1-E20141BDUED

PREGUNTAS

PREGUNTA 1. (4 puntos)

Responda las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.

a. ¿Qué entiende por sucesiones divergentes? – Muestre un ejemplo.

Una sucesión divergente es aquella que sus términos no acerca a un número

dado, dicho de otra forma, la sucesión na es divergente si no existe nn

a

lim o

nn

alim . Por ejemplo, 01 n

n es divergente, pues n

n1lim

no existe.

b. ¿Qué entiende por series convergentes? – Muestre un ejemplo.

Una serie convergente es aquella que se puede determinar su suma infinita, por

ejemplo

16

1

8

1

4

1

2

1

2

1

1nn

es una serie geométrica cuya razón es 2

1

Por tanto, 112

1

21

21

1

nn

CICLO 2014-1B EAP INGENIERIA AMBIENTAL

SOLUCIONARIO DEL EXAMEN

PARCIAL

2403 24202 MATEMÁTICA 3

Nota

En números:

Apellidos y nombres: Fecha: 20 – 07 – 2014

UDED Código Ciclo: 3

Docente: AGUSTIN JESUS CALLA SALCEDO MÓDULO 2

INDICACIONES PARA EL ALUMNO

Resuelva el examen con letra legible. Evite borrones y enmendaduras. Evite el plagio. De presentarse el caso se anulará el examen y la calificación

será cero (00).

La redacción y ortografía serán tomadas en cuenta en la evaluación Al finalizar el examen debe asegurarse enviar el/los archivos de examen a la

plataforma DUED LEARN (entorno rojo).

Recuerde que el examen debe publicarlo en la plataforma DUED LEARN, el tamaño

del archivo debe ser menor a 4 MB.

¡Éxitos!

Dirección Universitaria de Educación a Distancia

2-E20141BDUED

c. ¿Si 0lim

nn

a en consecuencia na es convergente?

Falso, basta considerar n

an

1 de donde se tiene 0

1lim

nn pero

n

1 es

divergente (serie armónica).

d. ¿Si una serie es convergente, en seguida se deduce que es absolutamente

convergente?

Falso, basta considerar

n

n1

(serie armónica alternante) lo cual es

convergente, puesto que n

an

1 es decreciente nn aa 1 y además 0lim

n

na .

Pero, dicha serie

n

n1

no es absolutamente convergente, pues

nn

n11

es una serie armónica, lo cual es divergente.

PREGUNTA 2. (4 puntos)

Analizar si las sucesiones dadas son convergentes o divergentes:

i. n

nan

!ln

Aplicando límite, se tiene

n

na

nn

n

!lnlimlim

n

n

n

321lnlim

n

n

n

ln3ln2ln1lnlim

n

nn

n

lnlim

nn

lnlim

En conclusión, se dice que la sucesión n

nan

!ln es divergente.

3-E20141BDUED

ii.

37

212

n

nna

n

n

Aplicando límite, se tiene

paressi7

3

imparessi7

1

37

212limlim

n

n

n

nna

n

nn

n

Dado que no existe nn

a

lim . Por tanto, la sucesión

37

212

n

nna

n

n es

divergente.

PREGUNTA 3. (8 puntos)

Analizar si las series dadas son convergentes o divergentes:

i.

1 ln

1

n nn

Acotando inferiormente, se tiene que

0ln xxx

nn ln

nnn 2ln

nnn ln

1

2

1

11 ln

11

2

1

nn nnn

Luego, como la serie n

1 es divergente (serie armónica), entonces de

acuerdo con el criterio de comparación la serie

1 ln

1

n nn también es

divergente.

ii.

14

4

1

sen

n n

n

Para resolver este problema podemos utilizar el criterio de comparación. En efecto,

nótese que

24

14

4 1

1

1

1

sen

nnn

n

n

Luego, dado que la serie

12

1

n n es convergente, se concluye que la serie en

cuestión también es convergente.

4-E20141BDUED

iii.

1

1

nn nn

Utilizando el criterio de comparación al límite y la serie divergente

1

1

n n

Se tiene que

nn

n

n n

n

nn 1lim

1

1

lim

Para determinar n

nn

lim

Basta considerar xxxf

1

con 0x .

Tomando logaritmos y calculando límites en ambos miembros de la

igualdad anterior resulta

x

xxxf

x

x

xx

lnlimlnlimlnlim

1

Teniendo en cuenta que la función logarítmica es continua y aplicando la

regla de L´Hospital, obtenemos:

0

1lim

´

´lnlimlimln

xx

xxf

xxx

Entonces 1lim

xfx

Luego como la serie

1

1

n n es divergente, entonces por el criterio de

comparación al límite, la serie

1

1

nn nn

es divergente.

iv.

12

arctan

1n

n

n

e

Utilizando el criterio de la integral, sea 0f tal que

2

arctan

1 x

exf

x

5-E20141BDUED

Como el criterio funciona para funciones xf decrecientes, primero es

necesario encontrar un intervalo en el que f sea decreciente, para ello se

deriva f

x

x

e

x

xexx

e

xfx

xx

2111

2211

1

´22

arctan

22

arctan

2

arctan

La expresión 22

arctan

1 x

e x

es siempre positivo, por tanto no sirve para

determinar el intervalo.

2

10210´ xxxf

Luego f es decreciente en

;

2

1 como

2

11 se elige convenientemente

los límites de integración como ;1

Finalmente la integral asociada a la serie queda

b x

b

x

dxx

edx

x

e

1

2

arctan

1

2

arctan

1lim

1

bx

be

1

arctanlim

1arctanarctan

11lim

ee bb

4

π

2

π

11

ee

Por tanto, como la integral

1

2

arctan

1dx

x

e x

converge, la serie

12

arctan

1n

n

n

e también

converge.

PREGUNTA 4. (4 puntos)

Para qué valores de x la serie dada es convergente

1 3

1

nn

n

n

x

Aplicando el criterio de la raíz,

3

1

3

1limlim

x

n

xa

nn

nn

n

6-E20141BDUED

Luego, la serie converge absolutamente cuando 13

1

x, es decir, cuando

4231 xx y diverge cuando ;42;x . Además, para

2x la serie resulta

1

1

n

n

n lo cual es convergente; pero para 4x , la serie queda

de la forma 1

n lo cual es divergente.

En conclusión, la serie

1 3

1

nn

n

n

x será convergente para 4;2x