Slučajna varijabla i vjerojatnost. - mathos.unios.hr · Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 1 ... alan broj zove se Slučajna varijabla. Dakle, slučajna varijabla je funkcija

Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 1

Slučajna varijabla i vjerojatnost.

Primjer 1:

Promotrimo pokus koji se sastoji od zagrijavanja određene količine vode pod

normalnim atmosferskim tlakom na temperaturu od 100C. Rezultat ovog

pokusa jednoznačno je određen uvjetima u kojima se pokus odvija, a sastoji

se od promjene agregatnog stanja vode (tj. voda iz tekućeg prelazi u plinovito

agregatno stanje).

Definicija 1:

Pokuse čiji je ishod jednoznačno određen uvjetima u kojima se pokus odvija

nazivamo determinističkim pokusima.

Primjer 2:

Promotrimo bacanje simetričnog novčića. Neki od uvjeta u kojima se ovaj pokus

odvija su:

• novčić mora biti simetričan, tj. idealno geometrijski napravljen (imati

oblik pravilnog valjka)

• novčić mora biti od homogenog materijala, tj. težište mu mora biti u

središtu valjka

• položaj novčića u trenutki bacanja

• početna brzina bačenog novčića

• otpor zraka...

Rezultat svakog bacanja novčića je ili pismo (P) ili glava (G), no pri bilo kojem

bacanju novčića ne možemo sa sigurnošću tvrditi da će pasti baš P, odnosno baš

G. Dakle, rezultat bacanja novčića nije jednoznačno određen uvjetima u kojima

se odvija. Na osnovu svega rečenog zaključujemo da je bacanje simetričnog

novčića slučajan pokus čiji su mogući ishodi elementi sljedećeg dvočlanog skupa:

Ω = P, G.

Definicija 2:

Pokuse čiji ishod nije jednoznačno određen uvjetima u kojima se pokus odvija

nazivamo slučajnim pokusima.


Definicija 3:

Skup elementarnih događaja Skup svih mogućih ishoda nekog slučajnog

pokusa nazivamo skup elementarnih događaja i oznčavamo grčkim slovom

Ω.

Definicija 4:

Elemente skupa elementarnih događaja nazivamo elementarnim događa-

jima. Podskupove skupa Ω nazivamo događajima.

Primjer 3:

Rezultati slučajnog pokusa koji se sastoji od bacanja simetričnog novčića su ili

P ili G. Dakle, ishodi P = "palo je pismo." i G = "pala je glava." su elementarni

događaji, a prostor elementarnih događaja vezan uz ovaj slučajan pokus je skup

Ω = P, G.U svrhu opisivanja numeričkih karakteristike vezanih uz slučajan pokus defini-

ramo sljedeću funkciju:

Definicija 5:

Funkcija koja svakom pojedinom ishodu danog slučajnog pokusa pridružuje re-

alan broj zove se Slučajna varijabla. Dakle, slučajna varijabla je funkcija

X : Ω → R.

Primjer 4:

Ako promatramo slučajan pokus koji se sastoji od uzastopnog bacanja simetrične

igraće kockice dva puta, tada slučajna varijabla X : Ω → R može biti definirana

na jedan od sljedećih načina:

• X svakom mogućem ishodu (i, j) ovog slučajnog pokusa pridružuje zbroj

(i + j),

• Y svakom mogućem ishodu (i, j) ovog slučajnog pokusa pridružuje realan

broj min(i, j).

• Z svakom mogućem ishodu (i, j) ovog slučajnog pokusa pridružuje realan

broj max(i, j).

Definicija 6:

Slika slučajne varijable X je skup R(X) svih mogućih realizacija slučajne var-

ijable X, tj. skup svih realnih brojeva koje slučajna varijabla može poprimiti -

osnovni objekt za modeliranje.


