SPIS TREŚCI - repo.pw.edu.pl

3

SPIS TREŚCI

1. Wstęp ..................................................................................................................................................... 5

2. Cel i zakres pracy .................................................................................................................................. 6

3. Stalowe konstrukcje wsporcze pod napowietrzne linie elektroenergetyczne. Propagacja fali

sprężystej w ośrodku gruntowym ...................................................................................................... 7

3.1. Podstawowe wiadomości o napowietrznych linii elektroenergetycznych wysokiego

napięcia i stalowych konstrukcjach wsporczych wchodzących w ich skład ........................... 7

3.2. Źródła drgań i przekazywanie się drgań na budowle .............................................................. 15

3.2.1. Propagacja fal w półprzestrzeni sprężystej ..................................................................... 15

3.2.2. Generowanie drgań przez komunikację naziemną i podziemną. Przekazywanie się

drgań z podłoża gruntowego na budynki ....................................................................... 16

4. Podstawowe informacje o drganiach układów konstrukcyjnych ................................................ 18

4.1. Podstawowe pojęcia związane z opisem drgań ........................................................................ 18

4.2. Drgania oscylatora harmonicznego z tłumieniem .................................................................... 18

4.2.1. Równanie drgań oscylatora ............................................................................................... 18

4.2.2. Rozwiązanie równania ruchu ............................................................................................ 19

4.2.3. Przykład liczbowy .............................................................................................................. 20

4.3. Drgania dyskretnych układów prętowych z wieloma stopniami swobody........................... 21

4.3.1. Wyprowadzenie układu równań ruchu ........................................................................... 22

4.3.2. Zagadnienie własne ............................................................................................................ 22

4.3.3. Harmoniczne wymuszenia kinematyczne ....................................................................... 23

4.3.4. Transformacja modalna ..................................................................................................... 23

4.4. Metoda elementów skończonych w zagadnieniach dynamiki ustrojów prętowych z

prętami o ciągłym rozkładzie masy ............................................................................................ 24

4.4.1. Podstawy metody elementów skończonych ................................................................... 24

4.4.2. Metody bezpośredniego całkowania równań ruchu. Metoda Newmarka.................. 25

5. Analiza drgań. Ocena szkodliwości drgań na ludzi i budowle ..................................................... 26

5.1. Analiza harmoniczna drgań ......................................................................................................... 26

5.2. Opis ilościowy sygnałów .............................................................................................................. 27

5.3. Filtry drgań ..................................................................................................................................... 27

5.4. Ocena wpływu drgań na budowle i ludzi w budynkach .......................................................... 28

5.4.1. Ocena szkodliwości drgań na budowle ........................................................................... 28

5.4.2. Ocena szkodliwości drgań na ludzi w budynkach ......................................................... 30

5.4.3. Środki ochrony przed drganiami ...................................................................................... 31

4

6. Wyniki analizy czasowej przeprowadzonej w programie Robot ................................................. 32

6.1. Opis modelowanego słupa .......................................................................................................... 32

6.2. Opis modelu przyjętego do obliczeń ......................................................................................... 33

6.3. Wyniki analizy modalnej .............................................................................................................. 36

6.4. Wymuszenie kinematyczne .......................................................................................................... 42

6.5. Analiza czasowa............................................................................................................................. 44

6.5.1. Parametry analizy czasowej ............................................................................................... 44

6.5.2. Wyniki analizy czasowej .................................................................................................... 44

6.6. Ocena otrzymanych wyników ..................................................................................................... 52

7. Wnioski i podsumowanie .................................................................................................................. 53

8. Bibliografia .......................................................................................................................................... 54

7.1. Literatura ........................................................................................................................................ 54

7.2. Normy i Rozporządzenia ............................................................................................................. 54

ZAŁĄCZNIKI

1. Mail ze zgodą biura Energoprojekt Kraków S.A. na udostępnienie dokumentacji słupa

H52P

2. Opis techniczny konstrukcji słupa H52 P-4, ±0, +5,+10

3. Karta informacyjna dla słupa H52P

4. Słup H52P. Rysunek zestawieniowy

5. Oświadczenie autora o ograniczeniach w udzieleniu licencji Politechnice Warszawskiej na

archiwizowanie i udostępnianie utworu w Bazie Wiedzy PW

5

1. WSTĘP

Trasy komunikacyjne (drogi i linie kolejowe) są źródłem drgań, które w postaci fal

mechanicznych przekazują się poprzez grunt na fundamenty obiektów znajdujących się w ich

sąsiedztwie. Tak przyłożone wymuszenie kinematyczne powoduje drgania całych budowli,

których efekty nie zawsze mogą być pomijane (patrz [18] i [19]). Wśród organów wydających

pozwolenia na budowę dróg, linii kolejowych, tuneli metra widać coraz większą świadomość

wpływu drgań na budowle i ludzi będących ich użytkownikami, normą staje się wymaganie, aby

częścią projektu budowlanego była analiza drgań budynków znajdujących się w strefie ich

oddziaływania [23].

Linie elektroenergetyczne często zlokalizowane są równolegle do innych budowli

liniowych takich jak jezdnie czy tory kolejowe. Analizowane w poniższej pracy drgania stalowych

konstrukcji wsporczych linii wywołane komunikacją są realnym zjawiskiem, powszechnie

spotykanym w naturze. Linie elektroenergetyczne powinny być przedmiotem szczególnego

zainteresowania inżynierów z uwagi na ich znaczenie dla bezpieczeństwa kraju. Stawia się im

wysokie wymagania ze względu na niezawodność funkcjonowania i trwałość, dlatego konstrukcja

ich słupów powinna być bardzo dokładnie przeanalizowana, również pod kątem obciążeń

dynamicznych. Kolejną przyczyną, dla której warto zgłębić różne charakterystyki stalowych

konstrukcji wsporczych jest rozwój energetyki w Polsce. Koncerny energetyczne planują

zwiększenie mocy swoich istniejących elektrowni bądź budowę nowych. Zwiększenie produkcji

energii elektrycznej nierozerwalnie wiąże się z rozbudową i modernizacją sieci przesyłowej.

Nowoczesne metody projektowania i nowe, bardziej ekologiczne podejście architektów

będzie skutkowało powstawaniem konstrukcji wsporczych o zupełnie innych kształtach,

w stosunku do dziś spotykanych,.

Rys. 1.1. Makiety słupów przygotowane na konkurs „Pylon for future”, przeprowadzonego w Wielkiej Brytanii. Pierwszy autorstwa Amanda Leve Architects i Arup, drugi – Gustafson Porter, trzeci – Newtown Studio and

Structure Workshop. Zdjęcia pochodzą ze strony deezen.com, adres URL: http://www.dezeen.com/2011/09/15/pylon-for-the-future-competition-shortlist-announced/

Jak widać na powyższych fotografiach konstrukcje staną się bardziej smukłe, a co za tym idzie

podatne na oddziaływania dynamiczne, w związku z tym istotne stanie się uwzględnienie

w projektowaniu oddziaływań dynamicznych przekazywanych przez podłoże.

6

2. CEL I ZAKRES PRACY

Celem pracy było określenie parametrów drgań punktów w stalowej konstrukcji

wsporczej, do których poprzez izolatory podwieszone są przewody elektroenergetyczne.

Otrzymane wyniki będą mogły posłużyć np. w procesie projektowania precyzyjnego urządzenia

monitorującego przemieszczenia linii, które zamocowane będzie w okolicach ww. punktów.

Charakterystyczną cechą słupów pod napowietrzne linie elektroenergetyczne jest ich typizacja

(patrz punkt 3.3.1.) Gdyby dokonać walidacji opracowanego modelu, mógłby być przydatny w

ocenie wpływu oddziaływań dynamicznych na trwałość konstrukcji – koszt wyłączenia linii jest

tak wysoki, że dokonanie pomiarów jego rzeczywistych drgań jest bardzo utrudnione.

Zakres pracy obejmuje:

przedstawienie podstaw dotyczących:

konstrukcji słupów,

generowania i propagacji drgań w podłożu gruntowym,

drgań układów z jednym i wieloma stopniami swobody,

oceny szkodliwości drgań na budowle i ludzi znajdujących się w

budynkach na podstawie obowiązujących norm,

budowę w programie ROBOT trójwymiarowego modelu stalowej konstrukcji wsporczej

na podstawie dokumentacji projektowej słupa H52P udostępnionej autorowi pracy

przez Energoprojekt Kraków S.A. (załącznik nr 2),

przeprowadzenie w programie ROBOT analizy modalnej i czasowej,

opracowanie uzyskanych wyników poprzez przedstawienie odpowiedzi dynamicznej

konstrukcji w następujących formach: prędkości wybranych węzłów w funkcji czasu,

wartości skutecznych prędkości w pasmach tercjowych częstotliwości,

ocenę otrzymanych wyników.

7

3. STALOWE KONSTRUKCJE WSPORCZE POD NAPOWIETRZNE

LINIE ELEKTROENERGETYCZNE. PROPAGACJA FALI

SPRĘŻYSTEJ W OŚRODKU GRUNTOWYM

3.1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O NAPOWIETRZNYCH LINII

ELEKTROENERGETYCZNYCH WYSOKIEGO NAPIĘCIA I STALOWYCH

KONSTRUKCJACH WSPORCZYCH WCHODZĄCYCH W ICH SKŁAD

Linie elektroenergetyczne stanowią strategiczny element infrastruktury kraju, dlatego

poświęcono im wiele specjalistycznych książek, rozpraw naukowych oraz opracowano

europejskie normy dotyczące ich projektowania – od marca 2010 r. obowiązującą normą jest

PN-EN 50341-1:2005 i będący jej uzupełnieniem załącznik krajowy PN-EN 50341-3-22:2010.

Projektant przystępujący do projektowania konstrukcji wsporczych pod linie wysokiego napięcia

powinien znać również następujące normy: „Eurokod 0: Podstawy projektowania konstrukcji”,

„Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcję”, „Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych”

(głównie części PN-EN 1993-1-1 i PN-EN 1993-3-1 dotyczące reguł ogólnych i projektowania

wież, masztów i kominów), „Eurokod 7: Projektowanie geotechniczne”.

Obecnie realizuje się linie napowietrzne o napięciu znamionowym od 1 do 750 kV – na

liniach magistralnych najczęściej 110 kV, 220 kV, 400 kV.

Zasadniczym elementem napowietrznych linii przesyłowych są przewody

elektroenergetyczne. Najczęściej stosowane są wielodrutowe, gołe przewody stalowo-aluminiowe.

Przewód taki składa się z kilku lub kilkudziesięciu drutów aluminiowych stanowiących

zewnętrzną jego część oraz rdzenia wykonanego z drutów ze stali ocynkowanej. Aluminium i jego

stopy charakteryzują się dobrą przewodnością elektryczną i niewielkim ciężarem objętościowym.

Druty stalowe używane są, ze względu na niewystarczającą wytrzymałość mechaniczną

aluminium. Podstawową cechą mechaniczną określaną dla przewodu jest znamionowa

wytrzymałość przewodu na rozciąganie – RTS (ang. Rated Tensile Strength). Przewody muszą

przenieść obciążenia wywołane przede wszystkim ciężarem własnym, oblodzeniem i wiatrem.

