaodróżnić fale poprzeczne od podłużnych.

Pierwszej polaryzacji światła (fali poprzecznej) dokonał Brewster.

Prawo BrewsteraŚwiatło odbite jest całkowicie spolaryzowane liniowo, jeśli kąt pada-nia α = αBr spełnia warunek: tgα = n21, gdzie n21 jest względnymwspółczynnikiem załamania ośrodka, na granicy którego zachodzi od-bicie światła.Kąt αBr nazywamy kątem Brewstera. Jeśli α = αBr, to promienie

odbity i załamany są do siebie prostopadłe.

110

Prawo załamania dla światła:

n sinα = const

sinαn1 = sinβn2

β = 90o − α⇒ sinβ = cosα

n1 sinα = n2 cosα

tgα =n2n1= n21tgα =

n2n1= n21tgα =

n2n1= n21

111

56

Rozdział 7

Zderzenia

7.1 Zderzenia doskonale sprężyste

ZderzenieZderzenieZderzenie to silne, krótkowałe, wzajemne oddziaływanie dwóch ciał,przy ich zetknięciu ze sobą, w wyniku czego doznają zmiany prędkości.Ukłąd zderzających się ciał można uznać za ukłąd zamknięty, w

którym spełniona jest zasada zachowania pędu.

Zderzenia doskonale sprężyste centralne


ppocz = m1U1 +m2U2


pkon = m1V1 +m2V2

Z zasady zachowania pędu:

ppocz = pkonc

112

m1U1 +m2U2 = m1V1 +m2V2

m1(U1 − V1) = m2(V2 − U2)

Początkowa energia układu:

Epocz =m1U

21

2+m2U

22

2

Końcowa energia układu:

Ekonc =m1V

21

2+m2V

22

2

Z zasady zachowania energii:

Epocz = Ekonc

m1U21

2+m2U

22

2=m1V

21

2+m2V

22

2m1(U1 − V1)(U1 + V1) = m2(V2 − U2)(V2 + U2)

Mamy zatem:

m2(V2 − U2)(U1 + V1) = m2(V2 − U2)(U2 + V2)

U1 + V1 = U2 + V2U1 + V1 = U2 + V2U1 + V1 = U2 + V2

V1 = U2 + V2 − U1m1U1 +m2U2 = m1U2 +m1V2 −m1U1 +m2V22m1U1 + U2(m2 −m1) = V2(m1 +m2) V2 =

2m1U1+U2(m2−m1)m1+m2

V1 =2m2U2+U1(m1−m2)

m1+m2

Jeżeli m1 = m2 to V1 = U2 i V2 = U1.Jeżeli m2 m1 to V2 ' U2 i V1 ' 2U2 − U1.

113

57

Zderzenia doskonale sprężyste skośne

W kierunku y nie występuje oddziaływanie pomiędzy kuleczkami:

Fy = 0

V1y = U1 cosα

V2y = U2 cosβ

W kierunku x, ponieważ jest to zderzenie doskonale sprężyste, otrzy-mujemy:

U1 sinα+ V1x = U2 sinβ + V2x


m1U1 sinα+m2U2 sinβ = m1V1x +m2V2x

Następnie z równań tych wyliczamy V1x i V2x

V1 =√V 21y + V

21x

V2 =√V 22y + V

22x

114

7.2 Zderzenia niesprężyste, sprężyste skośne


ppocz = m1U1 +m2U2


pkonc = (m1 +m2)V


ppocz = pkonc

m1U1 +m2U2 = (m1 +m2)V

V =m1U1 +m2U2m1 +m2

V =m1U1 +m2U2m1 +m2

V =m1U1 +m2U2m1 +m2

Równanie energii:

m1U21

2+m2U

22

2=(m1 +m2)V 2

2+Q

ZadanieKulka o masie m1 porusza się z prędkością V w stronę spoczywajacejkulki o masie m2. Wiedząc, że nastąpi zderzenie niesprężyste, wyzna-czyć ciepło Q, wydzielone podczas zderzenia.

