Wykład 2: Wektorylayer.uci.agh.edu.pl/~szkla/2-Wektory-17.pdf · 2017. 3. 5. · siła dośrodkowa zakrzywiająca tor: F S ... wypadkowa siła odejmowanie wektor algebra wektorów,

Wykład 2: Wektory

dr inż. Zbigniew Szklarski

[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

mailto:[email protected]

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

2017-03-05 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatyka

2

Wielkości fizyczne

Długość, czas, , masa, , pęd

temperatura, natężenie

prądu elektrycznego, , stru-

mień pola magnetycznego,

siła prędkość , przyspieszenie

, przemieszczenie,

natężenie pola elektrycznego

SKALARY WEKTORY

naprężenie

moment bezwładności.


3

Pojęcie wektora

Podstawowe cechy wektora:

Kierunek

Zwrot

Wartość (długość)

A

A

AAA


4

Długość wektora, wersor

Oś liczbowa

Wersor to wektor

jednostkowy

a

0 1

1ˆ a

55

ˆ5

aA

a

x

y

z

ij

k zk

yj

xi

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

A


5

Działania na wektorach

Dodawanie

Odejmowanie

Mnożenie:

Iloczyn wektora przez liczbę

Iloczyn skalarny dwóch wektorów

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów

Nie ma dzielenia wektora przez wektor !


6

Dodawanie wektorów

CBA

A

B

C

B

Reguła równoległoboku

A

B

BAC


7

Odejmowanie wektorów

B

CBABA

A

B

C

to wektor przeciwny


8

Rozkład wektora na składowe

A

xA

yA

y

x

i

j

jaiaAAA yxyxˆˆ

Przykład: rozkład sił na równi

gF

gF

N

SF

N

SF

- siła grawitacji - siła nacisku - siła ściągająca

jiA

aa yx

ˆ3ˆ4

34

Iloczyn wektora przez liczbę


9

a

Wynik działania jest wektorem bak

ba

3

ba

5,1

Wektory i są równoległe - (mają ten sam kierunek)

ba

Wartość (długość) wektora: akb

Gdy k>0, zwroty zgodne

Gdy k<0, zwroty przeciwne

babak


10

Iloczyn skalarny wektorów

Wynik mnożenia jest liczbą:

• dodatnią

• ujemną (kiedy?)

• zero (kiedy?)

Iloczyn skalarny jest przemienny

φ A

B

cos BABA

ABBA


11

Iloczyn wektorowy

Wynik działania jest wektorem.

Należy zatem podać nie tyko

wartość ale również kierunek i

zwrot wektora

B

C

A

CBA

φ


12

Właściwości iloczynu wektorowego

1. Kierunek

- jest prostopadły do

płaszczyzny utworzonej

przez wektory i

2. Zwrot

- określa reguła śruby

prawoskrętnej (prawej

ręki)

B

C

A

φ

CBA

BCiAC

BA

C


13

Właściwości iloczynu wektorowego

3. Wartość iloczynu

Pozostałe właściwości:

• Nie jest przemienny

• Jeżeli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy

lub wektory mają ten sam kierunek (pokrywają się lub są równoległe)

sin BAC

ABBA

00

A

0 AA


14

Algebra wektorów

Rozdzielność iloczynu skalarnego i wektorowego

względem dodawania (odejmowania)

Przykład:

Obliczyć wektor z równania:

CABACBA

CABACBA

X

032 BBAXBA


15

Z rodzielności mnożenia względem dodawania:

ale: więc

dodając i odejmując stronami jak w „zwykłym”

równaniu:

skoro wyrażenie w nawiasie to liczba otrzymujemy:

032 BBAXBA

032 BBBAXBA

2BBB

032 2 BBAXBA

BABBAX

322

2

32

BBA

BAX


16

Wektor w układzie kartezjańskim

x

y

z

ij

k

ax

ay

az

zależności między wersorami:

0ˆˆ

0ˆˆ

1ˆˆ

ˆˆˆ

jj

ii

ji

kji

0

1

kajaiaA zyxˆˆˆ

A

ij

k

jjkikj

ijkjki

ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ

ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ

Oblicz:


17

Działania na wektorach w układzie kartezjańskim

Dodawanie:

Iloczyn skalarny

kajaiaA zyxˆˆˆ

kbjbibB zyxˆˆˆ

kbajbaibaBA zzyyxxˆˆˆ

kbjbibkajaiaBA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

.......ˆˆˆˆˆˆ kibajibaiiba zxyxxx

zzyyxx bababa

cos BABA

0ˆˆ;1ˆˆ

jiii


18

Iloczyn wektorowy

Oblicz: oraz kąt między wektorami:

zx

zx

bb

aaj

kajaiaA zyxˆˆˆ

kbjbibB zyxˆˆˆ

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

BA

ˆˆˆ

zy

zy

bb

aai -

yx

yx

bb

aak

kjB

kjiA

BABA

ˆ3ˆ

ˆˆ2ˆ

,


19

Zastosowanie rachunku wektorowego w fizyce

Iloczyn skalarny:

Praca W = F·S·cosφ =

Iloczyn wektorowy:

siła dośrodkowa zakrzywiająca tor:

F

S

SF

r

mVBqVF

BVqF

L

L

2


20

Zastosowanie rachunku wektorowego w fizyce - zadanie

Stałe siły F1 = i + 2j + 3k oraz F2 = 2i – 5j – 2k (gdzie i, j, k

są wersorami układu) działają równocześnie na cząstkę

przesuwając ją z punktu A (0, 4, 0) do B (2, 3, 4). Oblicz:

a) wektor przesunięcia;

b) wypadkową siłę;

c) kąt między siłami składowymi;

d) pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki;

Moment siły wypadkowej działającej na cząstkę w punkcie B względem środka układu.

Wykazać, że pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej poruszającej się w nim, naładowanej cząsteczki.


21

vv

2

mEk

dt

dm

dt

dm

dt

dEk vvvv

22

ale Fav

mdt

dm

czyli )(2

1

2

1BvvFv

qdt

dEk

Ek=const 0


22

Podsumowanie

Działanie Wynik Metoda postępowania

Zastosowanie

dodawanie

wektor

reguła

równoległo-boku

wypadkowe przemieszczenie

wypadkowa siła

odejmowanie

wektor

algebra wektorów, dowodzenie twierdzeń

rozkład wektora wektory

składowe

równia pochyła, rzut ukośny, itp.

ba

ba


23

Działanie Wynik Definicja Wzór w układzie kartezj.

W matema-tyce

W fizyce

iloczyn skalarny

skalar

prosto-padłość wektorów

praca, energia np. kinetyczna

iloczyn wektorowy

wektor

1. kierunek

2. zwrot

3.wartość

równo-

ległość

wektorów

moment pędu, moment siły, siła Lorentza

mnożenie wektora przez liczbę k

wektor

1. kierunek

2. zwrot

3.wartość

równo-

ległość wektorów

pęd, II zasada dynamiki

ba

ba

cosbaba

sinbaba

baba

k

zzyyxx bababa ba

zyx

zyx

bbb

aaa

ˆˆˆ kji

ba

zz

yy

xx

bka

bka

bka


24

Przykłady

Stałe siły F1 = 2i + j + 3k oraz F2 = 4i – 3j – 2k (gdzie i, j, k są wersorami układu) działają równocześnie na cząstkę przesuwając ją z punktu A (3, 8, 12) do B (0, 0, 7).

Obliczyć pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki.

Wektor położenia ciała o masie m = 2 kg dany jest jako R(t) = 5i + t2j + 2t2k. Oblicz pracę wykonaną przez siłę poruszającą to ciało w ciągu drugiej sekundy jego ruchu.

Cząsteczka o ładunku Q = 2C porusza się w próżni torem opisanym równaniem R(t) = 2ti + 3tj – 3k i wpada w obszar jednorodnego pola magnetycznego B = 3j + k. Oblicz działającą tu siłę Lorentza. Oblicz pracę wykonaną przez tą siłę na bardzo małym odcinku drogi.

Documents

Wykład 2: Wektorylayer.uci.agh.edu.pl/~szkla/2-Wektory-17.pdf · 2017. 3. 5. · siła dośrodkowa zakrzywiająca tor: F S ... wypadkowa siła odejmowanie wektor algebra wektorów,