Zasadniczy wpływ na odkształcenie przewodów mają również wahania temperatury. Szczególnie

ważne oddziaływanie stanowi obciążenie oblodzeniem – w miejscach, w których przewody są

szczególnie narażone na oszronienie, czyli w pobliżu zbiorników wodnych, miejsc podmokłych i

przy równoczesnym działaniu umiarkowanego wiatru (ok. 15 m/s), grubość warstwy lodu może

przekraczać dwie średnice przewodu (rys. 2.5 w [11]). Na skutek oblodzenia przewód musi

przenieść obciążenie kilkakrotnie przekraczające jego ciężar własny oraz dodatkowe

oddziaływania od wiatru, wynikające ze zwiększenia jego gabarytów. Z równań równowagi

elementu dl cięgna, przy założeniu, że jest ono doskonale wiotkie, można znaleźć równanie

krzywej zwisu przewodu, którego geometryczną reprezentacją jest tzw. krzywa łańcuchowa.

Przewody, którymi transportowana jest energia elektryczna nazywamy przewodami fazowymi,

trzy przewody fazowe tworzą jeden tor linii. Przewody fazowe w liniach o napięciu

znamionowym 110 kV i wyższym należy na całej długości chronić przed wyładowaniami

atmosferycznymi przewodami odgromowymi, które umieszcza się na wieżyczkach odgromowych.

Przewody elektroenergetyczne podwieszone są do stalowych konstrukcji wsporczych za

pośrednictwem izolatorów. Izolatory, oprócz tego, że pozwalają na zachowanie odpowiednich

odległości między gołymi przewodami, a konstrukcją, spełniają dwie podstawowe funkcje:

gwarantują odpowiednią wytrzymałość mechaniczną,

8

dzięki odpowiednim charakterystykom elektrycznym, zabezpieczają konstrukcję

przed wpływem wysokiego napięcia w przewodach.

Izolatory od wielu lat wykonywane są z materiałów ceramicznych, jednak coraz częściej stosuje

się izolatory kompozytowe. Najpopularniejszymi izolatorami stosowanymi w Polsce na liniach o

napięciu znamionowym 110 kV i więcej są izolatory długopniowe (ceramiczne i kompozytowe).

Masa pojedynczych izolatorów długoponiowych ceramicznych waha się od 40 kg do 90 kg, a

kompozytowych od 40 do 80 kg (w zależności od tego pod jakie napięcie znamionowe linii są

stosowane).

Rys. 3.1. Detal izolatora. Układ izolatorów długopniowych, ceramicznych, połączonych równolegle i szeregowo.

Podstawową funkcją konstrukcji wsporczej jest przeniesienie ciężaru przewodów i

izolatorów, przy zachowaniu właściwych odległości pomiędzy przewodami oraz pomiędzy

przewodami a konstrukcjami wsporczymi i innymi obiektami sąsiadującymi z linią tzw. odstępów

izolacyjnych. Dzielimy je na dwa podstawowe typy:

odstępy izolacyjne wewnętrzne – między sąsiadującymi ze sobą przewodami

fazowymi lub pomiędzy przewodem fazowym i konstrukcją wsporczą;

odstępy izolacyjne zewnętrzne – pomiędzy przewodem fazowym a obiektami pod

linią.

Wymagania dotyczące odstępów izolacyjnych muszą być spełnione zarówno w normalnych

warunkach pracy linii, jak i w różnorodnych warunkach eksploatacyjnych i atmosferycznych

(wiatr, wysoka temperatura, przepięcia w linii na skutek wyładowań atmosferycznych itp.) W celu

zapewnienia właściwych zewnętrznych odstępów izolacyjnych konieczne jest dostosowanie

geometrii zwisu przewodów i konstrukcji wsporczych do warunków terenowych. Odpowiednie

9

odstępy wewnętrzne osiąga się poprzez dobór sylwetki i gabarytów słupa oraz dobór długości

izolatorów. W obliczeniach słupów linii przesyłowych uwzględnia się również obciążenia

wywołane działaniem wiatru i użytkowe występujące w czasie montażu linii.

Pod względem przeznaczenia i rodzaju pracy słupy linii elektroenergetycznych możemy

podzielić na:

przelotowe(P) – służą do podtrzymania przewodów, czyli przejęcia zewnętrznych

oddziaływań pionowych oraz oddziaływań poziomych prostopadłych do kierunku

linii; ustawia się je w linii prostej lub na niewielkich załomach

linii(nieprzekraczających 2º); są najczęściej stosowanym rodzajem słupów – ok. 80%

wszystkich słupów;

Rys. 3.2. Słup przelotowy Y52P, linia o napięciu znamionowym 400 kV znajdująca się przy drodze ekspresowej Lublin-Kurów. Na zdjęciu podpisane są podstawowe elementy słupa. Zdjęcie własne autora.

10

narożne(N) – służą do podtrzymywania przewodów na załomach linii; obliczane są

na działanie obciążeń pionowych, oddziaływań poziomych od wiatru i wypadkowej

naciągu, wynikającej z załomu, na którym dany słup jest ustawiony;

Rys. 3.3. Słup narożny linii o napięciu znamionowym 110 kV znajdujący się przy ścieżce rowerowej nad

Zalew Zemborzycki w Lublinie. Zdjęcie własne autora.

odporowe(O) – rodzaj słupów mocnych – oprócz obciążeń pionowych

i oddziaływań poziomych od wiatru, przejmują przede wszystkim jednostronny

naciąg przewodów, gdy słupy przelotowe po jednej stronie słupa odporowego uległy

awarii; ponadto przenoszą obciążenia montażowe podczas zakładania przewodów;

Rys. 3.4. Słup odporowy linii o napięciu znamionowym o napięciu 110 kV znajdujący się nad Zalewem

Zemborzyckim w Lublinie. Zdjęcie własne autora.

11

odporowo – narożne(ON) – wzmocniony typ słupów narożnych;

Rys. 3.5. Słup odporowo-narożny Y52ON150, linia o napięciu znamionowym 400 kV znajdująca się przy drodze

ekspresowej Lublin-Kurów. Zdjęcie własne autora.

krańcowe(K) – znajdują się na początku i na końcu linii – przewody doprowadzone

są do nich tylko z jednej strony, a z drugiej są doprowadzone tylko przewody

zawieszone luźno; zatem przejmują jednostronny naciąg wszystkich przewodów linii;

Rys. 3.6. Słup krańcowy dwutorowej linii o napięciu znamionowym 110 kV znajdujący się przy ulicy Opaczewskiej w

Warszawie. Zdjęcie własne autora.

12

rozgałęźne(R) – ustawia się je w miejscu odgałęzienia lub rozgałęzienia linii, należy je

traktować tak jak słupy, których rolę spełniają (np. słup rozgałęźny przelotowo-

krańcowy);

skrzyżowaniowe(S) – każde słupy: przelotowe, narożne, odporowe, odporowo –

narożne, rozgałęźne, które znajdują się w obrębie skrzyżowań linii z innymi liniami

elektroenergetycznymi, drogami komunikacyjnymi lub innymi ważnymi obiektami; ze

względu na ich charakter obliczane są ze zwiększonym bezpieczeństwem.

Ze względu na liczbę torów linie elektroenergetyczne i konstrukcje wsporcze możemy

podzielić na: jednotorowe, dwutorowe i wielotorowe (patrz rys 3.7.)

Rys. 3.7. Trzy linie elektroenergetyczne (od tyłu): o napięciu znamionowym 110 kV jednotorowa (1),

220 kV jednotorowa (2), 110 kV dwutorowa (3). Zdjęcie wykonane nad Zalewem Zemborzyckim w Lublinie. Zdjęcie własne autora.

Konstrukcje wsporcze linii wysokiego napięcia projektuje się najczęściej, jako

przestrzenne stalowe słupy kratowe, posadowione na żelbetowych fundamentach blokowych lub

częściej na oddzielnych fundamentach stopowych (pod każdą nogą słupa). Stalowe słupy kratowe

traktuje się zwykle, jako konstrukcje prętowe połączone w węzłach przegubowo. Rozróżnia się

trzy rodzaje prętów słupów kratowych: krawężniki (pasy), ukośniki (krzyżulce i słupki) i pręty

drugorzędne (wykratowania nadliczbowe, nie są bezpośrednio obciążone przez oddziaływania

zewnętrzne, ustateczniają pręty przenoszące siły, można je pomijać w analizie statycznej).

Stężenia poprzeczne (przepony poziome) należy umieszczać we wszystkich przekrojach

poprzecznych, w których przyłożone są obciążenia skupione i we wszystkich przekrojach, w

których występują załamania krawężników lub zmiana systemu skratowania – w ten sposób

zapewniona jest geometryczna niezmienność kratownicy przestrzennej. Najbardziej

1

3

2

13

odpowiednimi kształtownikami stalowymi kratownicy są pojedyncze kątowniki równoramienne, a

niekiedy nierównoramienne albo kątowniki w złożonych układach teowych lub krzyżowych.

Cechą charakterystyczną konstrukcji wsporczych jest stosowanie prętów o dużej smukłości, z

czego wynika stosowanie stali o niskiej wytrzymałości(najczęściej S235JR). Do najczęściej

stosowanych skratowań należą: pojedyncze (rys. 3.8. a, b), podwójne(rys. 3.8. c, d), potrójne

(rys. 3.8. e), rybkowe (rys. 3.8. f, g) i rybkowe z kratą wewnętrzną (rys. 3.8. h).

Rys. 3.8. Rodzaje wyratowań stosowane w stalowych konstrukcjach wsporczych. Na podstawie rys. 4.6. w [11].

Konstrukcje wsporcze są trudno dostępne w czasie eksploatacji, ze względu na bardzo

duże zagrożenie elektryczne i warunki terenowe – powoduje to, że przeprowadzanie zabiegów

konserwacyjnych jest utrudnione. Z tego powodu, za najbardziej racjonalny sposób

zabezpieczenia stali przed korozją uważa się jej ocynkowanie. Potrzeba ograniczenia kosztów

transportu konstrukcji wsporczej i stosowanie ocynkowania powoduje to, że dąży się do

eliminacji połączeń spawanych na rzecz połączeń śrubowych. Rozłożenie konstrukcji na

elementy proste w postaci blach i prętów umożliwia ich pakowanie w pakiety zapewniające łatwy

transport i kompletność dostaw.

Posadowienie stalowych konstrukcji wsporczych w zależności od warunków

gruntowych może być bezpośrednie i pośrednie (na palach). W przypadku niewielkich słupów

stosuje się fundamenty pojedyncze. Jeżeli rozstaw krawężników jest większy, takie rozwiązanie

jest nieekonomiczne, wtedy każda z „nóg” konstrukcji wsporczej posiada niezależny fundament.

Są to tzw. fundamenty rozdzielone, zwane też fundamentami wielostopowymi. Konstrukcja jest

połączona z fundamentem w sposób przegubowy (patrz rys. 3.9.)

14

Rys. 3.9. Połączenie fundamentu z konstrukcją wsporczą. Słup przelotowy Y52P, linia o napięciu znamionowym

400 kV znajdująca się przy drodze ekspresowej Lublin-Kurów. Zdjęcie własne autora.

Potrzeba budowy wielu linii napowietrznych o zbliżonych parametrach oraz

powtarzalność tych samych typów konstrukcji w obrębie każdej linii stworzyły korzystne warunki

dla ich typizacji. W biurach projektowych powstały tzw. serie słupów, czyli komplety słupów dla

danych parametrów linii. Najczęściej każdy słup typowy występuje w kilku wariantach

wysokościowych, które uzyskuje się przez zmianę lub dodanie odpowiedniego dolnego członu

słupa (patrz rys. 3.10.) Typizacja dotyczy również fundamentów konstrukcji wsporczych – do

każdej serii słupów dołączone jest kilka wariantów prefabrykowanych fundamentów, które

dobiera się do konkretnego słupa uwzględniając warunki gruntowe.

