Soil Mechanics I土の力学 I

Hiroyuki Tanaka田中洋行

Soil Mechanics土質力学

• Geotechnical Engineering• 最近は地盤工学– 理由：力学だけではない

• Meaning of “Geo” The earth, or Ground• Geology （地質）• Geo-sciences, chemistry, graphy, so on.• パワーポイント： • 教科書：土質力学入門　（三田地利之著）　森北出版　価格 2,900 円

土の基本的性質Fundamental properties of soil

土の構成Composition of Soil

Pore

Solid

Volume Mass

Air

Liquid (water)

Solid p.18

土の状態の表現Terms for soil conditions

v

s

Ve

V

v v a w

s v s a w

V V V Vn

V V V V V V

v

s

mw

m

w wr

v a w

V VS

V V V

間隙比 (Void Ratio) 体積ベース間隙土粒子

含水比（ Water Content)水分土粒子 質量ベース

含水率 w w

s w

m m

m m m

間隙率

飽和度（ Degree of saturation) 　間隙がどれくらい水で満たされているか？体積ベース

水の体積全体の間隙

p. 18-23

土の状態の表現Terms for soil conditions

s v s s w wt

s v s v

m m m V V

V V V V V

( , ) ( , )xgt sat d t sat d

ss

s

m

V

ss

wG

s v s s w wsat

s w s w

m m m V V

V V V V V

s s sd

s v s v

m m V

V V V V V

3 3( / ) 10 ( / )w wkN m g cm

土粒子の密度 (Density of solid) 土粒子の質量

土粒子の体積

土粒子の比重 (specific Gravity)

単位： g/cm3

水に対する比：無次元

通常の土のおおよその値　 2.6 ～ 2.8

土の密度 湿潤密度 乾燥密度 (w=0 ） 飽和時の密度（ Sr=100%)

土の単位体積重量

g: 重力加速度p. 18-23

粒径　 Grain Size

Clay Silt Sand Gravel

粒径加積曲線Grain size accumulation curve

p.14

p. 25

粒径の測定方法Measurement of grain size

ふるい（ sieving)沈降分析（ method of sedimentation)

ストークスの法則

2

18

s wv gd

18

s w

Ld

g t

仮定：土粒子は球

p.24

粒度の表現方法

60

10c

DU

D

230

c10 60

( )'

DU

D D

D50: 平均粒径　 D10: 有効径

均等係数 曲率係数

p.25

土のコンシステンシーConsistency of Soil

Liquid Limit

Plastic LimitShrinkage Limit

p.27

液性限界Liquid Limit

Ｗ L: 　落下回数が 25 回の時の含水比p.27

塑性限界Plastic Limit

WP ：直径が 3mm で切れた時の含水比

p.29

WL ， WP を使った大事な指標

塑性図 Plastic Chart

塑性指数（ Plasticity Index) IP=wL-wP

p.31

相対密度と液性指数(relative density and Liquidity Index)

粗粒土（砂）

粘性土

相対密度 max

max minr

e eD

e e

最も密な状態： Dr=1.0

最も緩い状態 :Dr=0

液性指数P

LL P

w wI

w w

w= ｗ L 　 IL=1.0w=wP IL=0

偏差値に相当

p.21

p.30

土中の水の流れWater Flow in the Ground

Darcy の法則Darcy’s Law

Dh

Dl

導水勾配（ hydraulic gradient)30

0.7540

h cmi

l cm

無次元

流量： Darcy’s Law q kiK: 透水係数　 m/s

3 2( ) ( ) ( / )Q m t A m q m s t

A: 断面積p.42

K の測定方法（室内）定水位

Constant head

水頭は常に一定

htQt Aqt Akit Ak

L

p.46

K の測定方法（室内）変水位

Falling head

非常に k が小さい場合（粘性土）：圧密試験

水頭を h1 から h2 に変化（時間は t1 から t2)

断面積a

A

Dt の間に流出する量

ha h k A t

L

1

2 1 2ln

( )

aL hk

A t t h

p.46

透水係数の測定（野外）

室内（ Laboratory)野外（原位置）In situ, Field

単孔式：水位を h1 に下げておいて， h2 に　　　　　　なるまでの時間を測定

1

2 1 0 2ln ln

2 ( )

or L hk

L t t r h

p.47

多孔式揚水試験定常状態：水圧が時間によって変化しない状態

揚水井：水を汲み出す孔観測井：水位を観測する孔 式の導入は教科書参照

p.48

浸透流量の算出Calculation of water flow

Laplace の方程式

2 2

2 20x y

h hk k

x z

水頭が同じ

流線と等ポテンシャル線は直交

流線網

p.50

等ポテンシャル線と流線の書き方Equi-Potential and flow lines

等ポテンシャル線

h=Hh=0

流線

直交

kx=kz であれば，できるだけ正方形

この線上の水頭は H/2

Nf: 流線の数： 4Nd ：等ポテンシャル線の数： 9

( )f

d

NQ k H H

N

Q: 単位時間当たり，　　単位奥行き当たり

p.50

コンクリートダム基礎

p.52

アースダム堤体

p.52

地盤内の応力Stress distribution in the ground

有効応力の概念Effective stresss

間隙水に作用している応力（間隙水圧 pore water pressure ： u ）

土粒子に作用している応力（有効応力 effective stress:s’ ）

2 つの応力の和（全応力 total stress ： s)