Primjer 5:

Slike slučajnih varijabli definiranih u prethodnom primjeru su:

• R(X) = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

• R(Y ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6,

• R(Z) = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Definicija 7:

Neka je F familija svih mogučih događaja za danu slučajnu varijablu, tj. Fsadrži sve podskupove od R(X). Vjerojatnost (oznaka: P ) je funkcija koja

svakom događaju A ∈ F pridružuje broj iz intervala [0, 1] tako da vrijede sljedeći

zahtjevi:

1. P (R(X)) = 1,

2. ako su A1, A2 ∈ F takvi da je A1 ∩ A2 = ∅ tada vrijedi:

P (A1 ∩ A2) = P (A1) + P (A2).

Definicija 8:

Klasična definicija vjerojatnosti - ako svih mogućih realizacija ima kon-

ačno mnogo i sve su jednako moguće, tj. R(X) = x1, . . . , xn tada je vjerojat-

nost događaja A ⊆ R(X) definirana na sljedeći način:

P (A) =broj elemenata skupa A

broj elemenata skupa R(X)=

k(A)

k (R(X)).

Osnovna svojstva vjerojatnosti

• Vjerojatnost suprotnog događaja:

Neka je A ∈ F događaj. Suprotni događaj događaju A je njegov komple-

ment, tj. događaj Ac. Vrijedi:

P (Ac) = 1 − P (A).

• Vjerojatnost praznog skupa (nemogućeg događaja):

Za nemoguć događaj = prazan skup = ∅ ∈ F vrijedi: P (∅) = 0.

• Monotonost vjerojatnosti:

Neka su A, B ∈ F takvi da je A ⊆ B. Tada je P (A) ≤ P (B).


• Vjerojatnost unije skupova:

Neka su A, B ∈ F . Tada vrijedi:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Zadaci

Zadatak 1:

Konstruirajte prostor elementarnih događaja za sljedeće slučajne pokuse te neku

numeričku karakteristiku svakog od pokusa opišite prikladno definiranom sluča-

jnom varijablom:

a) uzastopno bacanje simetričnog novčića dva puta za redom,

b) bacanje jedne simetrične igraće kockice,

c) istovremeno bacanje dviju simetričnih igraćih kockica.

Zadatak 2:

Slučajan pokus sastoji se od istovremenog bacanja simetričnog novčića i simetrične

igraće kockice, pri čemu se kao ishod registriraju pojava pisma ili glave na

novčiću i broj na gornjoj strani kockice, redom. Konstruirajte prostor elemen-

tarnih događaja.

Zadatak 3:

Strijelac gađa metu 4 puta, pri čemu se registriraju pogoci i promašaji. Kon-

struirajte prostor elementarnih događaja i sljedeće događaje:

a) A = gađanje je započelo promašajem,

b) B = rezultat svih gađanja je isti,

c) C = cilj je pogođen dva puta,

d) D = cilj je pogođen barem dva puta.


Zadatak 4:

Slučajan pokus sastoji se od bacanja simetrične igraće kockice. Ako se na koc-

kici okrene paran broj zaradit ćemo jednu kunu, a ako se okrene neparan broj

izgubit ćemo jednu kunu. Primjenom klasične definicije vjerojatnosti odredite

vjerojatnost zarade.

Zadatak 5:

Simetrična igraća kockica baca se dva puta. Upotrebom klasične definicije

vjerojatnosti odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

a) A = pali su jednaki brojevi,

b) B = suma brojeva koji su pali je 8,

c) C = produkt brojeva koji su pali je 8,

Zadatak 6:

Promotrimo slučajan pokus bacanja dvaju nepravilnih novčića, tj. dvaju novčića

kod kojih pismo i glava nemaju jednaku mogućnost pojavljivanja. Vjerojatnosti

pojedinih ishoda ovog pokusa su:

P (GG) =4

9, P (GP ) = P (PG) =

2

9, P (PP ) =

1

9.

Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

A = pri bacanju dvaju novčića točno se na jednom okrenula glava,

B = pri bacanju dvaju novčića barem se na jednom okrenula glava.

Zadatak 7:

Na raspolaganju nam je kutija u kojoj se nalazi 100 papirića numeriranih bro-

jevima 1, 2, . . . , 100. Slučajan pokus sastoji se od izvlačenja jednog papirića iz

kutije. Konstruirajte prostor elementarnih događaja te upotrebom klasične

definicije vjerojatnosti odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

a) A = izvučeni broj je jednoznamenkast,

b) B = izvučeni broj je dvoznamenkast,

c) C = izvučeni broj je manji ili jednak od 57,

d) D = izvučeni broj je strogo veći od 57,


Zadatak 8:

Odredite vjerojatnost da bračni par s troje djece ima točno dvije djevojčice

i jednog dječaka ako je vjerojatnost rođenja djevojčice jedna avjerojatnosti

rođenja dječaka.


Osnove algebre skupova

Definicija 9:

1. Skup A je podskup skupa B (A ⊆ B) ako je svaki element skupa A ujedno

element i skupa B.

2. Skup A jednak je skupu B ako je A ⊆ B i B ⊆ A.

3. Unija skupova A i B je skup A ∪ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B.

4. Presjek skupova A i B je skup A ∩ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B.

5. Razlika skupova A i B je skup A \ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω /∈ B.

7. Komplement skupa (događaja) A ⊆ Ω je skup AC = ω ∈ Ω : ω /∈ Akojeg nazivamo suprotan događaj događaja A.

8. Komplement skupa elementarnih događaja je prazan skup, tj. ΩC = ∅.Cijeli skup elementarnih događaja Ω nazivamo siguran događaj, a nje-

gov komplement nemoguć događaj.

Zadaci

Zadatak 9:

Među studentima okupljenima na predavanju slučajno se bira jedan student.

Promatramo sljedeće događaje:

• A = student je muškog spola,

• B = student je nepušač,

• C = student živi u studentskom domu.

a) Opišite događaj A ∩ B ∩ C.

b) Kada će vrijediti A ∩ B ∩ C = A?

c) Kada će vrijediti CC ⊆ B?

d) Kada će vrijediti AC = B? Vrijedi li nužno ova jednakost ako svi muški

studenti puše?


Zadatak 10:

Student je došao na ispit znajući odgovore na 90 od 100 pitanja. Primjenom

osnovnih skupovnih operacija opišite sljedeće događaje:

a) student zna odgovore na svih pet izvučenih pitanja,

b) student zna odgovore na barem tri od pet izvučenih pitanja.


Osnove kombinatorike

• Princip sume - neka su S i T konačni skupovi bez zajedničkih elemenata,

t.j. S ∩ T = ∅. Tada je S ∪ T također konačan skup i vrijedi:

k(S ∪ T ) = k(S) + k(T ).

• Princip produkta - neka su S i T konačni skupovi (koji mogu imeti

i zajedničkih elemenata, tj. S ∩ T ne mora biti prazan skup). Tada je

njihov Kartezijev produkt S × T konačan skup i vrijedi:

k(S × T ) = k(S) · k(T ).

Primjer 6:

Trebamo odabrati jedan par, mladića i djevojku, iz razreda koji se sastoji od 21

djevojke i 2 mladića. Na koliko načina to možemo učiniti?

Napomena 1:

Uređeni razmještaji nazivaju se permutacije, a neuređeni razmještaji kombi-

nacije.

Definicija 10:

Neka je A = a1, . . . an skup koji se sastoji od n elemenata i neka je r ∈ N,

r ≤ n. Varijacija r-tog razreda u skupu A je svaka uređena r-torka međusobno

različitih elemenata iz skupa A. Broj varijacija r-tog razreda n-članog skupa je:

V rn = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1) =

n!

(n − r)!.