Rys. 3.10. Najniższy człon słupa oporowo-narożnego Y52ON150. Widoczne stężenia poziome słupa. Linia o napięciu znamionowym 400 kV znajdująca się przy drodze ekspresowej Lublin-Kurów. Zdjęcie własne autora.

15

3.2. ŹRÓDŁA DRGAŃ I PRZEKAZYWANIE SIĘ DRGAŃ NA BUDOWLE

3.2.1. PROPAGACJA FAL W PÓŁPRZESTRZENI SPRĘŻYSTEJ

Najprostszym modelem, którym możemy przybliżyć ośrodek gruntowy, jest izotropowa,

jednorodna półprzestrzeń sprężysta. Mechaniczne zaburzenia rozchodzące się w ośrodku

sprężystym nazywamy f a l am i . Powstają one na skutek wychylenia fragmentu ośrodka z

położenia równowagi, które powoduje jego drgania wokół tego położenia. Cechą fal sprężystych

jest to, że materia ośrodka nie przesuwa się wraz z falą. Energia jest przenoszona za pomocą

drgań ograniczonej części ośrodka. Propagację fal w przestrzeni sprężystej opisują równania

falowe, które są wyprowadzane przy założeniu małych odkształceń. W przestrzeni sprężystej

mogą wystąpić dwa podstawowe typy fal:

P-fale, zwane też falami: podłużnymi, bezwirowymi, ściskającymi, dylatacyjnymi; dla

tego typu fal płaszczyzna drgań ośrodka jest prostopadła do płaszczyzny

rozchodzenia się fali, prędkość czoła fali wynosi:

1

E(1 )c

(1 )(1 2 )

, gdzie:

E – moduł Younga ośrodka,

– moduł Poissona,

– gęstość ośrodka.

S-fale, zwane też falami: poprzecznymi, wirowymi, skrętnymi, rotacyjnymi; dla tego

typu fal ośrodek drga w płaszczyźnie rozchodzenia się fali, prędkość czoła fali

wynosi (oznaczenia jak w punkcie powyżej):

2

Ec

2(1 )

.

Oba typy fal najczęściej występują razem, ich prędkość zależy tylko od stałych sprężystych

materiału i jego gęstości. Prędkość fal podłużnych jest większa niż poprzecznych (przy najczęściej

przyjmowanym w sejsmografii współczynniku Poissona ν = 0,25 c2= c1).

W półprzestrzeni sprężystej rozchodzą się dodatkowo fale zwane

p ow ie rzc hn i owy mi . Najprostszym typem tych fali są f a l e Ra y l e i gha (R-fale).

Charakteryzują się one tym, że ich amplituda jest największa przy powierzchni półprzestrzeni -

bardzo szybko zanikają wraz ze wzrostem głębokości. Fale R mają nieznacznie mniejszą prędkość

niż fale P. Jednocześnie przenoszą największą energię z wymienionych typów fal (mają największe

amplitudy). Fale P i S często nazywane są małym wstrząsem, a fale R dużym. W praktyczny

sposób możemy zaobserwować ww. podział w większych odległościach od źródeł drgań lub

bardziej jednorodnych niż grunt materiałach. Fale powstające na skutek ruchu pojazdów mają

wpływ tylko na obiekty w bezpośrednim sąsiedztwie szlaków komunikacyjnych (do ok. 40m). W

sygnale, który został zastosowany jako wymuszenie kinematyczne w pracy nie jesteśmy w stanie

wyróżnić dużego i małego wstrząsu.

Zjawisko propagacji fal sprężystych w gruntach jest dużo bardziej złożone. Wynika to z

niejednorodności podłoża, tłumienia wewnętrznego gruntu, wpływu poziomu zwierciadła wód

gruntowych, zjawisk interferencji, ugięcia, odbicia fal przy natrafianiu na przeszkody, czy

przechodzeniu fali między różnymi warstwami gruntu. Czynniki te powodują, że bardzo trudno

w sposób analityczny przewidzieć wpływ drgań generowanych przez planowane trasy

komunikacyjne na istniejące obiekty – często niezastąpioną metodą jest wykonanie pomiarów dla

istniejących szlaków posadowionych w podobnych gruntach.

16

3.2.2. GENEROWANIE DRGAŃ PRZEZ KOMUNIKACJĘ NAZIEMNĄ I PODZIEMNĄ.

PRZEKAZYWANIE SIĘ DRGAŃ Z PODŁOŻA GRUNTOWEGO NA BUDYNKI

W naszym otoczeniu występuje wiele źródeł drgań, m. in. podmuchy wiatru,

wibromłoty używane np. podczas wykonywania ścianek Larsena czy też ruch kołowy. Ostatni

z wymienionych ma szczególne znaczenie dla inżynierów budownictwa, ponieważ powstawanie

nowych budowli liniowych nie powinno mieć negatywnego wpływu na istniejące budynki czy też

ich użytkowników.

Podstawowym czynnikiem generującym drgania w jezdni lub torowisku i ich otoczeniu

jest zmiana sił kontaktowych między kołami pojazdu i powierzchnią jezdni. Według Ciesielskiego

w [5], [6] wynika to z dwóch przyczyn:

przekazywania się niezrównoważonych sił wewnątrz pojazdu (np. z silnika

i niewyważonych kół),

interakcji wynikającej z przejazdu kół po powierzchni jezdni.

Autor wymienionej publikacji wspomina jeszcze o podziale tych sił na: harmoniczne (powstające

na regularnie pofalowanej powierzchni jezdni); impulsowe (generowane na skutek nagłych zmian

profilu jezdni); losowe (mające swoje źródło na typowych nierównościach jezdni). Najwyższy

poziom drgań jest wzbudzany na skutek jazdy pojazdów po nierównościach – jakość drogi jest

bezpośrednio związana z amplitudą i częstotliwością powstających fal. W nowoczesnych

samochodach drgania przekazujące się na otoczenie, mające swoje źródło w wibracji silników, są

pomijalnie małe. Wynika to z antywibracyjnej konstrukcji ich zawieszenia.

Nie jest możliwe w jasny sposób określenie korelacji amplitudy wzbudzanych drgań z

prędkością, ciężarem, obciążeniem pojazdu, a nawet odległością od krawędzi drogi i jej

konstrukcją. Można jedynie podać ogólne zależności, które dla większości przypadków będą

prawdziwe. Generalnie amplituda generowanych drgań powstających w gruncie spada wraz z

odległością od jezdni (na skutek zjawiska tłumienia i absorpcji drgań w gruncie, spadek przebiega

zgodnie z krzywą absorpcji – wzór podany poniżej zaczerpnięto z [6]) oraz rośnie wraz ze

zwiększaniem się prędkości pojazdów (stąd częste ograniczenia prędkości w centrach miast nawet

do 30 km/h).

0x 0 0

xA A exp[ K(x x )]

x

Ax – amplituda drgań gruntu w odległości x od źródła drgań;

A0 – amplituda drgań w punkcie pomiarowym zlokalizowanym najbliżej źródła drgań

gruntu (w odległości x0);

K – współczynnik absorpcji gruntu, wyznaczany doświadczalnie, waha się od 0,01 dla

luźnych piasków do 0,1 dla gruntów spoistych zwartych.

17

Rys. 3.11. Wykres absorpcji gruntu, uzyskany dla następujących danych A0=20 μm, x0=1 m, K=0,01 m-1.

Samochody osobowe generują drgania „nieodczuwalne” przez budynki, z punktu widzenia

mechaników badających zjawisko drgań istotne są tylko ciężkie pojazdy takie jak autobusy

samochody ciężarowe. Autor [5] wysuwa tezę, popartą wieloma przykładami empirycznymi, że

puste pojazdy (niezaładowane ciężarówki lub autobusy) mogą generować większy poziom drgań

niż te obciążone, chociaż najczęściej im cięższy jest pojazd tym amplitudy drgań gruntu są

większe.

Współpraca konstrukcji z podłożem, w przypadku działania drgań, nazywana jest

interakcją dynamiczną. Wg Ciesielskiego [5] zagadnienie to jest bardzo trudne do zbadania,

ponieważ nie można pomijać sprzężenia budynek-podłoże. Generalnie podczas przekazywania

się drgań z gruntu na fundamenty następuje redukcja ich amplitud, może zmieniać się również ich

częstotliwość. Wyjątkiem od przytoczonej reguły jest sytuacja, gdy dominujące częstotliwości

drgań gruntu są zbliżone do częstotliwości drgań własnych budynku. W takiej sytuacji amplituda

drgań budynku w poziomie fundamentu może być większa niż drgań gruntu.

5 10 15

5 106

0.00001

0.000015

0.00002

A x( )

x

[m]

[m]

18

4. PODSTAWOWE INFORMACJE O DRGANIACH UKŁADÓW

KONSTRUKCYJNYCH

4.1. PODSTAWOWE POJĘCIA ZWIĄZANE Z OPISEM DRGAŃ

W pracy [12] definiuje się drgania jako „przemieszczenia ciała lub konstrukcji wokół położenia równowagi,

o wartościach zmiennych w czasie”. Drgania możemy podzielić na okresowe i nieokresowe. Wg [8]

ruch okresowy to taki, który powtarza się we wszystkich szczegółach po pewnym czasie T

zwanym o k re sem . Prawdziwa więc jest zależność:

u(t T) u(t)

u(t) - funkcja opisująca przemieszczenie układu.

Pozostałe wielkości, służące do opisu drgań okresowych:

częstotliwość

1f

T - jej jednostką jest herc

1[Hz] [ ]

s ;

częstość kołowa

2 f - jej jednostką jest rad[ ]s

.

4.2. DRGANIA OSCYLATORA HARMONICZNEGO Z TŁUMIENIEM1

4.2.1. RÓWNANIE DRGAŃ OSCYLATORA

Dany jest układ z jednym stopniem swobody.

Rys. 4.1. Oscylator harmoniczny.

Opis przyjętych oznaczeń:

m – masa skupiona;

k – sztywność sprężyny;

c – charakterystyka tłoka;

0P(t) P sin( t) - wymuszenie harmoniczne.

1 Rozdział bazuje na referacie zaliczeniowym przedmiotu Systemy Obliczeniowe Mechaniki Konstrukcji, na który autor

uczęszczał w semestrze zimowym w roku akademickim 2013/2014. Konsultującym referat był prof. Artur Zbiciak.

19

Rys. 4.2. Siły działające na masę skupioną.

Równanie ruchu oscylatora uzyskano metodą kinetostatyki – uwolniono układ od więzów

i zapisano równanie równowagi dynamicznej w nieinercjalnym układzie odniesienia.

0mu cu ku P sin( t)

4.2.2. ROZWIĄZANIE RÓWNANIA RUCHU

W rozwiązaniu równania ruchu skorzystano ze wzoru Eulera. i te cos( t) i sin( t)

Wprowadzono równanie zastępcze. i t

0mu cu ku P e

Należy zauważyć, że część urojona rozwiązania powyższego równania będzie rozwiązaniem

równania ruchu oscylatora harmonicznego.

u Im(u)

Rozwiązanie równania zastępczego jest przewidywane w postaci: i t

0u u e .

Powyższą zależność podstawiono do równania zastępczego

2 2 i t i t i t i t

0 0 0 i t

1mu i e cu i e ke P e

e

2

0 0u ( m ci k) P

Zapisujemy funkcję zwaną impedancją.

