SPEKTRI I STANJA EKSITONA U BIMOLEKULSKIM …d-448).pdf · primene (nanoelektronika i optoelektronika). Posebnost ovih struktura ogleda se u tome

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

M.-;.:>K*; GAflV~S^! ;;:'/i &AKW STE'i

27MAJ2005B P O J

DIPLOMSKI RAD -

SPEKTRI I STANJA EKSITONAU BIMOLEKULSKIM NANOFILMOVIMA

M E N T O R

P R O F . D R J O V A N E T R A J C I 6

K A N D I D A T

A N A U S K O K O V I 6

Novi SAD, 2005. godine

Predgovor

Pored mehanickih, elektricnih i magnetnih svojstava, supstancije se odlikuju i poseb-nim optickim osobinama. Nauka o materijalima definise specificna elementarna pobudje-nja u kondenzovanom stanju eksitone, kao nosioce dielektricnih, optickih (apsorpcija,disperzija svetlosti, luminescencija), fotoelektricnih i drugih karakteristika (uglavnom)molekulskih kristala.

Savremena nauka istrazuje mogucnost ,,pojacavanja" odredjenih (potrebnih) i ,,prigu-sivanje" drugih (nepotrebnih) fizickih osobina. U tu svrhu su posebno ispitivani niskodi-menzioni kristalni sistemi (ultratanki filmovi, superresetke,te kvantne zice i tacke).

Danasnji razvoj tehnike i tehnologije omogucava pravljenje ovakvih kvantnih sistema,ekperimentalni rezultati su prisutni i merna oprema moze da ih prati, ali se u domenuteorijskih razmatranja (modelovanja i analitickog resavanja) veoma se malo uradilo.

Najveca poteskoca je upravo u slabo i neadekvatno primenljivom matematickom apa-ratu. U ovom radu se pokazuje da se metode diferencnog racuna uz odgovarajucu podrskunumerickih proracuna mogu uspesno primeniti na iznalazenje zakona disperzije Frenkelo-vih eksitona u molekulskim filmovima sa slozenom kristalnom resetkom.

Ovaj diplomski rad je uradjen pod mentorstvom prof, dr Jovana Setrajcica.

Novi Sad, 20.05.2005.Ana Uskokovic

Ana Uskokovic: Eksitoni u bimolekulskim filmovima, diplomski rad

Sadrzaj

1 Uvod 4

2 Eksitoni u kristalu sa podresetkom 5

2.1 Grinove funkcije sistema 5

2.2 Zakon disperzije bimolekulskog kristala 8

3 Eksitoni u bimolekulskim filmovima 10

3.1 Model bimolekulskog filma 10

3.2 Zakon disperzije eksitona 11

4 Zakljucak 17

5 Dodatak: Eksitoni u molekulskim kristalima 18

5.1 Eksitoni u kristalima 18

5.2 Frenkelovi eksitoni 20

6 Literatura 22


1 Uvod

Interes za izucavanjem eksitonskog podsistema javio se zbog cinjenice da su upravo ek-sitoni odgovorni za dielektricna, opticka (apsorpcija, disperzija svetlosti, luminescencija),fotoelektricna i druga svojstva kristala. Proucavanje ponasanja eksitona u kristalnimsistemima kulminiralo je otkricem laser a.

Poslednjih godina veoma su intenzivna teorijska istrazivanja kvazidvodimenzionih ek-sitonskih sistema (nanostrukture), narocito tankih filmova1, ne samo zbog fundamentallyinformacije o dielektricnim osobinama materijala, vec i zbog njihove siroke prakticneprimene (nanoelektronika i optoelektronika). Posebnost ovih struktura ogleda se u tomesto prisustvo granicnih povrsina i pojava specijalnih perturbacionih uslova na tim grani-cama dovode do izmenjenih osobina ovih materijala i specificnih pojava u odnosu naodgovarajuce masivne uzorke.

U ovom radu analiziran je uticaj prisustva granica film-strukture slozene kristalnegradje na energetski spektar eksitona (eksitonski zakon disperzije). Posebna paznjaposvecena je pojavi lokalizovanih eksitonskih stanja. Dobijeni rezultati poredjeni su saodgovarajucim rezultatima za idealne beskonacne kristale, da bi se na osnovu toga uocilenajbitnije razlike ova dva sistema.

Pomenuta analiza vrsena je koriscenjem metoda dvovremenskih temperaturski zavisnihGrinovih funkcija2, koji se danas veoma cesto koristi u kvantnoj teoriji cvrstog stanja.Zahvaljujuci ugradjenoj statistic!, taj metod se uspesno primenjuje kod izracunavanjakako mikroskopskih, tako i makroskopskih, ravnoteznih i neravnoteznih svojstava kristala.Primenjeni metod je odabran zbog pogodnosti koje nam nudi definicija polova Grinovihfunkcija3.