Primjer 7:

Koliko ima međusobno različitih uređenih trojki elemenata skupa A, ako je

k(A) = 10?

Definicija 11:

Svaku uređenu n-torku skupa od n elemenata zovemo permutacija. Broj per-

mutacija n-članog skupa je:

pn = V nn = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!.

Napomena 2:

Permutacija u n-članom skupu je svaka varijacijan-tog razreda tog skupa.


Primjer 8:

Na koliko načina pet ljudi može stati u red?

Definicija 12:

Neka je A = a1, . . . an skup koji se sastoji od n elemenata i neka je r ∈ N,

r ≤ n. Kombinacija r-tog razreda u skupu A je svaki r-člani podskup skupa A.

Broj kombinacija r-tog razreda skupa od n elemenata je:

Crn =

(

n

r

)

=n!

r! · (n − r)!.

Primjer 9:

U razredu ima 15 dječaka i 10 djevojčica. Na koliko načina možemo odabrati:

a) tri dječaka,

b) tri dječaka i dvije djevojčice,

c) jednak broj dječaka i djevojčica?

Napomena 3:

Sljedeće zadatke rješavamo primjenom osnovnih kombinatornih pojmova i klasične

definicije vjerojatnosti.

Zadaci

Zadatak 11:

Pretpostavimo da u pošiljci od ukupno 500 jabuka ima 2% prezrelih jabuka.

Kolika je vjerojatnost da slučajan uzorak od 20 jabuka uzet iz te pošiljke sadrži

točno dvije prezrele jabuke?

Zadatak 12:

Iz špila od 52 karte na slučajan način biramo 8 karata. Izračunajte vjerojatnost

da su izvučena

a) točno tri asa,

b) točno tri kralja,


c) točno tri asa ili točno tri kralja.

Zadatak 13:

Student je došao na ispit znajući odgovore na 90 od 100 pitanja. Izvlači se pet

pitanja.

a) Kolika je vjerojatnost da će student znati odgovore na svih pet pitanja?

b) Kolika je vjerojatnost da će student znati odgovore na barem tri od pet

izvučenih pitanja?


Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost događaja

Primjer 10:

Nakon izleta napravili smo 5 kopija istog CD-a s fotografijama izleta ali su

pri tome samo tri kopije uspjele, a na CD-ove nismo stavili nikakve oznake!?

Moramo izabrati jedan od njih i imamo vremena za provjeru. Provjerili smo

jedan i utvrdili da je neispravan. Međutim, u žurbi nam se taj provjereni CD

pomiješao s ostalima i sada moramo uzeti jedan bez provjere jer moramo krenuti,

pa kako bude. Mislite li da bi vjerojatnost da smo ponijeli ispravan CD bila

veća da se provjereni CD nije pomiješao s ostalima? Analizirajmo ove slučajeve

odvojeno.

1. Pomiješani slučaj. Označimo sa Di i Li, i = 1, 2, događaj koji znači da je

u i-tom izvlačenju izvučen dobar, odnosno loš, CD. Vidimo da je

P (L1 ∩ D2) =2 · 35 · 5 =

6

25.

Zapravo, pri drugom uzimanju CD-a ponovo smo na početku, ponavljamo

izvlačenje u istim uvjetima kao prvi puta.

2. Nepomiješani slučaj. Ovaj puta je drugi pokus bitno promijenjen u odnosu

na prvi. Sada je

P (L1 ∩ D2) =2 · 35 · 4 =

3

10.

Dakle, rezultat prvog izvlačenja utjecao je na vjerojatnost pojavljivanja

dobrog u drugom izvlačenju. Dio3

4iz gornjeg produkta zvat ćemo uvjetna

vjerojatnost događaja D2 uz uvjet da se dogodio događaj L1.