115

58


ppocz = m1V


pkonc = (m1 +m2)U


ppocz = pkonc

m1V = (m1 +m2)U ⇒ U =m1V

m1 +m2Energia początkowa układu:

Epocz =m1V

2

2

Energia końcowa układu:

Ekonc =(m1 +m2)U2

2=(m1 +m2)m21V

2

2(m1 +m2)2=

m21V2

2(m1 +m2)

Epocz = Ekonc +Q

Q =m1V

2

2− m21V

2

2(m1 +m2)

Q =m1V

2

2(1− m1m1 +m2

)

116

Rozdział 8

Termodynamika

8.1 Wiadomości wstępne

Układem termodynamicznymUkładem termodynamicznymUkładem termodynamicznym nazywamy odizolowany energetycznieod otoczenia zbiór ciał i cząsteczek, oddziaływujących za sobą.

Jednoznacznymi funkcjami stanu układu termodynamicznego są: ener-gia wewnętrzna i entropia.Energią wewnętrzną układuEnergią wewnętrzną układuEnergią wewnętrzną układu nazywamy sumę energii kinetycznej oraz

energii wzajemnych oddziaływań cząsteczek układu.

Parametrami układu termodynamicznego są: ciśnienie, temperatura igęstość.Jeżeli w każdym miejscu układu występuje takie samo ciśnienie,

temperatura i gęstość, to układ ten znajduje się w stanie równowagirównowagirównowagitermodynamicznejtermodynamicznejtermodynamicznej.Czas, po jakim układ termodynamiczny osiąga stan równowagi ter-

modynamicznej, nazywamy czasem relaksacjiczasem relaksacjiczasem relaksacji.

∑ni=1Ekin

= Ek

T ∼= Ek

0K = −273, 16oC

117

59

dla gazów:

Ek =32kT

CiepłemCiepłemCiepłem nazywamy energię, która przepływa z jednego ciała do drugiegow wyniku różnicy temperatur.

Q = ∆UQ = ∆UQ = ∆U

T1 > T2

Ek1 > Ek2

V1 > V2

118

8.2 Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazudoskonałego

Gaz doskonały

gdzie V - średnia prędkość kwadratowa

Ec =∑Ei

Ecn= Esr =

∑ni=1Ein

mV 2

2=∑ni=1mV

2i

2

V 2 =∑ni=1 V

2i

n

V =

√∑ni=1 V

2i

nV =

√∑ni=1 V

2i

nV =

√∑ni=1 V

2i

n

119

60

∆p = −mV −mV

∆p− 2mV

∆p = ∆F ·∆t

∆F =−2mV∆t

∆Fa =2mV∆t

gdzie ∆Fa - siła akcji

Fa =N

6· 2mV∆t1

∧ ∆t1 =a

V

Fa =N2mV 2

6a

Fa =23nEka

p =F

S=F

a2

120

p =23nEka3

∧ a3 = V

p =23nEkV

N

V= l − koncentacja

Ek =32kT

gdzie k = RNA= 1, 38 · 10−23 Jdeg - stała Boltzmana

p =23l32kT

p = lkT

p ∼ lT

p =N

V

R

NAT ∧ n =

N

NA

p =nRT

V

Równanie Clapeyrona (dla gazu doskonałego):

pV = nRTpV = nRTpV = nRT

gdzie:p - ciśnienieV - prędkośćn - liczba moliR - stała gazowa (R = 8, 31b J

mol·K )T - temperatura

Równanie Van der Waalsa dla gazu rzeczywistego:(p+a

V 2

)(V − b) = RT

gdzie:aV 2 - dodatkowe ciśnienie (wzajemne zderzanie)b - stała dla danego gazu (b = 4V0 i V0 - objętość własna cząsteczki)

121

61

8.3 Przemiany gazowe

Przemiana izotermiczna

T = constT = constT = const

pV = nRT

T = const⇒ nRT = const⇒ pV = const⇒ p ∼ 1V

p1V1 = p2V2

Przy sprężaniu powietrza wydziela się ciepło, zatem, aby uzyskać prze-mianę izotermiczną, należy sprężać nieskończenie długo, w zbiornikacho doskonałej przewodności cieplnej.

122

Przemiana izobaryczna

p = constp = constp = const

pV = nRT

p = const⇒ nRp= const⇒ V

T= const⇒ V ∼ T

tgα =V

T=nR

T

Przemiana izochoryczna

V = constV = constV = const

pV = nRT

V = const⇒ nRV= const⇒ p

T= const⇒ p ∼ T

123

62

Przemiana adiabatyczna

Q = 0Q = 0Q = 0

Przemiana adiabatyczna to taka przemiana, w której nie zachodzi wy-miana ciepła z otoczeniem.