Ovde je najpre vrsena analiza idealnih beskonacnih kristalnih struktura sa slozenomresetkom (sastavljena je od dve podresetke), a zatim isti metod primenjen na film-struk-ture sa odgovarajucom resetkom.

1Filmovi predstavljaju beskonacne strukture u svim kristalnim ravnima paralelnim dvema granicnimpovrsima, koje su normalne na jedan prioritetan pravac, duz koga je posmatrani sistem ogranicen.

2Postoje i drugi metodi pomocu kojih se ovaj problem moze tretirati: metod Hajzenbergovih jednacinakretanja, metod malih perturbacija, metod talasnih funkcija i si.

3Realni delovi polova Grinovih funkcija definisu energije elementarnih ekscitacija (pobudjenja) kojese javljaju u sistemu (odakle se dbbija njihov zakon disperzije), dok su imaginarni delovi proporcionireciprocnim vrednostima vremena zivota tih ekscitacija.

Ana Uskokovic: Eksitoni u bimolekulskim filmovima, _ diplomski rad

2 Eksitoni u kristalu sa podresetkom

U razmatranju svojstava eksitonskog podsistema u bimolekulskim kristalima, polazi seod modela idealnog beskonacnog kubnog molekulskog kristala sa standardnim eksitonskimhamiltonijanom koji u konfiguracionom prostoru ima oblik:

= #0 m P+P*n,m n,m

(2.

gde su Pjt i Pn - kreacioni i anihilacioni operatori eksitona na cvoru n kristalne resetke.Velicina A^ - predstavlja energiju eksitona lokalizovanog na cvoru n, a velicineYfirf - su matricni elementi eksitonskog transfera sa cvora n na cvor m.

2.1 Grinove funkcije sistemaSvojstva posmatranog eksitonskog sistema analiziracemo pomocu komutatorske pauli-

onske Grinove funkcije:

IW*) = ((Pn(t) | Pt(0)}} = Q(t) ([PnW , P+(0)]) , (2.2)

koja zadovoljava jednacinu kretanja:

in iww = in 6(t) ([Pn(t] , P^(O)]) + (2.3)+ e(t)([Pn(t\H] P+(Q) - P^(0) (Pn(t),ff\) .

Koriscenjem komutatorskih relacija za Pauli-operatore:

= (l - 2P ) Sm ; [Pn, Prn] = [P$ , ] = 0 J P| = (P^ = 0 , (2.4)

dobijamo:

ih = ihS(t)Sm l -

gde su:

Fn ,

5>(rZ); Kn = (Pn(t),H} = ^T.i-Q i=0

(2.5)

(2.6)

Pokazacemo postupak izracunavanja gornjih velicina za, naprimer, i = 2 (ostali clanovisume dobijaju se analognim racunanjem).

= Ekl

Na osnovu toga racunamo:

kl kl

F2(n) = Q(t)( PI,. r


de Je TnnSri(*) = ((PfiWPriWPiit) \- paulionska Grinova funkcija viseg reda.Zamenom izracunatih velicina u (2.5) konacno dobijamo jednacinu kretanja za paulionskuGrinovu funkciju:

(2.7)

Osnovnu teskocu teorije eksitona predstavlja cinjenica da Pauli-operatori P+ i P nisuni Boze ni Fermi operator!, nego nekakav hibrid jednih i drugih sa kinematikom (2.4),koja je za jedan cvor fermionska, a za razlicite cvorove bozonska. Za precizne analize ek-sitonskih sistema, koje obuhvataju efekte medjueksitonske interakcije nije dovoljno samozameniti Pauli-operatore sa Boze-operatorima. Zbog toga se u hamiltonijanu (2.1), Pauli-operatori zamenjuju svojim egzaktnim bozonskim reprezentima:

(2-8)Paulionske Grinove funkcije iz jednacine (2.7) mogu se izraziti preko odgovarajucih

bozonskih Grinovih funkcija na osnovu aproksimativnih izraza koji slede iz (2.8):

P^B- B+BB ; P+ B+ - B+B+B ; P+P w B+B - B+B+BB . (2.9)

Na taj nacin dobijamo:

(2.10)

B(Q)B+ (0)3^(0)}} .

Dekuplovanjem visih Grinovih funkcija pomocu poznatih Boze-komutacionih relacija:

[BS> Br] = *ff ; 1B^ Br] = [Bl Br] = . (2-n)clanovi u izrazu (2.10) postaju:

- prvi clanB(t) | Bt(0) = Gm(t) , (2.12)

gde je Gftfn(t} retardovana Grinova funkcija,

- drugi clan

(2.13)

gde A/o predstavlja koncetraciju eksitona:

0 = (B+B) = E e^( - l , (2.14)


- treci clan((B+(t}Bn(t}Bn(t} \ = 2GWft(*>A>'o , (2.15)

- cetvrti clan

((B(t}Bn(i)Bn(t} \} = 2^(0 G^(t} , (2.16)

gde je Rfi^t] avansovana Grinova funkcija:

(2.17)