U oba slučaja prethodnog primjera pojavljuju se dva izvlačenja pokusa. U

pomiješanom slučaju vjerojatnost u drugom izvlačenju ne ovisi o rezultatima

prvog izvlačenja i zapravo je ista kao u prvom izvlačenju. Kažemo da drugo

izvlačenje ne ovisi o prvom izvlačenju i možemo ih promatrati odvojeno. U

nepomiješanom slučaju rezultat prvog izvlačenja utječe na vjerojatnost u dru-

gom izvlačenju i nije mudro ta dva izvlačenja promatrati kao sasvim odvo-

jene cjeline. Da bismo mogli proučavati ovakve probleme definirat ćemo tzv.

uvjetne vjerojatnosti koje će opisivati rezultate drugog izvlačenja i to: uvjetnu

vjerojatnost uz uvjet da je u prvom izvlačenju izvučen dobar CD i uvjetnu vjero-

jatnost uz uvjet da je u prvom izvlačenju izvučen loš CD.

Definicija 13:

Neka je A ∈ F događaj koji ima pozitivnu vjerojatnost, tj. P (A) > 0. Uvjetna

vjerojatnost nekog događaja B ∈ F uz uvjet da se dogodio događaj


A definirana je izrazom

P (B | A) =P (A ∩ B)

P (A), B ∈ F .

Primjer 11:

Odredimo uvjetne vjerojatnosti u prethodnom primjeru za slučaj da nismo

zabunom pomiješali pregledani CD s ostalima.

Napomena 4:

Pojam nezavisnosti dvaju događaja A i B, P (A) > 0, odražava činjenicu da

realizacija jednog od njih ne utječe na realizaciju drugog. To bi se na uvjetnu

vjerojatnost trebalo odraziti tako da je

P (B | A) = P (B),

tj. da za vjerojatnost presjeka vrijedi

P (A ∩ B) = P (B | A)P (A) = P (B)P (A).

Primjer 12:

Za slučaj u kojemu smo pomiješali provjereni CD s ostalima također možemo

odrediti uvjetnu vjerojatnost uz uvjet da je u prvom izvlačenju izvučen loš CD

kao i uvjetnu vjerojatnost uz uvjet da je u prvom izvlačenju izvučen dobar CD.

Međutim, te dvije uvjetne vjerojatnosti će biti jednake. Uvjetna vjerojatnost

uz uvjet da je u prvom izvlačenju izvučen loš CD iznosi

P (D2 | L1) = P (D2) =3

5, P (L2 | L1) = P (L2) =

2

5,

a uvjetna vjerojatnost uz uvjet da se je u prvom izvlačenju izvučen dobar CD

iznosi

P (D2 | D1) = P (D2) =3

5, P (L2 | D1) = P (L2) =

2

5.

Sada vjerojatnost da su u oba izvlačenja izvučeni loši CD-ovi iznosi

P (L1 ∩ L2) =2

5· 2

5=

4

25.

Definicija 14:

Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor. Kažemo da su događaji A, B ∈ Fnezavisni ako vrijedi:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B).


Zadaci

Zadatak 14:

Od 100 jaja u pošiljci s dane farme, vjerojatnost je 2% da se nađe jaje s bakter-

ijom salmonele. Ako izvlačimo prvo jedno, a zatim drugo jaje i testiramo ga na

salmonelu, kolika je vjerojatnost da je drugo jaje zaraženo ako prvo jaje nismo

vratili u kutiju (obzirom da smo ga razbili) i ako:

• je prvo jaje zaraženo,

• prvo jaje nije bilo zaraženo.

Koliko bi iznosile gornje vjerojatnosti da smo mogli vratiti prvo jaje u kutiju.

Kolike su razlike u vjerojatnostima s vraćanjem i bez vraćanja? Riješite isti

primjer u slučaju da pošiljka sadrži 1000 jaja. Možete li komentirati pojam

”velika pošiljka”?

Zadatak 15:

Bacamo simetričnu igraću kockicu i zanimaju nas sljedeći događaji:

• A - pao je paran broj,

• B - pao je broj manji ili jednak 4.

