UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIA, DEPTO. DE MATEMATICAS Y C.C.

CALCULO AVANZADO – 10129

CONTROL N°1 30/07/2014

ESTUDIANTE _________________________________________RUN_______________________

CURSO: TEMPORADA VACACIONES INVIERNO

PREGUNTA N°1

Para �(�) = �� para � ∈ −�, �

a) Probar que la serie de Fourier de �(�) viene dada por

�� = 2 senh �� �12 + � �(−1)�1 + �� cos(��) − (−1)� ∙ �1 + �� sen(��)�

�

� !"

b) Encontrar el valor de

� 11 + ���

� !

c) Use Parseval para comprobar lo obtenido en b)

�Recordar que: cosh � = �� + �+�2 , senh � = �� − �+�

2 �

Solución:

a) Comenzamos calculando sus coeficientes de Fourier, así:

-. = 12� / �(�)0�1

+1= 12� / ��0�

1

+1= 12� (�1 − �+1) = sinh ��

Ahora calculamos

-� = 1� / �� cos(��) 0�1

+1= 1� 34(�1 + �+1) sen(��)� 5 − / �� sen(��)� 0�

1

+16

= 1� 34(�1 − �+1) cos(��)�� 5 − / �� cos(��)�� 0�1

+16

= 1� 342 ∙ senh(�) cos(��)�� 5 − / �� cos(��)�� 0�1

+16

= 1� 42 ∙ senh(�) cos(��)�� 5 71 + 1��8+! = 2 sinh(�) (−1)�

��� � ��1 + ���

= 2 sinh(�) (−1)��(1 + ��)

Ahora calculamos

9� = 1� / �� sen(��) 0�1

+1= 1� 34(�1 − �+1)(− cos(��))� 5 + / �� cos(��)� 0�

1

+16

= 1� 34(�1 − �+1)(−1)�:!� 5 + 4(�1 + �+1) sen(��)�� 5 − / �� sen(��)�� 0�

1

+16

= 1� 42 ∙ senh(�) (−1)�:!� 5 71 + 1��8+!

= − 2 sinh(�) (−1)��� � ��

1 + ��� = − 2� sinh(�) (−1)�

�(1 + ��) Así, la serie de Fourier para f es:

;< = sinh �� + � =2 sinh(�) (−1)��(1 + ��) >?@ (��) − 2� sinh(�) (−1)�

�(1 + ��) sen(��)A�

� !

Lo cual se puede escribir como:

�� = 2 senh �� �12 + � �(−1)�1 + �� cos(��) − (−1)� ∙ �1 + �� sen(��)�

�

� !"

b) Para encontrar el valor de la expresión, debemos tomar � = �, se tiene que:

;< = �(�:) + �(�+)2 = �1 + �+12 = cosh(�)

Reemplazando en la expresión, se tiene:

cosh(�) = 2 senh �� �12 + � �(−1)�1 + �� cos(��) − (−1)� ∙ �1 + �� sen(��)�

�

� !"

� ∙ cosh(�)2 ∙ senh(�) = 12 + � �(−1)�1 + �� (−1)��

�

� !

� ∙ cosh(�)2 ∙ senh(�) − 12 = � 11 + ���

� !

c) Usando Parseval en la expresión anterior, se tiene que:

1� /(��)�0�1

+1= 7senh �� 8� + 72 senh �� 8� � B�(−1)�

1 + ���� + �− (−1)� ∙ �1 + �� ��C�

� !

1� / ���0�1

+1= 7senh �� 8� + 72 senh �� 8� � � 1(1 + ��)� + ��

(1 + ��)���

� !

1� ∙ ��1 − �+�12 = 7senh �� 8� + 72 senh �� 8� � � 1 + ��

(1 + ��)���

� !

1� ∙ (�1 − �+1)(�1 + �+1)2 − 7senh �� 8� = 72 senh �� 8� � � 1 + ��(1 + ��)��

�

� !

4� ∙ sinh(�) cosh(�)2 − senh�(�)�� = 72 senh �� 8� � 7 11 + ��8�

� !

senh(�)� �4 cosh(�)2 − senh(�)� � = 4 senh� ��� � 7 11 + ��8�

� !

�4 cosh(�)2 − senh(�)� � = 4 senh �� � 7 11 + ��8�

� !

�4 senh � �4 cosh(�)2 − senh(�)� � = � 7 11 + ��8�

� !

�� cosh(�)2 ∙ senh � − 12� = � 7 11 + ��8�

� !

PREGUNTA N°2

Sea E(@) una curva parametrizada respecto a la longitud de arco, de clase FG con H(@) ≠ 0, que verifica: EKK(@) = L(@)E(@) ∀@. Donde L(@) es una función escalar.

a) Probar que la curva es plana.

b) Si L(@) ≠ 0, Probar que la curva está incluida en una circunferencia y hallar L(@) en función de la

curvatura H.

(Hint: Derivar E(@) �

Solución:

a) Como E(@) esta parametrizada por longitud de arco, se tiene que:

EK(@) = OP(@) ⇒ ‖EK(@)‖ = SOP(@)S = 1

EKK(@) = 00T UOP(@)V = W XY(@) ⇒ ‖EKK(@)‖ = W

EKKK(@) = 00T UW XY(@)V = W 00T UXY(@)V = W U−WOP(@) + Z[P(@)V = −W�OP(@) + WZ[P(@)

Por otro lado,

EKK(@) = L(@)E(@)

Con lo que se tiene

EKKK(@) = 00T \EKK(@)] = 00T \L(@)E(@)] = LK(@)E(@) + L(@)EK(@)

Como L(@) es función escalar, se tiene que LK(@) = 0, con lo cual, se tiene que:

EKKK(@) = L(@)EK(@) = L(@)OP(@)

Igualando ambas expresiones, se tiene:

L(@)OP(@) = −W�OP(@) + WZ[P(@)

Como T y B son vectores Ortogonales, se tiene que

WZ[P(@) = 0

De lo cual, se deduce que W = 0 ó Z = 0

De lo cual, como W ≠ 0, nos queda que Z = 0.

Por lo tanto, la curva es plana.

b) De lo anterior, tenemos la condición

L(@)OP(@) = −W�OP(@) + WZ[P(@)

Y como L(@) ≠ 0, se tiene que:

L(@)OP(@) = −W�OP(@) ⇒ L(@) = −W�

Para ver que está en una circunferencia, tendremos lo siguiente:

E(@) = \�(@), ,(@), _(@)]

Tenemos que ver que la curva satisface la condición de una esfera (Pues ya está en un plano). Así, se tiene

��(@) + ,�(@) + _�(@) = `�

Con esto, tenemos que eso es lo mismo que tener que

‖E(@)‖� = `�

Es decir, ‖E(@)‖� = E(@)E(@) = E�(@)

Así, se tiene que, para ver que es constante, probemos que esa derivada equivale a 0. 00@ E�(@) = 2E(@)EK(@)

Como EKK(@) = L(@)E(@) ⇒ EKK(@)EK(@) = L(@)E(@)EK(@) ⇒ WXY ∙ OP = L(@)E(@)EK(@)

Lo que implica que 2E(@)EK(@) = 0

Por tanto E(@) vive en una esfera y por ser curva plana. Esta vive en una circunferencia.