Kada izraze (2.12), (2.13), (2.15) i (2.16) zamenimo u izraz (2.10) dobijamo konacan izrazza paulionsku Grinovu funkciju izrazenu preko bozonskih Grinovih funkcija:

IW(t) = (1 - 4 JV0) Gfirn(t} + 2Rn,n(t)G2ftA(t) + O(N*} . (2.18)

Za paulionske Grinove funkcije viseg reda (T-~fe) na levoj strani Grinove funkcije prostozamenimo Pauli operatore sa Boze-operatorima, a na desnoj strani se izvrsi aproksimacija(2.9). Na taj nacin sledi:

- ((B+(t)Bs(t)B-b(t) | fl+(0)fi?(0)Ba(0) = (2.19)- 2Rss(t}GSs(t)GS5(t)

= A^o ~ 0

i proizvodi Grinovih funkcija:

G - G 0 ; G-R&Q.

,,Dekuplovana" jednacina je tada:

Izraze za F^, Tnn^, ^ffim' kji su izrazein preko bozonskih Grinovih funkcija, ubacimou jednacinu kretanja za paulionsku Grinovu funkciju (2.7):

ih~ [(1 - 4 A/o) Gm(t) + 2Rfm(t)G2^(t)} = ih6(t)6nrn (l - 2(PPfZ}) +

+ Y r[(l - ^o)^^) + 2RrJt}G2 ()} - (2.20)^ -^ 7tt I \ / 17FI > ' ITTt v ' TM I

r 2 Y^ X - [A/" Gr- f i

ri o V^ V r A/" /^ ^~r ^ / _, -jjf U'vOtjnm^t

f

Gornju jednacinu cemo resavati u najnizoj aproksimaciji:

A/* i~ n A / " - ~ n - P ~ R P+ ~ R+ P+ PyVo ~ U , J\- ~U, /^ ~ D , /^ ~> , .r.r

takodje je:

(2.21)

Ana Uskokovic: Eksitoni u bimolekulskim filmovima, diplomski rad 8

2.2 Zakon disperzije bimolekulskog kristalaPod pojmom bimolekulski kristal podrazumeva se molekulski kristal sa podresetkom,

odnosno sa slozenom kristalnom resetkom sastavljenom od dve podresetke. Ona sedobija naizmenicnim ,,redjanjem" molekula a i b (videti sliku 3.1 u sledecoj glavi) koji suu opstem slucaju razliciti.

Radi nalazenja zakona disperzije u kristalima ovakvog tipa, polazi se od jednacinekretanja (2.21), vodeci racuna da li je n parno ili neparno.

Ukoliko je n parno, tj. n = 2j, j = 0,1,2, ... N, tada su Ga,rti = G%, GL+^ =A^j = Aa i Xftf = Xftfi+% = Xi\ {x, y, 2}. U torn slucaju jednacina kretanja je:

ih Gafl(t) = ih Snrn S(t) + AaG + X.G . (2.22)

A

Kada je n neparno, tj. n = 2j + 1, j = 0, 1, 2, ... N, tada su Gn,m Gbfi,G1 -, Ajj = At i X - f = X- ~+ = Xi, i G {x, y, z}. U torn slucaju jednacina kretanja je:

ih jt Gbn(t) = ih 6m S(t) + A6^ + X: XiG^z . (2.23)A

Jednacina kretanja za Grinove funkcije (2.21) se, prema tome, deli na dve jednacinekretanja za dve Grinove funkcije, koje posle (vremenskih i prostornih) Furije-transforma-cija:

+00 +00

M e--( , (2.24)

sM J . (2-25)if ' fc

dobijaju oblik:

cos axkx + Xy cos ayky + Xz cos azkz) , (2.26)

ihh AfcGWu;) + 2G'r(iij}(Xx cosaxkx + Xv cosaykv + Xz cosazkz) . (2.27)

2?r K KPosto se radi o translaciono invarijantnoj kristalnoj strukturi za nalazenja zakona disper-zije moze se uzeti da su Grinove funkcije G| = Ga i G| = Gb- Na taj nacin se nalazenjezakona disperzije svodi na resavanje sistema jednacina sa dve nepoznate Grinove funkcijeGa i Gb, ciji polovi (u (u;, k) prostoru) definisu energije elementarnih ekscitacija u pos-

Da/b

matranom sistemu. Kako se resenja gornjeg sistema jednacina mogu napisati kao ^-,

gde su D^b determinanta promenljive, a D determinanta sistema, uslov za nalazenjepolova Grinovih funkcija se svodi na izracunavanje nula determinante posmatranog sis-tema jednacina:

-2(Xa:cosax/!;a;+

D=

_a cos ayky + Xz cos dz

=0 (2.28) 2(Xxcosax kx+ ft .