0

2

0

u 1(i )

P ci m k

0 0u (i )P

Powyższą zależność podstawiono do przewidywanej postaci równania zastępczego: i t

0u (i )P e .

Ze wzoru Eulera wynika poniższa zależność i ( )( i ) U( ) iV( ) A( )e

2 2

0

2 2 2 22 22 0 00

2h i1 1 1( i )

c k m( 2ih ) 2h im 2him( i )m m

0

k

m - częstość drgań własnych układu,

ch

2m - współczynnik tłumienia,

20

2 2

0

2 2 2 2

0

( ) 2h i( i )

m[( ) 4h ]

2 2 2 2 22 2 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 o

( ) 4h 1A( ) ( i ) U ( ) V ( )

m [( ) 4h ] m ( ) 4h

2 2 2 2

0 0

2h 2h( ) arg ( i ) arctg( ) arctg( )

i t i ( ) i t i( t ( ))

0 0 0u (i )P e P A( )e e P A( )e

0u Im(u) P A( )sin( t ( ))

A( ) - charakterystyka amplitudowo-częstościowa układu,

( ) - charakterystyka fazowo-częstościowa układu.

4.2.3. PRZYKŁAD LICZBOWY

Poniższe wykresy otrzymano dla następujących danych, które odpowiadają układowi z rys. 4.3.

(przy założeniu nieważkiego pręta):

m 10kg

rad80

s

sc 50N

m

Nk 100000

m

0P 2000N

Rys. 4.4. Wykres siły od czasu.

0 0.05 0.1 0.15 0.2

2000

1000

1000

2000

P t( )

t

Rys. 4.3. Układ odpowiadający danym z przykładu.

[N]

[s]

21

Rys. 4.5. Wykres przemieszczenia od czasu

Rys. 4.6. Wykres prędkości od czasu

4.3. DRGANIA DYSKRETNYCH UKŁADÓW PRĘTOWYCH Z WIELOMA

STOPNIAMI SWOBODY

W tym rozdziale zostaną przeanalizowane drgania układów prętowych o nieważkich

prętach, wykonanych z materiału liniowo-sprężystego, z masami skupionymi w węzłach.

Większość wyprowadzeń w tym rozdziale została zaczerpnięta z [12]. Spełnione jest założenie

małych odkształceń. Pominięte zostało tłumienie. Dla drgań okresowych takich układów

przemieszczenia spełniają analogiczny warunek jak dla oscylatora harmonicznego:

i(t T ) (t) u u , gdzie:

Ti są kolejnymi okresami drgań przy i=1,2…n, a n liczbą stopni swobody układu.

Pozostałe wielkości służące do opisu drgań okresowych są analogiczne jak dla układu z jednym

stopniem swobody: częstotliwości i

i

1f

T , a częstości kołowe i i2 f .

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.1

0.05

0.05

0.1

u t( )

t

0 0.05 0.1 0.15 0.2

6

4

2

2

4

6

tu t( )

d

d

t

[m]

[s]

[m/s]

[s]

22

4.3.1. WYPROWADZENIE UKŁADU RÓWNAŃ RUCHU

Podobnie jak w przypadku oscylatora harmonicznego równanie ruchu układu z wieloma

stopniami swobody można uzyskać metodą kinetostatyki.

(t) (t) (t) B F P , gdzie:

(t )B jest wektorem sił bezwładności proporcjonalnym do wektora przyspieszeń:

2

2

d (t)(t )

dt

uB M ,

a M jest macierzą mas.

Natomiast (t )F jest wektorem oddziaływań układu sprężystego proporcjonalnym do wektora

przemieszczeń.

(t) (t) F K u

gdzie K jest macierzą sztywności układu.

Po podstawieniu powyższych zależności układ równań ruchu przybiera następującą postać. 2

2

d (t)(t) (t )

dt

uM Ku P

4.3.2. ZAGADNIENIE WŁASNE

Wektor niewiadomych przemieszczeń oznaczono (t )a , a wektor amplitud

niewiadomych przemieszczeń a . Założono poniższą zależność.

1

2

2

a

a(t ) sin( t ) sin( t )

...

a

a a

.

Wektor sił bezwładności przyjmuje następującą postać. 2

2

d (t)(t) sin( t )

dt

aB M B , gdzie:

B jest wektorem amplitud sił bezwładności i równa się: 2B Ma .

Po skorzystaniu z superpozycji przemieszczeń, składowe wektora przemieszczeń możemy zapisać

w następujący sposób:

i ij ja d B , i,j=1,2…n

dij są przemieszczeniami wywołanymi jednostkowymi siłami przyłożonymi w miejscach

dynamicznych stopni swobody. Składowe te tworzą macierz podatności D, która jest macierzą

odwrotną do macierzy sztywności 1D K .

Powyższy układ równań został zapisany w postaci macierzowej 2 a DB DMa .

Po dalszych przekształceniach 2( ) 1 DM a 0 (*) lub 2( ) K M a 0 (**).

23

Powyższe układy równań są jednorodne – niezerowe wartości przemieszczeń a są możliwe

jedynie dla zerowego wyznacznika tych układów 2det( ) 0 1 DM lub 2det( ) 0 K M

.

Z tych równań możliwe jest obliczenie n częstości drgań własnych układu - i dla i = 1,2,..,n.

Każdej częstości drgań własnych odpowiada postać drgań własnych, którą opisuje wektor własny Ti i i i

1 2 na a ... a

a dla i = 1,2,…,n.

Można go wyznaczyć przez podstawienie i-tej częstości drgań własnych do równania (*) lub (**).

Wektory drgań własnych spełniają warunki ortogonalności:

Ti

0j

a Ma dla i≠j,

Ti

0j

a Ka dla i≠j.

Składowe ortogonalnych wektorów własnych służą do budowy macierzy modalnej, która jest

wykorzystywana do transformacji modalnej.

4.3.3. HARMONICZNE WYMUSZENIA KINEMATYCZNE

Obliczenia przeprowadzone w dalszej części pracy dotyczą wymuszeń kinematycznych,

dlatego takie przyjęto do dalszych rozważań teoretycznych.

Przykładowe kinematyczne wymuszenie harmoniczne:

g g(t) sin( t)u u .

Dla takiego wymuszenia funkcja przemieszczenia przyjmie następującą postać

(t) sin( t)u u.

Układ równań ruchu można zapisać w następującej postaci

g( t) (t) (t) K u Ku.

Dla przykładowego wymuszenia układ równań prowadzi do następującego wyrażenia

2

g sin( t) K M u Ku 0

.

Z powyższego układu równań wynika równanie algebraiczne, z którego możemy wyznaczyć

wektor amplitud przemieszczeń u

2

g K M u Ku

4.3.4. TRANSFORMACJA MODALNA

Pierwszym etapem transformacji modalnej jest rozwiązanie zagadnienia własnego układu

i utworzenie z wektorów własnych kwadratowej macierzy modalnej 1 2 n

...

a a a

.

Następnie należy zastosować zamianę zmiennych i pomnożyć lewostronnie układ równań przez

macierz T

(t) (t) q y (***).

24

Wektor (t )q jest wektorem współrzędnych uogólnionych, które w jednoznaczny sposób określają

położenie mas układu 2

T T T

2

d (t)(t) (t )

dt

yM K y Q

.

Otrzymano nowy układ równań 2

2

d (t)(t) (t )

dt

yM My Q

.

Macierze mas, sztywności i zastępczych obciążeń po transformacji mają następującą postać T M M T K K

T(t) (t) Q Q.

Macierze M i K są diagonalne. Warunki początkowe dla tak przekształconego układu

równań określamy z wykorzystaniem początkowego podstawienia. Transformacja modalna jest

metodą rozwiązywania układów równań, która polega na sprowadzeniu układu n równań do n

niezależnych równań różniczkowych. Innymi słowy zagadnienie drgań układu z n stopniami

swobody sprowadzamy do n niezależnych równań drgań oscylatora, które możemy rozwiązać

w sposób pokazany w punkcie 4.2.2.

4.4. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W ZAGADNIENIACH DYNAMIKI

USTROJÓW PRĘTOWYCH Z PRĘTAMI O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

W obliczeniach przedstawionych w dalszej części pracy analizowany był układ prętowy

z prętami o ciągłym rozkładzie masy. Do wyznaczenia równań ruchu i ich rozwiązania

wykorzystano program Autodesk ROBOT 2013, który do obliczeń wykorzystuje metodę

elementów skończonych. Jedną z dostępnych metod rozwiązania równań ruchu w ww.

oprogramowaniu jest metoda Newmarka.

4.4.1. PODSTAWY METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Podstawą analizy dynamicznej MES ustrojów o ciągłym rozkładzie masy stanowią

równania Lagrange’a II rodzaju:

k k s

j j j j j

d E E E L

dt q q q q q

j=1,2,…,n gdzie:

jq – j-ta współrzędna uogólniona układu o n stopniach swobody,

kE – energia kinetyczna układu,

sE – energia potencjalna układu (energia sprężysta więzi),

L – energia potencjalna sił zewnętrznych działających na układ,

– funkcja tłumienia.

Obowiązują one dla układów o skończonej liczbie stopni swobody, więc pierwszym etapem

opisywanego algorytmu jest d y sk re t y z ac j a u s t ro ju . Czynność ta obejmuje: ustalenie zbioru

współrzędnych uogólnionych qi i = 1,2,…,n (ich wybór sugeruje budowa ustrojów prętowych –

pręty połączone są ze sobą w punktach, a więc w sposób dyskretny[7]); uzależnienie

przemieszczeń dowolnego punktu każdego elementu ustroju od współrzędnych uogólnionych

25

(transformacja współrzędnych i aproksymacja lokalna, patrz. [7]); uzależnienie pozostałych

wielkości fizycznych (odkształceń, naprężeń) od współrzędnych uogólnionych (wynika z równań

równowagi dynamicznej elementu różniczkowego, związków geometrycznych i fizycznych, patrz

[7]).

Kolejnym etapem algorytmu MES jest znalezienie macierzy sztywności Ke, sztywności

geometrycznej KGe, bezwładności Me i wektora obciążeń zewnętrznych Q0e poszczególnych

elementów. Następnym krokiem jest agregacja (przy zastosowaniu transformacji współrzędnych)

macierzy sztywności K, macierzy sztywności geometrycznej KG, konsekwentnej macierzy

bezwładności ustroju M, macierzy tłumienia C i wektora zewnętrznych sił wyjściowych Q0.

Po dokonaniu wymienionych czynności otrzymujemy wszystkie składniki macierzowego

równania ruchu układu, które jest przeformułowaniem równań Lagrange’a II rodzaju

G( ) Mq Cq K K q Q

2

2

d

dt

qq ;

d

dtq

q.

Prawa strona równania przedstawia dowolną znaną funkcję czasu Q = Q(t).

4.4.2. METODY BEZPOŚREDNIEGO CAŁKOWANIA RÓWNAŃ RUCHU. METODA NEWMARKA

Metody numerycznego całkowania równań ruchu umożliwiają uzyskanie przybliżonego

rozwiązania układu równań ruchu konstrukcji obciążonej w dowolny sposób. Jedną

z najpopularniejszych tego rodzaju metod jest metoda Newmarka. Opiera się ona na dwóch

podstawowych założeniach:

Równania ruchu mają być spełnione tylko w wybranych chwilach tn, oddalonych od

siebie o mały przedział czasu h, nazywany k r ok i e m c a ł kowa n i a . Oczywistą

zależnością jest:

nt nh .

