GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Sólidos III e Secções - Resumo

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADES – Sólidos IIIPara os sólidos com as bases contidas em planos oblíquos, planos de rampa ou planos passantes, um processo de resolução passa pelas seguintes acções:

1. Determinar as projecções da base, recorrendo ao rebatimento do plano que contém a base, para construir em V.G. a base, para depois inverter o rebatimento para obter as projecções;

2. Obter a altura do sólido, recorrendo a uma recta ortogonal ao plano da base, que será o eixo do sólido, rebater o eixo (via plano projectante) para obter a V.G. da altura, para depois inverter o rebatimento para obter as projecções;

3. Construir o sólido, a partir das projecções de todos os vértices, determinando a visibilidade, com os vértices com menor afastamento a estarem menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem, e os vértices com menor cota a estarem menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem.

Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano Oblíquo

São dados dois pontos, A (4; 0) e B (0; 3), contidos num plano oblíquo α. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, enquanto o traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Os pontos A e B são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD] e a base de uma pirâmide quadrangular regular, com 7 cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide.

Desenho à escala de 1:2.

x

hα

fα

A2

A1

B2

B1

Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção, com hα como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através de rectas frontais. Localizar o ponto O.

≡ e1 ≡ hαr

Br

fαr

≡ Ar

Cr

Dr fr

f1

H2

Hr≡ H1

f2

C2

C1

f’r

H’2

H’r ≡ H’1f’1

f’2

D2

D1

O2

O1

Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano α, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de topo δ) que contém a recta p, com hδ como charneira, rebatendo a própria recta p.

p1

≡ e2

p2 ≡ fδ

hδ ≡ e’1 ≡ hδr

≡ fδr

(e’2)

Or

≡ H’’2

H’’r≡ H’’1

pr

Vr

Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide.Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem.

V2

V1

FIGURA DA SECÇÃO E O SÓLIDO TRUNCADO Em baixo à esquerda, a figura da secção é a figura plana resultante da secção produzida no sólido pelo plano secante, com o sólido a permanecer indiviso.

A

B

C

D

V

A’

B’

C’

D’

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

V

A’

B’

C’

D’

Em baixo à direita, o sólido truncado é um sólido, parte do sólido dado, compreendido entre o plano secante (a figura da secção) e a base ou o vértice.

SECÇÕES PLANAS PRODUZIDAS POR PLANOS PARALELOS AOS PLANOS DA BASE

A secção produz um polígono semelhante ao polígono da base.

ν

ν1

A

B

C

D

V

A’

B’

C’

D’

Secção Plana de uma Pirâmide com Base Horizontal

Um sólido resultante da secção produzida por um plano horizontal ν numa pirâmide pentagonal regular, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.

x

K1 ≡ V1

A2

A1

C2

C1

B2

B1

D2

D1

E2

E1

V2

K2

(fν) M2

M1

N2

N1

O2

O1

P2

P1

Q2

Q1

GENERALIDADES – Cones

Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cone, é necessário identificar o tipo de secção.

Para cones contidos em planos horizontais ou frontais, se o plano secante é paralelo à base do cone, a figura de secção é uma circunferência.

O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante conter o vértice de superfície:1 – Determinar a recta de intersecção do plano secante com o plano da base do cone;2 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;

a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é um ponto;

b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma recta;

c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é um triângulo.

O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante não conter o vértice de superfície:1 – Conduzir pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante; 2 – Determinar a recta de intersecção do plano paralelo com o plano da base do cone;3 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;

a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é uma elipse;

b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma parábola;

c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é uma hipérbole.

Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície

com a Recta de Intersecção Secante à BaseUm sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ num cone oblíquo, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção..

xA2

A1

O2

O1

B2

B1

V2

V1

hδ

fδ

C1

C2

D1

≡ D2

O hδ é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base do cone. A recta é secante à base. O triângulo [CDV] é a figura de secção.

Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de

Superfície com a Recta de Intersecção Exterior à Base

Pretende-se as projecções da figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção.

x

O2

O1

≡ V2

V1

A2

A1

B2

B1

hα

fα

hθ

Um plano auxiliar vertical θ, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz fθ

que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse.

fθ

C2

C1

D2

D1

Utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse:1 – Plano auxiliar paralelo ao plano da base;2 – A figura de secção (circunferência) do plano auxiliar sobre superfície lateral do sólido;3 – Recta de intersecção entre plano secante e plano auxiliar; 4 – Pontos de intersecção da recta de intersecção com a circunferência.