+Xycosayky + Xzcosazkz) b


Razvijeni oblik determinante (uz smenu E = Hu] je kvadratna jednacina oblika:

E - (A0 + A6) + AaA6 - 4

cija su resenja:

Aa + Ab - (Aa - A6)2 + 16 I ^ Xicosaiki] . (2.30)i=x,y,z

Uvodjenjem novog parametra x = -r~> zakon disperzije postaje:

!\(2.31)

Ovaj zakon disperzije prikazuje se u bezdimenzionoj formi:


3 Eksitoni u bimolekulskim filmovima

U prethodnoj glavi izracunate su energije eksitona, odnosno njihov zakon disperzijeu neogranicenim kristalnim strukturama. Analogno primenjujuci izlozeni pristup, ovdecemo odrediti iste karakteristike ovih pobudjenja, all u ultratankim (,,nano") kristalnimfilm-strukturama.

3.1 Model bimolekulskog filmaZa razliku od idealnih beskonacnih (prostorno-neogranicenih) struktura, realni kristali

ne poseduju osobinu translacione invarijantnosti do cijeg narusenja dolazi zbog postojanjaizvesnih granicnih uslova. Sistemi koji imaju dve paralelne granicne povrsi nazivaju sefilmovima. Posmatra se ultratanki film slozene kubne kristalne strukture, nacinjen nasubstratu nekim tehnoloskim postupkom (naparavanjem, spaterovanjem i si.). Pojamkristalni film, koristi se u smislu narusenja kristalne strukture prostornom ogranicenosti,ali bez prisustva defekata, primesa i si. unutar posmatranog uzorka. Dimenzije filma sutakve da je on u XY ravnima beskonacan, a u z pravcima ima konacnu debljinu (L).Znaci da ovaj film poseduje dve beskonacne granicne povrsi paralelne XY ravnima i toza: z = 0 i z = L (slika 3.1).

JL,

0

*(!+*)V A i./i o

X AV AL./i. O

Afl

" " AA

Aq,JT(l+j^)

Ai(l+fo) i.

7 " "z -


3.2 Zakon disperzije eksitona

Za izracunavanje eksitonskih energija u filmu polazimo od jednacina (2.22) i (2.23)gde zbog izmenjenih uslova na granicama filma uzimamo da su perturbacione energijeeksitona u cvorovima granicnih ravni nz = 0 i nz = Nz:

Aa,o A /1 j_ ^a>JC L J"ia X. \v i '\ = Aa,6 (1 + e0 dnzio + fNzdnz,Nz) (3.1)

(velicine e su perturbacioni parametri eksitonske energije u cvorovima granicnih povrsi),a perturbacija energije transfera eksitona u slojevima izmedju granicnih i njima susednihravni duz z-pravca:

ya,b Y(I _L ^a'6A -L J>'aX -^

(3-2)

Posto su granicne povrsi filma uzete normalno na 2-pravac, indeks sloja nz u (3.1) i (3.2)uzima vrednosti nz = 0,1,2, ... ,NZ, gde je Nz 6 [2, 20] kod ultratankih filmova. Indeksi7^x i ny, koji odredjuju polozaj molekula u svakom sloju mogu imati proizvoljne celobrojnevrednosti (prakticno, od oo, do +00).

Zbog prostorne ogranicenosti filma u 2-pravcu koristi se delimicna prostorna Furije-transformacija (vremenska Furije-transformacija je vec izvrsena i odgovarajuci izrazi sunapisani u aproksimaciji najblizih suseda):

nzmzy kxky

(3.4)

Prilikom delimicne Furije-transformacije jednacine (2.22) i (2.23), radi kraceg pisanjaoznacimo G^mz(kx, ky,u) = G%*mz. Na taj nacin se dobijaju dva sistema jednacina za2(NZ + 1) Grinovih funkcija:

huG^mz = l^Snz,mz + Aa,6(l + $\ + eb6n,,Nz)Gm, +

+ Xz(l+ Xo'b5i !HZ + x 6nz


za nz = 0:Prvi set jednacina ima sledeci oblik:

if,, = 2^m. + A(l + g)GS

+ 2(XX cos axkx + Xy cos ay

- za n2 = 1:

(x cos axkx + Xy cos ayky)G'{.mz

- za nz = 2j:

. cos axA;x + Xy cos flj,fcj/)G2j;mz , (3.6)

- za nz = 2j + 1:

+ 2(XX cos axA;x + Xy cos o,yky)G(2j+l.mz ,

- za n2 = Nz - 1:

^ /^/a /ofc vhuGaN,_i.m, = 7;~0/vz-l;mz + AaGjy i-m + XZGN 2 + Xz(l

z ' z 27T r ' 2 * ' z

~l~ 2^v\ COS OXfCx ~(~ ^\ COS ttyKy)(jrfif I'm )

- "7! 77 A/" *fjGl I v y ^^ J T V.

cos oxfcx + Xy cos ayky}GaNz,mz ,

odnosno predstavljen u opstem obliku:

+ 2(XX cos a^fca; + Xy cos Q>y(3.7)

+ 2(XX cos axkx + Xy cos

; = 0, 1, 2, ... , A^z/2 .