pV κ = const

Równania adiabaty:

pV κ = const

TV κ−1 = constT κ

pκ−1= const

124

8.4 Praca i I zasada termodynamiki w przemia-nach gazowych

dW = ~F · d~r = F · dr cosα

F = pS

dW = pS · dx

W =∫ x2x1pSdx

1.Przemiana izotermiczna (T = const)

pV = nRT ⇒ p = nRTV

Wg =∫p · dV

Wg =∫ V2V1

nRT

V· dV = nRT

∫ V2V1

dV

V

Wg = nRT · lnV2V1

Wg = nRT · lnV2V1

Wg = nRT · lnV2V1

125

63

2.Przemiana izobaryczna (p = const)

W =∫ V2V1p · dV = pS

∫ x2x1dx = pS (x2 − x1) = p∆V

wg = p∆Vwg = p∆Vwg = p∆V = −Wz

126

3.Przemiana izochoryczna (V = const)Nie ma przesunięcia ⇒ nie ma pracy

Wg =Wz = 0Wg =Wz = 0Wg =Wz = 0

4.Przemiana adiabatyczna (Q = 0)

W =∫ V2V1p · dV

p0Vκ0 = pV

κ ⇒ p = p0V κ0 V −κ ⇒ p = A · V −κ

W =∫ V2V1AV −κdV =

A

κ− 1

(V −κ+11 − V −κ+12

)

W =A

κ− 1

(1V κ−11

− 1V κ−12

)W =

A

κ− 1

(1V κ−11

− 1V κ−12

)W =

A

κ− 1

(1V κ−11

− 1V κ−12

)

127

64

I zasada termodynamiki w przemianach gazowych

Zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego jest równa sumie pra-cy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i dostarczonego dotego układu ciepła.

∆U = Q+Wz∆U = Q+Wz∆U = Q+Wz

∆U = Q−Wg

∆U = nCV∆T

gdzie CV - ciepło molowe gazu przy stałej objętości

1.Przemiana izotermiczna

T = const⇒ ∆U = 0

0 = Q−Wz

Q =WgQ =WgQ =Wg

2.Przemiana izobaryczna

p = const

Wg = p∆V

∆U = nCp∆T − p∆V∆U = nCp∆T − p∆V∆U = nCp∆T − p∆V

nCV∆T = nCp∆T − p∆V

gdzie Cp - ciepło molowe przy stałym ciśnieniuu

p∆V = nR∆T

nCV∆T = nCp∆T − nR∆T

CV = Cp −RCV = Cp −RCV = Cp −R

cV = cp −R

µ

128

cpcV=CpCV= κ

cpcV=CpCV= κ

cpcV=CpCV= κ

κ =i+ 2i

gdzie i - ilść stopni swobody

3.Przemiana izochoryczna

V = const⇒Wg = 0

∆U = Q = nCV∆T∆U = Q = nCV∆T∆U = Q = nCV∆T

4.Przemiana adiabatyczna

Q = 0⇒ ∆U = −Wg

∆U = nCV∆T

Wg = −nCV∆T

p1V1 = nRT1 ⇒ T1 =p1V1nR

p2V2 = nRT2 ⇒ T2 =p2V2nR

∆T =p2V2 − p1V1nR

p1Vκ1 = p2V

κ2 ⇒ p2 = p1

(V1V2

)κ

∆T =p1V2

(V1V2

)κ− p1V1

nR=p1V1nR

((V1V2

κ−1)− 1

)

∆U = nCVp1V1nR

((V1V2

κ−1)− 1

)∧ R = Cp−CV ∧ κ =

CpCV

∆U =p1V1κ− 1

[(V1V2

)κ−1− 1

]∆U =

p1V1κ− 1

[(V1V2

)κ−1− 1

]∆U =

p1V1κ− 1

[(V1V2

)κ−1− 1

]

129

65

ZadaniePompa rozrzedzająca

Założenie: T = const

Z równania Clapeyrona:

p0V0 = nRTp1 (V0 + V ) = nRT

⇒ p1 =

p0V0V0 + V

p1V0 = n1RTp2 (V0 + V ) = n1RT

⇒ p2 =

p1V0V0 + V

p2 =p0V

20

(V0 + V )2

pn =p0V

n0

(V0 + V )n

130

8.5 Silnik Carnota

T2 < T1 ∧ T1 = const ∆T = const

131

66

1→ 2

Izotermiczny proces rozprężania gazu - ilość ciepła pobranego przezcylinder równa się pracy gazu.

Q1 =W1 = nRT1 lnV2V1> 0

2→ 3

Adiabatyczny proces rozprężania gazu.