Zmiana przemieszczeń i prędkości w przedziale czasu między dwoma chwilami

określona jest w sposób rekurencyjny:

n 1 n n n 1(1 )h h v v a a

2 2

n 1 n n n n 1h h h d d v a a 2

Metodę Newmarka można sformułować wychodząc z rozwinięcia funkcji w szereg

Taylora [7]. Parametry metody Newmarka spełniają następujące warunki:

1

2

, 1

0,2

,

1

2 .

W powyższych równaniach mamy 3 niewiadome dn+1, vn+1, an+1. Dodatkowe równanie

wynika z równania równowagi dynamicznej w chwili tn+1.

n 1 n 1 n 1 n 1 Ma Cv Kd Q

Uzyskanie spełnienia tzw. warunku kolokacji następuje w chwili „n+1” – metodę Newmarka

zaliczamy do niejawnych metod całkowania [7].Dzięki tym dwóm założeniom układ równań

różniczkowych sprowadzamy do układu równań algebraicznych, którego szczegółowe

rozwiązanie pokazano w [7] i [14] (na dwa sposoby).

2 Przyjęto oznaczenia zastosowane w [14] i [1], które mają następujące odpowiedniki w dotychczas stosowanej

konwencji: n n(t )d q , n n(t )v q , n n(t )a q , n n(t )Q Q .

26

5. ANALIZA DRGAŃ. OCENA SZKODLIWOŚCI DRGAŃ NA LUDZI I

BUDOWLE

Aby przeprowadzić pełną analizę wpływu drgań na ludzi lub budowle należy uwzględnić

następujące parametry:

wartość przyspieszeń drgań lub prędkości drgań,

amplitudy przyspieszeń, prędkości lub przemieszeń w pasmach tercjowych lub

oktawowych częstotliwości,

okres oddziaływania drgań,

kierunek oddziaływania drgań.

Znajomość samych równań ruchu i ich pochodnych w funkcji czasu nie jest

wystarczająca do określenia charakteru i częstotliwości jego składowych. Oprócz analizy sygnału

(sygnałem jest zarówno wymuszenie jak i odpowiedź konstrukcji) w dziedzinie czasu istotna jest

analiza w dziedzinie częstotliwości, czyli analiza harmoniczna sygnału.

5.1. ANALIZA HARMONICZNA DRGAŃ

Analiza harmoniczna drgań i wymuszeń, zwana także ana l i z ą s yg na ł ów ma duże

znaczenie w diagnostyce maszyn i budowli. Jest to analiza w dziedzinie częstotliwości, inaczej

mówiąc przedstawienie sygnału za pomocą funkcji harmonicznych. Możliwa jest ona po

dokonaniu na sygnale transformacji Fouriera [9]. Aby przedstawić sygnał określony w dziedzinie

czasu w dziedzinie częstotliwości należy skorzystać z t r an s f o r mac j i p r o s t e j F ou r i e r a .

Operacją odwrotną jest o d w ro tna t r an s f o rm ac j a F ou r i e r a . Wspomniane operacje

określone są następującymi wzorami:

G if F w(t) w(t) exp( i 2 f t)dt

1

-

w t F G(i f ) G i f exp i 2 f t df

Dla drgań okresowych (o okresie T) powyższe zależności przybierają następującą postać:

0 0

1G kf w(t) exp( i 2 k f t)dt

T

0i 2 k f t

0

k

w t G k f e

0

1f

T - podstawowa składowa harmoniczna.

W wyniku transformacji Fouriera uzyskuje się rozbicie sygnału na składowe o różnych

częstotliwościach. W przypadku sygnałów określonych w sposób dyskretny (a takie uzyskuje się

w wyniku pomiarów lub analizy czasowej dokonanej metodami bezpośredniego całkowania

równań ruchu) zastosowanie znajduje dyskretna transformacja Fouriera. W przypadku sygnałów

dyskretnych )(nw transformacja Fouriera przyjmuje następującą postać

pr prf ff

2 2

:

27

pr

fi 2 n

f

n

G f w n t e

pr

pr

pr

ff

2 i 2 nf

fpr

2

1w n t G f e df

f

fpr – częstotliwość próbkowania wyrażona w [Hz];

pr

1tf

- przyrost czasu.

Najpopularniejszym algorytmem używanym do dyskretnej transformacji Fouriera jest

tzw. szybka transformata Fouriera (ang. F F T Fast Fourier Transform).

5.2. OPIS ILOŚCIOWY SYGNAŁÓW

Oprócz amplitud przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń do opisu ilościowego drgań

stosowane są estymaty sygnałów[9]. Najbardziej użyteczną do oceny wpływu drgań na ludzi i

urządzenia znajdujące się w budynkach jest wartość skuteczna drgań qsk (ang. RMS Root Mean

Squer Level). Uwzględnia ona historię przebiegu oraz jest proporcjonalna do energii sygnału. Dla

sygnałów określonych funkcją okresową można ją obliczyć z następującego wzoru.

T

2

sk

0

1q q t dt

T

Dla sygnałów nieokresowych jej wartość jest równa:

2

1

t2

sk sr

2 1 t

1q q t q dt

t t

2

1

t

sr

t

1q q t dt

T - wartość średnia, estytymata, która nie określa istotnych wartości w ocenie

szkodliwości drgań na ludzi i budowle [9].

Opracowano specjalne przyrządy do pomiaru wielkości qsk, które nazwano

r z ec zyw i s t y mi m ie rn ika mi wa r to śc i s ku t e cz ne j .

5.3. FILTRY DRGAŃ

Podczas analizy drań często korzysta się z filtrowania przebiegów drgań. Według

Kucharskiego w [6] stosowane są następujące rodzaje filtrów:

dolnoprzepustowe – przepuszczające częstości tylko o częstości poniżej danej

granicy;

górnoprzepustowe – pozostawiają w przebiegu drgań tylko częstości wyższe od

danej granicy;

rezonansowe – wyodrębniające z przebiegu drgań drgania tylko jednej

częstotliwości;

pasmowe – pozwalają na wyodrębnienie z całego przebiegu drgań tylko tych,

których częstość mieści się w określonym zakresie.

28

Istnieje wiele przyczyn stosowania filtrów np. filtry dolnoprzepustowe stosuje się, aby

odciąć szumy wysokich częstotliwości, które zakłócają odbiór drgań. Filtry pasmowe pozwalają

na wychwycenie z wysoką dokładnością drgań w danym paśmie częstotliwości. Ostatnie

z wymienionych znalazły szerokie zastosowanie w budownictwie.

W dalszej części pracy przy opracowaniu wyników drgań słupa linii wysokiego napięcia

użyto filtra pasmowego o stałej względnej szerokości pasma. Oznacza to, że zależność między

granicą górną fg, dolną fd, wartością środkową pasma f0 i szerokością pasma ∆f ma następującą

postać:

0 d g g df f f f f f .

Posłużono się filtrem tercjowym, zwanym też 1/3 oktawowymi. Dla tego typu filtra

zachodzą następujące zależności:

3g df 2f

60 df f 2

3 3d d

630 d d

f 2f f 2 123,1%

f 2f 2f

.

5.4. OCENA WPŁYWU DRGAŃ NA BUDOWLE I LUDZI W BUDYNKACH

5.4.1. OCENA SZKODLIWOŚCI DRGAŃ NA BUDOWLE

Drgania powodują powstawanie w konstrukcji sił bezwładności, które powodują

zwiększenie naprężeń w przekrojach poszczególnych jej części. Zmiana naprężeń w czasie jest

związana z koniecznością uwzględniania wpływu zmęczenia materiału na trwałość budowli [6].

Kolejnym niekorzystnym efektem drgań jest zwiększenie przemieszczeń poszczególnych

punktów konstrukcji. Roman Ciesielski w [6] warunki stawiane obiektom odbierającym drgania

dzieli na:

wa r une k w y t rz y ma ł o śc i , w przypadku zapisu deterministycznego

(możliwe również podejście stochastyczne) przedstawia się go w następującej

postaci:

z stat dod k ' , gdzie:

stat - suma naprężeń wywołanych obciążeniem statycznym;

dod - suma naprężeń wywołanych obciążeniem dynamicznym

z uwzględnieniem zmęczenia materiału;

k ' - naprężenie graniczne przy obciążeniach statycznych;

wa r une k sz t ywn o śc i , podawany zwykle jako maksymalna amplituda drgań

lub jako sumaryczne maksymalne przemieszczenie, można go zapisać

w następującej formie:

dyn dyn dopf f

stat dod stat dopf f f f , gdzie:

statf - suma przemieszczeń wywołanych obciążeniem statycznym;

dodf - amplituda przemieszczeń dynamicznych z uwzględnieniem zmęczenia

materiału;

29

wa r un k i ko n s t r ukcy jne , które uzupełniają warunki użytkowalności

konstrukcji; zaliczamy do nich warunki takie jak: ograniczonej rozwartości rys,

szczelin dylatacyjnych, odpadania tynku (zmniejszona przyczepność materiałów

na skutek efektów dynamicznych);

wa r un k i t e ch no log i c z ne , które dotyczą użytkowania urządzeń

technologicznych i ich bezawaryjnej pracy (np. drgania fundamentów pod

precyzyjne urządzenia optyczne); najczęściej formułowane przez producentów

urządzeń jako maksymalne amplitudy przemieszczeń, prędkości lub

przyspieszeń w określonych przedziałach częstotliwości.

W celu ujednolicenia kryteriów oceny szkodliwości drgań przekazywanych przez

podłoże na budynki i urządzenia znajdujące się w budynkach wprowadzono normę PN-85/B-

02170 [18]. Normę stosuje się przy: diagnostyce szkodliwości wpływów drgań na istniejące

budynki przy znanym (pomierzonym) lub prognozowanym narażeniu wibracyjnym przy

projektowaniu budynków, jeśli przewiduje się, że będą one narażone na drgania przekazywane

przez podłoże.

Procedura określania szkodliwości drgań na budynki wg normy [18] składa się

z następujących etapów:

określenie charakterystyki wymuszenia kinematycznego – norma daje nam dwie

możliwości: poprzez amplitudę przemieszczeń (prędkości, przyspieszeń), to

podejście należy stosować dla wymuszeń zbliżonych do harmonicznych; poprzez

spektrum odpowiedzi przemieszczeniowe (prędkościowe, przyspieszeniowe);

scharakteryzowanie drgań budynku przez: przemieszczenia (prędkości,

przyspieszenia) w charakterystycznych punktach budynku i odpowiadające im

częstotliwość drgań własnych oraz siły bezwładności w charakterystycznych

punktach budynku i odpowiadającą im częstotliwość drgań własnych;

sprawdzenie warunków stanów granicznych, z uwzględnieniem uprzednio

obliczonych sił bezwładności, traktowanych jako obciążenie zmienne.