Prvi i drugi set jednacina su medjusobno ekvivalentni ukoliko se uvede smena a nz + xaNz6Nz_1


pri cemu je:

D =

= R INZ+I, dok INZ+I predstavlja jedinicnu matricu, a:

(3.12)

- + *8)o

^d-x) -i-i e

e+=r(i-x)*z-io

-ie

-i ^d-x)

Q

-1

-1

Nz+l

Karakteristicni grafici za ,,jako" perturbovan film uradjeni su programskim paketomMathematica 4-0 i prikazani na slikama 3.2. Kao u balkovskom slucaju i ovde cemo, dabi bilo jednostavnije, uzeti aproksimaciju: ax = ay = az = a, Xx = Xy = Xz = \X\Aa/|A"| = 50. Na osnovu toga, dobijali smo zavisnost relativnih (redukovanih) energija

(na ordinatama) * = ^pr^ = QV\ = 1,2,3 ... , Nz + 1; u zavisnosti od

bezdimenzione funkcije J^y = 2 (cosakx + cosaky) (na apscisama grafika).Isprekidanim linijama oznacene su balkovske granice, a punim moguci energetski

nivoi eksitona u perturbovanom filmu! Gornji grafici na svakoj slici odgovaraju idealnomfilmu: tamo su perturbacioni parametri jednaki nuli.

Na slici 3.2 punim linijama prikazane su redukovane energije eksitona troslojnog bi-molekulskog filma (sa po dva podsloja) u zavisnosti od dvodimenzione funkcije pri cemu semenja odnos energija na cvorovima a i b, tj. parametar x Aa/A& u intervalu [0.6, 1.4],dok su ostali perturbacioni parametri zadrzani na nultim vrednostima (da bi se videosamo uticaj x)- Povecanjem (odnosno smanjenjem) parametra x (u odnosu na x = 1)oba spektra se pomeraju ka visim (odnosno nizim) vrednostima energija, ali ne dolazi dopojave lokalizovanih stanja, jer se istovremeno pomeraju i granice balkovskih energetskihzona (isprekidane linije) i ne dolazi do izlaska energetskih nivoa van balkovskih granica.U svim slucajevima promene x~a dolazi do suzavanja energetskih spektara u obe zone.


x=\, 6^=0.0, *0=o.o,

X=l.3, o=0.0, v=0.0, j:0=0.0,

^=1.0, 0=0.0,6^=0.0, =0.0

.9, ,,=0.0, 6^=0.0, A:0=0.0, jcw=0.0

, =0.8, 60=0.0, 6^=0.0, A:0=0.0, =0.0

.7, 60=0.0,6^=0.0, Jt0=0.0, xw=0.0

X= 1.4, 60=0.0, ev=0.0, jc0=0.0, =0.0 ^=0.6, 6o=0.0,6^=0.0, x0=0.0, x,,

Slika 3.2: Zakon disperzije eksitona u bimolekulskom filmu


4 Zakljucak

U radu su istrazeni i analizirani energetski spektri (moguca energetska stanja) eksi-tona u dielektricnim, kristalnim, idealnim beskonacnim i film-strukturama, sa slozenomkubnom resetkom, na osnovu cega se doslo do sledecih vaznijih rezultata.

1. Ove analize su pokazale bitne razlike u zakonu disperzije eksitona u pomenuta dvasistema, kao iskljucive posledice postojanja granica film-struktura i promenjenihvrednosti relevantnih karakteristika kristala na, odnosno u granicnim slojevima.

2. Postojanje granicnih uslova ima za posledicu promenu sirina energetskih zona eksi-tona. U odnosu na zone dozvoljenih energija idealnih struktura sa prakticno kontinu-alnim rasporedom, zone eksitonskih dozvoljenih energija u filmu su izrazito diskretnesa konacnim brojem mogucih energetskih nivoa koji je proporcionalan broju atom-skih ravni duz z-pravca.

3. Kod bimolekulskih filmova postoje dva disperziona eksitonska spektra koji su dis-kretni, a broj diskretnih nivoa jednak je broju podslojeva filma duz z-pravca, tj.2(7V + 1) (za razliku od balka bimolekulskog kristala, gde egzistiraju dve zone ukojoj eksitoni uzimaju sve moguce vrednosti energija unutar granicnih vrednosti).

4. Povecanjem (odnosno smanjenjem) parametra x (koji predstavlja odnos energija nacvoru molekula a i molekula 6) u odnosu na x 1> ba spektra se pomeraju ka visim(odnosno nizim) vrednostima energija i ne dolazi do izlaska energetskih nivoa vanbalkovskih granica. U svim slucajevima promene parametra x dolazi do suzavanjaenergetskih spektara u obe zone.