Izračunajte P (A), P (B), P (A ∩B), P (A|B), P (B|A). Jesu li ti događaji neza-

visni?

Zadatak 16:

Tri puta bacamo simetričan novčić. Zanimaju nas sljedeći događaji:

• A - glava je pala barem jednom,

• B - glava je pala točno dva puta,

• C - pismo je palo točno dva puta,

• D - glava je pala najviše jednom.

Odredite sljedeće vjerojatnosti: P (A ∩ B), P (A ∩ D), P (B ∩ C), P (B ∩ D),

P (B|A), P (A|D) i P (C|B). Koji su parovi događaja (ako ih uopće ima) neza-

visni?


Diskretna slučajna varijabla

Definicija 15:

Za slučajnu varijablu X za čija je slika R(X) konačan ili prebrojiv, tj. diskretan

skup, kažemo da je diskretna slučajna varijabla.

Definicija 16:

Diskretnu slučajnu varijablu zadajemo tako da zadamo pripadni skup vrijed-

nosti R(X) = x1, . . . , xn, . . . i pridružene vjerojatnosti pn = P (X = xn), što

zapisujemo u obliku tablice:

X =

(

x1 . . . xn . . .

p1 . . . pn . . .

)

.

Ovu tablicu nazivamo distribucija ili zakon razdiobe slučajne varijable X .

Distribucija ima sljedeća svojstva:

1. xi 6= xj čim je i 6= j,

2. pi ≥ 0, ∀i,

3.∞∑

i=1

pi = 1.

Primjeri parametarski zadanih diskretnih sluča-jnih varijabli

Bernoullijeva slučajna varijabla

• Neka je X slučajna varijabla koja može primiti točno dvije vrijednosti, i

to R(X) = 0, 1. Njena tablica distribucije tada ima oblik:

X =

(

0 1

q p

)

, p ∈ 〈0, 1〉, q = 1 − p.

• Slučajnu varijablu X sa tablicom distribucije ovakvog oblika nazivamo

Bernoullijevom slučajnom varijablom, a samu distribuciju Bernoul-

lijevom distribucijom s parametrom p (p = vjerojatnost da X primi

vrijednost 1).

Binomna slučajna varijabla


• Binomna slučajna varijabla vezana je uz nezavisno ponavljanje Bernoulli-

jevog pokusa (koji ima samo dva moguća ishoda: 1 = uspjeh; 0 = neusp-

jeh).

• Svako ponavljanje takvog pokusa opisano je istom slučajnom varijablom

- Bernoullijevom.

• Pretpostavimo da Bernoullijev pokus ponavljamo nezavisno n puta i da

nas zanima kolika je vjerojatnost da se pojavi točno k uspjeha, k =

0, 1, ..., n. Iz dobro poznatih razloga ona iznosi

P (X = k) =

(

n

k

)

pkqn−k,

jer se u n nezavisnih ponavljanja pokusa točno k puta (svaki puta sa

vjerojatnošću p) pojavila realizacija koju nazivamo uspjeh i točno (n− k)

puta realizacija koju nazivamo neuspjeh (svaki puta sa vjerojatnošću q).

• Slučajna varijabla X koja predstavlja slučajan broj uspjeha u n nezavisnih

ponavljanja Bernoullijevog pokusa dana je sljedećom tablicom distribucije:

X =

0 1 2 . . . n

qn

(

n

1

)

pqn−1

(

n

2

)

p2qn−2 . . . pn

.

• Slučajna varijabla zadana ovom tablicom distribucije zove se binomna

slučajna varijabla i označava sa X ∼ B(n, p), gdje brojeve n (broj

nezavisnih ponavljanja pokusa) i p (vjerojatnost realizacije uspjeha u jed-

nom izvođenju pokusa) nazivamo parametrima binomne slučajne varijable.