Do przybliżonej oceny wpływów dynamicznych na budynki murowane i wykonane z

wielkich bloków norma [18] dopuszcza stosowanie skal wpływów dynamicznych. Roman

Ciesielski (jeden z autorów normy) opracował dwie skale SWD: SWD-I (odnosi się do budynków

o kształcie zwartym o małych wymiarach zewnętrznych rzutu – nieprzekraczających 15 m, jedno-

lub dwukondygnacyjnych o wysokości nieprzekraczającej żadnego z wymiarów rzutu poziomego);

SWD-II (odnosi się do budynków nie wyższych niż 5 kondygnacji, których wysokość jest

mniejsza od podwójnej najmniejszej szerokości budynku oraz do budynków niskich

niespełniających warunków dla skali SWD-I). Skale SWD mają pięć stref, oddzielonych od siebie

czterema liniami granicznymi. Wpływ drgań na budynek dla każdej ze stref szczegółowo opisano

w punkcie 5.3. ww. normy. Na rysunku 5.1. pokazano linie graniczne skali SWD-I w

następującym układzie współrzędnych: częstotliwości drgań w skali logarytmicznej f [Hz]

i prędkości v [mm

s] (wartość szczytowa dla danego pasma). Wartości współrzędnych należy

wyznaczać z pomiaru w punktach pomiarowych umieszczonych na konstrukcji w poziomie

terenu.

30

Rys. 5.1. Skala SWD-I wg PN-85/B-02170

Do oceny drgań na pracę maszyn i przyrządów mechanicznych, jeżeli proces

technologiczny nie narzuca specjalnych wymagań, należy stosować porównanie skutecznej

wartości prędkości z wartością dopuszczalną wg tabeli 5 w ww. normie. Tabela ta dzieli

urządzenia mechaniczne na 5 klas wrażliwości na wpływy dynamiczne, dla których podane są

dopuszczalne skuteczne prędkości drgań podstawy stropu w jednym kierunku. Do oceny

szkodliwości drgań na pracę urządzeń precyzyjnych należy stosować dopuszczalną wartość

skuteczną prędkości wg klasy I tabeli 5, przy czym wypadkowa prędkość skuteczna musi spełniać

dodatkowy warunek:

2 2 2

x y z

mv v v 0,0001

s .

5.4.2. OCENA SZKODLIWOŚCI DRGAŃ NA LUDZI W BUDYNKACH

T. Kucharski w pozycji [10] formułuje następującą tezę: „Drgania i hałas negatywnie

oddziałują na człowieka, wzmagając zmęczenie, obniżenie komfortu i zagrożenie bezpieczeństwa.” W celu

ujednolicenia kryteriów dotyczących oceny szkodliwości drgań na organizm człowieka została

opracowana norma PN-88/B-02171 [19]. Przedmiotem ww. normy są metody oceny wpływu

drgań na ludzi znajdujących się w budynkach oraz dopuszczalne wartości parametrów tych drgań.

Normę stosuje się w ocenie wpływu drgań na ludzi odbierających drgania w sposób bierny

(nieobsługujących urządzeń, które są generatorami drgań). Norma określa dopuszczalne

przyspieszenia i prędkości skuteczne drgań, które nie powodują dyskomfortu u ludzi

przebywających w różnych warunkach. Dopuszczalne parametry drgań w zależą od:

przeznaczenia pomieszczenia w budynku;

pory występowania drgań;

charakteru drgań i ich powtarzalności;

kierunku działania drgań i pozycji ciała człowieka podczas odbioru drgań.

1 10 1002 4 6 8 20 40 60 80

Częstotliwość, Hz

0.1

1.0

10.0

100.0

1000.0

2

4

6

8

20

40

60

80

200

400

600

800

Prę

dkość d

rgań

, m

m/s

C

D

A

B

D'

A'

B'

C'

Strefa V

Strefa IV

Strefa III

Strefa II

Strefa I

Skala SWD I

PN-85/B-02170

31

Dozwolone w danej sytuacji parametry drgań uzyskuje się poprzez wymnożenie prędkości lub

przyspieszeń odbieranych przez człowieka przez odpowiednie współczynniki korekcyjne. Norma

dopuszcza do stosowania dwie metody oceny wpływu drgań na ludzi: na podstawie pomiaru

wartości skorygowanej prędkości lub przyspieszenia drgań w całym paśmie częstotliwości albo na

podstawie pomiaru wartości skutecznej (RMS) przyspieszenia/prędkości drgań w pasmach

tercjowych.

5.4.3. ŚRODKI OCHRONY PRZED DRGANIAMI

W przypadku, gdy w drodze pomiarów (dla istniejących budowli) lub analiz

dynamicznych (prognozowane drgania istniejącego/planowanego obiektu wywołane

istniejącym/planowanym źródłem drgań) stwierdza się niekorzystny wpływ drgań na budowle lub

użytkowników budynków, należy zastosować środki prowadzące do zmniejszenia skutków

działań parasejsmicznych na budowle. Według R. Ciesielskiego w [6] środki techniczne to

zmiany, które mogą dotyczyć: źródła drgań, podłoża między źródłem drgań a budowlą

odbierającą drgania, budowli odbierającej drgania.

Przykładem zmian zastosowanych w miejscu źródeł drgań mogą być modyfikacje

przekrojów poprzecznych drogi lub torowiska. Coraz częściej stosowanym w nich elementem są

maty wibroizolacyjne (patrz rys. 5.2.)

Rys. 5.2. Zdjęcia z przygotowania betonowania podtorza w tunelu łącznikowym między I a II linią metra

warszawskiego. Widoczne maty wibroizolacyjne produkcji edilon)(sedra. Zdjęcie pochodzi ze strony internetowej budowy drugiej linii metra, adres URL http://budowametra.pl/lacznik-pod-placem-defilad/

Aby utrudnić propagację drgań w gruncie stosowane są przegrody w gruncie. Przy

ciągach komunikacyjnych często występują razem z ekranami akustycznymi. W [6] przytoczono

przykład ochrony antydrganiowej fragmentu zakładu przemysłowego z wykorzystaniem

przegrody wypełnionej starymi oponami, która jest dobrym przybliżeniem przegrody „pustej”.

Przykładami środków, które można podjąć aby zmniejszyć poziom drgań konstrukcji są:

odsunięcie jej od źródła drgań (na etapie projektowania); zmiana jej charakterystyki dynamicznej

(zmniejszenie lub zwiększenie jej częstości drgań własnych np. poprzez zmianę sztywności jej

elementów, zmianę sztywności jej podpór lub zwiększenie ich ilości); zmianę warunków jej

posadowienia; zastosowanie wibroizolacji jej elementów (np. podkładek wibroizolacyjnych

stropów).

32

6. WYNIKI ANALIZY CZASOWEJ PRZEPROWADZONEJ W

PROGRAMIE ROBOT

6.1. OPIS MODELOWANEGO SŁUPA

Model został sporządzony na podstawie dokumentacji słupa przelotowego serii H52 (oznaczenie słupa H52P) udostępnionej autorowi przez biuro studiów i projektów energetycznych Energoprojekt - Kraków S.A. (załącznik nr 2). Słup występuje w 4 wariantach wysokościowych: -4; ±0; +5; +10, do analizy przyjęto podstawowy wariant ±0. W tablicy poniżej zestawiono podstawowe parametry konstrukcyjne linii i konstrukcji analizowanego słupa.

Słup H52P ±0

Lp. Wyszczególnienie Opis

1. Napięcie znamionowe linii 220 kV

2. Ilość torów linii 1

3. Układ zawieszenia przewodów Płaski

4. Wysokość do poprzecznika 26,5 m

5. Wysokość całkowita 30,8 m

6. Rozstaw osiowy fundamentów 4,4 x 2,7 m

7. Człony słupa I, II, III±0 + ramiona, poprzecznik i wieżyczki

8. Masa słupa 4255 kg

9. Gatunek stali S235JRG2 (St3SY)

10. Zastosowane elementy

konstrukcyjne

Kątowniki równo- i nierównoramienne gorącowalcowane, przekroje od L 20x3 do L 90x9;

blachy gorącowalcowane

11. Konstrukcja słupa Kratownica przestrzenna

12. Rodzaje wykratowań Podwójne, rybkowe

13. Rodzaje połączeń Połączenia śrubowe, śruby klasy 5.8 M12-M20

14. Sposób zabezpieczenia przed

korozją

Słup przystosowany do ocynkowania ogniowego w wannach (elementy o długości do 8,5 m i szerokości do

1,35 m)

15. Fundamenty

Fundamenty rozdzielone - cztery prefabrykowane fundamenty stopowe, podstawa okrągła. Do serii dołączono trzy typowe fundamenty dobierane w zależności od warunków gruntowych i odmiany

wysokościowej – F180/250, F230/250, F200/320 (pierwszy wymiar oznacza średnicę podstawy

fundamentu, a drugi wysokość całkowitą fundamentu)

Tablica 6.1. Podstawowe cechy słupa i linii elektroenergetycznej, pod która jest przeznaczony.

33

6.2. OPIS MODELU PRZYJĘTEGO DO OBLICZEŃ

Słup zamodelowano jako rama przestrzenna z elementów prętowych. Fundament

zamodelowano w postaci punktowych podpór sprężystych, co ma uzasadnienie merytoryczne,

ponieważ wymuszenie w postaci przyspieszenia zostałoby zarejestrowane w dolnej części słupa

na poziomie fundamentu, a nie w poziomie posadowienia (patrz rys. 3.7.) Kolejnym

uproszczeniem była rezygnacja z węzłów kompatybilnych (czyli par węzłów, które mają wspólne

przemieszczenia i/lub obroty) na rzecz połączeń sztywnych w miejscu śrubowych połączeń

prętów przechodzących. Taki sposób ich definiowania prowadziłby do nieliniowości

geometrycznej modelu. W modelu pominięto również obciążenia od linii – ciężar przewodów,

izolatorów, tłumików drgań itp.

Poniżej opis struktury zamodelowanej w programie ROBOT.

Typ konstrukcji: Rama przestrzenna

Współrzędne środka geometrycznego konstrukcji:

X = 2.163 m

Y = -1.310 m

Z = 15.273 m

Współrzędne środka ciężkości konstrukcji:

X = 2.162 m

Y = -1.326 m

Z = 16.027 m

Centralne momenty bezwładności konstrukcji:

Ix = 309045.342 kg·m2

Iy = 332733.626 kg·m2

Iz = 27466.210 kg·m2

Masa = 3586.370 kg

Opis struktury

Liczba węzłów: 1267

Liczba prętów: 954

Elementy skończone prętowe: 956

Zwolnienia: 519

Podpory: 4

Podpory sprężyste: 4

Początek układu współrzędnych przyjęto w jednej z podpór (nr węzła 3).

Założono podpory sprężyste o zastępczym współczynniku sprężystości pionowej

Kz = 8122567 kN/m. Dane, które posłużyły do obliczenia zastępczego współczynnika

sprężystości pionowej:

obciążenie 35 kN;

fundament sztywny kwadratowy o boku 2,3 m – założono prefabrykat F230/250;

grunt: żwir ciężar objętościowy 3

kg1937,46

m , kąt tarcia wewnętrznego 38

(dane pochodzą z bazy programu Robot).

34

Rys. 6.1. Widok konstrukcji z oznaczeniem profili poszczególnych prętów.

Węzeł nr 3 (początek układu

współrzędnych)

35

Rys. 6.2. Widok konstrukcji (poprzecznik i trzon słupa) z oznaczeniem przegubów.