5 Dodatak: Eksitoni u molekulskim kristalima

5.1 Eksitoni u kristalimaApsorpcioni i refleksioni spektri cesto pokazuju strukturu za fotonsku energiju ispod

energetskog gepa, gde bi inac'e ocekivali da kristal bude transparentan. Ovakva struk-tura prouzrokovana je apsorpcijom fotona i kreacijom para elektronsupljina. Elektron isupljina su vezani privlacnom Kulonovom interakcijom slicno kao sto je elektron vezan saprotonom u formu neutralnog atoma vodonika. Ovakav par elektronsupljina se nazivaeksiton. Na slid 5. la prikazan je eksiton Vanije-Mota koji je slabo vezan, sa srednjomudaljenoscu elektronsupljina velikom u poredjenju sa konstantom resetke. Na slici 5.1bje sematski predstavljen jako vezan ili Frenkelov eksiton. Jedan idealan Frenkelov eksi-ton ce prolaziti kroz ceo kristal kao talas, ali elektron ce uvek biti u neposrednoj blizinisupljine.

00

Slika 5.1: a) Eksiton Vanije-Mota

00O0O ^~~-\ / xoo

b) Frenkelov eksiton

Eksiton se moze kretati kroz kristal i prenositi energiju, ali eksiton ne prenosi naelek-trisanje jer je elektricno neutralan. On je slican pozitronijumu koji je sastavljen odelektrona i pozitrona. Eksiton moze biti formiran u svakom izolatoru. Svi eksitoni sunestabilni i imaju relativno malo vreme zivota (singletni 10~8s, a tripletni i do 10~3s).Eksitoni mogu formirati i komplekse, kao sto su bieksitoni - kreirani od dva eksitona.

Videli smo da se slobodni elektron i slobodna supljina kreiraju kad god je energijafotona veca od energije gepa., Prag za ovaj proces je hu> > Eg u direktnom procesu.Medjutim, sama energija veze eksitona jos smanjuje taj prag. Energije veze eksitona sekrecu od reda velicine 1 meV (Vanije-Motov) do 1 eV (Frenkelov).

Prelazi kojima se formiraju eksitoni ispod energetskog gepa su prikazani na slikama5.2a i 5.2b. Slika 5.2a prikazuje eksitonske nivoe u odnosu na granicu provodne zone.Eksiton moze imati translacionu kineticku energiju, ali ako je ova kineticka energija vecaod energije veze eksitona, tada je eksiton metastabilan u odnosu na njegovo raspadanjena slobodnu supljinu i slobodni elektron. Svi eksitoni su potencijalno nestabilni u odnosuna emisivnu rekombinaciju, kod koje elektron ,,upada" u stanje supljine u valentnoj zoni,sto je popraceno emisijom fotona ili fonona.

Slika 5.2b prikazuje energetske nivoe eksitona ciji je centar masa u mirovanju. Optickiprelazi sa vrha valentne zone su prikazani strelicama, najduza odgovara jonizaciji eksitona


pa prema tome i energetskom procepu izmedju granica provodne i valentne zone. Postojikontinualan skup nivoa, pridruzenih svakom od prikazanih eksitonskih nivoa, posto cen-tar masa eksitona moze posedovati translacionu kineticku energiju (svaki eksitonski nivoobrazuje jednu eksitonsku zonu). Kod direktnih optickih prelaza ukupna translacionaenergija se ne menja osetnije, sto znaci da mogu postojati ostre eksitonske linije. Nula naskali energije je uzeta od vrha valentne zone.

zona

Eksitonski E,nivoi i

Kontteiim r

,-

i

1

i

k

im,

\ k

Eksitoniki nivoi

i Encrg.procep

Enngijt

Slika 5.2: Energetski nivoi eksitona

Energija veze eksitona moze se meriti na tri nacina. U optickom prelazu iz valentne zone: iz razlike izmedju energije potrebne za kreaciju

eksitona i energije kreacije slobodnog elektrona i slobodne supljine (slika 5.2).

Iz luminescencije prilikom rekombinacije, uporedjivanjem energije potrebne za re-kombinaciju para elektronsupljina i energije eksitacione rekombinacije.

Fotojonizacijom eksitona kada nastaju slobodni nosioci. Ovaj eksperiment zahtevavisoku koncetraciju eksitona.

Ovde postoje dve granicne aproksimacije, jedna po Frenkelu, gde su eksitoni malogradijusa i cvrsto vezani, a druga po Vanije-Motu, gde su eksitoni slabo vezani i gde jeudaljenost izmedju elektrona i supljine velika u poredjenju sa konstantom resetke. Urealnosti se javljaju mesana eksitonska stanja, ali da li ce sistem biti Frenkelov (kristalmolekulskog tipa) ili Vanije-Motov (kristal poluprovodnickog tipa), pre svega odlucujevelicina koncentracije odgovarajuceg stanja.


5.2 Frenkelovi eksitoniU cvrsto vezanom eksitonu (slika 5.1b) pobudjenje je lokalizovano u blizini atoma.

Supljina je obicno na istom atomu gde je i elektron iako par moze biti u kristalu. Frenkeloveksiton je u biti pobudjeno st'anje atoma, ali pobudjenje moze da se prenosi od jednogatoma do drugog.