(hφ)

R2

R1

Q1

(i1)

i2

E2

≡ E1

F2

≡ F1

A seguir, construir o eixo menor da elipse, com o ponto M a ser o ponto de concorrência dos dois eixos da elipse. Depois é obtido mais quatro pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os oito pontos é possível construir a elipse.

≡ M1

M2

(hφ1)

S2

S1 (i’1)

i’2

G2

≡ G1

H2

≡ H1

(hφ2)

T2

T1

i’’2

I2

(i’’1)≡ I1

J2

≡ J1

≡ Q2

Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de

Superfície com a Recta de Intersecção Tangente à Base

Pretende-se as projecções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.

x

A2

A1

O2

O1

B2

B1

V2

V1

hθ

fθ

C1

C2

D1

≡ D2

Um plano auxiliar vertical θ1, paralelo ao plano secante θ e que contém o vértice, produzfθ1 que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é tangente à base, sendo a figura de secção uma parábola.

fθ1

hθ1

Para obter a parábola, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C, D e E.Depois é obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.

g1

g2

E2

E1

(fν)Q2

Q1

R2

R1

(i2)

i1

F1

≡ F2

G1

≡ G2

(fν1)Q’2

Q’1

S2

S1

(i’2)

i’1

H1

≡ H2

I1

(fν2)T2

T1

Q’’2

Q’’1

(i’’2)

i’’1

J1

≡ J2

K1

≡ K2

≡ I2

Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Secante à

BasePretende-se as projecções da figura da secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução (limitado por uma única folha), situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.

xO2

O1 ≡ V1

V2

A2

A1

B2

B1

hα

fα Um plano auxiliar vertical α1, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz hα

que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é secante à base, sendo a figura de secção uma hipérbole.

hα1

fα1

Para obter a hipérbole, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C e D.O ponto E é o ponto que o plano secante corta a geratriz mais á direita do contorno aparente frontal do cone.Para determinar o espaço útil para os planos auxiliares, é necessário determinar o ponto de maior cota da secção (o ponto F), através de ponto T e recta tangente à base (recta t) e da geratriz que contém o ponto T.No espaço útil entre os pontos F, C e D, será obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.

C2

C1

D2

D1

E2

E1

t1

≡ t2

g1

T2

T1

g2

F2

F1

GENERALIDADES – Cilindros

Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cilindro, é necessário identificar o tipo de secção, para cilindros contidos em planos horizontais ou frontais.

Se o plano secante é paralelo aos planos das bases, a figura de secção é uma circunferência.

Para situações em que o plano secante não é paralelo aos planos das bases:

Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante é tangente à superfície ao longo de uma geratriz, a figura de secção é uma recta;

Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante secciona a superfície ao longo de duas geratrizes, a figura de secção é um paralelograma;

Se o plano secante não é paralelo ao eixo da superfície do cilindro, a figura de secção é uma elipse.

Secção Plana de um Cilindro com Bases Horizontais por um Plano Secante Não Paralelo aos Planos das Bases, Paralelo ao Eixo da Superfície e Secciona a Superfície ao Longo de Duas Geratrizes

Um sólido resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro de revolução, com as bases contidas em planos horizontais ν e ν1.

x

A2

A1

B2

B1

(fν)O2

O1

O’2 B’2A’2

≡ A’1

≡ O’1

≡ B’1

(fν1)

fα

hα

(g1)

g2

(g’1

)

g’2

≡ C1

C2

≡ C’1

C’2

≡ D1

D2

≡ D’1

D’2

Secção Plana de um Cilindro com Bases Frontais por um Plano Secante Não Paralelo aos Planos das Bases e Não Paralelo ao Eixo da

Superfície Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro oblíquo, com as bases contidas em planos frontais φ e φ1.

x

(hφ)

(hφ1)

O2

O1

O’2

O’1

Embora também se possa utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse, o método das geratrizes é o mais indicado, implicando a obtenção de pontos de intersecção de várias geratizes do sólido com o plano secante.

hα

fα

A2

A1

B2

B1

M2

M1 ≡ C1

C2

≡ D1

D2

g2

g’2

g1 ≡ g’1

E2

E1

F2

≡ F1

G2

G1

H2

≡ H1

I2

I1

J2

≡ J1

K2

K1

L2

≡ L1

GENERALIDADES – Secções sobre Esferas

A figura de secção produzida por qualquer plano numa superfície esférica é sempre uma circunferência.