' u p.60

自重による地盤内応力Stresses due to the self weight of soil

z

b

rt

gt=rtxg

tv t

bzz

b

地下水面z1

z2

gt

gsat

gtz1

gtz1+gsatz2 gwz2

全応力 間隙水圧

有効応力 1 2 2 1 2 1 2' ( ) 't sat w t sat w tu z z z z z z z

地下水面より下： g’ 　土の水中単位体積重量：　浮力を考慮：アルキメデスの原理

土かぶり圧： Overburden pressure

p.62

載荷重による地盤内応力Stresses due to the outer force

p.64, 66

Osterberg の図表

z I q

p.67

Osterberg における重ね合わせの原理

p.68

Newmark の方法

m=B/z, n=L/Z

p.68

Newmark の図表における重ね合わせの原理

p.68

圧力球根Pressure Bulb

幅が広くなればなるほど影響は深部に及ぶ

p.70, 71

荷重の分散Spread of load

0.3q0.1q

z の分布

簡便な方法

a=30° ～ 45° B

Z

q

q’

B+2z (a=45°)

Bq=(B+2z)q’ '( 2 )

Bq q

B z

深くなれば圧力は減少

p.71

接地圧Contact Pressure

地盤は弾性体ではない地盤の種類によって接地圧沈下の分布は異なる

p.72

ボイリングとヒ―ビングBoiling and heaving

土かぶり圧（全応力）より，水圧が大きくなる現象

Fs=1 の時の動水勾配を限界動水勾配： ic

教科書 P20 を見よ（式 2.10)

t

w

DFs

H

ヒービングに対する安全率

p. 77, 78

圧密と沈下Consolidation and Settlement

圧密試験Oedometer 水だけが出る

土粒子は出ない

通常の寸法直径 60mm厚さ 20mm

p. 89

沈下曲線Settlement Curve

圧力によって収縮する

収縮しない

沈下を e の変化で表現

P を対数とすると直線となる

p. 81

載荷と除荷Loading and Unloading

Dp

Dp=PA-PB

載荷

除荷

載荷と除荷では，圧縮量は違う：不可逆的

p. 81

圧密曲線Consolidation Curve

圧密降伏応力（先行圧密応力）： pc, py

過圧密領域 正規圧密領域

過圧密比 (OCR)＝ pc/ 現在の土かぶり圧（有効応力）

圧縮指数： Cc

膨張指数： Cr ， Cs

1 1

1 1log log log( / )

o oc

o o

e e e eC

p p p p

p. 91

沈下量の求め方Method for settlement

荷重の載荷前

荷重の載荷後

eo

e1

pop1

Dp

載荷前の有効応力： po（有効土かぶり圧）

荷重の大きさ： Dp

載荷後の有効応力p1=Dp+po

載荷によっていくら沈下が生じるか？

p. 92

沈下を求める３つの方法• De （ e-logp ）法• Mv 法• Cc 法

De 法1oe e e

間隙

土粒子

e o1

DeDe によって生じる“ひずみ”は

o

e

e

e 11

ではない

(1 )o

e

e

土粒子の分

したがって沈下量は

( )(1 )

f oo

eS H H

e

e-logp 曲線から

Mv 法と Cc 法体積圧縮係数： Mv vm

p

De はひずみ変化量

Ds=EDe ：フックの法則E

すなわち， E の逆数に相当

f v oS m pH 沈下量は 最も理解しやすい欠点： Mv は荷重によって変化する

Mv 法

Cc 法1 1

1 1log log log( / )

o oc

o o

e e e eC

p p p p

から De を求める。後は De 法と同じ

欠点：荷重範囲が正規圧密だけだと良いがPc をまたぐ場合（ Cc が一定ではない）過圧密と正規圧密とに沈下計算を分ける

圧密のモデル Model for Consolidation

粘性土の透水係数は小さいので，水はゆっくりでる（沈下速度は遅い）

p. 83

過剰間隙水圧と消散Excess pore water pressure and dissipation

圧密の基礎方程式Equation for consolidation

2

2v

u uc

t z

vv w

kc

m

間隙水圧の時間に対する変化小さいと遅くなる

距離の二乗

圧密係数透水係数が小さくなるとmv が大きくなると圧密は遅くなるmv が大きい：圧縮しやすい

p. 86

圧密方程式の解圧密方程式は熱伝導の式と同じ境界条件の下で解く・初期の間隙水圧の分布・境界における排水条件

2

vv

c tT

d時間係数

cv に比例d （排水距離）の二乗に逆比例

各時間の圧密度は場所によって異なる地表面の沈下は，各深度の圧密度を総合したもの（積分）

数学的に表すと

別な言い方をすると

U= （今の沈下量） / （最終沈下量）すなわち，圧密が始まる前は 0　　　　　　　圧密が終了すれば 1

圧密度と時間係数

p.88

Cv の求め方√ｔ法圧密方程式の解では U<50% の範囲では， U は√ Tv に近似的に比例する。U=90% の時の Tv は 0.848 であることを利用して，

2

90

0.848vc d

t

p. 90

一次圧密と二次圧密Primary and Secondary consolidation

過剰間隙水圧が消散しても（一次圧密が終了しても）沈下は続く。これを二次圧密と呼んでいる。

p.101

バーティカルドレーン（サンドドレーン）Vertical Drain (sand Drain)

排水距離を短くする（ d2 に比例）

20m

ドレーン間隔 2m

排水距離は 10m に対して 1m ， 1/10 になる時間は (1/10)2=1/100 （正確ではない）

p. 102

計算の仕方例えば：ドレーンの直径： dw＝ 0.4m間隔： de=2mn=2/0.4=5ch=100cm2/day ( 水平方向の cv)

2

hh

e

cT t

d

U=80％に対して，Th=0.2 　 t=80day=2.7month

ドレーンがない場合で排水距離が 10m の場合Tv=0.567 　 t=5670day=15.5year 　

ドレーンのある・なしを比較すると，約 1/70。 1/100 でなない。　p.103