Kristali inertnih gasova imaju eksitone koji u osnovnom stanju donekle korespondirajuFrenkelovom modelu. Tako atomski kripton ima svoj najnizi atomski prelaz na 9.99 eV, ai u kristalnom stanju odgovarajuci prelaz je priblizno jednak i iznosi 10.17 eV. Energetskigep u kristalu iznosi 11.7 eV, tako da je energija osnovnog stanja eksitona 11.7 eV 10.17eV = 1.5 eV i ona se raspodeljuje na Slobodan elektron i slobodnu supljinu odvojeno, kaoi na ostatak kristala.

Stanja Frenkelovih eksitona imaju oblik progresivnog talasa, kao i sva ostala pobu-djenja u periodicnoj strukturi. Posmatrajmo kristal od N atoma u linijskom nizu ilipovezanih u prsten. Ako je Uj osnovno stanje atoma j>, onda je osnovno stanje kristaladato kao:

l]jg = UiU2 WjV-lMjV , (5.1)

ukoliko su interakcije izmedju atoma zanemarene. Ukoliko je jedan atom j u pobudjenomstanju Vj, sistem se opisuje kao:

j Uiu^ Uj-iVjUj+i UN (5.2)

Ova funkcija ima istu energiju kao i funkcija 0; koja opisuje bilo koji drugi pobudjeni atom1. Medjutim, funkcije 0 koje opisuju jedan pobudjen atom i TV 1 atoma u njegovomokruzenju, koji su osnovnom stanju, nisu stacionarna kvantna stanja. Ako postoji bilokakva interakcija izmedju pobudjenog atoma i susednih atoma u osnovnom stanju, energijapobudjenja ce se prenositi od atoma do atoma. Kao sto ce biti pokazano, svojstvena stanjace tada imati talasnu formu.

Kada hamiltonijan sistema deluje na funkciju sa j-tim pobudjenim atomom, dobija

, (5.3)

gde je e ekscitaciona energija slobodnog atoma, \X\ interakcija koja meri udeo transferapobudjenja od j-tog atoma do njegovih najblizih suseda j 1 i j + 1. Resenja prethodnejednacine su talasi Blohovog oblika:

(5-4)3

Pustimo da operator H deluje na if^k-

(5.5)j j

Sredjivanjem desne strane sledi:

= (e + 2|*l cos ka) ^k , (5.6)

Ana Uskokovic: _ Eksitoni u bimolekulskim filmovima, _ diplomski rad _ 20

tako da se dobijaju svojstvena energetska stanja kao:

Ek = e + 2\X\coska. (5.7)

Primenom periodicnih granicnih uslova odredjuju se dozvoljene vrednosti talasnog vektorak:

U molekulskim kristalima kovalentna veza unutar molekula je mnogo jaca od Van derWalsovih veza izmedju molekula, tako da se javljaju Frenkelovi eksitoni. Elektronskapobudjenja na individualnom molekulu se pojavljuju u kristalu kao eksitoni, cesto samalim pomerajem u frekvenciji. Na niskim temperaturama linije u kristalu su relativnoostre, iako moze biti viselinijska struktura u kristalu nego u molekulu, zbog Davidovljevogcepanja. Davidov je pokazao da ako postoji a molekula sa nedegenerisanim nivoima uelementarnoj celiji, svaka zona se cepa na a zona. Drugo cepanje je Beteovo ako jenivo na koji se molekul pobudjuje g puta degenerisan, onda se umesto jedne dobija geksitonskih zona.


6 Literatura

1. V.M.Agranovich:TEORIYA EKSITONOV,Nauka, Moskva 1968.

2. L.L.Chang and L.Esaki,Phys.Today Oct. 36 (1992).

3. M.G.Cottam and D.R.Tilley:INTRODUCTION TO SURFACE ANDSUPERLATTICE EXCITATIONS,Univ. Press, Cambridge 1989.

4. D.Rakovic:FIZICKE OSNOVE I KARAKTERISTIKEELEKTROTEHNICKIH MATERIJALA,Elektrotehnicki fakultet, Beograd 1995.

5. G.Rickayzen:GREEN'S FUNCTIONS AND CONDENSED MATTER,Academic Press, London 1980.

6. B.S.Tosic:STATISTICKA FIZIKA,PMF IF, Novi Sad 1978.

7. G.Mahan:MANY PARTICLE PHYSICS,Plenum Press, New York 1990.

8. V.M.Agranovich and V.L.Ginzburg:CRYSTALOPTIC WITH SPACE DISPERSIONAND THEORY OF EXCITONS,Nauka, Moskwa 1979.

9. I.D.Vragovic, S.M.Vucenovic, J.P.Setrajcic,S.M.Stojkovic, D.Lj.Mirjanic i D.Rakovic:OPTICKE KARAKTERISTIKE DIELEKTRICNIH FILMOVA,Zbornik radova 2. Simpozijum industrijske elektronike, 33-37 (1999).

