Slovni ulohy o_spolecne_praci

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Slovní úlohy o společné práci − 2


Jak při řešení slovních úloh postupovat?

1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).

2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou.3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu.4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji.5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.


Slovní úloha o společné práciÚlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se v podstatě pořád stejně. Takže:• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce, stejný čas).• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část společné práce udělá každé těleso, každá osoba za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…)

• Celá společná práce je tvořena součtem částí společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy, osobami, které se na společné práci podílejí.

• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce tvořena součtem, ale rozdílem.

Tak

si to

pojď

me

ukáz

at

na k

onkr

étní

ch

přík

lade

ch.


• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).

• Můžeme však počítat i příklady, kdy tělesa, osoby nepracují naráz, ale jeden začne a druhý se k němu přidá, či naopak začnou společně a jeden skončí dříve (pak doba, čas společné práce stejný není).

Slovní úloha o společné práciÚlohy o společné práci jsou si velice podobné a počítají se v podstatě pořád stejně. Takže:• Pracovat mohou dvě, tři, ale i více těles, osob najednou.• Práci začnou i ukončí většinou naráz (stejná doba společné práce, stejný čas).

• Celá společná práce se rovná jedné (ať pracují 2, 3, 4 nebo i více jedinců, to, na čem společně „makají“, je vždy rovno 1).• Při výpočtech vycházíme vždy z toho, jakou část společné práce udělá každé těleso, každá osoba za časovou jednotku (hodinu, den, minutu…).

• Celá společná práce je tvořena součtem částí společné práce, vykonaných jednotlivými tělesy, osobami, které se na společné práci podílejí.

• Někdy nemusí pracovat společně, ale mohou pracovat proti sobě, např. jednou rourou voda přitéká, druhou odtéká. Pak není společná práce tvořena součtem, ale rozdílem.

Tak

si to

pojď

me

ukáz

at

na k

onkr

étní

ch

přík

lade

ch.

Právě na tento typ příkladů o společné práci se teď podíváme.


Slovní úloha o společné práci

Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom i přítok druhý?

Ukázka zadání takové úlohy:


Slovní úloha o společné práci

Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom i přítok druhý?

1. přítokem by se bazén naplnil za 20 hodin, což znamená, že za 1 hodinu by

se naplnila 1/20 bazénu, za 2 hodiny pak 2/20 atd. Protože se bazén nejdříve plnil 5 hodin jen tímto přítokem a pak teprve oběma společně, je i doba plnění tímto

přítokem o 5 hodin delší než doba společná, tzn. (x + 5) hodin

a naplněná část bazénu za tuto dobu je tedy (x + 5)/20.

20

5x

2. přítokem by se bazén naplnil za 30 hodin,

což znamená, že za 1 hodinu by se naplnila 1/30 bazénu, za 2 hodiny pak 2/30 atd. Za x hodin společné práce se tedy

naplní x/30 bazénu.

30

x 1

Jako neznámou x zvolíme veličinu, o které víme nejméně, a tou je doba společné práce,

tzn. doba, kdy byly otevřeny oba přítoky

společně. Mimochodem − jde o dobu, po kterou

byl otevřen druhý přítok.

První přítok byl otevřen o 5 hodin

dříve, tzn. po dobu o 5 hodin delší, tj. (x + 5) hodin.


hodinza 30

bazénu30

1

...prácespolečnéhodinxza

Příklad: Prvním přítokem se bazén naplní za 20 hodin, druhým za 30 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní, jestliže se nejdříve na 5 hodin otevře jen první přítok a teprve potom i přítok druhý?

Tak ještě jednou a pomaleji.:.přítok1...bazéncelý hodinza 20

...hodinuza 1 bazénu20

1

...hodinyza 2 bazénu20

2

...ěnílnpspolečnéhohodinxa

hosamostatnéhodinza 5bazénu

x

20

5

:.přítok2

...bazéncelý

...hodinuza 1

bazénux

30

bazéncelý1




:.přítok1

...prácespolečnéhodinxa

ěnílnphosamostatnéhodinza 5

bazénux

20

5

:.přítok2

bazénux

30

13020

5

xx



Typická rovnice slovních úloh o společné práci


:.přítok1


ěnílnphosamostatnéhodinza 5

bazénux

20

5

:.přítok2

bazénux

30

13020

5

xx

Jedna celá společná

práce.

Doba práce

druhého

Doba společné

práce

Doba práce

prvního

Čas navíc, po který pracuje samostatně před

společným časem




:.přítok1


samostatnéhodinza 5bazénu

x

20

5

:.přítok2bazénu

x

30

13020

5

xx60/

Zbavíme se zlomků

vynásobením celé rovnice společným

jmenovatelem

60253 xx602153 xx

15605 x

hx 9Bazén se naplní za 14 hodin.

455 x545 :x

Společně se bude bazén oběma přítoky plnit 9 hodin.

Otázka se však neptá na dobu společného plnění,

ale na dobu, za kterou se bazén naplní. Proto musíme

vzít v úvahu i prvních 5 hodin plnění, kdy se plnilo jen prvním přítokem. Bazén

se tedy naplnil za 9 a 5, tj. 14 hodin.


Příklad: Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin. Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo, teprve pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění nádrže.


Příklad: Vodní nádrž se vypustí větším stavidlem za 10 hodin, menším za 12 hodin. Nádrž vypouštěli tak, že první čtyři hodiny otevřeli jen větší stavidlo, teprve pak otevřeli také stavidlo menší. Urči dobu, jakou trvalo vypouštění nádrže.

...prácespolečnéhodinxasamostatnéhodinyza 4

:stavidloMenší

... spolupráce hodinxza nádrže12x

:stavidloVětšínádrže

104+x

110

4

12

xx60/

60465 xx602465 xx

246011 x

hx 273,Vypouštění nádrže trvalo přibližně 7,27 hodiny.

1136 :x. __

Opět pozor na to, že jsme vypočítali dobu společného vypouštění. Vodní nádrž se

však nejdříve 4 hodiny vypouštěla jen větším

stavidlem a teprve potom oběma stavidly společně.

Celková doba vypouštění je tedy

3,27 + 4 = 7,27 hodiny.


Příklad: Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?


Příklad: Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B splní tutéž zakázku za 18 dní. Za kolik dní bude zakázka splněna, jestliže první dva dny na ní pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?

...prácespolečnéhodinxasamostatnéhodinyza 2

:BZávod

...prácespolečnédníxza zakázkyx

18:AZávod

zakázkyx

12

2

112

2

18

xx36/

36232 xx36632 xx

6365 x

dníx 6Zakázka bude splněna za 8 dní.

530 :x

Pozor na to, že jsme vypočítali dobu společné

práce na zakázce. Dva dny však na ni pracoval jen

závod A, teprve potom oba závody společně. Celková

doba plnění celé zakázky je tedy 6 + 2 = 8 dní.

Documents

Slovni ulohy o_spolecne_praci