Secção Plana de uma Esfera por um Plano Secante Paralelo a um Plano de Projecção

Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano frontal φ numa esfera, passando pelo ponto O, sendo assim o círculo máximo frontal da esfera.

x

O2

O1(hφ)

GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não Projectantes Sobre Poliedros

Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre poliedros, existem várias possibilidades, entre elas, destacam-se as seguintes:

1 – Mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante em plano projectante, para depois aplicar o processo de secção igual a planos projectantes;

2 – Determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos);

3 – Método misto, determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, e determinação das rectas de intersecção do plano secante com os planos que contém as faces do sólido.

(hφ1)

(hφ)

x

A2

A1

B2

B1

C2

C1

D2

D1

A’2

A’1

B’2

B’1

C’2

C’1

D’2

D’1

(hρ )

Secção Plana de um Prisma por Plano Secante Não Projectante

Pretende-se uma figura da secção produzida por um plano de rampa ρ num prisma quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos frontais.

(fρ )

Neste caso, será utilizado o segundo método: determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos).

Primeiro há que determinar qual as arestas a serem cortadas. Como a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base com maior afastamento (o plano φ1) se situa no 2.º diedro, o plano secante não intersecta esta base.

A seguir será determinada a recta de intersecção (recta i) do plano secante (o plano ρ) com o plano das base com menor afastamento, recorrendo a um plano auxiliar projectante (plano vertical α).

I é o ponto de intersecção da recta i com o plano φ.

A recta g é a recta de intersecção do plano ρ com o plano φ.

Como a recta g é exterior à base com menor afastamento, o plano secante não corta a base com menor afastamento do sólido.

Depois começa a determinação dos pontos da figura de secção. M é o ponto de intersecção da recta i com a aresta [AA’], sendo o ponto de intersecção da aresta com o plano secante, sendo um ponto da figura da secção.

A seguir, serão determinados sucessivamente os pontos de intersecção das arestas laterais com o plano secante.

hα

fα

F2

F1 H2

H1

≡ i1

i2

M2

M1

hα1

fα1

N2

N1

hα2

fα2

O2

O1

hα3

P2

P1

I2

≡ I1≡ g1

g2

GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não Projectantes Sobre Cones e Cilindros

Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre cones e cilindros, é necessário um processo muito complexo, quer em termos de raciocínio, quer em termos de traçados. As etapas desse processo são as seguintes:

1 – Identificar o tipo de figura de secção;

2 – Verificar se o plano secante corta as bases;

3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente;

4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção;

5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção;

6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base.

Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante

Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção. 1 - Identificar o tipo de figura de secção. Um plano auxiliar de topo θ1, paralelo ao plano θ e que contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse.

2 – Verificar se o plano secante corta as bases.hα é a recta de intersecção do plano secante com o plano da base e é exterior à base, pelo que o plano secante não corta a base do cone.

3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente.O plano φ é um plano auxiliar, que contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A recta i é a recta de intersecção do plano φ com o plano secante. A e B são os pontos de intersecção das geratrizes do contorno aparente frontal com o plano secante.

4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção.Para tal, determinar os planos tangentes (θ1 e θ2) do cone que intersectam o plano secante, via rectas horizontais.A recta h é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. C é o ponto de maior cota e D de menor cota da secção.

x

O2

O1

V2

≡ V1

fα

hα

fα1

hα1

(hφ)≡ i1

H2

H1

i2

A2

A1

B2

B1

g1 ≡ g’1

g2

g’2

h1

F2

F1

h2

hθ1

hθ2

fθ1 fθ2

F’2

F’1

F’’2

F’’1

t1

t2

t’1

t’2

C2

C1

D2

D1

≡ f1

≡ f2

H’2

H’1

hθ3

hθ4

g’’1

g’’’1

g’’2 ≡ g’’’2

s1

H’’2

H’’1

s2

s’1

H’’’2

H’’’1

s’2

E2

E1

F2

F1

(fν) ≡ i’2 F’’’2

F’’’1

i’1

G2

G1

H2

H1

5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção.Para tal, determinar os planos tangentes (θ3 e θ4) do cone que intersectam o plano secante, via rectas frontais.A recta f é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas s e s’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. E é o ponto de menor afastamento e F de maior afastamento da secção.

6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base.O plano ν é o plano horizontal paralelo à base. A recta i’ é a recta de intersecção entre os planos ν e α. G e H são mais dois pontos.