10. C.Kittel:QUANTUM THEORY OF SOLIDS,Wiley, New York 1963.

Kratka biografija autora

Rodjena 18.05.1971. u Vrbasu. Zavrsila osnovnu skolu u Vrbasu, a zatim igimnaziju "Zarko Zrenjanin" u Vrbasu. Prirodno-matematicki fakultet, odsek zafiziku, smer diplomirani fizicar upisala 1989. godine.

Novi Sad, 23.05.2005. Ana Uskokovic

UNIVERZITET U NOVOM SADUPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

KLJUCNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA

Redni broj:RBR

Identifikacioni broj:IBR

Tip dokumentacije:Monografska dokumentacijaTD

Tip zapisa:Tekstualni stampani materijalTZ

Vrsta rada:Diplomski radVR

Autor:Ana Uskokovic, br.dos. 64/89AU

Mentor:Dr Jovan Setrajcic,redovni profesor, PMF, Novi SadMN

Naslov rada:Spektri i stanja eksitonau bimolekulskim nanoGlmovimaNR

Jezik publikacije:Srpski (latinica)JP

Jezik izvoda:Srpski31

Zemlja publikovanja:SrbijaZP

Uze geografsko podrucje:VojvodinaUGP

Godina:2005.GO

Izdavac:Autorski reprintIZ

Mesto i adresa:Prirodno-matematicki fakultet, ,Trg Dositeja Obradovica 4, 21000 Novi SadMA

Fizicki opis rada:(6/24/10/0/6/12/2)FO

Naucna oblast:FizikaNO

Naucna disciplina:Fizika cvrstog stanjaND

Predmetna odrednica / kljucne red:molekulski filmovi, eksitoni,Grinove funkcije, spektriPO

Cuva se:Biblioteka Instituta za fiziku,PMF Novi Sad

Izvod:U radu je primenjen metod dvovremen-skih Grinovih funkcija za ispitivanje uticajagranica Glm-struktura sa slozenom kristalnomresetkom na energetski spektar i moguca stanjaeksitona. Dobijeni rezultati predstavljeni sugrancki i izvrsene su analize, odnosno poredje-nja tih rezultata sa odgovarajucim u idealnimbeskonacnim (prostorno neogranicenim) struk-turama. Na osnovu toga uocene su najbitnijerazlike izmedju njih.IZ

Datum prihvatanja teme od strane Veca:.05.2005.

DP Datum odbrane:

.06.2005.DO

Clanovi komisije:- Predsednik:Dr Bozidar Vujicic,red. profesor, PMF, Novi Sad- Clanovi:Dr Jovan Setrajcic,red. profesor, PMF, Novi SadDr Milan Pantic,docent, PMF, Novi SadKO

23

UNIVERSITY OF NOVI SADFACULTY OF SCIENCES

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accenssion number:ANOIdentification number:INODocument type:Monograph typeDTType of record:Printed textTRContents Code:Diploma workCCAuthor:Ana UskokovicAUMentor:Prof. Dr Jovan SetrajcicMNTitle:Spectra and States of Excitonsin Bimolecular Nano-FilmsNRLanguage of text:Serb/anLTLanguage of abstract:EnglishLACountry of publication:SerbiaCPLocality of publication:VojvodinaLPPublication year:2005.PYPublisher:Author's reprintPUPubl.place:Novi Sad,Department of Physics,Faculty of Sciences,Trg Dositeja Obradovica 4PP

Physical description:(6/24/10/0/6/12/2)PDScientific field:PhysicsSFScientific discipline:Solid State PhysicsSDKey words:molecular films, excitons,Green's functions, spectraKWHolding data:LibraryDepartment of Physics, Novi SadHD Note: NAbstract:In this work, the method of the two-time de-pendent Green's functions was applied to re-searching of the influence of the surfaces of thefilm-structures with complex crystalline lat-tice on the energy spectra and possible excitonstates. The obtained results are plotted andthe analyzes are carried out, together with thecomparison of those results to those obtainedfor the corresponding ideal, infinite, e.i. spa-tially unbounded structures. On the basis ofthose analyzes, the main differences betweenthe structures are observed.ABAccepted by the Scientific Board on:

.05.2005.ASBDefended:

.06.2005.DEWork defend board:- DB President:Dr. Bozidar Vujicic,Full Professor, Faculty of Sciences,University of Novi Sad- Member:Dr. Jovan Setrajcic,Full Professor, Faculty of Sciences,University of Novi SadDr. Milan Pantic,Assistant Professor, Faculty of Sciences,University of Novi Sad

24

Documents

SPEKTRI I STANJA EKSITONA U BIMOLEKULSKIM …d-448).pdf · primene (nanoelektronika i optoelektronika). Posebnost ovih struktura ogleda se u tome