36

6.3. WYNIKI ANALIZY MODALNEJ

Przy użyciu programu ROBOT 2013 obliczono 20 pierwszych częstotliwości drgań

własnych zestawionych w tablicy 6.2.

fi (Hz) Okres (sek)

Relat.masy

UX (%)

Relat.masy

UY (%)

Relat.masy

UZ (%)

Bież.masy

UX (%)

Bież.masy

UY (%)

Bież.masy

UZ (%)

1 1,7763 0,563 0,00 58,32 0,00 0,00 58,32 0,00

2 2,5214 0,3966 50,57 58,32 0,00 50,57 0,00 0,00

3 3,1018 0,3224 50,57 58,32 0,00 0,00 0,00 0,00

4 3,1869 0,3138 50,57 60,43 0,00 0,00 2,11 0,00

5 3,1887 0,3136 50,57 60,44 0,00 0,00 0,02 0,00

6 5,7605 0,1736 50,57 62,10 0,00 0,00 1,65 0,00

7 5,893 0,1697 50,57 62,89 0,01 0,00 0,79 0,00

8 6,6368 0,1507 50,57 66,16 0,01 0,00 3,27 0,00

9 6,7866 0,1474 50,57 66,16 0,01 0,00 0,00 0,00

10 8,0452 0,1243 50,58 77,12 0,01 0,01 10,96 0,00

11 9,5649 0,1045 77,00 77,13 0,01 26,43 0,00 0,00

12 10,0783 0,0992 77,01 77,13 0,01 0,00 0,00 0,00

13 10,082 0,0992 77,01 77,13 0,02 0,00 0,00 0,00

14 11,331 0,0883 77,01 78,11 0,02 0,00 0,98 0,00

15 11,3409 0,0882 77,01 78,11 0,02 0,00 0,00 0,00

16 11,3447 0,0881 77,01 78,12 0,02 0,00 0,01 0,00

17 11,8343 0,0845 77,17 78,12 0,02 0,17 0,00 0,00

18 11,8414 0,0844 77,19 78,12 0,02 0,02 0,00 0,00

19 12,3679 0,0809 77,19 78,12 0,02 0,00 0,00 0,00

20 12,3794 0,0808 77,19 78,12 0,02 0,00 0,00 0,00

Tablica 6.2. Częstotliwości drgań własnych konstrukcji.

Wybrane postaci drgań własnych konstrukcji zostały pokazane na poniższych zrzutach

ekranu. Orientacje konstrukcji dobrano tak, aby deformacje były pokazane w sposób jak

najbardziej czytelny.

37

Rys. 6.3. Pierwsza postać drgań własnych konstrukcji.

Rys. 6.4. Druga postać drgań własnych konstrukcji.

38

Rys. 6.5. Trzecia postać drgań własnych konstrukcji.

Rys. 6.6. Czwarta postać drgań własnych konstrukcji.

39

Rys. 6.7 Piąta postać drgań własnych konstrukcji.

Rys. 6.8. Szósta postać drgań własnych konstrukcji.

40

Rys. 6.9. Siódma postać drgań własnych konstrukcji.

Rys. 6.10. Ósma postać drgań własnych konstrukcji.

41

Rys. 6.11. Dziewiąta postać drgań konstrukcji.

Rys. 6.12. Dziesiąta drgań własnych konstrukcji.

42

6.4. WYMUSZENIE KINEMATYCZNE

Wymuszenie kinematyczne zostało przyłożone do podpór, w postaci przyspieszeń

(rys. 6.4.). Wykorzystano sygnał, który znajduje się w zasobach Zakładu Mechaniki Budowli

i Zastosować Informatyki. Został zarejestrowany w okolicach pierwszej linii metra (drgania

podłoża wywołane ruchem autobusów, tramwajów i składów metra). Przyspieszenie w funkcji

czasu zaprezentowano na wykresach na rys. 6.5. Długość przyłożonego sygnału wynosiła 10 s,

krok czasowy 0,002 s.

Rys. 6.13. Sposób przyłożenia wymuszenia kinematycznego do konstrukcji

Rys. 6.14. Poprzecznik słupa z zaznaczonymi punktami, dla których dokonano analizy sygnału odpowiedzi dynamicznej konstrukcji.

345

1267

1266

43

Rys. 6.15. Wykresy przyspieszenia wymuszenia w funkcji czasu dla kierunku x, y (poziome) i z (pionowe).

-0,050

-0,040

-0,030

-0,020

-0,010

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ax(m/s^2)

t (s)

Przyspieszenie w kierunku x

-0,120

-0,100

-0,080

-0,060

-0,040

-0,020

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ay(m/s^2)

t (s)

Przyspieszenie w kierunku y

-0,150

-0,100

-0,050

0,000

0,050

0,100

0,150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

az(m/s^2)

t (s)

Przyspieszenie w kierunku z

44

6.5. ANALIZA CZASOWA

6.5.1. PARAMETRY ANALIZY CZASOWEJ

W programie ROBOT przyjęto następujące parametry analizy czasowej:

metoda: Newmarka;

krok zapisu: 0,002 s (równy krokowi wymuszenia);

długość sygnału: 10 s (patrz rys. 6.15);

parametry tłumienia metody Newmarka: α = 0,0988728; β = 0,0249377.

6.5.2. WYNIKI ANALIZY CZASOWEJ

Poniżej znajdują się: tabela z maksymalnymi naprężeniami wywołanymi wymuszeniem

kinematycznym oraz wykresy prędkości bezwzględnej w funkcji czasu węzłów, zlokalizowanych

na poprzeczniku (patrz rys. 6.14.) Kierunki x, y i z są zgodne z przyjętym układem

współrzędnych (patrz rys. 6.1.)

S max (MPa) S min (MPa)

S max(My)

(MPa)

S max(Mz)

(MPa)

S min(My)

(MPa)

S min(Mz)

(MPa)

Fx/Ax

(MPa)

MAX 0,223 0,184 0,137 0,137 0,017 0,015 0,184

Pręt 81 82 132 75 532 532 82

Węzeł 36 37 21 6 116 116 41

Krok

czasowy 1668 1667 2500 2500 1677 1680 1667

MIN -0,184 -0,224 -0,012 -0,015 -0,137 -0,137 -0,184

Pręt 146 145 532 532 84 134 146

Węzeł 5 2 116 116 40 50 22

Krok

czasowy 1667 1668 2760 3013 2500 2500 1667

Tablica 6.3. Ekstremalne wartości naprężeń wywołane wymuszeniem kinematycznym (w skali całej konstrukcji).

45

Na rysunku 6.16. przedstawiono wykresy prędkości bezwzględnej w funkcji czasu węzła 345

w kierunkach x, y i z.

Rys. 6.16. Wykresy prędkości bezwzględnej węzła nr 345.

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vx(c

m/

s)

Czas (s)

Węzeł 345

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vy(c

m/

s)

Czas (s)

Węzeł 345

-0,0006

-0,0004

-0,0002

0,0000

0,0002

0,0004

0,0006

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vz(c

m/

s)

Czas (s)

Węzeł 345

46




-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vx(c

m/s

)

Czas (s)

Węzeł 1266

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vy(c

m/s

)

Czas (s)

Węzeł 1266

-0,0800

-0,0600

-0,0400

-0,0200

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 vz(c

m/s

)

Czas (s)

Węzeł 1266

47




-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vx(c

m/

s)

Czas (s)

Węzeł 1267

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vy(c

m/

s)

Czas (s)

Węzeł 1267

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

vz(c

m/

s)

Czas (s)

Węzeł 1267

48

Następnie wykonano analizę FFT oraz obliczono wartości RMS w pasmach tercjowych

częstotliwości (patrz Tablica 6.4.) Uzyskano je wykorzystując autorski algorytm

mgr inż. Radosława Czubackiego, przygotowanego w Mathematica.

f0 ∆f fd fg

1,00 0,231 0,8845 1,1155

1,25 0,28875 1,105625 1,394375

1,60 0,3696 1,4152 1,7848

2,00 0,462 1,769 2,231

2,50 0,5775 2,21125 2,78875

3,16 0,72996 2,79502 3,52498

4,00 0,924 3,538 4,462

5,00 1,155 4,4225 5,5775

6,30 1,4553 5,57235 7,02765

8,00 1,848 7,076 8,924

10,00 2,31 8,845 11,155

12,50 2,8875 11,05625 13,94375

16,00 3,696 14,152 17,848

20,00 4,62 17,69 22,31

25,00 5,775 22,1125 27,8875

31,60 7,2996 27,9502 35,2498

40,00 9,24 35,38 44,62

50,00 11,55 44,225 55,775

63,00 14,553 55,7235 70,2765

80,00 18,48 70,76 89,24

100,00 23,1 88,45 111,55

Tablica 6.4. Pasma tercjowe zastosowane w dalszej części pracy (oznaczenia zgodne z punktem 5.3.)

Poniżej pokazano tabele i wykresy z wartościami skutecznymi prędkości bezwzględnej

węzłów 345, 1266, 1267 w pasmach tercjowych częstotliwości. Kierunki x, y i z są zgodne z

przyjętym układem współrzędnych.

49

Tablica 6.5. zawiera wartości RMS prędkości węzła 345 dla wartości środkowych pasm

tercjowych częstotliwości w kierunkach x, y i z. Rysunek 6.19 jest graficzną interpretacją tych

wyników.

Węzeł 345

f [Hz] Wartości RMS prędkości [cm/s]

X Y Z

1,00 3,09841E-02 1,16598E-02 5,00460E-06

1,25 2,50929E-02 1,57302E-02 9,88389E-06

1,60 3,01315E-02 2,82987E-02 2,64243E-05

2,00 2,82902E-02 2,04096E-02 2,57517E-05

2,50 2,78381E-02 6,26552E-03 9,51914E-06

3,16 1,16028E-02 2,77321E-03 4,62049E-06

4,00 4,04038E-03 1,63235E-03 3,95882E-06

5,00 1,54441E-03 1,06998E-03 5,06538E-06

6,30 8,78421E-04 7,97241E-04 7,45017E-06

8,00 6,51529E-04 6,49950E-04 1,18254E-05

10,00 4,66487E-04 5,85493E-04 2,00265E-05

12,50 3,02310E-04 5,70429E-04 3,25489E-05

16,00 2,30677E-04 5,85692E-04 5,31664E-05

20,00 1,84093E-04 5,98715E-04 7,86858E-05

25,00 1,51911E-04 3,06521E-04 3,78061E-05

31,60 1,39056E-04 2,71341E-04 3,53658E-05

40,00 1,24111E-04 2,06497E-04 1,71821E-05

50,00 1,07311E-04 1,68535E-04 7,78879E-06

63,00 9,84319E-05 1,51749E-04 3,72324E-06

80,00 9,03105E-05 1,38360E-04 1,64897E-06

100,00 7,94961E-05 1,21688E-04 9,41786E-06

Tablica 6.5. Wartości RMS prędkości węzła 345 w pasmach tercjowych częstotliwości w kierunkach x,y i z.

Rys. 6.19. Wykres słupkowy wartości RMS prędkości węzła 345 w pasmach tercjowych częstotliwości w kierunkach

x, y i z.

1E-06

1E-05

0,0001

0,001

0,01

0,1

1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,16 4,00 5,00 6,30 8,00 10,00 12,50 16,00 20,00 25,00 31,60 40,00 50,00 63,00 80,00 100,00

Prę

dko

ść R

MS [

cm/

s]

Częstotliwość [Hz]

Węzeł 345

kierunek x kierunek y kierunek z

50



wyników.