W2 = −∆U = −nCV (T2 − T1) > 0

132

3→ 4

Izotermiczne sprężanie gazu.

Q2 =W3 = nRT2 lnV4V3< 0

4→ 1

Adiabatyczne sprężanie gazu.

W4 = −∆U = −nCV (T1 − T2) < 0

Wc =W1 +W2 +W3 +W4 = Q1 +Q2

η =WcQ1

gdzie η - sprawność - stosunek otrzymanej w całym cyklu pracy W dopobranego ciepła Q1.

η = 1 +Q2Q1

η = 1 +T2 ln V4V3T1 ln V2V1

= 1− T2T1

ln V3V4ln V2V1

p1V1 = p2V2p2V

κ2 = p3V

κ3

p3V3 = p4V4p4V

κ4 = p1V

κ1

p1V1 · p2V κ2 · p3V3 · p4V κ4 = p2V2 · p3V κ3 · p4V4 · p1V κ1V1 · V κ2 · V3 · V κ4 = V κ1 · V2 · V κ3 · V4V3V4=V2V1

η = 1− T1T2

η = 1− T1T2

η = 1− T1T2

Sprawność silnika Carnota jest sprawnością maksymalną, nieosią-galną.

133

67

8.6 Entropia jako funkcja stanu

S - entropia ( miara nieuporządkowania)

dS =dQ

T

Entopia układu nie może zmaleć. Entropia wszechświata stale rośnie.Kiedy na śweicie pozostanie jedynie energia cieplna, to entropia osiągniemaksymalną wartość. Średnia temperatura wyniesie wówczas 7K.

1.Entropia w przemianie izotermicznej

T = const

∆S =∫dQ

T=1T

∫dQ =

Q

T

Q

T

Q

T

2.Entropia w przemianie izobarycznej

dQ = nCpdT

∆S =∫nCpdT

T= nCp

∫dT

T= nCp ln

T2T1

nCp lnT2T1

nCp lnT2T1

3.Entropia w przemianie izochorycznej

dQ = nCV dT

∆S =∫nCV dT

T= nCV ln

T2T1

nCV lnT2T1

nCV lnT2T1

4.Entropia w przemianie adiabatycznej

Q = 0⇒ dQ = 0⇒ dS = 0

S = constS = constS = const

134

8.7 II zasada termodynamiki

Istnieje wiele równoważnych sformułowań II zasady termodynamiki.Oto dwa najcześciej spotykane:1. Niemożliwy jest taki proces, którego jedynym rezultatem byłoby

przekazywanie ciepła od ciała o niższej temperaturze do ciała o wyższejtemperaturze.2. Niemożliwy jest proces, którego jedynym rezultatem jest zamiana

całego otrzymanego od jakiegoś ciała ciepła na równoważną mu pracę.

II zasada termodynamiki wskazuje kierunek przemian w przyrodzie.Mówi o tym, że proces zamiany pracy na ciepło jest procesem nieod-wracalnym. Zamiana pracy w całości na ciepło jest dopuszczalna (np. wprzypadku tarcia) i realnie zachodzi w przyrodzie, tylko gdy proces jestodwracalny, tzn. całkowite zamienienie ciepła na pracę jest niemożliwe.

II zasada termodynamiki mówi o niemożliwości zbudowania perpetu-um mobile II rodzaju (maszyny cieplnej, która wykonywałaby pracękosztem jedynie pobranego ciepła). Gdyby skonstruowanie perpetuummobile II rodzaju było możliwe, to można by praktycznie czerpać nie-ograniczone ilości energii z otoczenia(np. oceanów i wykonywać kosztemniej pracę).

135

68

8.8 Pompa cieplna

η =Q1W

gdzie:Q1 - ciepło pobrane z chłodnicyW - praca prądu

136

η =Q1

Q1 −Q2=

T1T1 − T2

η =Q1

Q1 −Q2=

T1T1 − T2

η =Q1

Q1 −Q2=

T1T1 − T2

Założenie:

T1 = 310K

T2 = 273K

η =31037' 8, 5 = 850%

8.9 Silniki cieplne

Maszyna parowa

η = 10− 12%

η =W

Qdost=

∑Q∑Qdost

137

69

Równania Clapeyrona dla poszczególnych przemian:

1→ 2 p1T1= p2T2

2→ 3 V2T2=V3T3

3→ 4 p3Vκ3 = p4V

κ4

4→ 5 p4T4=p5T5

5→ 1 V5T5=V1T1

Ciepło w poszczególnych przemianach:

Q1−2 = nCV∆T1

Q2−3 = nCp∆T2

Q3−4 = 0

Q4−5 = nCV∆T3

Q5−1 = nCp∆T4

∆U =∑Q+

∑W

∆Q =∑W

η =nCV (T2 − T1) + nCp(T3 − T2) + nCV (T5 − T4) + nCp(T1 − T5)

nCV (T2 − T1) + nCp(T3 − T2)

138

Mechanizm działania maszyny parowej:

• otwarcie Z1

• wyrównanie się ciśnienia w kotle i cylindrze

• napłynięcie nowej pary do cylindra

• zamknięcie Z2

• adiabatyczne rozprężanie się pary

• spadek temperatury, skraplanie się pary

• otwarcie Z2 w najwyższym położeniu tłoka

• całkowite rozprężenie się pary

• wyrównanie się ciśnienia w cylindrze do ciśnienia atmosferycznego

• powrót tłoka do położenia początkowego, zamknięcie Z2.

139

70

Silnik czterosuwowy wysokoprężny - DIESEL

η = 40%

1. Zassanie powietrza (tłok do góry)

2. Adiabatyczne sprężanie powietrza (temperatura powietrza wzra-sta, jest większa od temperatury zapłonu oleju)

3. Wtryśnięcie przez pompę wtryskową porcji oleju pod ciśnieniem130 atmosfer przez maleńki otwór, spalanie oleju bez wybuchy(izobaryczne)

4. adiabatyczne rozprężanie, otwarcie Z2, spadek ciśnienia do warto-ści początkowej, przesunięcie tłoka w pierwotne położenie, wydechspalin na zewnątrz.

140

Silnik czterosuwowy niskoprężny

η ¬ 30%

1. Zassanie mieszanki paliwowo-powietrznej (tłok do góry, rośnie V )

2. Sprężanie mieszanki przy zamkniętych Z1 i Z2 (rośnie T, kropelkibenzyny parują)

3. Wybuch mieszanki spowodowany przez iskrę (gwałtowny wzrostciśnienia - przemiana izochoryczna)

4. Gwałtowne przesunięcie się tłoka do góry, otwarcie Z2 przy naj-wyższym położeniu tłoka (spadek ciśnienia do ciśnienia począt-kowego), powró tłoka do położenia najniższego, wydech spalin nazewnątrz.

141

71

Silniki turbinowe

W silnikach turbinowych strumień sprężonego gazu działa na łopatkiwirnika turbiny. W turbinach parowych para sprężana jest w kotle ci-śnieniowym, ogrzewanym węglem. W turbinach spalinowych powietrzejest wstępnie ogrzewane za pomocą już rozprężonych, lecz jeszcze go-rących gazów spalinowych. Następuje adiabatyczne sprężanie powietrzaza pomocą sprężarki (wzrost temperatury). Następnie powietrze tło-czone jest do komory spalania, do której wtryskiwane jest jednocześniepod ciśnieniem paliwo. Spalanie jest w przybliżeniu izobaryczne. Gazyspalinowe, wyrzucane przez otwór wylotowy, działają na łopatki turbi-ny i ulegają adiabatycznemu rozprężeniu. Turbina stanowi jednocześnieźródło napędu sprężarki.

Silniki pulsacyjne i turboodrzutowe

W obu rodzajach silników wykorzystywany jest odrzut gazów spalino-wych, wyrzucanych z komory spalania przez odpowiednio ukształtowa-ną dyszę wylotową. W przednije części silnika pulsacyjno-odrzutowegoznajduje się dysza o wąskim wylocie, rozszerzająca sie w kierunku ko-mory spalania(oddzialone są zaworami).Prędkość przepływu powietrzawpadającego do dyszy wlotowej ma-

leje wraz ze wzrostem przekroju tej dyszy. Ciśnienie w szerokiej częścijest większe niz u wylotu. Dysza wlotowa, zwana dyfuzorem, jest zatemsprężarką. Zawory pomiędzy dyfuzorem a komorą spalania zamykają sięw chwili, gdy zaczyna się proces spalania, a otwieraja się, gdy processię zakończy.W silnikach turboodrzutowych część gazu wylatujacego z komory

spalania porusza turbinę napędzającą sprężarkę (turbina jest tu urzą-dzeniem pomocniczym).