• Samu distribuciju nazivamo binomnom distribucijom.

Zadaci

Zadatak 17:

Poznato je da je u velikom skladištu trgovine informatičkom opremom vjerojat-

nost pojavljivanja prijenosnog računala s greškom nastalom u proizvodnji jed-

naka 0.02. Pretpostavimo da iz tog skladišta biramo 10 prijenosnih računala.

Odredite sljedeće vjerojatnosti:

1. vjerojatnost da je točno 5 prijenosnih računala sa greškom,


2. vjerojatnost da su s greškom najviše 3 prijenosna računala,

3. vjerojatnost da je s greškom barem 6 prijenosnih računala.

Zadatak 18:

Jedno je istraživanje pokazalo da se 5% Amerikanaca boje biti sami u kući

po noći. Ako na reprezentativan način odaberemo uzorak od 20 Amerikanaca,

pronađite sljedeće vjerojatnosti:

1. Ima točno pet ljudi u uzorku koji se boje biti sami noću.

(Rješenje: 0.00224465)

2. ima najviše tri osobe u uzorku koje se boje biti same noću.

(Rješenje: 0.984098)

3. Ima barem tri osobe u uzorku koje se boje biti same noću.

(Rješenje: 0.0754837)

Zadatak 19:

Računovodstvena služba nekog poduzeća je utvrdila da 40% kupaca ne plaća

račune na vrijeme. Ako se na slučajan način iz skupa računa odabere 6 kupaca,

kolika je vjerojatnost:

1. Da su svi odabrani kupci podmirili račune na vrijeme?


2. Da je preko 3

4odabranih kupaca podmirilo račune?


3. Da 50% odabranih kupaca nije platilo račune na vrijeme?


Zadatak 20:

Vjerojatnost da izvještaj o povratu poreza neke osobe bude ponovo pregledan

iznosi 1.5% za prihod manji od 100000 dolara, a 3% ako je prihod jednak 100000

dolara i veći (Izvor: Statistical Abstract of the USA, 1998).

1. Kolika je vjerojatnost da poreznom obvezniku, čiji je prihod manji od

100000 $, porezna kartica bude ponovno pregledana, a kolika za onoga čiji

je prihod jednak ili veći od 100000?

(Rješenje: 0.015, 0.03)


2. Ako se odabere 5 poreznih obveznika sa prihodom manjim od 100000,

kolika je vjerojatnost da će biti pregledana samo jedna porezna prijava, a

kolika da će ih biti pregledano više od jedne?

(Rješenje: 0.0706002, 0.00218326)

3. Isto izračunajte za 5 poreznih obveznika s prihodom većim od 100000.

(Rješenje: 0.132794, 0.00847205)

4. Koje pretpostavke ste morali postaviti da biste riješili ove zadatke upotre-

bom binomne distribucije?

(Rješenje: pretpostavljamo da se radi o malom uzorku (5 osoba)

iz velike populacije, što aproksimativno odgovara modelu u kojem

5 puta nezavsno ponavljamo isti Bernoullijev pokus.

Ta pretpostavka ovdje omogućuje upotrebu binomne distribucije.)


Neprekidna slučajna varijabla

• Ako skup elementarnih događaja sadrži neki interval znači da nas mogu

zanimati slučajne karakteristike s neprebrojivim skupom vrijednosti.

• Primjer 13:

Proučavanje vremena koje protekne od dana stavljanja stroja u upotrebu

do prvog kvara je jedan slučajan pokus. Pretpostavimo da dobit ostvarena

na tom stroju isključivo ovisi o vremenu rada stroja. Time je dobit ost-

varena do njegovog prvog stavljanja izvan pogona zbog kvara (koji će uz to

uzrokovati dodatne troškove!) slučajna karakteristika za koju je prirodno

pretpostaviti da njen skup mogućih realizacija sadrži neki interval.