Węzeł 1266


X Y Z

1,00 3,09599E-02 1,15783E-02 2,59263E-03

1,25 2,50632E-02 1,55269E-02 3,22434E-03

1,60 3,00742E-02 2,76484E-02 6,19861E-03

2,00 2,81956E-02 1,96413E-02 9,10973E-03

2,50 2,77002E-02 6,09333E-03 1,35146E-02

3,16 1,15167E-02 2,67936E-03 8,59818E-03

4,00 3,99760E-03 1,49403E-03 4,50251E-03

5,00 1,52375E-03 9,65124E-04 2,43118E-03

6,30 8,65516E-04 7,42818E-04 1,88551E-03

8,00 6,42784E-04 6,64391E-04 1,92586E-03

10,00 4,63164E-04 7,16917E-04 1,82132E-03

12,50 3,02761E-04 9,03934E-04 1,35300E-03

16,00 2,32583E-04 1,29251E-03 1,12794E-03

20,00 1,87587E-04 1,81190E-03 1,18042E-03

25,00 1,54315E-04 8,80348E-04 9,62359E-04

31,60 1,38287E-04 8,14061E-04 5,00893E-04

40,00 1,23273E-04 4,20958E-04 2,29808E-04

50,00 1,07084E-04 2,34250E-04 9,27551E-05

63,00 9,84390E-05 1,70767E-04 4,66947E-05

80,00 9,04256E-05 1,44534E-04 2,58230E-05

100,00 7,96653E-05 1,25410E-04 1,21039E-05

Tablica 6.6. Wartości RMS prędkości węzła 1266 w pasmach tercjowych częstotliwości w kierunkach x, y i z.


x, y i z.

1E-06

1E-05

0,0001

0,001

0,01

0,1

1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,16 4,00 5,00 6,30 8,00 10,00 12,50 16,00 20,00 25,00 31,60 40,00 50,00 63,00 80,00 100,00

Prę

dko

ść R

MS [

cm/

s]


Węzeł 1266


51



wyników.

Węzeł 1267


X Y Z

1,00 3,09583E-02 1,15556E-02 2,61113E-03

1,25 2,50605E-02 1,54989E-02 3,26284E-03

1,60 3,00686E-02 2,75956E-02 6,29181E-03

2,00 2,81957E-02 1,96034E-02 9,10729E-03

2,50 2,76975E-02 5,90521E-03 1,35223E-02

3,16 1,15138E-02 2,60641E-03 8,61957E-03

4,00 3,99576E-03 1,51388E-03 4,52296E-03

5,00 1,52294E-03 9,74075E-04 2,44774E-03

6,30 8,65662E-04 7,47371E-04 1,89931E-03

8,00 6,44162E-04 6,66798E-04 1,93926E-03

10,00 4,66228E-04 7,16597E-04 1,83776E-03

12,50 3,07040E-04 9,01885E-04 1,37478E-03

16,00 2,37260E-04 1,28925E-03 1,16013E-03

20,00 1,92507E-04 1,80568E-03 1,22984E-03

25,00 1,55478E-04 8,69555E-04 9,90511E-04

31,60 1,38381E-04 8,06618E-04 5,33799E-04

40,00 1,23288E-04 4,16658E-04 2,50613E-04

50,00 1,07121E-04 2,32623E-04 1,04566E-04

63,00 9,84732E-05 1,70333E-04 5,34916E-05

80,00 9,04531E-05 1,44596E-04 2,92385E-05

100,00 7,96887E-05 1,25583E-04 1,41357E-05

Tablica 6.7. Wartości RMS prędkości węzła 1267 w pasmach tercjowych częstotliwości w kierunkach x, y i z.


x, y i z.

1E-06

1E-05

0,0001

0,001

0,01

0,1

1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,16 4,00 5,00 6,30 8,00 10,00 12,50 16,00 20,00 25,00 31,60 40,00 50,00 63,00 80,00 100,00

Prę

dko

ść R

MS [

cm/

s]


Węzeł 1267


52

6.6. OCENA OTRZYMANYCH WYNIKÓW

Ocena szkodliwości drgań na stalową konstrukcję wsporczą nie może być

przeprowadzona zgodnie z normą PN-85/B-02170 [18], ponieważ analizowany ustrój nie mieści

się w definicji budynku. Jak zaznaczono w rozdziale 2 dokonana analiza mogłaby stanowić dane

wyjściowe do dalszych badań np. pod kątem opracowania precyzyjnego urządzenia

monitorującego różne parametry linii w poziomie podwieszenia przewodów. Do przybliżonej

oceny wpływu drgań na pracę tego typu urządzenia zastosowano rozdział 6. normy

PN-85/B-02170 [18].

Drgania w kierunku x i y dla wszystkich trzech punktów mają podobne parametry:

maksymalna zarejestrowana skuteczna wartość prędkości w kierunku x ma amplitudę

rzędu 0,03 cm/s odpowiadającą niższym częstotliwościom (dla wartości środkowych pasm

tercjowych 1,00; 1,25; 1,60; 2,00; 2,50 Hz); w kierunku y rzędu 0,02 cm/s (1,00; 1,25; 1,60; 2,00

Hz). Duże różnice ilościowe i jakościowe występują natomiast dla drgań w kierunku z. Na skutek

zastosowania podpór sprężystych dla węzła 345 (środek poprzecznika) maksymalna amplituda

prędkości skutecznej jest bardzo mała - ok 0,00008 cm/s występuje dla pasma o wartości

środkowej 20 Hz. Dla węzłów znajdujących się na części wspornikowej poprzecznika jest

znacznie większa 0,013 cm/s dla częstotliwości 2,5 Hz. Jest to zgodne z przewidywaniami –

poprzecznik w części środkowej jest znacznie sztywniejszy niż w części wspornikowej.

Dla wszystkich trzech punktów drgania są zgodne w fazie – pod wpływem przyłożonego

wymuszenia konstrukcja nie ulega drganiom skrętnym.

Wpływ drgań, których źródłem są oddziaływania komunikacyjne na trwałość

konstrukcji jest niewielki. Maksymalne naprężenia będące efektem oddziaływania dynamicznego

wynosiły mniej niż 1 MPa (patrz tablica 6.3.), wynikają z niewielkiej masy konstrukcji (małe siły

bezwładności).

Natomiast wpływ drgań na pracę precyzyjnego urządzenia pomiarowego nie może być

pominięty. Wartość skuteczna prędkości dla składowych drgań o niższych częstotliwościach

(1 - 2,5 Hz) przekracza wartość dopuszczalną, określoną przez tablicę 5 w [18] (0,0001 m/s,

zaznaczone na wykresach słupkowych czerwoną linią). Przekroczenie tej granicy przez prędkość

skuteczną w jednym kierunku oznacza również niespełnienie dodatkowego warunku o

wypadkowej wartości skutecznej prędkości dla urządzeń precyzyjnych z punktu 6.3.

ww. normy [18] (patrz 5.4.1.) Należy zastosować urządzenie, na którego działanie nie mają

wpływu drgania o niskich częstotliwościach albo wykonać odpowiednie przegrody

przeciwdrganiowe (patrz punkt 5.4.3).

Tablica 6.8. Tablica 5 z normy PN-85/B-02170.

53

7. WNIOSKI I PODSUMOWANIE

1. Na podstawie uzyskanych wyników analizy czasowej można stwierdzić, że wymuszenia

kinematyczne nie mają wpływu na wytężenie konstrukcji.

2. Wymuszenia kinematyczne i ich efekty mogą być istotne w odniesieniu do stanów

granicznych użytkowalności, jeśli w analizowanych punktach będą instalowane precyzyjne

urządzenia pomiarowe. Natomiast ich wpływ na zachowanie odpowiednich odstępów

izolacyjnych w linii jest pomijalny.

3. Pomimo niskich wartości RMS prędkości widoczne jest wyraźne zwiększenie w zakresie

niskich częstotliwości (1 – 2,5 Hz). Taka charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa

może być istotna przy analizie przewodów aluminiowo-stalowych mocowanych do

poprzecznika słupa.

4. Analiza modalna przeprowadzona na szczegółowym modelu może być podstawą do

zbudowania układu o zredukowanej liczbie stopni swobody tak, aby zakładana liczba

pierwszych częstości drgań własnych była taka sama dla obu modeli – szczegółowego i

uproszczonego. Uproszczony model może być przydatny w szczegółowej analizie

dynamicznej i aerodynamicznej przewodów aluminiowo-stalowych, dla których

konstrukcja stanowi podpory.

54

8. BIBLIOGRAFIA

8.1. LITERATURA

[1] Autodesk ® Robot ™ Struktural Analysis, Pomoc,

Adres URL: http://docs.autodesk.com/RSA/2013/PLK/index.html

[2] D. D. Barkan, Dynamics of bases and foundations, tłum. L. Drashevska, McGraw Hill Book

Company, Nowy Jork 1962

[3] J. Bródka, M. Broniewicz, Projektowanie konstrukcji stalowych według Eurokodów, Polskie

Wydawnictwo Techniczne, Rzeszów 2013

[4] T. Chmielewski, Z. Zembaty, Podstawy dynamiki budowli, Arkady, Warszawa 1998

[5] R. Ciesielski, E. Maciąg, Drgania drogowe i ich wpływ na budynki, Wydawnictwa Komunikacji i

Łączności, Warszawa 1990.

[6] R. Ciesielski, J. Kawecki, E. Maciąg, Ocena wpływu wibracji na budowle i ludzi w budynkach,

Instytut Techniki Budowlanej, Warszawa 1993.

[7] A. Gomuliński, M. Witkowski, Mechanika budowli: kurs dla zaawansowanych,

Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1993.

[8] J.P. den Hartog, Drgania Mechaniczne, tłum. M. Bosak, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,

Warszawa 1971.

[9] T. Kucharski, Drgania mechaniczne: rozwiązywanie zadań z MATHCAD-em, Wydawnictwa

Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004

[10] T. Kucharski, System pomiaru drgań mechanicznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,

Warszawa 2002

[11] Z. Mendera, L. Szojda, G. Wandzik, Stalowe konstrukcje wsporcze: napowietrznych linii

elektroenergetycznych wysokiego napięcia, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,

Warszawa 2012.

[12] T. Lewiński, K. Hetmański, Z. Kozyra, Zbiór zadań z mechaniki konstrukcji prętowych: Zagadnienia

zginania z udziałem dużych sił osiowych, wyboczenia i dynamiki,

Warszawa: Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej 2011.

[13] W. Nowacki, Dynamika Budowli, Arkady, Warszawa 1972.

[14] R. Lewandowski, Dynamika konstrukcji budowlanych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej,

Poznań 2006.

[15] J. Lipiński, Fundamenty i konstrukcje wsporcze pod maszyny, Arkady, Warszawa 1969.

[16] M. Obrycki, S. Pisarczyk, Zbiór zadań z mechaniki gruntów, Oficyna Wydawnicza Politechniki

Warszawskiej, Warszawa 2007.

[17] Z. Wiłun, Zarys Geotechniki, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa 1987.

8.2. NORMY I ROZPORZĄDZENIA

[18] PN-85/B-02170, Ocena szkodliwości drgań przekazywanych przez podłoże

na budynki.

[19] PN-88/B-02171, Ocena wpływu drgań na ludzi w budynkach.

[20] PN-EN 1990:2004, Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji.

[21] PN-EN 1993-1-1:2005+AC:2006, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 1-

1: Reguły ogólne i reguły dla budynków.

[22] PN-EN 1993-3-1:2006, Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych, Część 3-1: Wieże,

maszty i kominy, Wieże i maszty.

[23] Rozporządzenie Ministra Infrastruktury z dnia 17 czerwca 2011 r. w sprawie warunków

technicznych, jakim powinny odpowiadać obiekty budowlane metra i ich usytuowanie.

(Dziennik Ustaw nr 144 poz. 859).

Documents

SPIS TREŚCI - repo.pw.edu.pl