142

8.10 Budowa i zasada działania lodówki sprę-żarkowej

η =Q1W

1. Tłok znajduje się w górnym położeniu, Z1 otwarty, Z2 i Z za-mknięte.

2. Tłok porusza się w dół - w lewej części pompy zwiększa się obję-tość i maleje ciśnienie, freon wrze pod zmniejszonym ciśnieniem,pobiera ciepło ze wszystkiego z czym ma kontakt, pary freonuzostają wciągnięte do cylindra.

3. W najniższym położeniu tłoka otwieta się Z, co powoduje prze-rwanie procesu wrzenia.

143

72

4. Tłok zaczyna poruszać się w górę przy otwartym Z2, freon skraplasię, oddaje ciepło Q2.

5. Chwilowe otwarcie Z pozwala na uzupełnienie freonu w wężowni-cy.

6. Proces powtarza się od początku.

8.11 Zmiany stanu skupienia

• Ciepło porzebne na stopienieQ = mL

gdzie L - ciepło topnienia [ Jkg ]

• Ciepło oddane podczas krzepnięciaQ = m(−L)

• Ciepło potrzebne na wyparowanieQ = mR

gdzie R - ciepło parowania [ Jkg ]

• Ciepło oddane podczas skraplaniaQ = m(−R)

• Ciepło przekazane przez ciałoQ = mc∆T

144

1. Wzrost temperatury lodu (temperatura początkowa lodu - tPL)

Q1 = mL · cL(0oC − tPL)

2. Topnienie

Q2 = mL · L

3. Wzrost temperatury wody (temperatura końcowa wody - tKW )

Q3 = mW · cW (tKW − 0oC)

4. Spadek temperatury pary (temperatura wrzenia - tW , temperatu-ra początkowa pary - tPP )

Q4 = mp · cp(tW − tPP )

5. Skraplanie

Q5 = mP (−R)

6. Spadek temperatury wody (temperatura końcowa wody - tKW )

Q6 = mW cW (tKW − tW )

6∑i=1

Qi = 0

145

73

8.12 Para nasycona i nienasycona. Punkt po-trójny

Para nasyconaPara nasyconaPara nasycona - jest to para, która istnieje w równowadze termodyna-micznej ze swoją cieczą.

Para nienasyconaPara nienasyconaPara nienasycona - jest to para, której ciśnienie jest niższe od ciśnieniapary nasyconej (także gęstość jest mniejsza).

Równowaga termodynamicznaRównowaga termodynamicznaRównowaga termodynamiczna - występuje wówczas, gdy masy jakiejśsubstancji, istniejącej jednocześnie w dwóch lub trzech stanach skupie-nia, nie ulegają zmianie.

Ciśnienie paryPara nasycona - ciśnienie rośnie wraz z temperaturą, nie zależy od ob-jętości.

Para nienasycona - spełnione jest równanie pV = nRT , ciśnienie rośnieniezależnie od temperatury.

146

Punkt potrójnyW punkcie potrójnym wody lód, ciekła woda i para wodna współistniejąw stanie równowagi termodynamicznej.

147

74

I - cieczII - para nasycona + cieczIII - para nienasyconaIV - gazChcąc skroplić gaz, należy obniżyć temperaturę poniżej krytycznej

(zmiana ciśnienia i objętości nie umożliwi skroplenia).

148

8.13 Wilgotność powietrza

Wilgotność bezwzględnaWilgotność bezwzględnaWilgotność bezwzględna - jest to stosunek masy pary wodnej do jejobjętości.

wb =mPV= dP

pV =m

µRT

pµ

RT=m

V= d = wb

ww =mPmPnas

=dPdPnas

=pP (T )pPnas

(T ) =pPnas(Trosy)pPnas(T )

Trosy = 12oC

T1 = 25oC

149

75

Sposób na wyznaczenie względnej wilgotności powietrza:

1. Mierzymy Tpocz otoczenia.

2. Wkładamy termometr.

3. Powoli dmuchamy.

4. Temperatura eteru spada.

5. W pewnej chwili odblask się znacznie pogorszy - notujemy T1,anastępnie (dalej dmuchamy) odblask zaniknie - notujemy T2.

150

76

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

Documents

ska leszy Notatki z lekcji fizyki prowadzonych przez Pana ... · 1.2 Analityczna posta¢ wektora Ka»dy wektor mo»e by¢ przedstawiony w ukªadzie wspóªrz¦dnych jako suma tylu