• Neprekidne slučajne varijable zadajemo pomoću nenegativne realne funkcije

(f : R → [0, +∞〉) koja ima svojstvo da je površina ispod njezina grafa nad

skupom realnih brojeva jednaka jedan, tj.

+∞∫

−∞

f(x) dx = 1.

Normalna slučajna varijabla

• Najvažnija neprekidna slučajna varijabla (npr. inteligencija je u populaciji

približno normalno distribuirana).

• Normalna slučajna varijabla (oznaka: X ∼ N (µ, σ2)) je neprekidna

slučajna varijabla za koju je

R(X) = R.

• funkcija gustoće normalne slučajne varijable dana je formulom:

f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 ,

gdje je µ ∈ R matematičko očekivanje, a σ > 0 standardna devijacija.

• Specijalno, ako je µ = 0, σ = 1, govorimo o standardnoj normalnoj

slučajnoj varijabli.


• Graf funkcije gustoće normalne slučajne varijable za različite vrijednosti

parametara µ i σ2.

-4 -2 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Μ = 2, Σ2 = 4

Μ = 2, Σ2 = 0.25

Μ = 0, Σ2 = 1

-4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Μ = 2, Σ2 = 4

Μ = 2, Σ2 = 0.25

Μ = 0, Σ2 = 1

Graf funkcije gustoće i funkcije distribucije normalne slučajne

varijable.

• Uočimo:

– Funkcija gustoće normalne slučajne varijable postiže maksimum u

x = µ.

– Graf funkcije gustoće normalne slučajne varijable simetričan je u

odnosu na pravac koji prolazi maksimumom krivulje i paralelan je

s y osi.

– Standardna devijacija je pozitivan broj i ona određuje koliko je funkcija

gustoće "široka".

– Vjerojatnost da realizacija padne u interval [µ−σ, µ+σ] iznosi 0.68.

– Vjerojatnost da realizacija padne u interval [µ − 2σ, µ + 2σ] iznosi

0.95.

– Vjerojatnost da realizacija padne u interval [µ − 3σ, µ + 3σ] iznosi

0.9972.

Zadaci

Zadatak 21:

Neka je Z standardna normalna slučajna varijabla. Odredite sljedeće vjerojat-

nosti:

1. P (−0.5 ≤ Z ≤ 1.1)



2. P (−0.38 ≤ Z ≤ 1.72)


3. P (Z ≥ 1.6)


4. P (Z ≤ −1.8)


Zadatak 22:

Prinos usjeva određenog gospodarstva mjeri se količinom proizvoda koji se

proizvede po hektaru. Poznato je da se normalna slučajna varijabla može upotri-

jebiti za opis prinosa kroz vrijeme (Izvor: American Journal of Agricultural

Economics, 1999). Povijesni podaci pokazuju da prinos pamuka za iduću god-

inu može biti opisan normalnom distribucijom s očekivanjem 1500 funti po hek-

taru i standardnom devijacijom 250. Poljoprivredno gospodarstvo koje proma-

tramo bit će profitabilno ako proizvede barem 1600 funti po hektru.

1. Kolika je vjerojatnost da će to gospodarstvo izgubiti novac slijedeće go-

dine?


2. Kolika je vjerojatnost da slijedeće godine prinos padne unutar dvije stan-

dardne devijacije oko 1500?

(Rješenje: 0.9545)

Zadatak 23:

Količina novca koji aviokompanije troše na hranu po jednom putniku je nor-

malno distribuirana sa očekivanjem 64 kn i standardnom devijacijom 16. Odred-

ite:

1. Koliki postotak aviokompanija troši više od 100 kn po putniku?


2. Koliki postotak aviokompanija troši između 48 i 80 kn po putniku?


Documents

Slučajna varijabla i vjerojatnost. - mathos.unios.hr · Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 1 ... alan broj zove se Slučajna varijabla. Dakle, slučajna varijabla je funkcija